中央财经大学--公司金融课程讲解第7章

A、B的支付
S=50
A 0
S=200
75
1股股票
50
200
-50 150
归还借款与本金 -50 B 0
ห้องสมุดไป่ตู้
期权的价值
• 在任何情况下，资产组合B的期末收益正好 是买权收益的两倍，所以2个买权的价值应 当与资产组合B的价值相等，即 • 2C=1股股票的价格-无风险债券价格 =100-48.08=51.92 所以，C=25.96
到期日两个组合的价值
看涨期权多头 借出 Xe r 组合A 看跌期权多头 股票多头 组合B
ST X 0 ST X ST X X
X X
ST X X ST
ST
ST X 0 ST
ST
X
ST
两个组合当前价值相等
组合A 和B在到期日T的收益完全相同 无套利要求这两个组合在时间t的价值必 须相等。即
波动性与期权价值示例
• 假设某家公司得到一笔长期贷款，每年应支付的 利息为8000元。该公司可以把这笔贷款用于下面 两个项目中的一个。这两个项目具有相同的5000 元的期望现金流。 项目1 项目2 概率 现金流 概率 现金流
0.2
0.6
4000
5000
0.4
0.2
0
5000
0.2
6000
0.4
10000
套期保值的例子
• 假设一种人身保险，对象为60岁的健康老 人：如果从投保之日起，在一年之内被保 险人去世，保险公司支付投保人100000元， 否则，保险公司不支付任何款项。这种险 种的价格为2300元。现在，某公司60岁的 总裁向你贷款，条件是：如果一年后他还 健在，他支付给你100000元，否则，你不 能收回任何贷款。Rf=8%。 • 你到底应该贷给这位总裁多少钱？
期权定价
• 不适用现金流折现方法
– 预测期权的现金流量很困难； – 无法确定期权的资本成本。
• 基本思想：无套利定价
期权定价的基本思路
• 期权作为一种衍生金融工具，是在原生金 融工具的基础上发展出来的，它的收益变 化可以由其他金融工具的组合构造出来， 因此，期权定价由以下方式进行： • （1）构造一个收益状况与期权相同的，由 其他金融资产构成的资产组合。 • （2）根据无套利机会原则，期权价值应当 与上述资产组合的价值相等。
期权的时间价值与内在价值图示
Ct(St)
时 间 价 值
St
影响期权价格的因素
• • • • 标的股票的价格 执行价格 标的股票价格的方差 无风险利率
股票价格波动性与期权价值图示
Distribution of Returns on Two Stocks
3.5 3.0
Probability Density
期权合约的内容
• 标的资产(underlying asset) ：这种期权能够买或 者卖的对象 。 • 看涨看跌（call or put）：买入还是卖出资产。 • 执行价格(exercise price, strike price)：执行期权 合约时，可以以此价格购买标的物的价格。 • 期权到期日(expiration date) • 美式期权或者欧式期权。
期权定价的三种方法
• Black and Scholes(1973)：在市场无摩擦、存在 可连续交易的假设下，由持有股票的多头头寸， 和持有以此股票为标的的欧式看涨期权的空头头 寸，形成一个无风险的证券组合。 • Harrison and Kreps(1979)：在市场无摩擦和完备 的假设下，市场无套利等价于存在唯一的等价鞅 测度，市场上任何证券的折现价格在这个测度之 下为一个鞅。 • Cox,Ross and Rubinstern(1979), Rendleman and Bartter(1979):二项式法
单期模型（续）
SH-mCH
S0-mC
SL-mCL
单期模型（续）
• 让期末支付相等，即
SH mCH SL mCH SH SL m CH CL
(1 rf )(S0 mC) SH mCH pCH (1 p)CL C 1 rf S0 (1 rf ) SL p S H - SL
• 因为套期保值组合是 无风险的，其回报率 为无风险资产
单期模型（续）
• 这里的p是大于0小于1的数，具有类似概率 的性质，我们称其为套期保值概率。从p的 定义可以看出，无套利条件SL< S0(1+rf) <SH等价于p大于0而小于1。所以，在金融 学中，我们又把p称为等价鞅测度。 • p是当市场达到均衡时，风险中性者所认为 股票价格上涨的概率。 • S0(1+rf)=pSH+(1-p)SL
多期的情形（续）
