一元二次方程提高练习题
初中八年级数学一元二次方程提高练习
初中数学一元二次方程提高练习一、单选题（共12题；共24分）1.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（）A. 0B. 1C. −3D. −12.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A. B. 且 C. 且 D.3.对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定4.下列命题正确的是（）A. 若分式的值为0，则x的值为±2．B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．C. 若，则．D. 若，则一元二次方程有实数根．5.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（）A. 0B.C.D.6.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个7.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）A. ②B. ①③C. ②③④D. ②④8.一元二次方程配方后化为（）A. B. C. D.9.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+ 的值是（）A. 3B. ﹣3C. 5D. ﹣511.方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A. 9B. 8C. 7D. 612.设是方程的两个实数根，则的值是( )A. -6B. -5C. -6或-5D. 6或5二、填空题（共5题；共5分）13.已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为________．14.一元二次方程的解为________．15.已知关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．16.若方程的根也是方程的根，则________.17.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.三、计算题（共3题；共25分）18.解方程：（1）（x﹣4）2﹣3＝0；（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）.19.解下列方程：（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；（2）x2﹣4x+2＝0.20.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.四、解答题（共2题；共10分）21.阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得，解得；故答案为：B．【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤ 且k≠0，故答案为：C．【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．3.【答案】B【解析】【解答】解：，，不论k为何值，，即，所以方程没有实数根，故答案为：B．【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．4.【答案】D【解析】【解答】A.当x=2时，分式无意义，故A选项不符合题意；B.1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项不符合题意；C.可以假设b=2，a=1，满足，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项不符合题意；D. ，当时，，一元二次方程有实数根，故D选项符合题意．故本题选择D．【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；B选项：1的算数平方根还是1；C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；根据根的判别式可得到结论．5.【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则，解得：a=-2，则关于x的一元二次方程为，则两根之积为，故答案为：D.【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.6.【答案】D【解析】【解答】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆= ，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故答案为：D.【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.7.【答案】D【解析】【解答】解：①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；②由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；③∵x1=3,x2=, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；④由题意得：n=, ∴mx2-3x+=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 整理得：2x12-5x1x2+2x22=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；综上，正确的是②④ .故答案为：D.【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.8.【答案】B【解析】【解答】,,.故答案为：B.【分析】配方法的基本步骤，在方程两边加上一次项系数的一半的平方。
中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣13．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732± ∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1x2＝11＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.6．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.7．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.9．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。
一元二次方程提高题
九年级上辅导一一元二次方程提高题类型一、整体性思维在解题中的应用1、整体求值例、已知m 是一元二次方程x 2－2x －1=0的根,求2m 2－4m 的值。
2、整体代入例、已知x 2－5x －1=0，求x 2+－11的值.3、整体求积 例、在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°,AC+BC=,AB=.求S ⊿ABC.4、变0代入例、当x=时，求式子(4x 3-2012x -2009)2009的值。
类型二、一元二次方程中的规律探究例、已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……、（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点。
x2165220091+类型三、方程中的绝对值例、解方程：220x x --=练习：解方程2330x x ---=。
