数学基础题训练

如果有什么事值得去做，就一定要把它做好.基础题训练49月28日 星期一1．已知b a ,为实数，则“1>>b a ”是“1111-<-b a ”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”及“充要”等）．2．已知方程22141x y m m +=--（m 是常数）表示曲线C ,给出下列命题： ①曲线C 不可能为圆； ②曲线C 不可能为抛物线；③若曲线C 为双曲线，则1m <或4m >； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则512m <<． 其中真命题的编号为 ．3．已知点A 是定圆M 所在平面上的一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中正确命题的序号是_________．（填上你认为所有正确命题的序号）4．（本小题满分13分）已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，ABC ∆的面积为S ，且S CB CA 23=⋅．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若6=c ，求ABC ∆周长的最大值．9月29日 星期二5．若关于x 的一元二次方程030112=++-a x x 的两根均大于5，则实数a 的取值范围是 ．6．设f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f （2）>1，f （2014）＝132+-a a ，则实数a 的取值范围是________．7．直线b x y +=与曲线29y x -=恰有一个公共点，则b 的取值范围是 ．8．ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,1)m =-，3(cos cos ,sin sin )2n B C B C =- ，且m n ⊥ ．（1）求A 的大小；（2）现在给出下列三个条件：①1a =；②2(31)0c b -+=；③45B =，试从中再选择两个条件以确定ABC ∆，求出所确定的ABC ∆的面积．9月30日 星期三9．已知22()1x f x x=+，111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++= ． 10．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有)(0)()(b a ba b f a f ≠>--，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．11．如果对任意一个三角形，只要它的三边都在函数的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为①是“和美型函数”.现有下列函数： ①； ②； ③()2xx ϕ=； ④.其中是“和美型函数”的函数序号为 . （写出所有正确的序号） 12．（13分）设函数2()ln a f x x x=+，32()3g x x x =--．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的121,,23x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有112()()x f x g x ⋅≥成立，试求实数a 的取值范围．,,a b c ()f x (),(),()f a f b f c ()f x ()f x x =()sin ,(0,)g x x x π=∈()ln ,[2,)h x x x =∈+∞如果有什么事值得去做，就一定要把它做好.10月1日（国庆节） 星期四13．已知函数()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()ln ()2f x x ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值为 ． 14．设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，对于任意,x D ∈都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2015型增函数”，则实数a 的取值范围是______．15．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,])x x π∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①3()32f π=； ②任意[0,]2x π∈，都有()()422f x f x ππ-++=；③任意1x ，2(,)2x ππ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-其中所有正确结论的序号是 ．16．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．xy A lO10月2日 星期五17．某同学在借助计算器求“方程lg 2x x =-的近似解（精确到0．1）”时，设()lg 2f x x x =-+，算得()()10,20f f <>；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 1.8x ≈． 那么他又取的x 的4个值分别依次是 ．18．平面上三点，向量||OA =3，||OB=2，设P 是线段AB 垂直平分线上一点，则()OP OA OB ⋅-的值为__________．19．若非零向量a ，b 满足+a b =-a b =2a ，则向量b 与+a b 的夹角为 ．20．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，E O ,分别BC BD ,的中点,2====BD CD CB CA ，2==AD AB ．（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．参考答案1．充分不必要 【解析】 试题分析：0111111>->-⇔-<-b a b a 或101-<<-b a 或110->->b a ，即1>>b a 或b a <<1或b a >>1，则“1>>b a ”是“1111-<-b a ”的 充分不必要条件.考点：1.