马尔可夫链的概念及转移概率
一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态
一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态1. 介绍马尔可夫链是指具有马尔可夫性质的随机过程。
具体而言，如果一个随机过程具有无记忆性，即在时刻t的状态只依赖于时刻t-1的状态，那么这个随机过程就是一个马尔可夫链。
在本文中，将着重讨论一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态的概念及其相关内容。
2. 转移概率一阶马尔可夫链的转移概率是指在已知当前状态的情况下，下一个状态为各可能状态的概率分布。
假设一阶马尔可夫链有N个状态，那么转移概率矩阵P的定义如下：P = [p(i, j)](i, j=1, 2, ..., N)其中，p(i, j)表示在当前状态为i的条件下，转移到状态j的概率。
由于马尔可夫链满足马尔可夫性质，因此转移概率满足条件：(1) p(i, j) ≥ 0, ∀i, j=1, 2, ..., N(2) Σ p(i, j) = 1, ∀i=1, 2, ..., N转移概率矩阵P的性质保证了转移概率的有效性和准确性。
3. 初始状态一阶马尔可夫链的初始状态是指在时刻0的状态分布。
假设一阶马尔可夫链的初始状态分布为π，那么π的定义如下：π = [π(i)](i=1, 2, ..., N)其中，π(i)表示时刻0处于状态i的概率。
同样地，初始状态分布π也需要满足概率分布的性质：(1) π(i) ≥ 0, ∀i=1, 2, ..., N(2) Σ π(i) = 1, i=1, 2, ..., N初始状态的定义是马尔可夫链的重要组成部分，它对于随机过程的演化和预测具有重要意义。
4. 性质一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态具有以下几个重要性质：(1) 稳态分布：对于一阶马尔可夫链，如果存在一个稳态分布π*，使得π* = π*P，那么称π*为一阶马尔可夫链的稳态分布。
稳态分布表示了马尔可夫链长时间演化后的状态分布，对于许多实际问题具有重要意义。
(2) 转移概率的计算：转移概率矩阵P可以通过统计样本数据来计算得到，也可以通过最大似然估计等方法来估计转移概率。
马尔可夫链
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
马尔可夫链
(3) P( n) P P( n1) (4) P( n) P n
初始概率和绝对概率
初始概率： 绝对概率：
p j (n) P{X n j}, ( j I )
p j P{X 0 j}, ( j I )
初始分布：
{ p j } { p j , j I}
绝对分布：
(第七章)马尔可夫链
马尔可夫链的概念及转移概率 马尔可夫链的状态分类 状态空间的分解 遍历性与平稳分布
马尔可夫过程的四种类型
马尔可夫链
时间、状态都离散 时间离散、状态连续
马尔可夫序列
纯不连续马尔可夫过程
时间连续、状态离散
时间、状态都连续
连续马尔可夫过程（或扩散过程）
（3）函数表达式
[例3] 设 { Xn , nT } 是一个马尔可夫链，其状态
空间 I = {a, b, c}，转移矩阵为
1 / 2 1 / 4 1 / 4 P 2 / 3 0 1 / 3 3 / 5 2 / 5 0
求： (1) P{ X 1 b, X 2 c, X 3 a, X 4 c X 0 c};
一步转移概率矩阵
p11 P p21 p12 p22 p1n p2 n
性质： (1) pij 0 , i, j I
(2)
p
jI
ij
1, i I
（随机矩阵）
n 步转移概率
[定义] 称条件概率
( n) pij P{X mn j X m i}, (i, j I , m 0, n 1)
( n) n 0, 0 l < n 和 i , j I ，n 步转移概率 pij 具有下 列性质：
马尔可夫链与转移概率矩阵
马尔可夫链与转移概率矩阵马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的数学模型，被广泛应用于各个领域，例如自然语言处理、金融市场分析等。
马尔可夫链的核心概念是转移概率矩阵，它描述了离散时间中状态之间的转移概率关系。
1. 马尔可夫链简介马尔可夫链是一个离散的随机过程，在任意时刻，状态只与其前一个状态相关，而与更早的状态及未来状态无关。
这种状态转移的过程可以用一个有限的状态空间和一个转移概率矩阵来描述。
2. 转移概率矩阵的定义转移概率矩阵是马尔可夫链的核心概念，它用于描述状态之间的转移概率关系。
对于一个具有n个状态的马尔可夫链，转移概率矩阵P 是一个n×n的矩阵，其中P(i,j)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 转移概率矩阵的性质转移概率矩阵具有一些重要的性质，包括：- 非负性：转移概率矩阵的所有元素都是非负数。
- 行和为1：转移概率矩阵的每一行元素之和为1，表示从一个状态出发总会转移到其他状态。
- 稳定性：如果转移概率矩阵满足P×P=P，则称其为稳定的，表示在长期的演化过程中各个状态的概率分布趋于稳定。
4. 马尔可夫链的应用马尔可夫链具有许多实际应用，以下是几个常见的应用领域：- 自然语言处理：马尔可夫链可以用于自然语言处理中的语言模型和文本生成。
- 金融市场分析：马尔可夫链可以用于预测金融市场的波动和价格走势。
- 生物信息学：马尔可夫链可以用于DNA序列分析和蛋白质结构预测。
- 机器学习：马尔可夫链可以用于机器学习中的隐马尔可夫模型和马尔可夫决策过程。
5. 马尔可夫链的应用实例为了更好地理解马尔可夫链的应用，下面来介绍一个实际的案例：天气预测。
假设有三个天气状态：晴天、多云和雨天，转移概率矩阵如下： | 晴天 | 多云 | 雨天------------ | -------------晴天 | 0.7 | 0.2 | 0.1多云 | 0.4 | 0.4 | 0.2雨天 | 0.2 | 0.3 | 0.5根据转移概率矩阵，可以进行天气状态的转移预测。
