数学建模习题——线性规划
大学生数学建模练习题
大学生数学建模练习题一、线性规划问题假设你是一家制造公司的经理，公司生产两种产品A和B。
生产一个产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。
公司每天有24小时的机器时间和40小时的人工时间可用。
如果产品A的销售价格是50元，产品B是80元，如何安排生产计划以最大化利润？二、排队论问题一家银行有3个服务窗口，平均每天接待200名顾客。
每名顾客的平均服务时间是5分钟。
假设顾客到达银行是随机的，服从泊松分布，服务时间服从指数分布。
请计算银行的平均排队长度和顾客的平均等待时间。
三、库存管理问题一家零售商销售一种季节性产品，该产品的需求量在一年中波动很大。
产品的成本是每个20元，存储成本是每个每年2元，缺货成本是每个10元。
如果零售商希望在一年内保持至少95%的服务水平，应该如何确定最优的订货量和订货频率？四、网络流问题在一个供水系统中，有四个水库和五个城市。
水库1和2可以向城市A 供水，水库2和3可以向城市B供水，水库3和4可以向城市C和D供水。
每个水库的供水能力不同，每个城市的需求也不同。
如果需要确保所有城市的需求都得到满足，如何确定最优的供水方案？五、预测问题给定一个公司过去5年的季度销售额数据，使用时间序列分析方法预测下个季度的销售额。
请考虑季节性因素和趋势，并给出预测的置信区间。
六、优化问题一个农场主有一块矩形土地，打算围成一个矩形的牧场。
如果围栏的总长度是固定的，比如400米，如何确定牧场的长和宽，使得牧场的面积最大？七、多目标决策问题一家公司需要在多个项目中做出选择，每个项目都有不同的预期收益、风险和实施时间。
如果公司需要在风险和收益之间做出权衡，并且希望项目尽快完成，如何使用多目标决策方法来选择最合适的项目组合？通过解决这些练习题，大学生可以加深对数学建模的理解，提高分析和解决实际问题的能力。
希望这些练习题能够帮助学生在数学建模的道路上更进一步。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品的生产需要消耗不同的资源，并且每一个产品的销售利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
已知产品A每一个单位的生产需要消耗2个资源1和3个资源2，每一个单位的销售利润为10元；产品B每一个单位的生产需要消耗4个资源1和1个资源2，每一个单位的销售利润为15元。
公司目前有10个资源1和12个资源2可供使用。
二、数学建模1. 假设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
2. 根据资源的消耗情况，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 10 （资源1的消耗）3x + y ≤ 12 （资源2的消耗）x ≥ 0, y ≥ 0 （生产数量为非负数）3. 目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本：最大化 Z = 10x + 15y三、线性规划求解1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：最大化 Z = 10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12x ≥ 0, y ≥ 02. 通过图形法求解线性规划问题：a. 绘制约束条件的图形：画出2x + 4y = 10和3x + y = 12的直线，并标出可行域。
b. 确定可行域内的顶点：可行域的顶点为(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)。
c. 计算目标函数在每一个顶点处的值：分别计算Z = 10x + 15y在(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)四个顶点处的值。
Z(0, 0) = 0Z(0, 2.5) = 37.5Z(4, 0) = 40Z(2, 3) = 80d. 比较所有顶点处的目标函数值，确定最优解：最优解为Z = 80，即在生产2个单位的产品A和3个单位的产品B时，可以获得最大利润80元。
四、结论根据线性规划的结果，公司在资源充足的情况下，应该生产2个单位的产品A和3个单位的产品B，以最大化利润。
建模补充-线性规划练习题(带答案)
线性规划建模习题2.某医院昼夜24小时各时间段内需要的护士数量如下：2:00～6:00 10人；6:00～10:00 15人；10:00～14:00 25人；14:00～18:00 20人；18:00～22:00 18人；22:00～2:00 12人。
护士分别于2:00、6:00、10:00、14:00、18:00、22:00分六批上班，并连续工作8小时。
试确定：(a)该医院至少应设多少名护士，才能满足值班需要；(b)若医院可聘用合同工护士，上班时间同正式工护士。
若正式工护士报酬为10元/小时，合同工护士为15元/小时，问医院聘用正式工和合同工护士各多少人成本最低？3.某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：(1)三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资；(2)只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；(3)于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元；(4)于三年内的第三年初允许投资，一年收回，可获利40%，投资限额为10万元。
试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。
8.市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1～4月每月需10000件，5 ～9月每月30000件，10 ～12月每月需100000件；产品II在3 ～9月每月15000件，其他月每月50000件。
某厂生产这两种产品成本为：产品I在1 ～5月内生产每件5元，6 ～12月内生产每件4.5元；产品II 在1 ～5月内生产每件8元，6 ～12月内生产每件7元。
该厂每月生产两种产品能力总和不超过120000件。
