2017大一第一学期期末高数A试卷及答案
2017级高数一期末A解答(理工类多学时)(1)
2017级本科高等数学A （一）期末试题解答与评分标准A（理工类多学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．数列极限2lim (1)n n n n →∞+-的值为（ B ）.A ．0；B ．12； C ．1； D ．∞. 2．若函数1cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ A ）. A . 12ab =； B . 12ab =-； C . 0ab =； D . 2ab =. 3．已知函数()sin f x x x =，则(0)f '的值为（ B ）. A ．1-； B ．0； C ．1； D ．不存在.4．已知函数32()26187f x x x x =---，则在[1,4]上的最大值为（ D ）. A . 3； B . 61-； C . 47-； D . 29-. 5．设2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ C ）.A ．222(1)x C -+； B ．222(1)x C --+；C ．221(1)2x C --+； D ．221(1)2x C -+. 6．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度为221x x ρ=-++，则该细棒的质量为（ A ）. A .53； B . 73； C . 1； D . 2. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．()6sin 0lim 13kxx x e →+=（其中k 为常数），则k =2.8. 曲线22ln y x x =+在拐点处的微分dy =4dx . 解：222222(1)(1)2ln 22x x y x x y x y x x x +-'''=+⇒=+⇒=-=， 22(1)(1)01,1x x y x x x+-''==⇒==-（舍），且1,0;1,0x y x y ''''>><<，所以，拐点为（1,1），此处的微分为112(2)4x x dy x dx dx x===+=9．322(sin)x x dx πππ-+-=⎰32π．10．20sin()x d x t dt dx-=⎰2sin x . 11．D 是曲线段sin (0)2y x x π=≤≤及直线0,2y x π==所围成的平面图形，则D 绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为24π.12．已知()y f x =的图像过点(0,0)，且与xy a =相切于点(1,2)，则10()xf x dx ''=⎰2ln 22-.解：因为()y f x =的图像过点(0,0)，所以，(0)0f =；而xy a =过点(1,2)，所以12a =，即2a =，曲线为2xy =，它在点(1,2)的切线的斜率为(1)2ln 2k y '==，又()y f x = x y a =相切于点(1,2)，所以(1)2f =，(1)2ln 2f '=，则1111100()()()()(1)()xf x dx xdf x xf x f x dx f f x ''''''==-=-⎰⎰⎰(1)(1)(0)2ln 22f f f '=-+=-三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13. 求极限20cos limarcsin 5x x t dtx→⎰.解：原式20cos =lim5x x t dt x→⎰ （3分）20cos lim 5x x →= （3分） =15（2分） 14. 已知曲线()y y x =由方程1yy xe =+确定，求该曲线在点(1,0)-处的切线方程. 解：方程两边关于x 求导得：y y y e xe y ''=+ （2分）1yydy e dx xe =- （2分）12dy dx =（-1,0) （2分）则过点(1,0)-的切线方程为：1(1)2y x =+，即21y x =+ . （2分） 15. 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，求22t d ydx =.解：cos 1tdy dy dt tdx dx dt e ==+ （3分） 2223sin (1)cos 1sin (1)cos ==(1)1(1)t t t t t t t d y t e e t t e e tdx e e e -+--+-⋅+++ （3分） 221=8t d y dx =- （2分）16. 求不定积分e x x dx -⎰.解：原式x xde -=-⎰x x xe e dx --=-+⎰（4分）xx xee C --=--+(1)x x e C -=-++ （4分）17. 求定积分1cos 2x dx π+⎰．解：1cos 2x dx π+⎰202cos xdx π=⎰222(cos cos )xdx xdx πππ=-⎰⎰ （4分）2022(sin sin )xx πππ=-22= （4分）18. 求反常积分25143dx x x +∞-+⎰．解：2551143(1)(3)dx dx x x x x +∞+∞=-+--⎰⎰ 5111()231dx x x +∞=---⎰ 513ln21x x +∞-=- （4分）ln 22=（4分） 19. 已知曲线2:(0)L y x x =≥，点(0,0)O ，点(0,1)A ．设P 是L 上的动点，S 是直线OA与直线AP 及曲线L 所围图形的面积．若P 运动到点(2,4)时沿x 轴正向的速度是4，求此 时S 关于时间t 的变化率．解：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则1(1)2y S ydy y y =+-⎰3211+62y y =31162x x =+， 或者22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰31126x x =+， （4分） 所以2()1122dS t dx dxxdt dt dt=+， （2分） 又(2,4)=4dx dt，故2(2,4)()11424=1022dS t dt=⋅+⋅⋅． （2分） 解法二：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰， （4分）22()1(3)2dS t dx dx dxx x dt dt dt dt=+-， （2分） 故(2,4)()1(4344)44=102dS t dt=+⋅⋅-⋅． （2分） 20. 设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．解：令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则 （2分）2()ln (1)2ln(1)2g x x x x '=+++-，2()[ln(1)]1g x x x x''=+-+， （2分） 又由拉格朗日中值定理有，ln(1)ln(1)ln11xx x x ξ+=+-=<+，(0,01)x x ξ<<<< （或者令()ln(1)h x x x =+-，用单调性证明()(0)0h x h <=．） 则()0,(0,1)g x x ''<∈，所以()g x '在(0,1)上单调减少， 又(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g ''<=，从而()g x 在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，故有22(1)ln (1)x x x ++<． （4分）。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试之巴公井开创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题， 每小题4分, 共16分） 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D)()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A)()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小;（C)()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）。