随机过程的马尔可夫性与转移概率
随机过程的马尔可夫性与转移概率随机过程是概率论的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演化规律。
其中，马尔可夫性是随机过程中的一个重要特性，它指的是在给定当前状态的条件下，未来状态的概率分布仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
转移概率则是用来描述马尔可夫过程中状态之间转换的概率。
1. 马尔可夫性的概念与定义马尔可夫性是指在随机过程中，对于任意时刻t，给定过去状态的条件下，未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去状态无关。
具体来说，设随机过程的状态空间为S，对于任意状态i和j，以及时间点t，马尔可夫性可以描述为：P(X(t+1) = j | X(t) = i, X(t-1) = i(t-1), ..., X(0) = i(0)) = P(X(t+1) = j | X(t) = i)其中，X(t)表示随机过程在时刻t的状态，P(.)表示概率。
这个条件概率表示了在已知当前状态的情况下，下一时刻的状态转移概率。
2. 马尔可夫链与马尔可夫过程满足马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。
当时间是离散的，并且随机过程的状态空间是离散的情况下，马尔可夫过程又称为马尔可夫链。
马尔可夫链中的状态转移概率可以用转移概率矩阵来表示。
设马尔可夫链的状态空间为S={s1, s2, ..., sn}，转移概率矩阵为P=(pij)，其中pij表示从状态si到状态sj的转移概率，满足以下条件：1) 对于任意的i和j，pij≥0；2) 对于任意的i，∑(j∈S)pij=1。
转移概率矩阵P的第i行表示从状态si出发的转移概率分布。
通过转移概率矩阵，我们可以计算出马尔可夫链在任意时刻的状态概率分布。
3. 马尔可夫性质与转移概率马尔可夫性质保证了给定当前状态，未来状态的概率分布只与当前状态有关。
这个性质可以用转移概率来进行解释和计算。
具体来说，设X(t)表示马尔可夫链在时刻t的状态，假设当前状态为si，未来状态为sj，则根据马尔可夫性质有：P(X(t+1) = sj | X(t) = si) = pij这个式子表示在已知当前状态为si的情况下，下一时刻的状态为sj 的概率等于转移概率pij。
【最新精选】马尔科夫链的转移概率矩阵
转移概率(transition probability)什么是转移概率转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为m个状态组成，历史资料转化为由这m个状态所组成的序列。
从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、……，m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。
当样本中状态m可能发生转移的总次数为i，而由状态m到未来任一时刻转为状态ai 的次数时，则在m+n时刻转移到未来任一时刻状态aj的转移概率为：这些转移移概率可以排成一个的转移概率矩阵：P(m,m+n)(Pij(m,m + n))当m=1时为一阶转概率矩阵，时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵，就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是贷款状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的预测。
转移概率与转移概率矩阵[1]假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。
根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。
又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏，40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏，30％的人将改用黑妹牙膏。
据此，可以得到如表－1所示的统计表。
表－1 两种牙膏之间的转移概率拟用黑妹牙膏中华牙膏现用黑妹牙膏 60％40％中华牙膏 30％70％上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵称为转移概率矩阵。
可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为１。
在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。
2．用转移概率矩阵预测市场占有率的变化有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（１月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是描述随机演化的数学模型。
其中，马尔可夫链是一种广泛应用于许多领域的随机过程。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的演化仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念和特性，并探讨其在不同领域中的应用。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一个离散状态的随机过程，其转移概率只与当前状态有关，与历史状态无关。
具体而言，设S为状态空间，P为状态转移概率矩阵，则对于任意的状态i和j，转移概率满足条件P(i, j) ≥ 0，且对于任意的i，ΣP(i, j) = 1。
二、马尔可夫链的特性1. 马尔可夫性质：马尔可夫链的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关。
