二次函数的图象与性质 中考考点梳理(全)
2024 河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质 (讲义)
2024河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质(讲义）考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式探究问题202223解答题10（1）抛物线对称轴、最值、图象上点的坐标；（2）函数图象平移特点：点坐标的平移、两点间最短距离定抛物线性质探究：(1)求抛物线对称轴，最值，另一点横坐标；(2)求平移的最短距离点移动最小距离20212510（1）已知抛物线与x轴交点、与直线y=a的交点问题；（2）二次项系数a决定抛物线形状，最大值决定a＜0，顶点式中k的值，顶点式求抛物线解析式；（3）抛物线与动线段交点问题定抛物线性质探究：(1)求点横坐标，画y轴，指出点所落的台阶(2)求抛物线解析式，求对称轴(3)求横坐标最大值与最小值的差点横坐标最大值与最小值的差20192612（1）平行于坐标轴的直线、抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线对称轴与x轴交点坐标的关系；（2）直线下方的图象的函数值小于直线对应的函数值，二次函数性质求最大值；（3）平均数→中点，函数图象上点的性质；（4）直线与抛物线交点个数问题含参抛物线（y=-x2+bx）性质探究：(1)求直线、对称轴、交点坐标(2)求点与直线距离最大值(3)求两点间距离(4)求“美点”的个数美点的个数20162612（1）反比例函数k的几何意义；（2）抛物线与x轴交点坐标，对称轴；（3）二次函数性质求最值，分类讨论思想；（4）反比例函数图象与抛物线交点问题含参抛物线（y=-12(x-t)(x-t+4)）性质探究：(1)求反比例函数k的值(2)求两点间距离，两直线间距离(3)求最高点坐标(4)求参数取值范围抛物线与双曲线交点问题20152511（1）求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标；（2）抛物线与y轴交点坐标，二次函数性质求最值，二次函数增减性；（3）抛物线与线段交点问题（x轴），分类讨论思想含参抛物线（y=-(x-h)2+1）性质探究：(1)求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标(2)求点纵坐标最大值，比较两点纵坐标大小(3)求参数h值抛物线与线段交点问题典例精讲例(2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.例题图(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在直线AB下方的抛物线上，求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；(3)若将原抛物线沿x轴平移，得到新抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新抛物线与线段AB 恰好有一个交点，求n的取值范围．(4)若原抛物线沿y轴平移，平移后的抛物线顶点恰好落在直线AB上，且交另一点为F，求平移的距离，点F的坐标.选题依据：此题考查学生对二次函数图象、对称轴、顶点坐标，平移，抛物线与直线交点问题，同时考查学生分类讨论和数形结合思想方法总结知识点：待定系数法求解析式、二次函数取值范围、图象开口、增减性、对称轴、顶点坐标、平移后的二次函数解析式解题方法：对称轴：①解析式已知，直接代入x=－2；②已知抛物线与x轴两交点，直接代入x=x+y2顶点坐标：①一般式：代入顶点坐标公式；②顶点式：直接得到顶点坐标；③交点式：化为顶点式求点与点、点与直线、直线与直线之间距离，先求得点坐标或直线解析式，通过横坐标或纵坐标间距离求得1.平移的特点：①二次函数图象的平移不改变开口大小（形状）；②实质是图象上点的平移，可根据图象上任意一对对应点，即可确定平移方式，通常通过顶点来确定；2.抛物线中交点问题通常有：判断交点个数，通过交点个数求参数，抛物线与线段交点问题等，通常都是联立函数关系式，求二元一次方程组的解得以解决，在此类问题中通常会融合“整点”问题，选择满足“整点”的点即可；3.判断点是否在抛物线内问题：主要是利用极限思想，分类讨论思想，选择取值范围的两端点的x值分别代入求解即可.练习(2022河北预测卷)如图，抛物线y＝－12x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.练习题图(1)当k＝－1时．①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标；②当－2≤x≤1时，求抛物线的最大值与最小值的差；(2)直线L：y＝6交y轴于点C，交抛物线于点M，N(M在N的左侧).当x≤12k时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，请直接写出此时k的值．练习1(2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.练习题图(1)求抛物线B－C－D的解析式及线段AB的长；(2)求抛物线D－E－F的解析式，当小车(看成点)沿滑道从A运动到F的过程中，小车距离x 轴的垂直距离为2.5时，它到出发点A的水平距离是多少？(3)现在需要对滑道E－F部分进行加固，过E作支架EK⊥x轴于点K，然后建造如图所示的水平支架PS和竖直支架PM.求所有支架(虚线部分)长度之和L的最大值及此时点M的坐标．练习2(2022河北逆袭诊断卷)如图，在平面直角坐标系中，直线l1∶y＝－12x＋2与坐标轴交于A，B两点，与抛物线l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，过抛物线的顶点P向x轴作垂线，交直线l1于点Q.(1)当m＝1时，求抛物线的解析式及点P的坐标；(2)若点Q的横、纵坐标都不小于0，当线段PQ取得最小值时，求△PCD的面积；(3)当抛物线与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．练习2题图答案典例精讲例解：(1)∵直线y＝x＋2经过点A，且点A在y轴上，∴点A横坐标为0，将x＝0代入解析式y＝x＋2中，解得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)，∵直线y＝x＋2经过点B，点B的横坐标是4，∴将x＝4代入解析式y＝x＋2中，得y＝6，∴点B的坐标为(4，6).