类型四 配方法求二次三项式的最值例、求代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ）练习：1、多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值12．求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．3、若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .练习：1．如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是___．2．若与互为倒数，则实数为___．．3．方程的根是，则可分解为 .4．直角坐标系xOy 中，已知点P (m ，n )，m ，n 满足(m 2＋1＋n 2)(m 2＋3＋n 2)＝8，则OP 的长为（）5．如果一元二方程有一个根为0，则 ．6．已知，求的值．221)16x m x -++（m 12+x 12-x x 0222=--x x 31±=x 222--x x 043)222=-++-m x x m （m =)0(04322≠=-+y y xy x y x yx +-根与系数的关系1．已知α，β是方程x 2+2006x +1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）2．方程的一个根为另一个根的2倍，则 .3. 若方程043222=-+-a x x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为____，则a a a 81622-+--的值等于________。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
(完整版)一元二次方程练习题(难度较高)
一元二次方程练习题1、已知关于x 的方程0)1(222=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x⑴、求k 的取值范围； ⑵、若12121-⋅=+x x x x ，求k 的值。
2。
、已知关于x 的一元二次方程有两个实数根1x 与2x（1）求实数m 的取值范围； (2）若7)1)(1(21=--x x ，求m 的值。
3.已知)(11y x A ， ，)(22y x B ， 是反比例函数xy 2-= 图象上的两点，且212-=-x x ，321=⋅x x ． （1）求21y y - 的值及点A 的坐标； （2）若－4＜y ≤ －1，直接写出x 的取值范围．4.(本小题8分)已知关于x 的方程014)1(22=+++-kx k x 的两根是一个矩形的两邻边的长。
（1)k 为何值时,方程有两个实数根； （2）当矩形的对角线长为时，求k 的值。
5已知关于x 的一元二次方程。
（1)求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）当Rt△ABC 的斜边长，且两直角边和是方程的两根时，求△ABC 的周长和面积。
6如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根1x 、2x 均为正数，且满足1＜21x x ＜2（其中1x ＞2x ），那么称这个方程有“邻近根”．（1）判断方程03)13(2=++-x x 是否有“邻近根”，并说明理由；（2)已知关于x 的一元二次方程01)1(2=---x m mx 有“邻近根”，求m 的取值范围．7设关于x 的一元二次方程0122=++px x 有两个实数根，一根大于1,另一根小于1，试求实数p 的范围．8已知方程052=++-m mx x 有两实数根α、β,方程0715)18(2=+++-m x m x 有两实数根α、γ,求βγα2的值。
9已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值.10若关于x 的方程016821)14216()281(162234=+-+-+-+-a a x a x a x x 的各根均为整数，求a 的值并解此方程。
人教版九年级上册数学第21章 《一元二次方程实际应用》能力提升练习题(含答案)
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题基础题训练（一）：限时30分钟1．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．2．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？3．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，根据市场需求和生产经验甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65﹣x15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？4．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．5．重庆不仅是网红城市，更是拥有长安，力帆等大型车企的一座汽车城，为了更好的推广和销售汽车，每年都会在悦来会展中心举办大型车展．去年该车展期间大众旗下两品牌汽车迈腾和途观L共计销售240辆，迈腾销售均价为每辆20万元，途观L销售均价为每辆30万元，两种车型去年车展期间销售额共计5600万元．（1）这两种车型在去年车展期间各销售了多少辆？（2）在今年的该车展上，各大汽车经销商纷纷采取降价促销手段，而途观L坚持不降价，与去年相比，销售均价不变，销量比去年车展期间减少了a%，而迈腾销售均价比去年降低了a%，销量较去年增加了2a%，两种车型今年车展期间销售总额与去年相同，求a的值．基础题训练（二）：限时30分钟6．小王开了一家便利店．今年1月份开始盈利，2月份盈利5000元，4月份的盈利达到7200元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？8．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路（即图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．9．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？10．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？参考答案1．解：（1）设第二批制作x个风筝，（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，解得，x≥90，答：第二批至少应该制作90个风筝；（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，解得，a＝20或a＝5（舍去），答：a的值是20．2．解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得3250（1+x）2＝6370．解得，x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%；（2）3250×40%×0.8＝1040（万元）．答：该市财政部门今年需要准备1040万元补贴资金．3．解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120﹣2x）元，每天可生产2（65﹣x）件甲产品．故答案为：2（65﹣x）；120﹣2x．（2）依题意，得：15×2（65﹣x）﹣（120﹣2x）•x＝650，整理，得：x2﹣75x+650＝0解得：x1＝10，x2＝65（不合题意，舍去），∴15×2（65﹣x）+（120﹣2x）•x＝2650．答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．4．解：（1）设班长代买A种品牌同学录x本，B种品牌同学录y本，依题意，得：，解得：．答：班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+a%）+10（1﹣a%）×175[1+（a+20）%]＝2550，整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．答：a的值为20．5．解：（1）设去年车展期间迈腾销售了x辆，途观L销售了y辆，依题意，得：，解得：．答：去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L销售了80辆．（2）依题意，得：20（1﹣a%）×160（1+2a%）+30×80（1﹣a%）＝5600，整理，得：8a﹣0.64a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（舍去）．答：a的值为12.5．6．