这一性质使得马尔可夫链具有一种"无记忆"的特点，使得其在很多问题中提供了简化假设的可能。
2. 连通性：如果对于任意的状态i和j，存在一系列状态k1, k2, ..., kn，使得从状态i出发，通过这些状态最终能够到达状态j，则称该马尔可夫链是连通的。
3. 遍历性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态，则称该马尔可夫链是遍历的。
4. 非周期性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态的概率为1，则称该马尔可夫链是非周期的。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理领域，用于语言模型的建模。
通过分析文本数据中的词语之间的转移概率，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场：马尔可夫链在金融市场中的应用较为广泛。
通过分析过去的市场数据，可以构建马尔可夫链模型，预测未来的市场状态，用于投资决策和风险管理。
3. 生物信息学：马尔可夫链在DNA序列分析和蛋白质结构预测等生物信息学问题中得到了应用。
通过建立马尔可夫链模型，可以推断基因序列中的隐藏状态和转移概率，进而揭示生物系统的运作机制。
4. 推荐系统：马尔可夫链在推荐系统中也有一定的应用。
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态之间的转移概率组成，可以用于模拟和预测各种随机过程，如天气变化、股票价格波动等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间和转移概率矩阵组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
转移概率矩阵是一个n×n的矩阵，其中n 是状态空间的大小。
转移概率矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 周期性：一个状态可以返回到自身的步数称为周期。
如果一个状态的周期为1，则称其为非周期状态；如果周期大于1，则称其为周期状态。
4. 不可约性：如果一个马尔可夫链中的任意两个状态都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
5. 遍历性与周期性的关系：对于不可约的马尔可夫链，要么所有状态都是非周期状态，要么所有状态都是周期状态。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、机器学习、金融市场分析等。
以下是一些具体的应用案例：1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于生成文本，如自动写作、机器翻译等。
通过学习文本的转移概率，可以生成具有相似语言风格的新文本。
2. 机器学习：马尔可夫链可以用于序列建模，如语音识别、手写识别等。
通过学习序列的转移概率，可以对序列进行分类和预测。
3. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于预测股票价格的波动。
通过学习历史股票价格的转移概率，可以预测未来股票价格的走势。
4. 生物信息学：马尔可夫链可以用于基因序列分析。
通过学习基因序列的转移概率，可以识别基因的功能和结构。
四、马尔可夫链的应用案例以下是一个简单的马尔可夫链应用案例，用于模拟天气变化：假设有三种天气状态：晴天、多云和雨天。
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,为马氏链。
定义 4.2 称条件概率
三、转移概率
为马尔科夫链 概率。
在时刻 N 的一步转移概率，其中 ，简称为转移
条件概率 ：随机游动的质点在时刻 n 处于状态 的条件下，下一步转移
到状态 的你改率。
一般地，转移概率 不仅与状态 i，j 有关，而且与时刻 n 有关。当 不依赖与时刻 n 时，表示马尔科夫链具有平稳转移概率。
（3.2）
其中 ，其边界条件为
（3.3）
先讨论 r=1，即
的情况，此时（3.2）为
设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，若 事件组，既满足条件：
1)
两两互不相容，即
2).
，且有
为 S 的一个完备 ，则
此式称为全概率公式。 3.矩阵乘法 矩阵乘法的定义
， 如果
那么矩阵 C 叫做矩阵 A 和 B 的乘积，记作 4.马尔可夫过程的分类 马尔可夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的，可分为三类：
这个实质上是带有两个吸收壁的随机游动，其状态空间
，
.故现在的问题是求质点从 a 点出发到达 0 状态先于到达 c 状态的概率.
解 设 表示甲从状态 i 出发转移到状态 0 的概率，我们要计算的就是 。
由于 0 和 c 是吸收状态，故
由全概率公式
（3.1） 上式的含义是，甲从有 i 元开始赌到输光的概率等于“他接下去赢了一局（概 率为 p），处于状态 i+1 后再输光”；和“他接下去输了一局（概率为 q），处于状 态 i-1 后再输光”这两个事件的和事件的概率。 由于 p+q=1,（3.1）式实质上是一个差分方程
率为
，这种运动称为无限制随机游动。以 表示时刻 n 质点所处的位置，
则
是一个齐次马尔科夫链，试写出它的一步和 k 步转移概率。
解 显然
的状态空间
，其一步转移概率矩阵为
设在第 k 不转移中向右移了 x 步，向左移了 y 步，且经过 k 步转移状态从 i 进入 j，则
从而
由于 x，y 都只能取整数，所以
定义 4.3 若对任意的 ，马尔科夫链
的转移概率 与 n 无
关则称马尔科夫链是齐次的，并记 为 。 下面我们只讨论齐次马尔科夫链通常将“齐次”两个字省略。
设 P 表示一步转移概率 所组成的矩阵，且状态空间
，则
称为系统状态的一步转移概率矩阵。它具有性质：
(1)
；
(2)
.