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; （D)函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B)222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= （D)()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小； （B)()()x x αβ与是等价无穷小;（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。
3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( ).（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值;（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim 。
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数。
大一上学期高数期末考试题
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)(总5页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题， 每小题4分， 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
(A)(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小;（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小; (D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值;（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m 。
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题,每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
2017级高数一期末A解答(理工类多学时)(1)
2017级本科高等数学A （一）期末试题解答与评分标准A（理工类多学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．数列极限2lim (1)n n n n →∞+-的值为（ B ）.A ．0；B ．12； C ．1； D ．∞. 2．若函数1cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ A ）. A . 12ab =； B . 12ab =-； C . 0ab =； D . 2ab =. 3．已知函数()sin f x x x =，则(0)f '的值为（ B ）. A ．1-； B ．0； C ．1； D ．不存在.4．已知函数32()26187f x x x x =---，则在[1,4]上的最大值为（ D ）. A . 3； B . 61-； C . 47-； D . 29-. 5．设2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ C ）.A ．222(1)x C -+； B ．222(1)x C --+；C ．221(1)2x C --+； D ．221(1)2x C -+. 6．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度为221x x ρ=-++，则该细棒的质量为（ A ）. A .53； B . 73； C . 1； D . 2. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．()6sin 0lim 13kxx x e →+=（其中k 为常数），则k =2.8. 曲线22ln y x x =+在拐点处的微分dy =4dx . 解：222222(1)(1)2ln 22x x y x x y x y x x x +-'''=+⇒=+⇒=-=， 22(1)(1)01,1x x y x x x+-''==⇒==-（舍），且1,0;1,0x y x y ''''>><<，所以，拐点为（1,1），此处的微分为112(2)4x x dy x dx dx x===+=9．322(sin)x x dx πππ-+-=⎰32π．10．20sin()x d x t dt dx-=⎰2sin x . 11．D 是曲线段sin (0)2y x x π=≤≤及直线0,2y x π==所围成的平面图形，则D 绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为24π.12．已知()y f x =的图像过点(0,0)，且与xy a =相切于点(1,2)，则10()xf x dx ''=⎰2ln 22-.解：因为()y f x =的图像过点(0,0)，所以，(0)0f =；而xy a =过点(1,2)，所以12a =，即2a =，曲线为2xy =，它在点(1,2)的切线的斜率为(1)2ln 2k y '==，又()y f x = x y a =相切于点(1,2)，所以(1)2f =，(1)2ln 2f '=，则1111100()()()()(1)()xf x dx xdf x xf x f x dx f f x ''''''==-=-⎰⎰⎰(1)(1)(0)2ln 22f f f '=-+=-三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13. 求极限20cos limarcsin 5x x t dtx→⎰.解：原式20cos =lim5x x t dt x→⎰ （3分）20cos lim 5x x →= （3分） =15（2分） 14. 已知曲线()y y x =由方程1yy xe =+确定，求该曲线在点(1,0)-处的切线方程. 解：方程两边关于x 求导得：y y y e xe y ''=+ （2分）1yydy e dx xe =- （2分）12dy dx =（-1,0) （2分）则过点(1,0)-的切线方程为：1(1)2y x =+，即21y x =+ . （2分） 15. 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，求22t d ydx =.解：cos 1tdy dy dt tdx dx dt e ==+ （3分） 2223sin (1)cos 1sin (1)cos ==(1)1(1)t t t t t t t d y t e e t t e e tdx e e e -+--+-⋅+++ （3分） 221=8t d y dx =- （2分）16. 求不定积分e x x dx -⎰.解：原式x xde -=-⎰x x xe e dx --=-+⎰（4分）xx xee C --=--+(1)x x e C -=-++ （4分）17. 求定积分1cos 2x dx π+⎰．解：1cos 2x dx π+⎰202cos xdx π=⎰222(cos cos )xdx xdx πππ=-⎰⎰ （4分）2022(sin sin )xx πππ=-22= （4分）18. 求反常积分25143dx x x +∞-+⎰．解：2551143(1)(3)dx dx x x x x +∞+∞=-+--⎰⎰ 5111()231dx x x +∞=---⎰ 513ln21x x +∞-=- （4分）ln 22=（4分） 19. 已知曲线2:(0)L y x x =≥，点(0,0)O ，点(0,1)A ．设P 是L 上的动点，S 是直线OA与直线AP 及曲线L 所围图形的面积．若P 运动到点(2,4)时沿x 轴正向的速度是4，求此 时S 关于时间t 的变化率．