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640，答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到8640元．7．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，∴16﹣5x＝±8，∴x1＝，x2＝；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（2）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y ≤时，则PB ＝16﹣3y ， ∴PB •BC ＝12，即×（16﹣3y ）×6＝12，解得y ＝4； ②当＜x ≤时，BP ＝3y ﹣AB ＝3y ﹣16，QC ＝2y ，则BP •CQ ＝（3y ﹣16）×2y ＝12，解得y 1＝6，y 2＝﹣（舍去）； ③＜x ≤8时，QP ＝CQ ﹣PQ ＝22﹣y ，则QP •CB ＝（22﹣y ）×6＝12，解得y ＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．8．解：设道路的宽x 米，则（32﹣x ）（20﹣x ）＝540，解得：x ＝2，x ＝50（舍去），答：道路的宽是2米．9．解：（1）∵售价每降低1元，每天可多售出200斤，∴售价降低x 元时，每天销售量为：100+200x ．故答案为：200x +100．（2）由已知得：（4﹣2﹣x ）（200x +100）＝300，整理得：2x 2﹣3x +1＝0，解得：x1＝＝0.5，x2＝1，当x＝0.5时，200x+100＝200，∵200＜260，∴x＝0.5不合适．∴销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元．10．解：（1）设每次降价的百分率为x，200（1﹣x）2＝162解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），即每次降价的百分率是10%；（2）设店主将售价降价x元，（200﹣150﹣x）（20+2x）＝1750解得，x1＝15，x2＝25∴200﹣15＝185，200﹣25＝175，即应把售价定为185元或175元．。
一元二次方程解法练习题
一元二次方程解法练习题在数学学习中，我们经常会遇到一元二次方程，它是一个常见而重要的数学概念。
掌握一元二次方程的解法对于解决实际问题和提高数学思维能力都具有重要意义。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用我们对一元二次方程解法的理解。
练习题1：解下列一元二次方程：1. x^2 - 4x + 3 = 02. 2x^2 + 5x - 3 = 03. 3x^2 - 6x - 9 = 04. -x^2 + 7x - 10 = 0练习题2：根据以下条件列出一元二次方程，并求解：1. 已知方程有两个实数解，且解为3和-1。
2. 已知方程有一个实数解x=4，并且另一个解是方程x^2 + bx + c = 0的解。
练习题3：解下列一元二次方程组：1.x^2 - y^2 = 16x + y = 62.2x^2 + xy = 153x - y = 2练习题4：解下列应用题：1. 一个长方形的长比宽多2cm，长方形的周长是26cm，求长和宽分别是多少？2. 小明和小红两人总共获得了36个奖牌，小明获得的奖牌数是小红的两倍，小红获得了几个奖牌？练习题5：解下列一元二次不等式：1. x^2 - 4x > 02. 2x^2 - 3x < 03. x^2 + 6x + 8 ≥ 0以上是一些一元二次方程解法的练习题。
通过解这些题目，我们可以巩固和提高对一元二次方程解法的掌握程度。
在解题过程中，我们要注意将方程转化为标准形式，分离出x的系数、常数项，并应用求根公式或配方法进行求解。
此外，对于一些实际问题，我们需要将问题抽象为一元二次方程，再进行求解。
掌握一元二次方程的解法不仅仅是为了解答数学题目，更重要的是培养我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。
通过反复练习和深入理解解题过程，我们可以在数学学习和实际生活中更加灵活地应用一元二次方程解法，进一步提高自己的数学水平。
这些练习题只是一元二次方程解法的一小部分，希望大家能够通过这些练习题加深对一元二次方程解法的理解，提高解题的准确性和效率。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
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一元二次方程提高练习一．选择题（共8小题）1．（2014•昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100B．100（1﹣x）2=144C．144（1+x）2=100D．100（1+x）2=1442．（2014•天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．x（x﹣1）=283．（2014•白银）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=64．（2014•海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81B．100（1﹣x）2=81C．100（1﹣x%）2=81D．100x2=815．（2014•岑溪市一模）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＜1且k≠0D．k≥16．（2014•琼海二模）一元二次方程x2+3x=0的解是（）A．x=﹣3B．x1=0，x2=3C．x1=0，x2=﹣3D．x=37．（2014•中山模拟）关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定的8．（2014•闸北区二模）下列方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0B．x4=0C．=D．=0二．填空题（共8小题）9．（2014•天水）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_________ ．10．（2014•昆山市模拟）如果2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，那么常数b的值为_________ ．11．（2014•启东市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的值可以是_________ ．（写出一个即可）12．（2014•无锡新区一模）一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是_________ ．14．（2014•虹口区三模）方程=3的解是_________ ．15．（2013•龙岩）已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= _________ ．16．（2013•兰州）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_________ ．三．解答题（共14小题）17．（2014•秦淮区一模）解方程：2x2﹣4x+1=0．18．（2014•平谷区一模）关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣3x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．19．（2014•通州区一模）已知：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为﹣2时，求方程的另一个根．20．（2014•邳州市二模）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．21．（2014•淮北模拟）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出_________ 只粽子，利润为_________ 元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多22．（2013•北碚区模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．