∴将点A(0，2)，点B(4，6)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，得＝2，16＋4＋＝6，得＝－3，＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2；(2)由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2，∴点P坐标为(m，m2－3m＋2)，∵PC⊥x轴交AB于点C，∴点C的坐标为(m，m＋2)，∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∵－1＜0，0＜m＜4，∴当m＝2时，PC有最大值，最大值为4，此时点P坐标为(2，0)；(3)由(1)得，抛物线解析式为y＝x2－3x＋2＝(x－32)2－14，∵将抛物线沿x轴平移n个单位长度，得到抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，∴可设抛物线解析式为y＝(x＋n)2－3(x＋n)＋2＝(x－32＋n)2－14，通过图象可知，①当抛物线经过点A时，与线段AB恰有一个交点，将点A(0，2)代入抛物线解析式，得(－32＋n)2－14＝2，解得n1＝3，n2＝0(舍去)，∴n的取值范围为0＜n≤3；②当抛物线恰好经过点B时，与线段AB恰有一个交点，将B (4，6)代入抛物线解析式，得(52＋n )2－14＝6，解得n 1＝－5，n 2＝0(舍去)，∴n 的取值范围为－5≤n ＜0.∴n 的取值范围为－5≤n ＜0或0＜n ≤3.(4)由(1)得，抛物线解析式为y ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14∵顶点坐标为(32，-14)，32代入直线解析式y ＝32＋2=72，顶点坐标为(32，72)，∴平移距离=14+72=154，∴平移后抛物线y ＝(x －32)2+72，联立＝(－32)2+72＝+2，解得x ＝52x ＝32当＝32时，交点为平移后抛物线顶点坐标(32，72)当＝52时，交点F 坐标为(32，92).课堂练兵解：(1)①对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，92)；【解法提示】∵k ＝－1，∴y ＝－12x 2－x ＋4＝－12(x ＋1)2＋92x ＝－1，顶点坐标为(－1，92).②由①得，抛物线y ＝－12x 2－x ＋4的对称轴为直线x ＝－1，12＜0，∴当－2≤x ≤－1时，y 随x 的增大而增大，当－1＜x ≤1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝－1时，抛物线有最大值为92，∵－1－(－2)＝1，1－(－1)＝2，∴当x ＝1时，抛物线有最小值，最小值为52，∴当－2≤x ≤1时，抛物线的最大值为92，最小值为52，9－5＝2；(2)k的值为－22或436.【解法提示】设直线x＝12k交抛物线于点P，抛物线的顶点为R，∵y＝－12x2＋kx＋4＝－12(x－k)2＋12k2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝k，顶点R的坐标为(k，12k2＋4)，当x＝12k时，y＝－12×(12k)2＋k×12k＋4＝38k2＋4，∴P(12k，38k2＋4).当k＜0时，如解图①，当x≤12k时，最高点为R(k，12k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，12k2＋4－6＝2，解得k＝－22或k＝22(舍去)；当k≥0时，如解图②，当x≤12k时，抛物线的最高点为P(12k，38k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，38k2＋4－6＝2，解得k＝436或k＝－436(不符合题意，舍去).综上所述，k的值为－22或436.解图②解图①课堂小练练习1解：(1)∵抛物线B－C－D的顶点为C(4，2)，∴设抛物线B－C－D的解析式为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入点D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝14，∴抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2.∵AB∥x轴，且OA＝3，∴点B的纵坐标为3，令1(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，∵点D(6，3)，∴点B的坐标为(2，3)，∵点A在y轴上，∴AB＝2；(2)∵抛物线D－E－F与抛物线B－C－D的形状完全相同，由(1)得抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2，∴设抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－h)2＋k，∵FO＝12，∴F(12，0)，－14（6－ℎ）2＋＝3ℎ＝8＝4.将点D(6，3)，F(12，0)代入，可得－14（12－ℎ）2＋＝0，解得∴抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－8)2＋4.当小车距离x轴的垂直距离是2.5时，则2.5＝14(x－4)2＋2，解得x＝4±2，或2.5＝－14(x－8)2＋4，解得x1＝8＋6，x2＝8－6(不合题意，舍去)，∴小车到出发点A的水平距离为4＋2或4－2或8＋6；(3)由抛物线y＝－14(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，设M(d，0)(8＜d＜12)，∴点P(d，－14(d－8)2＋4)，则S P＝d－8，PM＝－14(d－8)2＋4，∴所有支架的长度和L＝d－8＋[－14(d－8)2＋4]＋4，化简得L＝－14(d－10)2＋9，∵8＜d＜1214＜0，∴当d＝10时，L有最大值，最大值为9.此时点M的坐标为(10，0)练习2解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，∴将m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到抛物线的解析式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∵点P为抛物线的顶点，∴点P的坐标为(1，－2)；(2)∵抛物线y＝x2－2mx＋m2－2＝(x－m)2－2，∴顶点P在直线y＝－2上，∵点Q 的横、纵坐标都不小于0，∴点Q 在线段AB 上，如解图，当点Q 与点B 重合时，线段PQ 的值最小，过点C ，D 分别作PQ 所在直线的垂线，垂足分别为E ，F ，∵点B 的坐标为(4，0)，∴x ＝－－2m 2＝m ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－8x ＋14，＝x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，可得x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，解得x 1＝15＋334，x 2＝15－334，∴CE ＋DF ＝x 1－x 2＝332，∴S △PCD ＝S △PBC ＋S △PBD＝12PB ·CE ＋12PB ·DF ＝12PB ·(CE ＋DF )＝12×2×332＝332；解图(3)m 的取值范围为－2≤m ＜2或4－2＜m ≤4＋2.【解法提示】分两种情况讨论：①当抛物线过点A时，可得m2－2＝2，解得m＝2或m＝－2，当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2－4x＋2，＝x2－4x＋2＝－12x＋2，可得x2－4x＋2＝－12x＋2，解得x1＝0或x2＝72，∵x2＝72＜4，∴两交点都在线段AB上，∴－2≤m＜2；②当抛物线过点B时，可得(4－m)2－2＝0，解得m＝4＋2或m＝4－2，∴4－2＜m≤4＋ 2.。
