福建省福州市2013届高三上学期期末质检数学理试题
2013年福建省数学理科高三质检
2013年福建省普通高中毕业班质量检查理 科 数 学参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R=π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．z =2．已知向量2(,4),(1,1)a b ==m ，则“2=-m ”是“a//b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数12()log cos ()22f x x x ππ=-<<的图象大致是A B C D4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为 A ．3 B ．126 C. 127 D. 1285．设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面．下列命题正确的是A ．若//,β⊥m n m ，则β⊥nB ．若//,//βm n m ，则β//nC ．若//,//αβm m ，则βα//D ．若,αβ⊥⊥n n ，则αβ⊥6．已知函数2()2sin cos 1f x x x x =+-的图象关于点(,0)ϕ对称，则ϕ的值可以是A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π7．设抛物线x y 62=的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A l ⊥，垂足为A ．如果APF ∆为正三角形，那么||PF 等于A． B ． 36 C ． 6 D ． 128．在矩形A B C D 中，1=AB ，3=AD ，P为矩形内一点，且2AP =. 若ADAB AP μλ+=(),λμ∈R，则λ+的最大值为A. 32B. 2C.4D.49．若函数2,0,()1ln ,0x kx x f x x x x ⎧-≤⎪=-⎨⎪>⎩有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是Ａ．(4,0)- Ｂ．(,0]-∞ Ｃ．(4,0]- Ｄ．(,0)-∞ 10．设数集{}d c b a ,,,S =满足下列两个条件：（1）,,S y x ∈∀xy S ∈；（2）,,,S z y x ∈∀若,y x ≠则yz xz ≠． 现给出如下论断：①d c b a ,,,中必有一个为0； ②d c b a ,,,中必有一个为1；③若S ∈x 且1=xy ，则y S ∈；④存在互不相等的,,x y z S ∈，使得22,x y y z ==． 其中正确论断的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．4(2)x +展开式中含2x 项的系数等于 ．12．若变量,x y 满足约束条件310,3110,2,--≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩x y x y y 则2=+z x y 的最大值为 ．13．已知直线l：1)y x =-与圆O ：221x y +=在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A , 则M O A ∆的面积等于 ．14．如图，121,,,- m A A A ()2≥m 为区间[]0,1上的m 等分点，直线0x =，1x =，0y =和曲线xy e =所围成的区域为1Ω，图中m 个矩形构成的阴影区域为2Ω，在1Ω中任取一点，则该点取自2Ω的概率等于 ．15．定义两个实数间的一种新运算“*”：()l g1010,x yx y *=+,x y ∈R .当y x x =*时，y x *=.对任意实数,,a b c ，给出如下结论：①()()c b a c b a ****=； ②()()()**a b c a c b c +=++； ③a b b a **=； ④2**b a b a +≥.其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)某几何体111C B A ABC -的三视图和直观图如图所示．（Ⅰ）求证：111C AB C A 平面⊥； （Ⅱ）求二面角C AB C --11的余弦值． 17．(本小题满分13分)国Ⅳ标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过80/mg km ．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A 、B 两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如下（单位：/mg km ）由于表格被污损，数据,x y 看不清，统计员只记得A 、B 两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等.（Ⅰ）求表格中x 与y 的值；（Ⅱ）从被检测的5辆B 种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80/mg km ”的车辆数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18. (本小题满分13分)如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东214海里处 .（Ⅰ）求此时该外国船只与D 岛的距离；（Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.为了将该船拦截在离D 岛12海里处，不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（参考数据：sin 3652'0.6o ≈，sin 5308'0.8o ≈） 19. (本小题满分13分) 如图1，椭圆()2222:10x y E a b ab+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ，31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，且2TF 垂直于x 轴. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）给出命题：“已知P 是椭圆E 上异于12,A A 的一点，直线12,A P A P 分别交直线l ：x t =（t 为常数）于不同两点M N 、，点Q 在直线l 上. 