不等式的解法；2.充分条件、必要条件. 2．②③④ 【解析】试题分析：对应①，当014>-=-m m 得25=m ，曲线C 表示的是圆，①错；对应②，方程11422=-+-m y m x 没有关于y x ,的一次项，故曲线C 不可能是抛物线，正确；对应③，若曲线C 为双曲线，()()014<--∴m m()()014>--∴m m 得4>m 或1<m ，③正确；对于④，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆， ⎪⎩⎪⎨⎧->->->-∴140104m m m m ，得251<<m ，正确；正确的编号是①②③． 考点：圆锥曲线的判断． 3．①②④⑥ 【解析】试题分析：分析定点A 与定圆M 的相对位置，有以下情形：1． 定点A 在定圆M 内，且A ，M 不重合，由于Q 是线段PA 的垂直平分线与直线PM 的交点，所以QA QP =，且QM QA PM MA +=>，即点Q 的轨迹是椭圆；2． 定点A 在定圆M 内，且A ，M 重合，Q 是PM 的中点，所以点Q 的轨迹是圆； 3． 定点A 在定圆M 上，由于PM MA =，所以线段PA 的垂直平分线交直线PM 于点M ，即点Q 的轨迹是一个点；4． 定点A 在定圆M 外，由于Q 是线段PA 的垂直平分线与直线PM 的交点，所以QA QP =，且QA QM PM -=，即点Q 的轨迹是双曲线的一支；综上知，正确命题的序号为①②④⑥．考点：1．曲线与方程；2．圆；3．圆锥曲线的定义． 4．（Ⅰ）∵△ABC 的面积为S ，且S CB CA 23=⋅ ∴C ab C ab sin 212cos 3⨯= ∴C C sin cos 3=，又∵ C 为三角形内角， ∴060=C ．（Ⅱ）解法1：由正弦定理得：622sin sin sin sin 3a b c A B C π====， ∵23A B π+=22sin 22sin a b A B ∴+=+ 222sin 22sin()3A A π=+-32sin 6cos A A =+26sin()6A π=+203A π<< ，5666A πππ∴<+<， 1sin 12A ∴<≤，从而26a b +≤．综上：63≤++c b a ． 解法2：由余弦定理2226c a b ab ==+-2()3a b ab =+-22231()()()44a b a b a b ≥+-+=+即2()24a b +≤，26a b +≤（当且仅当6a b ==时取到等号） 综上：63≤++c b a ．考点： 1．面积公式；2．正弦定理；3．余弦定理． 5．⎥⎦⎤ ⎝⎛410，设()21130f x x x a =-++，由题意得()0115250f ∆≥⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩代入整理得104a <≤6．321<<-a ()()()()21167132014-==+⨯=f f f f ，又是奇函数，所以()()122-<-=-f f ，即1132-<+-a a ，解得：321-<<a 考点：1．函数的周期性；2．奇函数；3．分数不等式的解法． 7．11≤<-b 或 2-=b试题分析：原题等价于直线b x y +=与右半圆29y x -=有一个交点问题．数形结合（如图）知，当直线位于1l与2l 之间或在直线3l （此时相切）时均有一个交点．可得，11≤<-b或 2-=b8．（I ）因为m n ⊥ ，所以3cos cos sin sin 02B C B C -+-=即：3cos cos sin sin 2B C B C -=-，所以3cos()2B C +=-因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=-所以3cos ,302A A == （Ⅱ）方案一:选择①②，可确定ABC ∆，因为30,1,2(31)0A a c b ==-+= 由余弦定理，得：222313131()2222b b b b ++=+-⋅⋅整理得：2622,2,2b bc +===所以1162131sin 222224ABC S bc A ∆++==⋅⋅⋅=3l 2l1l yx方案二:选择①③，可确定ABC ∆，因为30,1,45,105A a B C ====又62sin105sin(4560)sin 45cos60cos 45sin 604+=+=+=由正弦定理sin 1sin10562sin sin 302a C c A ⋅+===所以1162231sin 122224ABC S ac B ∆++==⋅⋅⋅=（选择②③不能确定三角形） 考点：1．向量数量积的坐标表示；2．正弦定理；3．余弦定理． 9．27 试题分析：由于22()1x f x x =+，因此2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以111111(1)(2)(3)(4)()()()(1)(2)()(3)()(4)()23423417322f f f f f f f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+=10．1--1+3∞⋃∞（，）（，）试题分析：由()()f x f x -=可得()f x 为偶函数，因为,(,0]a b ∈-∞时总有)(0)()(b a ba b f a f ≠>--所以()f x 在(],0-∞上单调递增，又()f x 为偶函数，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．()()()()1212f m f m fm f m +>∴+> ，即12m m +<，则()()()()22123110m m m m +<⇒+->，解得1--1+3m ∈∞⋃∞（，）（，）．考点：函数的单调性和奇偶性11．①④试题分析：①不妨设0a b c a b c <≤≤+>，，欲证明a b c +>,只需证明2a b ab c ++>成立，而此式显然成立，故①是和美型函数”； ②取55,,sin sin sin 266a b c a b c πππ===⇒=+，故②不是“和美型函数”③取2,2,3222c a b a b c ===⇒=+，故③不是“和美型函数”④设2a b c ≤≤≤，此时只需证lna lnb lnc +＞，即证lnab lnc ＞，即证ab c ＞，由题知a b c +＞，而111110ab a b ab a b a b ab a b c lna lnb lnc -+=--+-=---≥⇒≥+∴+（）（）（）＞，＞成立，即是“和美型函数”12．