(完整版)三角代换公式
高中数学三角函数代换公式大集锦
高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
高中数学三角函数代换公式大集锦
高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
(完整版)三角恒等变换公式大全,推荐文档
三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
【超全】三角变换公式大全打印版
常用三角不等式 1. 若 x (0,3)，贝V sinx x tanx 2. 若 x (0,3)，则 1 si nx cosx .2 三角变换知识点总结2. cos(3. tan(二倍角公式1.si n2)cos cos msin sin tan tan)1 mtan tan2sin cos同角三角函数关系 cot11. 倒数关系：sin csc 1， cos sec1， tan sin cos 2. 商数关系：tan ，cotcossin3. 平方关系：・2 2, 2 2/ , 22sin cos 1，1 tan sec ， 1 cot csc3. |sinx| | cos x | 1 简单三角方程的解 2. 3. cos2 2cossin 222cos1 1 2si n 22ta n 1 tan 2二倍角的余弦公式（）有以下常用变形:tan 2（规律:降序扩角，升幕缩角）21 cos2 2coscos22 sin 221 sin2 (sin cos )sin 2 (sin cos )21. sin sin k (1)k(k Z)2. cos cos 2k (kZ)3. tan tan k(k Z)两角和与差的公式 tan1. sin( )sin cos cos sin21 cos2cos ----------------1 cos2 sin 2sin 21 sin 2sin 2 1 cos2三角函数降幕公式1 . c 1. sin cos sin221.2 1 cos2 2. sin 22 1 cos23. cos 2三倍角公式 1. sin3 3s in 4si n 3 3 2. cos3 4cos 3cos 4si n si n()si n()33 4cos cos( )cos( )3 37. tan —2cos cossin 1 cos1 cos sin3. ta n3半角公式 1. sin 233ta n tan1 3tan2 tan tan (—3注：符号的选择由 一所在的象限确定 2万能公式2ta n1. si n2 ------------- 亍1 tan1 tan2 2. cos 2厂1 tan3. ta n2万能公式形式2ta n 1 tan 22：iSf =tan — ’72. cos —21 cos :2 3. ・2 sin 一1 cos224. 21 coscos2 2 5. 1 cos2sin 2 —2 6. 1 cos2cos 2 -2(I ) (3)2/sm a -i2 1 十T】+ tcin —’ 2 a 1-伽-| jcos a = ------------ - = ------ -1+tan 3^ l+r2lana =2t4和差化积公式1.sin sin 2si ncos22 2.sinsin2cossin22 3.coscos2 coscos224.cos cos 2si nsin2 2了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式:1.sin cos -sin( 2 )sin( ) 2. cossin1 si n(2 )sin()3. cos cos -cos( 2)cos( )4.sin sin-cos( 2)cos( )可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用 辅助角公式sin sin ------2sincos ----2 2 cos sin 2 a sinbsi na 2b 2 a sinb cos 2 2 a bsin sin ----- 2 sincos ----2 2cos — 2sina 2b 2 sin( )其中辅助角与点（a,b ）在同一象限，且ta na两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
(完整版)三角恒等变换公式
三角恒等变换公式及其证明一、 两角和、差的三角函数公式（1）cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ……………………………………………………①证明：利用三角函数线证明.（详见课本必修4 P125）cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β ………………………………………………………② 证明：cos （α＋β）＝cos [α－（－β）]＝cos αcos （－β）＋sin αsin （－β）＝cos αcos β－sin αsin β.例：求cos 105°.解：cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×2－2×2＝4. （2）sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ……………………………………………………③证明：sin （α＋β）＝cos ＝cos ＝cos cos β＋sin sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ………………………………………………………④ 证明：sin （α－β）＝sin [α＋（－β）]＝sin αcos （－β）＋cos αsin （－β）＝sin αcos β－cos αsin β.（3）tan （α＋β）＝tan tan 1tan tan αβαβ＋－ …………………………………………………………⑤ 证明：tan （α＋β）＝sin()cos()αβαβ＋＋＝sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ＋－ ＝tan tan 1tan tan αβαβ＋－. tan （α－β）＝tan tan 1tan tan αβαβ－＋ ……………………………………………………………⑥ 证明：tan （α－β）＝tan [α＋（－β）]＝tan tan()1tan tan()αβαβ＋－－－＝tan tan 1tan tan αβαβ－＋. [ ] π2－（α＋β） [ （ ） ] π2－α －β （ ） π2－α （ ）π2－α二、 二倍角公式（1）cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α ……………………………………………………………………⑦证明：cos 2α＝cos （α＋α）＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2 α－sin 2 α.（2）sin 2α＝2sin αcos α …………………………………………………………………………⑧证明：sin 2α＝sin （α＋α）＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α.