第5章习题新(7页)

第5章习题
5.1 选择题
（1） 电场强度0
q =
F
E 这一定义的适用范围是 [ （A ）点电荷产生的电场； （B ）静电场； （C ）匀强电场； （D ）任何电场。

（2） 下列说法正确的是 （A ）静电场中的任一闭合曲面S ，若有
0⋅=⎰Ñs
d E S ，则S 面上的E 处处为零；
（B ）若闭合曲面S 上各点的场强均为零，则S 面内未包围电荷； （C ）通过闭合曲面S 的总电通量，仅仅由S 面内所包围的电荷提供； （D ）闭合曲面S 上各点的场强，仅仅由S 面内所包围的电荷提供。

（3） 静电场的环路定理
0L
d ⋅=⎰E l Ñ说明静电场的性质是：
（A ） 电场线是闭合曲线； （B ）静电场力是非保守力；
（C ） 静电场是有源场； （D ）静电场是保守场. （4） 关于电场强度与电势之间的关系，下列说法正确的是 （A ）在电场中，电场强度为零的点，电势必为零； （B ）在电场中，电势为零的点，电场强度必为零； （C ）在电势不变的空间，电场强度处处为零； （D ）在电场强度不变的空间，电势处处为零。

（5） 若将负电荷q 从电场中的a 点移到b 点，如图示，则下述正确者是 （A ） 电场力做负功； （B ） 电场强度b a E E <； （C ） 电势能减少；
（D ） 电势b a V V <。

题5.1（5）图
5.2 填空题
（1） 一点电荷q 位于一立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体一面的电通量为___;
若该点电荷移动到立方体的一个角顶上，则通过立方体每一面的通量为___和_________。

（2） 描述静电场性质的两个物理量是 和 ，它们的定义式分别是
和 。

（3） 图中曲线表示一种球对称性静电场的场强大小E 的分布，r 表示离对称中心的距
离，这是由_________产生的电场。

题5.2（3）图
（4） 如图示，在带电量为q 的点电荷的静电场中，将一带电量为0q 的点电荷从a 点经
任意路径移动到b 点，电场力所做的功=A _______
题5.2（4）图题5.2（5）图
（5）如图所示，负电荷Q的电场中有b
a,两点，则______点电场强度大，______点的电势高，一正电荷q置于b点，将此点电荷从b点移至a点，电势能将________（填“减少”，“增加”或“不变”）。

5.3（2）如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。

L
P
题5.3（2）
解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L，在x处取一电荷元d q = λd x = q d x / L，它在P点的场强：
()2
4
d
d
x
d
L
q
E
-
+
π
=
ε()2
4
d
x
d
L
L
x
q
-
+
π
=
ε
总场强为⎰+
π
=
L
x
d
L
x
L
q
E
2
)
(
d
4－
ε()d
L
d
q
+
π
=
4ε
方向沿x轴，即杆的延长线方向．
5.3（3）一细棒被弯成半径为R的半圆形，其上半部分均匀分布有电荷Q
+，下半部分均匀分布电荷Q
-，求圆心O点的电场强度E。

题5.3（3）图
解：如图示，在θ角位置上选择一电荷元dq，带电量为
O
θπ
πλd Q dl R Q dl dq 22==
= 其在O 点产生的电场为 θεππεd R Q
R dq dE 2
022024==
方向如图示
,sin θdE dE x = θcos dE dE y -=， 下半部分：选取一与上半部dq 相对称（x 轴对称）的电荷元'
dq ，则 θπ
d Q
dq 2'
-
=，
其在O 点产生的电场 θεπd R
Q dE 2
02
'
2=
方向与E d ρ
成关于y 轴对称，两电荷元在O 点产生的总场强沿y 轴负方向，故总场强沿y 轴
负方向。

2
022
2
0220
cos 222R Q
d R Q dE E E y y επθθεππ
π
-
=-===⎰⎰
5.3（5）真空中一立方体形的高斯面，边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位置。

已知空间的场强分布为：E x =bx ，E y =0 ，E z =0。

常量b ＝1000 N/（C ·m ）。

试求通过该高斯面的电通量。

题5.3（5）图
解： 通过x ＝a 处平面1的电场强度通量：Φ1 = -E 1 S 1= -b a 3 通过x = 2a 处平面2的电场强度通量： Φ2 = E 2 S 2 = 2b a 3
其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为Φ = Φ1+ Φ2 = 2b
a 3-
b a 3 = b a 3 =1 N ·m 2/C
5.3（6）图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：E x ＝bx ，E y ＝0，E z ＝0。

高斯面边长0.1=a m ，常量b ＝1000 N/（C ·m ）。

试求该闭合面中包含的净电荷。

（真空介电常数ε0＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 ）
题5.3（6）图
解：设闭合面内包含净电荷为Q ．因场强只有x 分量不为零，故只是二个垂直于x 轴的平面
上电场强度通量不为零．由高斯定理得：-E 1S 1+ E 2S 2=Q / ε0 ( S 1 = S 2 =S ) 则 Q = ε0S (E 2- E 1) = ε0Sb (x 2- x 1)
= ε0ba 2(2a －a ) =ε0ba 3 = 8.85×10-
12 C
5.3（8）两个无限长同轴圆筒半径分别为1R 和2R ，单位长度带电量分别为λ+和λ-。

求内筒内、两筒间及筒外的电场分布。

解：根据电场分布的轴对称性，可以选与圆筒同轴的圆柱面（上下封顶）作高斯面。

由高斯定理⎰
∑=
⋅0
εi
q
ds E
⎰⎰=⋅=⋅侧
rEl ds E ds E π2
在内筒内，1r R <：
0i
q
=∑ 0=E
在两筒间，12R r R <<：i q l λ=∑ r
E 02πελ
=
在外筒外，2R r <：
0i
q l l λλ=-=∑
0=E
5.3（12）两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?
解:
电场力做功 ⎰⎰
==⋅=
222
1
02120
21π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εεϖϖ6211055611
-⨯-=-.)(r r J
外力需作的功 6
10556-⨯=-='.A A J
5.3（13）如图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ，-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功。

题5.3（13）图
解:
0π41ε=
O U 0)(=-R
q
R q 014πC U ε=
)3(R q
R q -R
q 0π6ε-= R
q
q U U q A o C O 00π6)(ε=
-=
5.3（14）一均匀带电细杆，长cm l 0.15=，线电荷密度m C /100.27
-⨯=λ，求：（1）细杆延长线上与杆的一端相距cm a 0.5=处的电势；（2）细杆中垂线上与细杆相距cm b 0.5=处的电势。

解：（１）沿杆取x 轴，杆的x 轴反向端点取作原点，由电势叠加原理，可得所给点的电势为
⎰⎰
-+=
=q l
x a l dx
dV V 0
01)
(4πελ
V a
l
a 30105.2ln 4⨯=+=
πελ （２）由电势叠加原理，可得
⎰⎰
+==q
l
z x dx
dV V 0
2
12
2
02)
(4πελ
2
424ln
4222
20
l
l b l l
b -+++=πελ V 3103.4⨯=
5.3（15）两个同心球面，半径分别为cm 10和cm 30，小球均匀带有正电荷C 8101-⨯，大球均匀带有正电荷C 8105.1-⨯。

求离球心分别为（1）cm 20，（2）cm 50的各点的电势。

解：由电势叠加原理得：
（1）V R q r
q 900442
0201=+
=
πεπεφ
（2）V r
q q 450402
1=+=
πεφ。