上海市闵行区闵行中学2019-2020年高一上学期期中考试 数学(含解析)

上海市闵行区闵行中学2019-2020年高一上学期期中考试数学一.填空题1.已知集合{}1,0,1,2P =-，集合{}1,2,3,4Q =，则P Q ⋂= ；【答案】{}1,2。

【解析】交集就是由两个集合的公共元素组成的集合。

2.已知集合2{1,1,4}M m m =++，如果5M ∈且2M -∉，那么m =________【答案】4或1或1-【解析】【分析】根据元素与集合的关系,可得关于m 的方程,解方程且满足5M ∈且2M -∉,即可求得m 的值。

【详解】集合2{1,1,4}M m m =++,5M ∈且2M -∉所以若15m +=,解得4m =若245m ,解得1m =±所以m 的值为4或1或1-故答案为: 4或1或1-【点睛】本题考查了元素与集合的关系,根据元素属于集合求参数,属于基础题.3.已知21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(3)f =________ 【答案】1-【解析】【分析】根据分段函数的定义域,代入即可求得(3)f 的值. 【详解】因为21(1)()x x f x -<⎧=⎨所以(3)(2)(1)f f f ==(0)1f ==-故答案为:1-【点睛】本题考查了求分段函数的值,注意自变量的取值范围,属于基础题.4.若关于x 的不等式0x b x a -<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5【解析】【分析】根据不等式与方程的关系,将不等式转化为方程,求得a b 、的值,即可求得+a b 的值. 【详解】因为不等式0x b x a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解所以2,3b a ==或2,3a b ==则5a b +=故答案为:5【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,根据不等式的解集求参数,属于基础题.5.函数13y x x =-+________【答案】1{|}3x x ≤≤-【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件,即可求得函数的定义域. 【详解】函数13y x x =-+所以满足1030x x -≥⎧⎨+≥⎩解不等式可得31x -≤≤ 所以函数13y x x =-+{}3|1x x -≤≤故答案为: {}3|1x x -≤≤【点睛】本题考查了函数定义域的求法,注意二次根式有意义的条件,属于基础题.6.“2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个”的________条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）【答案】充分不必要【解析】【分析】将2a =代入函数解析式, 画出函数图像,根据交点个数即可判断是否有4个子集;根据有有4个子集,可知两个函数有2个交点,即可求得a 的取值范围,进而判断充分必要性.【详解】当2a =时,集合为{(,)|2}x y y x =+,{(,)|2||}x y y x =,画出两个函数图像如下图所示:由图像可知, 2y x =+与2y x =有2个交点,所以{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=有两个元素.则有4个子集,所以是充分性若集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个,则两个函数必有2个交点,满足条件的得a 的取值范围为1a >,所以是非必要性综上可知, “2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个”的充分不必要条件故答案为: 充分不必要【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,注意问题最后不是求的交点个数,而是交集的子集个数,属于中档题.7.如果2属于关于x 的不等式2(21)(1)0x k x k k -+++<的解集，则实数k 的取值范围是________【答案】(1,2)【解析】分析】将不等式因式分解后,求得解集,由元素与集合的关系即可求得实数k 的取值范围.【详解】因为2(21)(1)0x k x k k -+++<即()1()0x k x k -+-<⎡⎤⎣⎦所以不等式的解集为1k x k <<+因为()2,1k k ∈+所以212k k <⎧⎨+>⎩,解不等式组可得12k << 故答案为:(1,2)【点睛】本题考查了含参数一元二次不等式的解法,元素与集合的关系,属于基础题.8.任意两个正整数x 、y ，定义某种运算⊗：()()x y x y x y x y x y +⎧⊗=⎨⨯⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 中元素的个数是________【答案】9【解析】【分析】根据正整数的奇偶,讨论x y 、的不同取值情况:若一奇一偶,则取6xy =;若都是奇数或都是偶数,则取6x y +=,列举出所有可能即可.【详解】集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N若x y 、一奇一偶,则取6xy =,此时所有个数为16x y =⎧⎨=⎩,23x y =⎧⎨=⎩,32x y =⎧⎨=⎩,61x y =⎧⎨=⎩,此时(),x y 共有4个; 若x y 、都是偶数,则取6x y +=,此时所有个数为24x y =⎧⎨=⎩,42x y =⎧⎨=⎩,此时共(),x y 有2个; 若x y 、都是奇数,则取6x y +=,此时所有个数为15x y =⎧⎨=⎩,33x y =⎧⎨=⎩, 51x y =⎧⎨=⎩此时(),x y 共有3个; 综上可知,满足条件的元素共有9个.故答案为:9【点睛】本题考查了新定义运算与集合的综合应用,注意分析题意并正确理解新定义是解决此类问题的关键,属于中档题.9.已知直角三角形的面积为2，则它的周长的最小值为________【答案】422+【解析】【分析】设出直角三角形的两条边长,根据面积用一条边表示出另外一条边长,即可表示出周长,结合基本不等式即可求得最小值.【详解】设直角三角形的两条边长分别为a 、b , 则122ab =,即4ab =,22a b +所以周长为22l a b a b =++ 由基本不等式可知22l a b a b =++22ab ab ≥824422≥=+当且仅当a b =时取等号 所以周长的最小值为422+故答案为: 422+【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用,积定求和的最小值,属于中档题.10.