初三二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
考点11 二次函数的图象性质及相关考点-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(原卷版)
考点11 二次函数的图象性质及其相关考点二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点。
而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
一、二次函数的表达式二、二次函数的图象特征与最值三、二次函数图象与系数的关系四、二次函数与方程、不等式（组）五、二次函数图象上点的坐标特征考向一、二次函数的表达式1.二次函数的3种表达式及其性质作用2.二次函数平移的方法：①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），②“左加右减（x），上加下减（y）”；1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项 ，一次项系数为 ，常数项为 ．2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣63．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（ ）A．y＝2（x﹣3）2+3B．y＝2（x+3）2+3C．y＝2（x﹣3）2+1D．y＝2（x+3）2+24．抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（0，﹣3）D．（0，3）5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，3）．若抛物线y＝mx2+2mx+m+3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB上，则a的取值范围为 ．考向二、二次函数的图象特征与最值1.对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线；顶点坐标：；a＞二次函数有最小值；a ＜二次函数有最大值；2.图象的增减性问题：抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围；1．已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．函数有最小值1，有最大值3B ．函数有最小值﹣1，有最大值3C ．函数有最小值﹣1，有最大值0D ．函数有最小值﹣1，无最大值2．如图是四个二次函数的图象，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a3．如图是二次函数y＝ax2+bx的大致图象，则一次函数y＝（a+b）x﹣b的图象大致是（ ）A．B．C．D．4．在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）A．B．C．D．5．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（ ）A．1B．2C．1或2D．±1或26．如图，点P是抛物线y＝﹣x2+2x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．考向三、二次函数图象与系数的关系二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶1．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b +c ＝0；④6a ﹣2b +c ＜0；⑤若点（0.5，y 1），（﹣2，y 2）均在抛物线上，则y 1＞y 2，其中正确的判断是（ ）A ．②③④⑤B ．②③④C ．②③⑤D ．②④⑤2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x的部分对应值如表：x﹣1013y0﹣1.5﹣20根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2；④若y＞0，则x＞3；⑤a（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）．其中所有正确的结论为（ ）A．①②④B．②③⑤C．②③④D．①③⑤3．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（ ）A．a＞0B．C．或a＞0D．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①③④B．①②③⑤C．①②③④D．①②③④⑤5．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m（1）①函数的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）；②该顶点所在直线的解析式为 ；在平面直角坐标系中画出该直线的图象；（2）当m＝1时，二次函数关系式为 ，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）已知点A（﹣3，1）、B（1，1）连结AB．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围；（4）把二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m（x≤2m）的图象记为G，当G的最低点到x轴的距离为1时，直接写出m的值．考向四、二次函数与方程、不等式（组）1.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程之间的关系：1)求交点：①求抛物线与x轴交点坐标→直接让y=0，即：ax2+bx+c=0②求抛物线与某直线l的交点坐标→联立抛物线与直线解析式，得新组成的一元二次方程，解新方程即的两图象交点横坐标，再代入直线或抛物线解析式即可得交点坐标。