产品I容积每件0.2立方米，产品II每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米。
要求：(1)若占用本厂每月每立方米库容需1元，该厂应如何安排生产计划，才能在满足市场需求的前提下，确保生产加库存费用最低？(2)上述问题是否有可行解？(3)若该厂仓库不足时，可从外厂租借，租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少？15.一个大的造纸公司下设10个造纸厂，供应1000个用户。
线性规划建模练习题
线性规划建模练习题1.背包问题有一组物品S,共有9件，其中第i件重w，价值v，从S中取出一些物品出来装背包，使2 •农作物的生产安排问题以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表1所示适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表2所示试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大?3 •空气污染管理问题位于钢城的诺利公司为当地的主要钢铁厂家之一，公司为钢城的繁荣与发展作出了一定的贡献。
但现在情况有所改变，由于钢厂对熔炉的排放物未进行管理,致使空气污染破坏了钢城的环境，并危害了当地居民的健康。
公司董事会就此作出了明智的决定，指定专门人员与市政官员和人民团体商讨解决空气污染问题，以保证工厂的排放物能达到环保部门的要求。
研究发现，造成空气污染的物质主要有三种：微粒、氧化硫及碳化氢，钢厂每年须减少的污染物排放量达到表3的要求时，方满足环保的要求。
表3污染物的主要来源为：（1制造生铁之鼓风炉；（2）炼钢之敞炉。
减少污染物排放的有效方法为：（1）增加烟囱高度；（2）在烟囱内安装过滤器；（3）使用优质燃料。
这些方法对减少污染虽有帮助（其效果见表4），但任一方法的单独使用，均不能达到环保部门的要求，若三种方法同时以最高的标准实施，则工厂的产品成本将陡增，从而使产品失去市场竞争力甚至因此而破产，管理部门因此而忧心忡忡。
表4 （各减污法每年最高可能减少的污染排放量（单位：百万磅））专题组人员经分析知各减污方法中最高减污量之总成本的近似值如表5所示。
而公司每年可拨出的治污专款也有一底限，试确定该公司是否能实施“空气污染管理”工程。
表5（最高减污法之总成本：以百万元为单位）4.饲料配比问题某公司长期饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中的蛋白质、矿物质、维生素这三种营养成分特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质3g、维生素10mg，该公司能买到五种不同的饲料，每种饲料 1 kg 所含的营养成分如表6所示，每种饲料1kg的成本如表7所示，试为公司制定相应的饲料配方，以满足动物生长的营养需要，并使投入的总成本最低。
数学建模线性规划上机题
例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。
每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。
现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。
它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。
该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。
而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。
该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。
该怎样处理这个问题。
若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。
通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。
如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。
数学建模习题——线性规划
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此表四问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400225 1.4()9154325(),,,,0M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045];A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545x x x x x ===== 因此，应投资A 证券218.1818万元，B 证券0万元，C 证券736.3636万元，D 证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。
线性规划经典例题
线性规划经典例题【问题描述】某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的生产时间，产品B每件需要3小时的生产时间。
产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。
每天的生产量不能超过100件。
工厂希翼最大化每天的利润。
【数学建模】设工厂每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。
根据题目条件，可以得到以下数学模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 200x + 300y约束条件：1. 生产时间限制：2x + 3y ≤ 82. 产量限制：x + y ≤ 1003. 非负性约束：x ≥ 0，y ≥ 0【求解过程】将目标函数和约束条件转化为标准形式，得到如下线性规划模型：Maximize Z = 200x + 300ysubject to2x + 3y ≤ 8x + y ≤ 100x ≥ 0，y ≥ 0使用线性规划求解器进行求解，得到最优解。
