不定方程

假设存在非负整数解，则
x 1, y 1 1，
从而 m , n 1， 代入〔*〕，显然不成立。
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§2.2 多元一次不定方程 一、多元一次不定方程有解的判定 定理1 方程
a1 x1 a 2 x 2 a n x n N , a1 , , a n , N Z
a1 ( x ' x 0 ) b1 ( y ' y0 ) ( a1 , b1 ) 1
（*）
a1 ( y ' y 0 ) t Z , 使得 y ' y 0＝ a1 t，
即 y ' y 0 + a1 t
代入 *），得 x ' x 0 b1 t . （
分析： 这类问题实质上是“不定方程求正整数 解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙， 所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角， 并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转 化成不定方程求正整数解的问题。 设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，
则有
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60m+90n=360.
x x 0 8 t , y y0 5 t , t 0, 1, 2,
(3)6 x 8 y 12;
x x 0 4 t , y y0 3 t , t 0, 1, 2,
或 x x 0 4 t , y y0 3 t , t 0, 1, 2, (4)6 x 8 y 1.
若 d c ，则 c c1d , c1 Z .
显然； ，记 d ( a , b )
d 可以表示为 as bt . 所以 c c1 ( as bt )
取 x c1 s , y c1t，
即为方程〔1〕的解。
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。
有整数解 ( a1 , a 2 , , a n ) N .
(1)
证明：( )，记 ( a1 , a 2 , , a n ) d .
〔1〕有解 d a1 , , d a n d N .
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定理1 方程
a1 x1 a 2 x 2 a n x n N , a1 , , a n , N Z
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
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二、二元一次不定方程解的形式和判定
ax by c , a , b , c Z , a , b 0 (1)
定理1 若〔1〕式有整数解 x x 0 , y y0 则〔1〕式的一切解可以表示为
x x 0 b1 t , y y 0 a1 t , a b 其中，1 a , b1 , t 0, 1, 2， (a , b ) (a , b)
有整数解 ( a1 , a 2 , , a n ) N .
(1)
( )当 n 2时，结论显然成立 .
假设上述条件对n-1是成立的，下证对n也成立。
令 d 2 ( a1 , a 2 ), 则( d 2 , a 3 , , a n ) d , 且 d N .
所以方程 d 2 t 2 a 3 x 3 a n x n N 有解，
或者， x 26 25 107 t , y 9 25 37 t , t Z
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法
代数运算，观察法
例5 求
107 x 37 y 25
的一切整数解。
25 4 x 25 107 x 3 x 解： y 37 37 25 4 x 37 y ' 25 y ' 1 令y ' x 9 y ' 6 37 4 4
a N b( a 1) ab a b b ( a 1) 1 a a
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对此t，代入原方程，得 x
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4.证明：方程 ax by N , a 1, b 1,( a , b ) 1
当 N ab a b时有非负整数解； N ab a b时则不然
故该方程有解，记为 x1 ', x 2 '.
进而得到 x1 ', x 2 ', x 3 ', , x n ' 是原方程的一个整数解。
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二、多元一次不定方程求解的方法 例1 求不定方程 x 2y 3z = 7 的所有整数解。
解： x 2 y t (1), 令 则 t 3 z 7 (2)
取 y ' 1 x 3 y 8
即得到原方程的一个整数解 x 0 3, y0 8 从而所求的一切整数解为
x 3 37 t , y 8 107 t , t Z
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练习1 将(169,121)表成倍数和. 练习2 将(1859,1573)表成倍数和.
1 37 4 9 37 (37 3 107) 9 37 ( 26) 107 ( 9)
故〔3〕的一个整数解是 x 26, y 9 〔2〕的一个整数解是 x 26 25, y 9 25 原方程的整数解为
x 26 25 107 t , y 9 25 37 t , t Z
则其一切整数解可以表示为
由 x 0, y 0
ax 0 N ab
t
ax 0 ab
N . t 的取值区间长度为 ab
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从而得证。
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4.证明：方程 ax by N , a 1, b 1,( a , b ) 1
当 N ab a b时有非负整数解； N ab a b时则不然
对于方程(1),若有解，则可化为
ax by c , ( a , b ) 1 (3) 的形式
一般地，利用辗转相除法，得到 as bt 1,
则 x 0 cs , y0 ct .
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例3 求方程 7 x 4 y 1 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法
再令 u x 11 z， 则方程可化为 7 u 4 z 1
又令 t 2 u z， 则方程可化为 4t u 1 u 4t 1.
逐步往回代入，可得 z t 2 u 2 7 t ;
x 23 81t ; y 25 88 t ; t Z
思考： N ab a b呢？
（1）方程的一般解可以表示为
x x 0 bt , y y0 at , t 0, 1, 2,
在a个单位长度内，y一定有整数解。 所以，一定存在某个 t Z
0 y y)
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二元一次不定方程的一般形式为
ax by c , a , b , c Z , a , b 0
例1 求方程 7 x 4 y 100 所有正整数解 .
(1)
100 7 x 7x y 25 4 4
x 4, y 18; x 8, y 11; x 12, y 4.
（2）
注：如果 ( a , b ) 1, 则 (1)的解为 x x 0 bt , y y 0 at .
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定理1的证明：
ax by c (1)
证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。
设 x ', y ' 是 (1)的任一解，又 x 0 , y0是 (1)的解. 所以有 ax ' by ' ax 0 by 0 .
第二章
不定方程
§2.1 二元一次不定方程
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一、问题的提出〔百钱买百鸡〕
鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”
分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下：
x y z 100 1 5 x 3 y 3 z 100
消去z得到方程
7 x 4 y 100
这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。
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小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ） A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④
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习题讲解：
P31 3.证明：方程 ax by N , a 0, b 0,( a , b ) 1 N N 的非负整数解的个数为 或 1. ab ab
设
x0 , y是原方程的一个非负整数解， 0
x x 0 bt , y y0 at , t Z
原方程有一个特解 x 1, y 2 .
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例4 求
111 x 321 y 75 〔1〕的一切整数解。
解： (111, 321) 3
原方程可以化为 37 x 107 y 25 先求
(2)
37 x 107 y 1 〔3〕 的一个整数解。
107＝37×3－4，37＝4×9+1， 从而
x t 2v , v Z . (3) （1）的解为 y v t 1 3u , u Z . (4) （2）的解为 z 2 u x 1 3 u 2v , u, v Z . 把(4)代入(3),消去t,得 y v z 2 u