23．（2011•厦门）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．24．（2011•郴州）当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根25．（2012•东城区二模）列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．26．（2006•奉贤区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为射线BC上的一点，且PB=PD，过D点作AC边上的高DE．（1）求证：PE=BO；（2）设AC=8，AP=x，S△PBD为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的P点，使得△PBD的面积是△ABC面积的如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．27．（2008•鼓楼区一模）已知y1=x2﹣x+2，y2=x﹣2，是否存在实数x，使得y1=y2，若存在，求出x，若不存在，请说明理由．29．（2008•丰台区二模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m﹣1=0．求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．30．（2012•潘集区模拟）如图：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2014•昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100B．100（1﹣x）2=144C．144（1+x）2=100D．100（1+x）2=144考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解答：解：2012年的产量为100（1+x），2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=144，故选D．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．2．（2014•天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．x（x﹣1）=28考点：由实际问题抽象出一元二次方程．分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．3．（2014•白银）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．解答：解：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，由题意得：x（5﹣x）=6，故选：B．点评：本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．4．（2014•海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81B．100（1﹣x）2=81C．100（1﹣x%）2=81D．100x2=81专题：增长率问题．分析：若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可．解答：解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：x满足方程为100（1﹣x）2=81．故选B．点评：本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．5．（2014•岑溪市一模）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＜1且k≠0D．k≥1考点：根的判别式．专题：压轴题．分析：方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．解答：解：由题意知，△=4﹣4k＞0，解得：k＜1．故选B．点评：本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．（2014•琼海二模）一元二次方程x2+3x=0的解是（）A．x=﹣3B．x=0，x2=3C．x1=0，x2=﹣3D．x=31考点：解一元二次方程-因式分解法；因式分解-十字相乘法等；解一元一次方程．专题：计算题．分析：分解因式得到x（x+3）=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．解答：解：x2+3x=0，x（x+3）=0，x=0，x+3=0，x1=0，x2=﹣3，故选：C．点评：本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．7．（2014•中山模拟）关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定的考点：根的判别式．专题：推理填空题．分析：求出b2﹣4ac的值，根据结果判断它的正、负，根据根的判别式即可得到答案．解答：解：﹣x2+4mx+4=0，b2﹣4ac=（4m）2﹣4×（﹣1）×4，=16m2+16，不论m为何值，16m2+16＞0，故选C．点评：本题主要考查对根的判别式的理解和掌握，能熟练地根据根的判别式进行推理是解此题的关键．8．（2014•闸北区二模）下列方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0B．x4=0C．=D．=0考点：根的判别式；高次方程；无理方程；分式方程的解．分析：本题是根的判别式的应用试题，不解方程而又准确的判断出方程解的情况，那只有根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．解答：解：A、x2﹣x+1=0，△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，所以没有是实数根，故选项错误；B、x4=0的实数根是x=0，故选项正确；C、去掉分母后x=1有实数根，但是使分式方程无意义，所以舍去，故选项错误；D、=0，两边平方得x2+1=0的△=b2﹣4ac=0﹣4＜0，也没有实数根，故选项错误．故选：B．点评：本题是对方程实数根的考查，求解时一要注意是否有实数根，二要注意有实数根时是否有意义．二．填空题（共8小题）（2014•天水）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20% ．9．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．解答：解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125（1﹣x）2=80，解得x1==20%，x2=（不合题意，舍去）；故答案为：20%点评：本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．10．（2014•昆山市模拟）如果2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，那么常数b的值为﹣3 ．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．专题：因式分解．分析：把方程的解x=2代入方程得到关于b的等式，可以求出字母系数b的值．解答：解：把2代入方程有：4+2b+2=02b=﹣6b=﹣3．故答案是：﹣3．11．（2014•启东市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的值可以是 1 ．（写出一个即可）考点：根的判别式．专题：开放型．分析：由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于k的不等式，解不等式就可以求出k的取值范围．解答：解：∵△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，解上式得k≤1．故答为1．点评：当一元二次方程的判别式△≥0时，方程有实数根，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．12．