专题09 二次函数的图象与性质(6大考点)(学生版)
第三部分函数专题09二次函数的图象与性质（6大考点）核心考点核心考点一二次函数的图象与性质核心考点二与二次函数图象有关的判断核心考点三与系数a、b、c有关的判断核心考点四二次函数与一元二次方程的关系核心考点五二次函数图象与性质综合应用核心考点六二次函数图象的变换新题速递核心考点一二次函数的图象与性质（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m>2B．32m>C．1m<D．322m<<（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数2(1)y a x=-，当0x>时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a>B．1a>C．1a≠D．1a<（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数2=23y x x--的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“放垂点”．如图2，已知点()4,0A ，点P 是y 轴上一点，点B 是点A 关于点P 的“放垂点”，连接AB 、OB ，则OB 的最小值是______．【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是__________．【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线2(0,0)y ax k a k =+><与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且14PC OC =．过点P 作DE AB ∥，分别交抛物线于D ，E 两点(点E 在点D 的右侧)，连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(用含a ，k 的式子表示)(2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若90ODC ∠=︒，4k =-，求a 的值．核心考点二与二次函数图象有关的判断（2021·广西河池·统考中考真题）点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★知识点、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…1-01234…2y ax bx c =++…8301-03…则这个函数图像的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()12-，C ．()1,8-D ．()4,3【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()212y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图，则1a ，2a ，3a 的大小关系为______.（用“>”连接）【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是______．【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线242y ax ax =-+．(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y 轴的交点坐标为_______；(2)若当x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为6-，求此时y 的最大值．核心考点三与系数a、b、c 有关的判断（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，有以下结论：①<0abc ；②若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；③当图象经过点(1,3)时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，2x （12x x <），则1230x x +=，其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a +b ＝0；②5a +3b +2c ＞0；③若该抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣3有交点，则a 的取值范围是a 34≥；④对于a 的每一个确定值，如果一元二次方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0（t 为常数，t ≤0）的根为整数，则t 的值只有3个．知识点、二次函数图象的特征与a，b，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,h x =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
中考考点_二次函数知识点汇总(全).doc
内容： 1、一元一次函数；2、一元二次函数；3、反比例函数★二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax 2bx c （a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数yax2 bxc 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x的最高次数是 2．⑵a ，b ，c 是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式：1. 二次函数基本形式：二次函数y ax2 bx c用配方法可化成：y a xh 2k的形式，其中h b ， k 4 ac b 22 a 4 a .2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y ax 2；② y ax 2 k ；③ y a x h 2；④ y a x h 2 k ；⑤ y ax 2 bx c三、二次函数的性质：1、 y ax2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质y 轴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大向上0 ，0而减小；时，y有最小值 0 ．y 轴时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大向下0 ，0而增大；时，y有最大值 0 ．22.y ax c的性质：上加下减。