若直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，则Q 为线段M N 的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明;（Ⅲ）试研究（Ⅱ）的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点S 的直线m ，并写出作图步骤. 注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行. 20．(本小题满分14分) 已知函数()bx axx f +=22的图象在点()()2,2f 处的切线方程为2=y .(Ⅰ)求b a ,的值及()x f 的单调区间； (Ⅱ)是否存在平行于直线12y x =且与曲线()x f y =没有公共点的直线？证明你的结论；(Ⅲ)设数列{}n a 满足()11≠=λλa ,()n n a f a =+1,若{}n a 是单调数列，求实数λ的取值范围.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵4321M -⎛⎫=⎪-⎝⎭，向量75⎛⎫= ⎪⎝⎭α． (Ⅰ) 求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （Ⅱ）求3M α．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为()1,0，半径为1. （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.已知直线l 的参数方程为1cos ,6sin 6x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），试判断直线l 与圆C 的位置关系.（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲已知函数()f x =（Ⅰ）求证：()5f x ≤,并说明等号成立的条件；（Ⅱ）若关于x 的不等式|2|)(-≤m x f 恒成立，求实数m 的取值范围.2013年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．D ； 2．A ； 3．C ； 4．C ；5．A ；6．D ；7．C ；8．B ；9．B ；10．C ． 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．24； 12．9； 134； 14．11(1)-m m e ； 15．①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.本小题主要考查简单几何体的三视图，直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分． 解法一：（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱111C B A ABC -中，1111C B A AA 底面⊥，1111C A C B ⊥,且41==AC AA ，3=BC ． (2)分以点C 为原点，分别以CA 、CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得 ()()()()()()4,0,0,4,3,0,4,0,4,0,0,0,0,3,0,0,0,4111C B A C B A ，()()()0,3,0,4,0,4,4,0,41111=-==∴B C A C CA ．………………4分1111144004(4)0,4003(4)00CA C A CA C B ∴⋅=⨯+⨯+⨯-=⋅=⨯+⨯+-⨯=， 11111,B C CA A C CA ⊥⊥∴又1111C B C A C = ，111C AB C A 平面⊥∴．……………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()()4,3,0,0,0,41==CB CA ，设平面C AB 1的法向量为(),,,z y x =n 则,,1n n ⊥⊥CB CA 10,0,C B C A ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩n n⎩⎨⎧=+=∴,043,04z y x 令4=y ，得平面C AB 1的一个法向量为(),3,4,0-=n ………………………10分 由（Ⅰ）知，1CA 是平面11C AB 的法向量，…………………………………11分111cos 10C A C A C A ⋅===-n n n，． 故二面角C AB C --111013分解法二：（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱111C B A ABC -中，1111C B A AA 底面⊥，1111C A C B ⊥,且41==AC AA ，3=BC ．………………………………………2分 1111C B A AA 平面⊥ ，11111111,C B AA C B A C B ⊥∴⊂平面，11111111,A C A AA C A C B =⊥ ，1111ACC A C B 平面⊥∴，……………………4分 111ACC A C A 平面⊂ ，111C B C A ⊥∴．…………………………………………5分由正方形11ACC A 可得，11AC C A ⊥，又1111AC B C C = ，111C AB C A 平面⊥∴．………………7分 （Ⅱ）同解法一．17．本题主要考查概率统计中数据平均值与方差、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解:(Ⅰ)依题意得A B x x =，22A B s s =，又1=+80+85+60+90=805x A （85），1=95+y+755x x +B （70+），21=+0+25+400+100=1105A ，s （25）2221=100+80+225+80+255x y ⎡⎤--⎣⎦B s （）（）， ∴ 160x y +=∴ 22160,80+80=200,x +y =x y ⎧⎨--⎩（）（） 解得70,90,x y =⎧⎨=⎩或90,70.x y =⎧⎨=⎩…………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)可得B 种轻型汽车不会被惩罚的车辆数为3,随机变量0,1,2ξ=．2225C 1(0)C10P ξ===，112325C C 6(1)C10P ξ===，2325C 3(2)C10P ξ===．…………9分故ξ的分布列为11分 ∴16360121010105E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………13分18.本小题主要考查余弦定理等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．解法一：（Ⅰ）依题意，在ABD ∆中045DA B =∠，由余弦定理：DA B cos A B DA 2A BDBDB222∠⋅⋅-+=20022162142-1621422=⋅⋅⋅+=）（即此时该外国船只与D 岛距离210DB =海里 5分 （Ⅱ）在ABD ∆中作DA C B ⊥于点C 。