若函数2()1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_______.【答案】04a ≤<【解析】210ax ax ++> 对于x ∈R 恒成立，当0a = 时，10> 恒成立；当0a ≠时，200440a a a a >⎧⇒<<⎨∆=->⎩，综上04a ≤< .11.若关于x 的不等式|2||1|x x a -≥++的解集不是∅，则实数a 的最大值是________【答案】3【解析】将不等式变形,并构造函数()21f x x x =--+,对x分类讨论,求得不同x 取值范围内解析式.画出函数图像,并根据图像求得a 的取值范围.【详解】不等式21x x a -≥++ 变形为21x x a --+≥构造函数()21f x x x =--+当1x <-时, ()()()213f x x x =--++=当12x -≤≤时, ()()()2121f x x x x =---+=-+当2x >时, ()()()213f x x x =--+=-即()3213f x x ⎧⎪=-+⎨⎪-⎩1122x x x <--≤≤>,画出函数图像如下图所示:因为()21f x x x a =--+≥不是空集,即()21f x x x a =--+≥有解所以从图像可知, 3a ≤即实数a 的最大值是3故答案为:3【点睛】本题考查了分类讨论绝对值不等式相关问题,将不等式转化为函数,结合图像来分析参数取值是常用方法,属于基础题.12.已知有限集12{,,,}(2,)n A a a a n n =⋅⋅⋅≥∈N ，如果A 中元素(1,2,,)i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，就称A 为“完美集”.①集合{1,3,13}---+不是“完美集”；②若1a 、2a 是两个不同的正数，且12{,}a a 是“完美集”，则1a 、2a 至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④若i a ∈*N ，则“完美集”A 有且只有一个，且3n =；其中正确的结论是________(填上你认为正确的所有结论的序号)【答案】②③④【解析】【分析】 对于①,根据定义检验((1,313--+-+与((1,313--⨯-是否相等即可.对于②根据韦达定理即可判断是否正确.对于③根据②可知,二元完美集可以看成一元二次方程对应的两个根,所以有无数组.对于④,检验当3n =时,求得完美集的个数;同时检验当4n ≥时不存在完美集即可.【详解】对于①, 根据定义.则((1,3132--+-=-,((1,3132-⨯-+=- 则()(((1,3131,313--+-=-⨯-+,所以集合{1,3,13}---+是“完美集”,则①错误; 对于②,设12120a a a a t +==>,由韦达定理可知 12,a a 可以看成一元二次方程20x tx t -+=则240t t ∆=->,解得4t >或0t <(舍)即124a a >,所以至少有一个大于2,所以②正确;对于③,根据②可知一元二次方程20x tx t -+=当t 取不同值时, 12,a a 的值是不同的.而4t >有无穷多个值,因而二元“完美集”有无穷多个,所以③正确;对于④,设123n a a a a <<⋅⋅⋅< ,则123123n n n a a a a a a a a na ⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+<所以1231n a a a a n -⋅⋅⋅<所以当3n =时, 123a a <因为a ∈*N所以只能是121,2a a ==,由123123a a a a a a =++代入解得33a =,所以此时完美集只有一个为{}1,2,3,所以④正确;故答案为: ②③④【点睛】本题考查了元素与集合的关系,正确理解题意解决问题的关键,对理解能能力和分析解决问题能力要求较高,属于难题.二.选择题13.“12019x y >⎧⎨>⎩”是“20202019x y xy +>⎧⎨>⎩”的（ ）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】根据不等式及运算即可判断充分性,由特殊值即可判断非必要性.【详解】若12019x y >⎧⎨>⎩,则不等式左右两边分别相加,可得2020x y +> 两边分别相乘可得2019xy >,所以是充分条件若100000.9x y =⎧⎨=⎩,满足不等式组20202019x y xy +>⎧⎨>⎩成立,但12019x y >⎧⎨>⎩不成立,所以不是必要条件 综上可知, “12019x y >⎧⎨>⎩”是“20202019x y xy +>⎧⎨>⎩”的充分不必要条件 故选:A 【点睛】本题考查了不等式的基本性质,注意特殊值法在判断中的应用,属于基础题.14.下列四个图象中，是函数图象的是( )A. (1)B. (1)(3)(4)C. (1)(2)(3)D. (3)(4)【答案】B【详解】试题分析：根据函数的定义，对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对．故选：B考点：函数的概念．15.下列结论正确的是（ ）A. 命题“若a b <，则a c b c +<+”为假命题B. 命题“若x A B ∈，则x B ∈”的否命题为假命题C. 命题“若0mn <，则方程20mx x n -+=有实根”的逆命题为真命题D. 命题“若05x <<，则|2|3x -<”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质,可判断A;根据集合关系及否命题定义,可判断B;根据方程有实数根的条件,即可判断C;逆否命题与原命题真假一致,所以判断原命题的真假即可判断D. 【详解】对于A,由不等式性质”不等式两边同时加上或减去同一个数,不等号方向不变”可知A 为真命题,所以A 错误; 对于B,命题的否命题为 “若x A B ∉,则x B ∉”,根据集合关系可知命题为真命题,所以B 错误; 对于C,逆命题为 “若方程20mx x n -+=有实根,则0mn <”,根据方程有实数根,140mn ∆=-≥,可得14mn ≤,所以为假命题,C 错误; 对于D,当05x <<时,不等式|2|3x -<成立所以命题为真命题.而逆否命题与原命题真假一致,所以逆否命题也为真命题,所以D 正确. 故选:D 【点睛】本题考查了原命题、逆命题、否命题及逆否命题间的关系,命题真假的判断,属于基础题。