（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，23321()a x a f x x x x -'=-+=， 当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； 当a>0时，若2x a ≥，则()0f x '≥，函数()f x 单调递增；若02x a <<，则()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以，函数()f x 在区间(0,2)a 上单调递减，在区间(2,)a +∞上单调递增． （Ⅱ）22()323()3g x x x x x '=-=-，1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可见，当2,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥，()g x 在区间2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，()g x 在区间12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，而831()(2)1327g g =-<=，所以，()g x 在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，依题意，只需当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1xf x ≥恒成立，即ln 1a x x x+≥恒成立，亦即2ln a x x x ≥-；令21()ln (,2)3h x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()12ln h x x x x '=--，显然(1)0h '=，当)1,13x ⎡∈⎢⎣时，10x ->，ln 0x x <，()0h x '>，即()h x 在区间)1,13⎡⎢⎣上单调递增；当(]1,2x ∈时，10x -<，ln 0x x >，()0h x '<，(]1,2上单调递减； 所以，当x=1时，函数()h x 取得最大值(1)1h =， 故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞ 13．1．14．20156a <由题意得：2,0()0,02,0x a a x f x x x a a x ⎧-->⎪==⎨⎪-++<⎩，因此①当x >时，(2015)()|20f x f x x a x a +>⇒+--->，从而201520150,22a a a -+<< ②当0x <时，若20150x +<时，则(2015)()|2015|||0f x f x x a x a +>⇒++-+<，从而201520152015,22a a a --->-<③当0x <时，若20150x +>时，则(2015)()|2015|||4f x f x x a x a a +>⇒+-++>，|2015||||22015|x a x a a +-++≥-从而|22015|4a a ->解得201506a a <≤<或0，即20156a <④当0x =时，(2015)()|2015|20f x f x a a +>⇒-->解得20153a <，⑤当2015x =-时，(2015)()|2015|20f x f x a a +>⇒-->解得20153a <，综上20156a <考点：新定义 15．①②． 【解析】试题分析：①：如图，当3AOP π∠=时，OP 与AD 相交于点M ，∵1AO =，则3AM =，∴13()13322f π=⨯⨯=，∴①正确；②：由于对称性，()()22f x f x ππ-++恰好是正方形的面积， ∴()()422f x f x ππ-++=，∴②正确；③：显然()f x 是增函数，∴1212()()0f x f x x x ->-，∴③错误．考点：函数性质的运用．16．（1）由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为（3,2）,∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x（2）解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为（a,2a-4）则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为（x,y ）则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由08852≥+-a a 得R x ∈ 由01252≤-a a 得5120≤≤x终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 考点：1．求轨迹方程；2．求圆的方程；3．圆与圆的位置关系 17．1．5， 1．75， 1．875， 1．8125 18．25 19．6π20．试题解析：（Ⅰ）证明：连结OC,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥Q ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥Q在AOC ∆中，由已知可得1, 3.AO CO ==而2,AC =222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ABMDEOC,BD OC O =Q IAO ∴⊥平面BCD（Ⅱ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中，121,1,222EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==2cos ,4OEM ∴∠= （Ⅲ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h,11....33E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=Q在ACD ∆中，2,2,CA CD AD ===2212722().222ACD S ∆∴=⨯⨯-=而21331,2,242CDE AO S ∆==⨯⨯= 31.212.772CDEACDAO S h S ∆∆⨯∴===∴点E 到平面ACD 的距离为21.7。