数学实验(何国良) 第4章 线性代数

表 汽车行驶速度与刹车滑行距离
车速 20 滑距 6.07
40
60
80
100
120
8.5 18.44 35.88
60.8 93.27
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思考题与练习题
1. 行星轨道的二次曲线方程中，二次项系数满足什么 条件时，能保证二次曲线方程是椭圆方程？ 设非零正数p<1,q<1. 证明矩阵 2. 2.设非零正数 q ⎤ ⎡1 − p A= ⎢ ⎥ 1 − q⎦ ⎣ p 有特征值 λ = 1 ,对应的特征向量
m
使得
S (a1 ,⋯ , an+1 ) = ∑ [ y j − P ( x j )]2 = min
j =1
: 求解多项式拟合方法如下: MATLAB求解多项式拟合方法如下 P =polyfit(x，y，n) 输出变量P是一个具有(n+1) 个数的一维数组，表示 (多项式降幂排列 )。 拟合多项式P(x)的系数 的系数(
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动物养殖问题 实验： 实验：动物养殖问题
莱斯利于1945年提出用于预测单种群生物 数量增长的矩阵模型。 将一个生物种群按年龄分为 m 个年龄组。 设 xk( t ) 表示 t 时刻第 k 个年龄组的生物数 量, xk(0)是初始时刻数量。生物数量向量
X ( t ) = [ x1 ( t ) x 2 ( t ) ⋯ x m ( t )]
. 随时间 t = 0, t1, t2, t3, ······ 变化规律 变化规律.
T
P.H.Leslie
1900-1974
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15 岁,将其分为三个年龄组：第 某种动物最大年龄为 某种动物最大年龄为15 15岁 0—5岁；第二组 6—10 岁；第三组 11—15 岁。第 一组 一组0 岁；第二组6 10岁；第三组 岁；第三组11 15岁。第 4个后代 ,第三组平均繁殖 3 二组在其年龄段平均繁殖 二组在其年龄段平均繁殖4 个后代, 第三组平均繁殖3 0.5 和 个后代。第一和第二组五年的存活率分别为 个后代。第一和第二组五年的存活率分别为0.5 0.5和 。现有三个年龄组动物各 1000 ，计算 5年后、 10 0.25 0.25。现有三个年龄组动物各 。现有三个年龄组动物各1000 1000，计算 ，计算5 年后、10 年后、 15 年后各年龄组动物数量。 年后、15 15年后各年龄组动物数量。 设 t0 = 0, t1 = 5, t2 = 10, t3 = 15. 各年龄组动物数量
1
2
3
4
5
6
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5
：120+150=270 =147+123 营业部汽车总数量 营业部汽车总数量： ⎡0.9 0.12⎤ 矩阵 A = ⎢ ⎥ 0 . 1 0 . 88 ⎣ ⎦ L=[0 .9 0.12 ;0. 10 .88 ]; L=[0.9 0.12;0. ;0.1 0.88 .88]; [P,lamda]=eig(L) p1=P(:,1);d=sum(p1); p=p1/d *270 X0=p X0=p* Cars=X; for k=1:6 X=A *X; X=A* Cars=[Cars,X]; end figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
2
例4.5 出租汽车问题。 ,设了A,B两营 出租汽车公司在仅有A城和B城的海岛上 城的海岛上, 业部。如果周一A城有120辆可出租汽车，而B城有150 辆。统计数据表明，平均每天A城营业部汽车的10% 被顾客租用开到B城 ,B城营业部汽车的12%被开到了 A城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车 数量。寻找方案使每天汽车正常流动而A城和B城的汽 车数量不增不减。 设第n天A城营业部汽车数为x1(n)，B城营业部汽车数 为x2(n)。 则有
( n) ( n −1) ⎡ ⎤ ⎡ x1 3⎤ x1 ⎤ 4 ⎡0 ⎡x ⎤ ⎢ ( n) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ( n −1) ⎥ ⎢ (0) ⎥ x = 0 . 5 0 0 ⎢ ⎥ 2 x � ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ x ( n ) ⎥ ⎢ 0 0.25 0⎥ ⎢ x ( n −1) ⎥ ⎢ x (0) ⎥ ⎣ ⎦ 3 ⎣ ⎦ ⎣ 3 ⎦ 3 ⎣ ⎦
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V=[20,40,60,80,100,120]; format bank T=polyval(P2,V); figure(3),bar(V,T) [V;T] T=
100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120
6.07 8.50 18.44 35.88 60.82 93.27
( n+1) ( n) ⎡ x1 ⎤ ⎡0.9 0.12⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ( n+1) ⎥ = ⎢ ⎢ ( n) ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ x2 ⎥ ⎦ ⎣ 0.1 0.88⎦ ⎢ ⎣ x2 ⎥ ⎦
3
：120+150=270 营业部汽车总数量 营业部汽车总数量：
150