（2014•无锡新区一模）一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2 ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系，即可求得答案．解答：解：设一元二次方程x2+x﹣2=0的两根分别为α，β，∴αβ=﹣2．∴一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题考查了根与系数的关系．解题的关键是熟记公式．13．（2014•昆明模拟）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程为：100（1+x）2=121 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．解答：解：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：100（1+x）2=121，故答案为：100（1+x）2=121．点评：本题考查是增长率问题，若原数是a，每次变化的百分率为a，则第一次变化后为a（1±x）；第二次变化后为a（1±x）2，即原数×（1±变化的百分率）2=后来数．14．（2014•虹口区三模）方程=3的解是x=13 ．考点：无理方程．分析：因为x﹣4的算术平方根为3，所以得x﹣4=9，再解即可．解答：解：=3，x﹣4=9，x=13．故答案为：x=13．点评：本题考查了解无理方程．算术平方根的被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．考点：一元二次方程的解．分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解答：解：把x=3代入方程x2﹣6x+k=0，可得9﹣18+k=0，解得k=9．故答案为：9．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，比较简单．16．（2013•兰州）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0 ．考点：根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．专题：计算题．分析：首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．解答：解：∵，∴b﹣1=0，=0，解得，b=1，a=4；又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；故答案为：k≤4且k≠0．点评：本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．三．解答题（共14小题）17．（2014•秦淮区一模）解方程：2x2﹣4x+1=0．考点：解一元二次方程-配方法．分析：先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：由原方程，得x2﹣2x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1=，配方，得（x﹣1）2=，直接开平方，得x﹣1=±，（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．18．（2014•平谷区一模）关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣3x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则k﹣3≠0，△＞0，公共部分就是k的取值范围．（2）通过（1）中k的取值范围确定出k的值，依次代入求出一元二次方程的解，满足两根都是整数就可以．解答：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴解得，．（2）k的正整数值为1、2、4如果k=1，原方程为﹣2x2﹣3x+2=0．解得x1=﹣2，，不符合题意舍去．如果k=2，原方程为﹣x2﹣3x+2=0，解得，不符合题意，舍去．如果k=4，原方程为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，符合题意．∴k=4．点评：这道题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．19．（2014•通州区一模）已知：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当方程的一个根为﹣2时，求方程的另一个根．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）要想证明对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根，只要证明△＞0即可；（2）把方程的一根代入原方程求出a的值，然后把a的值代入原方程求出方程的另一个根．解答：（1）证明：△=a2﹣4×1×（a﹣2）=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4∵（a﹣2）2≥0∴（a﹣2）2+4＞0∴△＞0∴无论a取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵此方程的一个根为﹣2∴4﹣2a+a﹣2=0∴a=2∴一元二次方程为：x2+2x=0∴方程的根为：x1=﹣2，x2=0∴方程的另一个根为0．点评：本题重点考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程的方法．20．（2014•邳州市二模）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．解答：解：设BC边的长为x米，则AB=CD=米，根据题意得：×x=120，解得：x1=12，x2=20，∵20＞16，∴x2=20不合题意，舍去，答：矩形草坪BC边的长为12米．点评：本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．21．（2014•淮北模拟）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）（300+100×）元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题；压轴题．分析：（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．解答：解：（1）300+100×，（1﹣m）（300+100×）．（2）令（1﹣m）（300+100×）=420．化简得，100m2﹣70m+12=0．即，m2﹣+=0．解得m=或．可得，当m=时卖出的粽子更多．答：当m定为时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．22．（2013•北碚区模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．考点：分式的化简求值；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先化简代数式：将括号内的分式的分子分母分解因式、约分化简，然后计算加减法；再将除法转化为乘法的形式；再根据已知条件“a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根”求得a2﹣3a=1；最后，将a2﹣3a=1整体代入化简后的代数式求值即可．解答：解：原式===﹣∵a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．∴a2﹣3a﹣1=0，∴a2﹣3a=1；∴原式=﹣=﹣2．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、分式的化简求值．解答此题时，采用了“整体代入”是解题方法，避免了求a的值的繁琐过程，而是直接将a2﹣3a=1整体代入化简后的代数式．23．（2011•厦门）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：（1）关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值．