解：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则1(1)2y S ydy y y =+-⎰3211+62y y =31162x x =+， 或者22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰31126x x =+， （4分） 所以2()1122dS t dx dxxdt dt dt=+， （2分） 又(2,4)=4dx dt，故2(2,4)()11424=1022dS t dt=⋅+⋅⋅． （2分） 解法二：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰， （4分）22()1(3)2dS t dx dx dxx x dt dt dt dt=+-， （2分） 故(2,4)()1(4344)44=102dS t dt=+⋅⋅-⋅． （2分） 20. 设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．解：令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则 （2分）2()ln (1)2ln(1)2g x x x x '=+++-，2()[ln(1)]1g x x x x''=+-+， （2分） 又由拉格朗日中值定理有，ln(1)ln(1)ln11xx x x ξ+=+-=<+，(0,01)x x ξ<<<< （或者令()ln(1)h x x x =+-，用单调性证明()(0)0h x h <=．） 则()0,(0,1)g x x ''<∈，所以()g x '在(0,1)上单调减少， 又(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g ''<=，从而()g x 在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，故有22(1)ln (1)x x x ++<． （4分）。
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高等数学I
1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是
无穷小. (A) ()()x x βα+
(B) ()()x x 2
2βα+
(C)
[])()(1ln x x βα⋅+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1
（B ） e
（C ） a
e
cot （D ） a
e
tan
3.
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1
（B ） 0
（C ） e （D ） 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=
--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '
(C) )(a f ' （D ） )
(31
a f '
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限)
0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1.
6. 由x x y e y
x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x
xe ye x y
x xy
xy ln 2sin 2+++
- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直
线l 的方程为 13
1211--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解：1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x x
x x x x e e
x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=⎰，试求出)(x F ''。
解：
⎰⎰-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
⎰⎰=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()( )()(x f x F =''
11. 求
3
cos .sin x
x
dx x ⎰
解
：2
3c o s i
s i
x
x
d x -=-⎰⎰2
2
11s i
22
x x --=-
⎰
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
12. 求
⎰
-2
3
2
21
x x dx .
令
1x t =
⎰
--=21
2
322)1
(11
11dt t t t
原式
=-⎰d t
t 121
2
3
2
=arcsin t
12
3
2=
π
6
13. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）
22)1()1)(1(2x x x y ++-=' 322)1()3(4x x x y +--=
''
令0='y 得 x 1
= 1, x 2
= -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2
= -1是极小值点
极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y
0=''y 33
故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23
）
14. 求由曲线43
x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积. 解 :,,
x x x x x x 3
232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---⎰⎰()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 15. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧 A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ∆的面积最大.
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离 的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
235
132()
∆
S x x x x x ()()=
⋅⋅-++=-++12452352232
2
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()401 此时 所求点为，y =313()
另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使 解得所求点为∆ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()
,(),,(,)
002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题（本大题4分）
16. 设0x >，试证x x e x +<-1)1(2.
证明：设
0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，0)(,
0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，
+∞）内递减。
在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减，在（0，+∞）
内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x 亦即当 x >0时，
x x e x +<-1)1(2 试证x x e x +<-1)1(2.。