• 定义1期至2期股票价格变化的概率为PHH， PHL，PLH，PLL。
pHH SH (1 rf ) SHL 771.01 69.3 0.55 SHH - SHL 84.7 69.3
pHL 1 WHH 0.45
多期的情形（续）
p LH 0.55 p LL 1 p LH 0.45
p H 0.55 p L 1 p H 0.45
期权价值与影响因素
变量
St X
欧式买权 欧式卖权 美式买权 美式卖权
+ + + +
T
σ2 r
+
+ +
+
+ -
+
+ +
+
+ -
欧式期权的平价关系
c Xer p s0 , T t
证明： 在时间t,构造两个投资组合A和B 组合A：一份欧式看涨期权多头，同时借出 Xe r (投资X 份的零息国库券) 组合B：一份欧式看跌期权多头，同时买入一股股票
2.5
NORMCO
2.0
VOLCO
1.5 1.0 0.5 0.0 -100% -50% 0% Return 50% 100%
股票价格波动性与期权价值
• 因为只有当股票的价格大于执行价格时，我们才 能从期权合约中获得收益。股票价格分布的方差 越大，股票价格超过执行价格的概率也就越大， 我们获得收益的概率也就越大。所以，我们偏好 以方差较大的股票为标的物的期权。 • 期权价值与标的资产价值之间的重大差别：如果 持有标的资产，我们获得收益的可能性由标的资 产价格的整个概率分布决定。作为风险厌恶者， 我们不喜欢高风险。如果我们持有期权，我们获 得收益的可能性由标的资产价格的尾部概率分布 决定。期权的这种性质使得大的方差更具有吸引 力。
p fair c Xe r S0 3 30 e 0.100.25 31 1.26
r 10%
如果 p market 3.0 ，是一个套利机会吗?
p market 0.5呢 ？
套利机会分析（续）
当 p market 3.0 ，则存在着套利机会 套利 卖出一份看跌期权 卖出一股标的股票 买入一份看涨期权 买入 X 份在T到期的零息国库券 套利利润：1.74
换一种思路
• 1股股票，出售2个买权，构成无风险证券
项目 初始投资 S=50 S=200
1股股票
-100
50 0
50
200 -150
50
出售2个卖 2C 权 2C-100 总计
期权定价的二叉树模型：单期模型
SH
S0
SL
单期模型（续）
• 假设：无风险利率rf，显然，根据无套利原 理，有SL< S0(1+rf) <SH。 • 考虑以股票为标的物的欧式看涨期权，执 行价格为K，到期日为一期。期权当前价格 为C，而到期时，价格分别为CH和CL。 • 构造无风险套期保值证券组合：以价格S0 购买一份股票，并售出m份看涨期权。
单期模型（续）
• 从中解出p值，得到：
S0 (1 rf ) SL p SH - SL
• 所以，对一个风险中性者来说,p=q ，而式中看涨期权的 价格可以解释为，在一个风险中性环境中，期权的期望终 端支付的折现值。
思考
• 在两期模型中，是否可以利用同样的思路 计算看跌期权的价值。
示例
• 已知某股票当前价格为S0=70，6个月后（1 期）的价格有两种可能：SH=100，SL=50， 无风险年利率rf=8%（半年为4%），求以 这一股票为标的资产，执行价格为75，期 限为6个月的欧式看涨期权的价格。
期权头寸
多头：购买期权的一方称为拥有期权多头 空头：出售期权的一方称为拥有期权空头
看涨期权多头的到期日收益图
收益 在到期日： max0, ST X X：执行价格
收益
到期日标的资产的价格ST
X
看涨期权空头的到期日收益图
在到期日： X：执行价格
ST
收益
看跌期权多头的到期日收益图
• P=90292
二项式：一个例子
• 设某人购入一份执行价格为125元，期限6 个月的看涨期权。无风险利率为4%。假设 6个月后该公司的股票要么下跌至50元，要 么上升至200元。当前股票价格为100元每 股。
两个组合
• A——持有一份期权 • B——持有1股公司股票，同时，按照8%的 年无风险利率借入48.08美元。
多期的情形
• 某股票价格现在为70，预计未来两期其价 格将上下波动10%，每期的无风险利率为 1%，问一个执行价格为72的买权的价值？
多期的情形（续）
SHH=84.7
SH=77 SHL=69.30 S0=70 SL=63 SLH=69.30
SLL=56.70
多期的情形（续）
CHH=12.7 CH CHL=0 C0 CL CLL=0 CLH=0