黄昆版固体物理学课后答案解析答案
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第二章
黄昆 固体物理 习题解答第二章 晶体的结合2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，于是有α= ∑ ′ ( 1)=2[1 1 1 1 −+−+ ...]r jr ijr 2r 3r 4r前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，i1 1 1故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为234α = 2[1− + − + ...] 2 3 4xx xQl n(1 + x ) = −x + − + ... 当 x=1 时，有12 3 4 1 1 1...− + − + = l n2∴ =α 2 2n2 3 42.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）α2e C解： u r ( )= −α2+rrnα2nC1du e nCenC 由| =−= 0 解得=+r e−1 r2n +12n 1( ) (=2)ndrrrrr 0nC11α e于是当 e 变为 2e 时，有 r−1= 4 −1 r e( )(2 ) (=2)nn= − α214α e结合能为 u r( )e (1−) 当 e 变为 2e 时，有4α e 2r0 1nnu e(2 )= −r (2 ) (1 −) = u e( ) 4 −n 1nu r( )= − α+βm n 2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为计算: 1) 平衡间距r0解答（初稿）作者季正华- 1 -r r黄昆固体物理习题解答2) 结合能W（单个原子的）3) 体弹性模量4) 若取m = 2, n = 10, r= 0.3 , = 4 eV计算αβ, 的值解：1) 平衡间距r0的计算NαβdU= mαnβU r ( ) = (−+m n) dr0 −r m+1 + r n+1 = 0晶体内能nβ 12 r r平衡条件r r0 即0 0r0= ( )n m所以mα2) 单个原子的结合能W = −1u( )r u r( ) (0= −α+βm n) r nβ 1r r0=( ) n m2 0β−m r r0 αmW = 1 α(1−)( )m n n m2 n mα3）体弹性模量K = ∂2U(2)V⋅V0∂V0晶体的体积V = NAr3—— A 为常数，N 为原胞数目NαβU r ( ) = (−+m n)晶体内能∂=α2nβr rU∂U r∂N m− 1∂V ∂∂r V= 2 ( r m+1 r n+1 ) NAr23∂2 = ∂∂mαnβU N r[( −) 1 ]∂V 2 2 ∂∂V r rm+1 r n+1 3 N Ar2∂2U∂2UN1[2αmn2βmαnβK = (2)V⋅V0 ∂V2= 2 9V2−r m+ r n−r m+ r n]体弹性模量由平衡条件∂U∂V=N mα−V Vnβ 1= 00 0 0 0∂V 2 ( r m+1 r n+1 ) 3NAr2V V0解答（初稿）作者季正华0 0 0- 2 -α=n β∂2UN黄昆 固体物理 习题解答m 2αn 2βm r 0mr 0n ∂V 2V V=1[− 2 9V 02r 0m + r 0n ]体弹性模量 K= ∂2U(2)V⋅V 0∂2U=mn(−U )∂ V∂ V2 V V 9V 2mn K = U 0V 904）若取 m =β12, n = 10, r 0=0.3 ,= 4 eVβ−m计算 α β,的值r = n( ) −n mW = 1 α (1− )( )m n n mαm2 αn mβ =Wr 10α = r 2β+W 2[r 102 ]β =1.2 ×10-95eV ⋅m 103α =−7.5 ×1019eV ⋅ m 22.4 经过 sp 杂化后形成的共价键，其方向沿着立方体的四条对角线 的方向，求共价键之间的夹角。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案(1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理学_答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
《固体物理学(黄昆)》课后习题答案(2)
1.10——答案在王矜奉《固体物理概念题和习题指导》p10 第 17 题
3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为
1 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2
证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 E0 就是各振动
1
模零点能之和。 E0
m
0
E0 g d 将E0
将
M
us ueisKa e it , Vs VeisKa e it . 代入上式有
M 2u C 10 e ika V 11Cu , M 2V C eika 10 u 11CV ,
4
是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为
2 2 2 2 Kx , 2m 2m a 2m a
2 2 2 2 2 2 2 2 B点能量 B K x K y 2 m 2 , 所以 B / A 2 2m a a 2m a
所以 B / A 3
(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 7—2 所示．根据自由电子理
2 2 论，自由电子的能量为 K x2 K y K z2 ，FerM 面应为球面．由(b)可知，内切于 2m
4 点的内切球的体积
3
4 3
，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为 a
当 K= / a 时
2 20C / M , 2 2C / M ,
当 K=0 时，
2 22C / M , 2 0,
2 与 K 的关系如下图所示．这是一个双原子(例如 H 2 )晶体
(完整版)黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
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《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编(陈志远解答，仅供参考)第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率,(1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1)a=2r,4V=3r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3r r二x 3 3 0.523 a 8r3 6(2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a34 3F)n=4, Vc=a3(22r)3(4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc0.68(3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r0.74晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3n=1212 - 2 -6 23=6个24 2r30.74(5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r.3n=8, Vc=a3所以，面心立方的倒格子是体心立方。
r a a, r於i r j rk)（2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）r a r r r a2刖j k) r a丿r r a32(ij k)8 3r38 3r383 3___ r3,30.341.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633a 3证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=N0=a=2R.即图中NABO构成一个正四面体。
…1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