福州市2013—2014学年第一学期高三期末质量检测
福州市2013—2014学年第一学期高三期末质量检测思想政治试卷第1卷(选择题共48分)在下列各题的选项中，只有一项是最符合题意的。
(每小题2分，共48分)1．《2013--2017年中国住宅产业化发展模式与投资战略规划分析报告》指出，2013年11月中国100个城市(新建)住宅平均价格为10758形平方米，环比上涨0．68％。
这也是自2012年6月以来房价连续第18个月环比上涨。
这意味着①市场调节无法有效配置资源②我国商品房持续供不应求③我国经济结构调整势在必行④我国居民的恩格尔系数提高A．①②B。
①③C．②③D．③④2．据工信部统计，截止2013年7月底，我国移动互联用户已达到8．2亿户，移动互联网则伴随着用户的增加而不断发展起来。
随着国家工信部对中国移动等三大运营商发放4G牌照，4G通信技术及其4G手机将使消费者享受更加快速的网络服务。
这说明A．求异心理可以推动新产品产生B．生产与消费相互作用、相互影响C．政府对通信资源配置起决定作用D．价格变动会促使企业生产高质量商品3．右图是产品生命周期与销售利润曲线图。
如果要延缓产品生命周期从A点到B点运动，企业应该采取的措施是增加投人，扩大产品生产规模依靠科技，降低商品价值量改进技术，提高劳动生产率树立良好的信誉和企业形象A．③④B．①③C．②④D．①②4．高铁领域，中国国企用5年时间走完发达国家40年的路；航天领域，中国国企铺就了38万公里的漫漫奔月路；能源领域，中国国企攻克煤直接液化等一系列战略储备技术，为国家能源安全未雨绸缪……。
这表明A．我国国有经济对经济发展起主导作用B．国有资产在我国社会总资产中占优势C．我国经济增长主要依靠生产投资拉动D．我国社会主义基本经济制度得到完善5．为破解漫画《砸不开》反映的经济困境，政府可实施的有效举措是A．保持社会总供给和总需求基本平衡B．发展生产，增加供给，满足消费需求C．完善医疗、养老、失业等社会保障体系D．实现劳动报酬增长速度高于经济增长速度6．上海自贸区对外商投资管理首次采用国际通行的“负面清单”，除了清单上列明的不能投资的领域和产业，其他的都许可；外商投资项目由核准制改为备案制，简化了外资进人的审批，使外资准人更加透明、更规范。
2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷参考答案及评分标准
2013年福州市高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分．1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.A8.C9.D 10.D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分．11．1 12．3 13．②③④ 14．81 15．122三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）依题意得()sin 33f x x x ππ=+………………………………………1分2sin()33x ππ=+ …………………………………………………………………3分所以函数()f x 的值域为[2,2]-．………………………………………………………5分 （Ⅱ）方法一 由（Ⅰ）知，()2sin()33f x x ππ=+(1)2sin 33f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3f π=-=………………………………6分从而 (3),3,3)M N .………………………………………………7分∴2,OM ON ====4,MN ==……………………………………………9分根据余弦定理得222cos 02OM ON MN MON OM ON +-∠===. ∴90MON ∠= ，…………………………………………………………………10分 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=…………13分 方法二 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分则(1(3,OM ON == . ………………………………………………8分13(0OM ON ⋅=⨯= .……………………………………………10分所以90MON ∠=， OM ON ⊥ 即 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=……………13分 方法三 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分 直线OM的方程为y =0y -=. …………… …………………8分点N 到直线OM的距离为d ==分又因为2,OM =，………………………………………………………………11分 所以△MON的面积为11222S OM d =⋅=⨯⨯=分 17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分．解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人． X 的所有可能取值为0,1,2．……………………………………………………1分 所以25212C 5(0)C 33P X ===，1175212C C 35(1)C 66P X ===，27212C 217(2)C 6622P X ====．…4分 故X 的分布列为分∴53577()0123366226E X =⨯+⨯+⨯=． ……6分 （Ⅱ…………7分 2K 的观测值212(6411) 5.1827557k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>3.841，……………………………9分 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分 （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………13分 18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）如图，连接ED ，∵⊥EA 底面ABCD 且EA FD //，∴⊥FD 底面ABCD ,∴AD FD ⊥,∵D CD FD AD DC =⋂⊥，,∴⊥AD 面FDC , ----------------1分∴32221213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-FDC FCD E S AD V , --------2分E ABCD V -=13EA ⋅ ABCD S 1822233=⨯⨯⨯= , -------------3分 ∴多面体EABCDF 的体积310=+=--ABCD E FCD E V V V 多面体．