解答：解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n，∴△=b2﹣4ac=4+8n＞0，解得n＞﹣；（2）由原方程，得（x﹣1）2=2n+1，解得x=1±；∵方程的两个实数根都是整数，且﹣＜n＜5，不是负数，∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，解得n=0，n=或n=4．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24．（2011•郴州）当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根考点：根的判别式．专题：方程思想．分析：根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac=0列出关于t的一元二次方程，然后解方程即可．解答：解：∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2，一次项系数b=t，常数项c=2，∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，解得，t=±4，∴当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；△=b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．25．（2012•东城区二模）列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：根据题意知，花园面积与剩余空地面积都是24m2，所以可根据这两部分的面积表达式分别列方程求解．解答：解：据题意，得．解得x1=12，x2=2．x1不合题意，舍去．∴x=2．点评：此题考查一元二次方程的应用，搞清楚每个方案中花园面积或空白面积的表达式是关键．26．（2006•奉贤区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为射线BC上的一点，且PB=PD，过D点作AC边上的高DE．（1）求证：PE=BO；（2）设AC=8，AP=x，S△PBD为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的P点，使得△PBD的面积是△ABC面积的如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．考点：等腰直角三角形；一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=BO；解题时注意分P在AO上和P在OC上两种情况讨论；（2）由△POB≌△DEP得BO=PE=4，当点P在AO上时，PO=DE=EC=4﹣x，此时，S△PBD=S PBDE﹣S△PDE，当P在OC 上时，PO=DE=EC=x﹣4，此时S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE﹣S△CDE=S△PBC+S△POB﹣S△CDE（3）根据S△ABC=16，知道要使得△PBD的面积是△ABC面积的，只要，解方程得x1=2，x2=6从而得到当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的．解答：解：（1）P在AO上（如图1）：∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点∴BO⊥AC∵DE⊥AC∴∠POB=∠DEP=90°（1分）∵PB=PD∴∠PBD=∠PDB，∵∠OBC=∠C=45°，∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，∵∠PBD=∠PDB，∴∠PB0=∠DPE（2分）∴△POB≌△DEP（AAS）∴PE=BO（1分）P在OC上（如图2）：∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点∴BO⊥AC∵DE⊥AC∴∠POB=∠DEP=90°∵PB=PD∴∠PBD=∠PDB∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°∴∠PB0=∠DPE（1分）∴△POB≌△DEP（AAS）∴PE=BO（1分）（2）P在AO上（如图1）：由△POB≌△DEP得BO=PE=4，∴PO=DE=EC=4﹣x，（1分）∴S△PBD=S PBDE﹣S△PDE=S△PBO+S OBDE﹣S△PDE=S OBDE=S△OBC﹣S△DEC∴S△PBD=（2分）P在OC上（如图2）：由△POB≌△DEP得BO=PE=4，∴PO=DE=EC=x﹣4，（1分）∴S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE﹣S△CDE=S△PBC+S△POB﹣S△CDE=（2分）∴即y=（8x﹣x2），（0＜x＜8）；（3）S△ABC=16，要使得△PBD的面积是△ABC面积的，只要，解方程得x1=2，x2=6，（2分）即当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的注：（2）中的S△PBD的求解可以直接用面积计算，而且不需分类讨论，可酌情给分）点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用及全等三角形的判定及性质，是一道难度较大、综合性较强的综合题，解题时一定要仔细审题．27．（2008•鼓楼区一模）已知y1=x2﹣x+2，y2=x﹣2，是否存在实数x，使得y1=y2，若存在，求出x，若不存在，请说明理由．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：令两个函数相等即可得到有关x的一元二次方程，求得其根的判别式后做出判断即可．解答：解：不存在，理由如下：由题意得：x2﹣x+2=x﹣2整理得：x2﹣2x+4=0∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×4=﹣12＜0∴方程无实数根，即不存在实数x，使得y1=y2．点评：本题考查了根的判别式，根据根的判别式可以得到不等式或者方程，求解即可．28．（2008•昆山市模拟）解方程：（2x+3）（ x+1）=（x+1）（ x+3）考点：解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程．专题：计算题．分析：移项后分解因式得到（x+1）[（2x+3）﹣（x+3）]=0，推出方程x+1=0，x=0，求出方程的解即可．解答：解：（2x+3）（ x+1）=（x+1）（ x+3），移项得：（2x+3）（ x+1）﹣（x+1）（ x+3）=0，提公因式得：（x+1）[（2x+3）﹣（x+3）]=0，∴（x+1）x=0，即x+1=0，x=0，解方程得：x1=﹣1，x2=0，∴原方程的解是x1=﹣1，x2=0．点评：本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．29．（2008•丰台区二模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m﹣1=0．求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．考点：根的判别式．专题：证明题．分析：根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号来证明结论成立．解答：证明：∵△=b2﹣4ac=[﹣（m+1）]2﹣4（m﹣1）=m2﹣2m+5=（m﹣1）2+4＞0∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．30．（2012•潘集区模拟）如图：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2考点：一元二次方程的应用．专题：几何动点问题．分析：设经过x秒钟，△PBQ的面积等于8平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．解答：解：设经过x秒以后△PBQ面积为8整理得：x2﹣6x+8=0解得：x=2或x=4答：2或4秒后△PBQ的面积等于8cm2点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于8cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．。