a的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质向上0 ，cy 轴时， y 随 x的增大而增大；时，y 随x的增大 而减小；时，y 有最小值c ．向下0 ，cy 轴时， y随 x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c．23.y a xh的性质：左加右减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴 性质时， y 随 x的增大而增大；时，y 随x的增大向上h ，0X=h而减小；时，y有最小值 0 ．时， y随 x的增大而减小；时，y随 x 的增大向下h ，0X=h而增大；时，y有最大值 0 ．4. y a x h2k的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴 性质时， y随 x的增大而增大；时，y随x的增大 向上h ，kX=h而减小；时，y有最小值 k ．时， y随 x的增大而减小；时，y随x的增大向下h ，kX=h而增大；时，y有最大值 k ．5.顶点决定抛物线的位置 .几个不同的二次函数，如果二次项系数 a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法24ac b2b4ac b2b y ax 2bx b（ xc a x，）2a .(1)公式法：2a4a，∴顶点是2a 4a，对称轴是直线(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 y a x h2k的形式，得到顶点为 ( h , k)，对称轴是 . (3)运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形， 所以对称轴的连线的垂直平分线是抛 物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 四、二次函数图象的平移：21. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x hk，确定其顶点坐标 h ，k；⑵ 保持抛物线yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：y=ax 2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k| 个单位向上 (k>0)【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h)2y=a (x-h)2+k向上 ( k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位h值正右移，负左移；k值正上移，负下移 ”．2. 平移规律：在原有函数的基础上 “概括成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴yax 2bxc沿轴平移 :向上（下）平移个单位，y ax 2 bxc变成y ax 2bx cm （或 y ax 2bx c m ）⑵yax 2 bxc沿轴平移：向左（右）平移个单位，yax 2 bx c 变成 ya( x m) 2b( x m) c（或ya( x m) 2 b( x m) c ）2k 与 yax2c的比较五、二次函数 y a x hbx2ax2bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，从解析式上看， y a x hk 与 y222y a b4ac bb，k4ac bhx4a即 2a，其中 2a4a．六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax2bx c中， a作为二次项系数，显然．⑴ 当时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来， a决定了抛物线开口的大小和方向， a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b ：在二次项系数 a确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在的前提下，当时，bbby轴左侧；当时， 2ay轴；当时， 02a ，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴就是2 a，即抛物线对称轴在 y轴的右侧．bb0 ，即抛物线的对称轴在 y⑵ 在的前提下， 结论刚好与上述相反， 即当时， 2a轴右侧；当时，2 a，by轴；当时，即抛物线的对称轴就是2a，即抛物线对称轴在 y轴的左侧．总结起来，在 a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．xb2a 在轴左边则 ab 0 ，在轴的右侧则 ab 0 ，概括的说就是“左同右（ 3）的符号的判定：对称轴 异”y轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为正；3. 常数项 c：⑴ 当时，抛物线与⑵ 当时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点， 即抛物线与 y轴交点的纵坐标为 0； ⑶ 当时，抛物线与 y轴的交点在 x轴下方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b ，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称：yax2bx c关于 x 轴对称后，得到的解析式是yax 2 bx c ；22k ；y a x hk关于 x轴对称后，得到的解析式是 ya x h2. 关于 y轴对称：yax2bx c关于 y轴对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c ；22k ；y a x hk关于 y轴对称后，得到的解析式是 ya x h3. 关于原点对称： y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是yax 2 bx c ；2k关于原点对称后，得到的解析式是2k ；y a x hya x h4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）：yax 2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是22b22y ax bx ck关于顶点对称后，得到的解析式是y a x hk ．