X=[120;150]; A=[0.9,0.12;0.1,0.88]; Cars=X; for k=1:6 *X;Cars=[Cars,X]; X=A X=A* end Cars figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
X=[147;123]; A=[0.9,0.12;0.1,0.88]; Cars=X; for k=1:6 X=A *X; X=A* Cars=[Cars,X]; end
100 50 0 1 2 3 4 5 6 7
150 100 50 0
figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
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动物数量变化规律计算
function X=animal(n) L=[0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0]; X=[1000;1000;1000]; P=X; for k=1:n *X;P=[P,X]; X=L X=L* end figure(1),bar(P(1,:)) figure(2),bar(P(2,:)) figure(3),bar(P(3,:)) 2) 调用函数 X=animal(1 X=animal(12) � X =314754.15 143543.21 16547.12
x1(k)=x1(tk), x2(k)= x2(tk), x3(k)= x3(tk)
X (k )
(k ) ⎡ x1 ⎤ ⎢ (k ) ⎥ = ⎢ x2 ⎥ ⎢ x(k ) ⎥ ⎣ 3 ⎦
� X(k+1)=L X(k)
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x1(0)
(0) (0) x x22 (0) (0) x 3 x 3
(1)=0.5x (0) (0) (1) x =0.5 2 1 x x 2 1 (1)=0.25x (0) (0) (1) x x x 3 2 3 =0.25 2 (1)=4x (0) (0)+3x (0) (0)) (1) x 1 2 3 x x x =4 +3 1 2 3 )
(0) 1
X
( n)
= LX
( n −1 )
=LX
n
(0)
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计算第5年、第10年、第 现有三个组的动物各1000, 0,计算第 15年后各个周龄的动物数量 开始时刻 X(0) = [1000, 1000, 1000]T
: 问题 问题: 1. 以五年为一时间段，分析动物各年龄组数量变化 . 规律 规律. 2. 动物数量变化趋势是无限增长还是趋于灭亡？
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汽车紧急刹车问题数据拟合实验 V 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 T
20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266
/小时),T表示刹车 英里/ V表示刹车时汽车行驶速度(英里 后汽车滑行距离(英尺)
v=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70] *1.609; 70]* T=[20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266] *.3048; 266]* *') figure(1),plot(v,T,' figure(1),plot(v,T,'* P2=polyfit(v,T,2);T2=polyval(P2,v); R2=sum((T-T2).^2) figure(2),plot(v,T,' *',v,T2) figure(2),plot(v,T,'* R2 = 1.9634
Lamda= 1.50 0 0 0 -1.31 0 0 0 -0.19
动物数量按年 龄显示出倒金 字塔结构
L 的主特征值
λ1 = 1.5
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function P=animal(n) L=[0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0]; X=[2160;720;120]; P=X; for k=1:n *X;P=[P,X]; X=L X=L* end figure(1),bar(P(1,:)) figure(2),bar(P(2,:)) figure(3),bar(P(3,:)) 取 n=3 � 2160. 3240. 720. 1080. 120. 180. 4860. 7290 1620. 2430. 270. 405.
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主特征值特征向量试验 L=[0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0]; [P,lamda]=eig(L) p1=P(:,1);d=sum(p1); p=p1/d X0=p *3000 X0=p* X0= 2160.00 720.00 120.00 2160 720 120 P= 0.95 0.32 0.05 0.93 0.23 -0.36 -0.59 0.07 0.77
第四章 线性代数
特征值问题及应用 离散数据的多项式拟合
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矩阵特征值问题
A是n阶方阵,求非零向量 α 和数 λ 使得