（3）tan 2α＝22tan 1tan αα－ ………………………………………………………………………⑨ 证明：tan 2α＝tan （α＋α）＝tan tan 1tan tan αααα＋－＝22tan 1tan αα－. 变式：公式⑦变式：cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝（1－sin 2 α）－sin 2 α＝1－2sin 2 α ……………………………⑩＝cos 2 α－（1－cos 2 α）＝2cos 2 α－1 ……………………………○11公式⑩变式：cos 2α＝1－2sin 2 α2sin 2 α＝1－cos 2αsin 2 α＝1cos 22α－. ○12 公式○11变式：cos 2α＝2cos 2 α－12cos 2 α＝cos 2α＋1cos 2 α＝cos 212α＋. ○13 公式○12和○13合称降幂公式.公式○12变式：sin 2α………………………………………………○14 证明： sin 2 α＝1cos 22α－ sin 2 2α＝1cos 2α－sin2α公式○13变式：cos 2α………………………………………………○15 证明： cos 2 α＝cos 212α＋cos 2 2α＝cos 12α＋ cos2α公式○14和○15合称半角公式. 三、 辅助角公式a sin x ±b cos x（x ±ϕ），其中tanϕ＝b a . …………………………○16 证明：（如图）a sin x ±b cos xsin xxsin x cos ϕ±cos x sin ϕ）（x ±ϕ）.）。
三角恒等变换的所有公式及其推导公式
三角恒等变换的所有公式及其推导公式三角恒等变换是指对于任意角度x，存在一系列等价的三角函数表达式。
这些等价的表达式可以通过一些特定的关系来推导出来。
下面将介绍一些常见的三角恒等变换公式及其推导过程。
1. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))推导过程：对于sin(2x)，可以利用三角函数的加法公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，将A=B=x代入得到：sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)对于cos(2x)，可以利用cos(2x)=cos^2(x) - sin^2(x)得到：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)对于tan(2x)，可以利用tan(2x) = sin(2x) / cos(2x)得到：tan(2x) = 2sin(x)cos(x) / (1 - 2sin^2(x)) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))2. 和差公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：对于sin(A+B)，可以利用sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB得到：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB对于sin(A-B)，可以利用sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB得到：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB对于cos(A+B)，可以利用cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB得到：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB对于cos(A-B)，可以利用cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB得到：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB3. 万能公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 11 + tan^2(x) = sec^2(x)1 + cot^2(x) = csc^2(x)推导过程：对于sin^2(x) + cos^2(x)，可以利用三角函数的平方和公式sin^2(x) + cos^2(x) = 1得到：sin^2(x) + cos^2(x) = 1对于1 + tan^2(x)，可以利用tan^2(x) + 1 = sec^2(x)得到：1 + tan^2(x) = sec^2(x)对于1 + cot^2(x)，可以利用cot^2(x) + 1 = csc^2(x)得到：1 + cot^2(x) = csc^2(x)通过以上的公式及其推导过程，我们可以在三角函数的计算中灵活运用，简化计算过程，提高计算的准确性和效率。
【超全】三角变换公式大全 打印版
三角变换知识点总结常用三角不等式 1. 若(0,)2x π∈，则sin tan x x x << 2. 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤3. |sin ||cos |1x x +≥同角三角函数关系1. 倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα2. 商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =3. 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+简单三角方程的解1. sin sin (1)()kk k Z αβαπβ=⇔=+-∈ 2. cos cos 2()k k Z αβαπβ=⇔=±∈ 3. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇔=+∈ 两角和与差的公式1. sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=⋅±⋅2. cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=⋅⋅3. tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=⋅二倍角公式1. αααcos sin 22sin =2. ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ------)(* 3. ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降序扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)c o s (s i n 2s i n 1ααα-=-三角函数降幂公式 1. 1sin cos sin 22ααα=2. 21cos2sin 2αα-=3. 21cos 2cos 2αα+=三倍角公式1. 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+ 2. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+ 3. 