2a ； y a x h25. 关于点 m ，n对 称 ： ya x hk 关 于 点m ，n对称后，得到的解析式是ya x h 2k2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．八、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：2bx c 0 是二次函数yax 2bx c当函数值时的特殊情况 .一元二次方程ax图象与 x轴的交点个数：①当b24ac 0 时，图象与 x 轴交于两点Ax 1 ，0 ，B x 2 ，0 (x 1 x 2 ) ，其AB x 2b 2 4acax2x 1中的是一元二次方程 bx c 0 a的两根．这两点间的距离a.② 当时，图象与 x轴只有一个交点；③ 当时，图象与 x轴没有交点 . 1' 当时，图象落在 x轴的上方，无论x 为任何实数，都有；当时，图象落在 x轴的下方，无论 x为任何实数，都有．2. 抛物线 y ax2bx c 的图象与 y轴一定相交，交点坐标为， ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ax2bxc中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称， 可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标， 或已知与 x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax2bx c(a 0)本身就是所含字母 x 的二次函数； 下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系抛物线与 x轴有 二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负抛物线与 x 轴只 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点抛物线与 x轴无 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .交点九、函数的应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少★二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y(m 2) x2 m2 m2的图像经过原点，则的值是（）。
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)
二次函数专题一：二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2ba，244ac b a -）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2图1专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.图2ABCD图1菜园墙例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++0.03- 0.01- 0.02 0.04Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<图2考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．图1。
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
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第7讲分式方程
二、知识清单梳理
知识点一：分式方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
例：在下列方程中，① ；② ；③ ，其中是分式方程的是③.
2.解分式方程
基本思路：分式方程整式方程
例：将方程 转化为整式方程可得：1－2＝2(x－1).
解法步骤：
(1)去分母，将分式方程化为整式方程；
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.
6.二次函数与不等式
抛物线y=ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
（2）待定系数法：巧设，求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
知识点二：二次函数的图象与性质
3.二次函数的图象和性质
图象
（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.
例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7.
开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标
增减性
当x> 时，y随x的增大而增大；当x＜ 时，y随x的增大而减小.
当x> 时，y随x的增大而减小；当x＜ 时，y随x的增大而增大.
最值
x= ，y最小＝ .
x= ，y最大＝ .
3.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
a、b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(2)解所得的整式方程；
(3)检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．
3.增根
使分式方程中的分母为0的根即为增根.
例：若分式方程 有增根，则增根为1.
知识点二：分式方程的应用
4.列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审题；(2)设未知数；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答．
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
1a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
32a+b的符号，需判断对称
轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
第12讲二次函数的图象与性质
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.