【求解结果】经过计算，得到最优解为：x = 50（产品A的件数）y = 16.67（产品B的件数，近似值）此时，工厂每天的最大利润为：Z = 200 * 50 + 300 * 16.67 = 33333.33 元（近似值）【结果分析】根据最优解，工厂每天应该生产50件产品A和16.67件产品B，以达到每天最大利润33333.33元。
由于生产时间和产量限制，工厂无法达到每天生产更多的产品。
【结论】根据线性规划模型的最优解，工厂每天生产50件产品A和16.67件产品B，可以获得每天最大利润33333.33元。
这个结果可以作为工厂生产计划的参考，以实现最大化利润的目标。
【备注】以上的数学模型和求解结果仅为示例，实际问题中的数值和约束条件可能有所不同。
为了得到准确的结果，需要根据具体情况进行调整和求解。
1、线性规划(数学建模)
⎧2 x1 + x2 ≤ 10 ⎪x + x ≤ 8 ⎪ 1 2 s.t.（约束条件） ⎨ ⎪ x2 ≤ 7 ⎪ ⎩ x1 , x2 ≥ 0
（2）
（1）式被称为问题的目标函数， （2）中的几个不等式 这里变量 x1 , x 2 称之为决策变量， 是问题的约束条件，记为 s.t.(即 subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。 总之， 线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下， 求一线性目标函数最大或最 小的问题。 在解决实际问题时， 把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步， 但往往 也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我 们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的 Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值， 也可以是求最小值， 约束条件的不等号可以 是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性 规划的标准形式为
max z = 2 x1 + 3x2 − 5 x3 s.t. x1 + x2 + x3 = 7 2 x1 − 5 x2 + x3 ≥ 10 x1 + 3 x2 + x3 ≤ 12 x1 , x2 , x3 ≥ 0
-3-
解 （i）编写 M 文件 c=[2;3;-5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c'*x （ii）将M文件存盘，并命名为example1.m。 （iii）在Matlab指令窗运行example1即可得所求结果。 例3 求解线性规划问题
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某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此
表四
问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
解：设利润函数为M(x),投资A、B、C、D、E五种类型的证券资金分别为
12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知
12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400
225 1.4()9154325(),,,,0
M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥
利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045];
A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];
b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：
即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545x x x x x ===== 因此，应投资A 证券218.1818万元，B 证券0万元，C 证券736.3636万元，D 证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。
（2）设借到资金y 万元，则由题设条件可知：
12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0450.027********
225 1.4()9154325(),,,,00100
M x x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y =++++-++++≤+++≥++++≤++++++++≤++++≥≤≤
利用MATLAB 求最优解，代码如下
c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045 0.0275]; A=[1 1 1 1 1 -1;0 -1 -1 -1 0 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6 0;4 10 -1 -2 -3 0;0 0 0 0 0 1];
b=[1000;-400;0;0;100]; Aeq=[];
beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：
即 12345240,0,810,0,50,100x x x x x y ======
所以经理应借出100万元用于投资，应投资A 证券240万元，B 证券0万元，C 证券810万元，D 证券50万元，最大利润为30.07万元。
（3）在1000万元资金的条件下：
（Ⅰ）若证券A 的税前收益增加为4.5%，根据MATLAB 运行结果(运行结果与第（1）问的运行结果相同)可知所投资的各种证券值不变，所以投资不用改变。
（Ⅱ）若证券C 的税前收益减少为4.8%，MATLAB 运行结果如下：
即12345336,0,0,648,16x x x x x ===== 所以投资应该改变。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。