323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+- 半角公式1.sin 2α=2.cos 2α=3. 21cos sin22αθ-=4. 21cos cos 22αθ+= 5. 21cos 2sin2θθ-= 6. 21cos 2cos2θθ+=7.sin 1cos tan21cos sin θθθθθ-===+注：符号的选择由2θ所在的象限确定 万能公式 1. ααα2tan 1tan 22sin +=2. ααα22tan 1tan 12cos +-=3. ααα2tan 1tan 22tan -=万能公式形式2：和差化积公式1. 2cos 2sin2sin sin βαβαβα-+=+2. 2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-3. 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ 4. 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：2sin 2cos 2cos 2sin22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
三角恒等变换的万能公式
三角恒等变换的万能公式在我们的数学世界里，三角恒等变换的万能公式就像是一把神奇的钥匙，能够打开许多看似复杂的数学难题之门。
记得当年我在教学生们三角恒等变换的时候，有一个叫小李的同学，他总是对这些公式感到头疼。
每次上课，他那迷茫的眼神仿佛在说：“这都是啥呀？”那咱们就先来聊聊这万能公式到底是啥。
万能公式包括三个，分别是：sinα = 2tan(α/2) / [1 + tan²(α/2)] ；cosα = [1 - tan²(α/2)] / [1 +tan²(α/2)] ；tanα = 2tan(α/2) / [1 - tan²(α/2)] 。
看着这些公式，是不是感觉有点眼花缭乱？别慌，咱们一个一个来。
先来说说sinα 的万能公式。
你看，它把正弦函数用正切函数的半角形式表示出来了。
这就好像是把一个神秘的家伙用另一种熟悉的面貌展现了出来。
再看看cosα 的万能公式，分子分母都有正切函数的平方。
这就像是一个精心设计的拼图，每个部分都有它的位置和作用。
最后是tanα 的万能公式，它把正切函数用正切函数的半角形式表示，是不是感觉很巧妙？回到小李同学，我发现他的问题在于只是死记硬背这些公式，而没有真正理解它们的来龙去脉。
于是，我给他举了一个实际的例子。
假设我们有一个三角形，其中一个角是α，我们知道这个角的一半的正切值，那么通过万能公式，我们就可以求出这个角的正弦、余弦和正切值。
这就像是我们有了一把神奇的尺子，可以量出这个角的各种“尺寸”。
在之后的练习中，小李开始尝试着去理解公式，而不是单纯地记忆。
慢慢地，他不再那么迷茫，眼中也有了自信的光芒。
其实，三角恒等变换的万能公式在解决很多数学问题时都特别有用。
比如说，在求三角函数的最值、化简复杂的三角函数表达式时，这些公式就像我们的得力助手，能够帮我们轻松搞定难题。
比如说，有这样一道题：已知sinα = 3/5 ，且α在第二象限，求cosα 和tanα 的值。
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三角代换公式
常用的三角代换可以总结为以下几种： 1. 代数问题中的三角代换
（1）对于1≤x ，可做代换ϕsin =x ，或ϕcos =x ；对于1≥x ，可做代换ϕsec =x ，或ϕcsc =x ；对于R x ∈，可做代换ϕtan =x ，或ϕcot =x .
（2）形如()()∞+∈=+,0,,a y x a y x ，可作代换ϕϕ2
2
cos ,sin a y a x ==；形如
()()0,,0,≠∞+∈=-a y x a y x ，可作代换ϕϕ22tan ,sec a y a x ==.
（3）形如2
2
2
a
y x =+，可作代换ϕϕcos ,sin a y a x ==；形如2
22a
y x =-，可作代
换ϕϕtan ,sec a y a x ==. （4）形如()()∞+∈=+,0,,3
3
3
a y x a
y x ，可作代换ϕϕ3
232cos ,sin a y a x ==.
（5）形如()()∞+∈≤+,0,1y x y x ，可作代换()
1cos ,sin 2
222≤==r r y r x ϕϕ；形如
()()∞+∈≥+,0,1y x y x ，可作代换()1cos ,sin 2222≥==r r y r x ϕϕ.
（6）形如12
2
≤+y x ，可作代换()
1cos ,sin ≤==r r y r x ϕϕ；形如12
2≥+y x ，可作代换()
1cos ,sin ≥==r r y r x ϕϕ.
（7）形如x -1可作代换ϕ2sin =x ，或ϕ2
cos =x ；形如
22a x +，可作代换
ϕtan a x =；形如22a x -，可作代换ϕsec a x =，或ϕcsc a x =；形如22x a -，可
作代换ϕsin a x =，或ϕcos a x =.
（8）形如2
22211,12,12x x x x x x +-+-，可作代换ϕtan =x ，或ϕ
cot =x ；形如xy y
x xy y x -++-1,1，可作代换βαtan ,tan ==y x .
（9）形如xyz z y x =++，可作代换γβαtan ,tan ,tan ===z y x （其中
Z ∈=++n n ,πγβα）.
（10）形如1=++zx yz xy ，可作代换2
tan
,2
tan
,2
tan
γ
β
α
===z y x （其中
()Z ∈+=++n n ,12πγβα）.
上述各种代换 ，是三角代换中带有规律性的东西，恰当地运用这些规律，有助于熟悉三角代换的技能，减少代换的盲目性，提高解题的成功率.
2. 直角三角形中的三角代换
设在RT ∆ABC 中，
90=∠C ，则a
b
A b a A c b A c a A ====
cot ,tan ,cos ,sin ，通过构造直角三角形可实施边角转换. 从而把有关角（或边）的问题转化为边（或角）的问题来
处理.
3. 长方体内的三角代换
设c b a ,
,为长方体的三边长，过同一顶点的三条棱和过该点的对角线的夹角为
γβα,,（γβα,,均为锐角）
，则称下列代换为长方体内的三角代换. c b a c
c b a b c b a a ++=
++=++=
γβαcos ,cos ,cos ， c
b a b
a c
b a a
c c b a c b +++=
+++=+++=
γβαsin ,sin ,sin . 显然，2sin sin sin ,1cos cos cos 2
2
2
2
2
2
=++=++γβαγβα.
4. 球面上的三角代换
球心为原点()0,0O ，半径为R 的球的方程为2
2
2
2
R z y x =++. 可作代换：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧===πϕπθϕθϕθϕ020cos sin sin cos sin R z R y R x . 若z y x ,,满足2
2
2
2
R z y x ≤++，则可作代换：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤≤≤≤≤⎪⎩⎪
⎨⎧===πϕπθϕθϕθ
ϕ0200cos sin sin cos sin R r r z r y r x .。