a i2(j k)证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a 'a(ik)由倒格子基矢的定义: a3)b1 2同理可得: a3a '2(i j)(a2 a3) b2a a0, r r r2, 2 i , j, k3a a a r r a a_ J0, 一—,a2 a3 I0, —2 2 4 2 2a a a aJ J0 02 2 2 2a2 r r r7「j k) k) k)2 1—(i a jr a k）即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k)所以，倒格子矢量 G h i bi h 2b 2 h 3b 3垂直于密勒指数为（h i h 2h 3）的晶面系。
1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为（h,k,l ）的晶面系，面间距 d 满足：d 2 a 2 （h 2 k 2 l 2），其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。
v rr vv v v v v 解：简单立方晶格： a a 2 a 3， a 1ai , a 2 aj, a 3 aka i a2a3由倒格子基矢的定义:(a 2 a a ar r r 22' 23i ,j,k a a a a r r a a a JJ— —，a 2 a 3一 2 2 2 22 2 2 a a a a a a 22122,2,2k)b 1 22(jk)a (jk)同理可得:b 2k ）即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相j)所以，体心立方的倒格子是面心立方。
hsd 垂直于密勒指数为（h|h 2h 3）的晶面系。
v v hQ h 2b 2h 3b 3利用V b 2耳，容易证明MA MB uuc wc怆框 也vG h vGha ?a 3)a 3)a 2 r1.5、证明倒格子矢量 G h i b i h 2b 2h i h 3 h 2h 3vG 由倒格子基矢的定a i a2a3a a 2 a322a 2 2 2~ (h 2 k 2 l 2)面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面 越容易解理。
1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与 面的交线的晶向。
解：（111）v v v1、 （111）面与（100）面的交线的 AB ，AB 平移，A 与0点重合，B 点位矢：R B aj ak ， uuu v v -（111）面与（100）面的交线的晶向 AB aj ak ，晶向指数［0 11］。
（111）v v v2、 （111）面与（110）面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：R B ai aj ， uuu v v -与（110）面的交线的晶向AB ai aj ，晶向指数［110］。
倒格子基矢： v a2 v v i, b 2 a2 v v j, b3 a2a倒格子矢量：v Gv v hb | kb 2vlb 3 v ，G h 2av k 2a12 a1（a ）2（a ）2（a ）2(110)(111)面晶面族（hkl ）的面间距：d第二章固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln 2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。
＜解＞设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有(1) rij1 12r 3r14r…]前边的因子2是因为存在着两个相等距离r i的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2,马德隆常数为2[1 Ql n(1 X) 11…]3 4 2 3x xxx 3当X=1 时，有1 1 1 1... l n22 3 4 2l n2 2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为u（r） m nr r试求：（1 ）平衡间距r o ；（2）结合能W （单个原子的）；(4)若取m 2,n10, r 0 3A,W 4eV ，计算 及 的值。
解：（1）求平衡间距r o结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w 表示）（2）求结合能w （单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。
显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min即: WU（r 。
）m r°n r°■（可代入r 0值，也可不代入）（3）体弹性模量2「02U由体弹性模量公k■ 09V 。
2rr °(4) m = 2， n = 10，r 。
3A ， w = 4eV ，求 a 、B10 18518r °①2U(r °)21042（r °8—代入）r °r5r °WU （r 。
） 424eV②5r °19将 r o 3A ，1eV 1.602 10 J 代入①②7.209 10 38 N m 29.459 10 115 N m 2晶体内能U （r ）（2）单个原子的结合能mnm 1 r°n 1 r 。
.1m n1n（1 ）平衡间距 r 0的计算平衡条件dUdr r 0，rm m 1r°nn 1r°(m由 du (r )|0,有:dr r r o1 2W^u(r o )， 2U(r o)(孑r n )rr。
r o(1m n)() n m (3)体弹性模量 晶体的体积V NAr 3为常数, N 为原胞数目晶体内能U(r) 7( 2(r m mrm1r n )Jn 1 /r1 3NAr 22U V r [件1) 3NA 『]2U V 2V o 2 9V o2mm ro2n n ro m m roJ] r o由平衡条件 V V oN ,m2 m 1r on 1 ro3NAr 0mm ron n ro2U V 2 V o N 1 22 9V o2mmr on 22U V 2 V o N 1 2 9V o 2 [ m m rr onnF r oN nm 2 9V o 2 [m roUo ?( 2U V 2V V o9?Uo) 体弹性模量U o mn 9V o(4)若取2,n 1O,r o3A,W4 eVr o(-) m (1W 1O 歹，ro2W]1.2 10 95 eV m ,1929.0 10 19 eV m22.6、bcc 和fccNe 的结合能，用林纳德一琼斯 （Lennard — Jones ）势计算 Ne 在bcc 和fee 结构中的结合能之比值.o62.7、对于H 2，从气体的测量得到 Lennard — Jones 参数为 50 10 J, 2.96A.计算fcc 结构的H 2 的结合能［以KJ/mol 单位），每个氢分子可当做球形来处理.结合能的实验值为 0.751kJ / mo1，试与计算值比较.v 解〉 以H 2为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard — Jones 势相互作用,则晶体的总相互作用能为：U 2Ni12P 12 _ PjR .6P. 6 _ ijRjP .6 ij14.45392;iR j 12 12.13188,50 10 16 oerg,2.96 A, N 6.022 1023/moI.将R )代入U 得到平衡时的晶体总能量为12 6U 2 6。
022 1028/mol 50 10 16erg 12.1314.45 2963.163.16算得到的 出 晶体的结合能为 2. 55KJ /mol ，远大于实验观察值 0.75IKJ /mo1 .对于 出的晶体,量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大 差别的原因.v 解〉u(r) 4(―)12(―)6r rdu(r) 0r 06 2 A 126rrAbccu ( r 0 )bccA A fccu(r °)fcc(八丿/(八)A 12 A 12，U （r ）!N （4 ）人匸）12 A/6U o 害2AI212.252 /9.1120.95714.45 /12.13因此，计2.55KJ / mol.第三章固格振动与晶体的热学性质3.1、已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，nj a j Sin( j t_ naq j J ,j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
v解〉任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即n nj a j Sin( j t naq」j) (1)j j2 n* 2 * nj nj nj nj g nj j j j j j由于nj nj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。