(2)式中对 j 求和是对状态空间 的所有可能状态进行的，此性质说明一步转移概
第四章
4.1 马尔可夫链的的概念及转移概率
一、知识回顾 二、马尔可夫链的的定义 三、转移概率 四、马尔可夫链的一些简单例子 五、总结
一、知识回顾
1. 条件概率
定义：设 A，B 为两个事件，且
，称
为事件 A 发生条件下 B 事件发生的条件概率。 将条件概率公式移项即得到所谓的乘法公式：
2.全概率公式
球要到从箱子中再抽出一球后才放回箱中，每抽出一球作为一次取样试验。
现引进随机变量序列为
,每次取样试验的所有可能结果只
有两个，即白球或黑球。若以数 代表白球，以数 代表黑球则有
由上所述的抽球规则可知，任意第 n 次抽到黑球或白球的概率只与第 n-1 次抽得
球的结果有关，而与
抽的球的结果无关，
由此可知上述随机变量序列
（1） 时间、状态都是离散的马尔科夫过程，称为马尔可夫链； （2） 时间连续、状态离散的马尔科夫过程称为连续时间的马尔可夫链的； （3） 时间、状态都连续的马尔科夫过程。
二、马尔科夫链的定义
定 义 4.1 设 有 随 机 过 程
，若对于任意的整数
，条件概率都满足
和任意的
(4.1.1)
则称
为马尔科夫链，简称马氏链。
定理 4.3 设
为马尔科夫链，则对任意
和 ，有
证由全概率公式及马氏性质有
=
= 证毕
一、 马尔可夫链的的一些简单例子
马尔科夫链在研究质点的随机运动、自动控制、通信技术、生物工程、经济 管理等领域中有着广泛的应用。
例 4.1 无限制随机游动 设质点在数轴上移动，每次移动一格，向右移动的概率为 p，向左移动的概
式(4.1.1)即为马氏链，他表明在状态
已知的
条件下，
的条件概率与
无关，而
仅与 所处的状态 有关。 式(4.1.1)是马尔科夫链的马氏性（或无后效性）的数学表达式。由定义知
=
= =
可见，马尔科夫链的统计特性完全由条件概率
所决定。如何确定这个条件概率，是马尔科夫链理论和应用中的重要问题之一。
现举一例说明上述概念： 例 4.1.1 箱中装有 c 个白球和 d 个黑球，每次从箱子中任取一球，抽出的
必须是偶数。又在 k 步中哪 x 步向
右，哪 y 步向左是任意的，选取的方法有 种。于是
例 4.2 赌徒输光问题 两赌徒甲、乙一系列赌博。赌徒甲有 a 元。赌徒乙有 b 元，每赌一局输者给 赢者 1 元，没有和局，直到两人中有一个输光为止。设在每一局中，甲赢的概率
为 p，输的概率为
，求甲输光的概率。
率矩阵中任一行元素之和为 1.通常称满足上述（1）、（2）性质的矩阵为随机矩 阵。
定义 4.4 称条件概率
为马尔科夫链
的 n 步转移概率，并称
为马尔科夫链的 n 步转移矩阵，其中 矩阵。当Leabharlann n=1 是，，此时一步转移矩阵
，即 也是随机 . 此外我们规定
定 理 4.1 设
为马尔科夫链，则对任意整数
和
定义 4.5 设
为马尔科夫链，称
和
为
的初始概率和绝对概率，并分别成
和
为
的初始分布和绝对分布，简记为 和
。称概率向量
为 n 时刻的绝对概率向量，而称
为初始概率 定理 4.2 设
具有下列性质：
为马尔科夫链，则对任意 和
（1） （2）
； ；
（3）
；
（4）
.
证 (1)
= (2)
=
，绝对概率
= (3)与(4)中式是(1)与(2)中式的矩阵乘积形式，显然成立。证毕。
，n 步转移概率 具有下列性质： (1)
(2) (3) (4) 证 (1)利用全概率公式及马尔科夫性，有
=
=
=
(2)在(1)中令 l=1,k= 得
这是一个递推公式，故可递推得到
(3)在(1)中令 l=1,利用矩阵乘法可证。
(4)由(3)，利用归纳法可证。 定理 4.1 中(1)式称为切普曼——柯尔莫哥洛夫方程，简称 C-K 方程。它在 马尔科夫链的转移概率的计算中起着重要的作用。(2)式说明 n 步转移概率完全 由一步转移概率决定。(4)式说明齐次马尔科夫链的 n 步转移概率矩阵是一步转 移概率矩阵的 n 次乘方。