--------------5分 （Ⅱ）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (0,0,0),E (0,0,2),B (2,0,0),C (2,2,0),F (0,2,1),所以)1,2,0(,),2,0,2(),222(-=-=-=EF EB ，，EC ------7分设平面ECF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF n n 得：⎩⎨⎧=-=-+,02,0222z y z y x 取y =1,得平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)=n ------9分设直线EB 与平面ECF 所成角为θ， 所以sin |cos ,|EB θ= n ||||||EB EB ⋅=⋅ nn ==----11分 （Ⅲ）取线段CD 的中点Q ；连接KQ ，直线KQ 即为所求． ---------------12分图上有正确的作图痕迹………………………………13分19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）设曲线C 上任意一点P 的坐标为),(y x ． 依题意22ab a x y a x y k k PB PA -=-⋅+=⋅，且a x ±≠，………………３分 整理得12222=+b y a x ．所以，曲线C 的方程为：12222=+by a x ，a x ±≠．………5分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,12222h kx y b y a x 得0)(2)(22222222=-+++b h a hkx a x k a b ，()422222222222244()0,a h k b a k a h b b a k h ∴∆=-+-<+<即，……7分 由已知条件可知)0,-(khM ，),0(h N ，所以 ab b a k a k b b a k a b k k a b h k h MN 2||2222222222222222222++≥+++=+++>+=， 从而22)(||b a MN +>， 即b a MN +>||． ………………13分20．（本小题满分14分）本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：2)2(211)(+-+='x a x x f 22)2)(1()24()24(++-+-+=x x a x a x ． （Ⅰ）当0=a 时，0)0(=f ，切线的斜率1)0(='=f k ，所以切线方程为x y =，即0=-y x ． ……3分（Ⅱ）当0>a 时，因为0>x ，所以只要考查)24()24()(2a x a x x g -+-+=的符号． 由0)24(4)24(2≤---=∆a a ，得20≤<a ，当20≤<a 时，0)(>x g ，从而0)(>'x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 当2>a 时，由0)(=x g 解得a a a x 222-+-=． ……6分当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：函数)(x f 在区间)22,0(2a a a -+-单调递减，在区间),22(2+∞-+-a a a 上单调递增． ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2=a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 所以0)0(22)1ln()(=>+-+=f x x x x f ， 即)1ln(22x x x +<+对任意),0(+∞∈x 成立． ……11分 取kx 1=，n k ,,3,2,1 =， 得121ln(1)12k k k<++，即k k k ln )1ln(122-+<+，n k ,,3,2,1 =．……13分 将上述n 个不等式求和,得到:∑∑==-+<+n k nk k k k 11]ln )1[ln(122，即不等式1ln 1215131+<++++n n 对任意*N ∈n 成立． ……14分21．（1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．解：（Ⅰ）依题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2213T ，所以42213det ==T ， 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-432141211T ． ----------3分 （Ⅱ）由βα=T ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2165432141211βαT ． ----------7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．解：（Ⅰ）由θθρsin 8cos 6+=，得θρθρρsin 8cos 62+=，所以圆C 的直角坐标方程为08622=--+y x y x ，即2225)4()3(=-+-y x ．………………………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 54,cos 53y x （θ为参数）. 所以)4sin(257πθ++=+y x ， ………………………5分 因此当ππθk 24+=，Z ∈k 时，y x +取得最大值为257+，且当y x +取得最大值时点P 的直角坐标为)2254,2253(++．……………7分（3）选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分． 解：（Ⅰ）依题意，当1=x 时不等式成立，所以3|1|3≤-+m ，解得1=m ， 经检验，1=m 符合题意． ---------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知132222=++c b a ．根据柯西不等式， 得6])3()2()[321()32(2222222=++++≤++c b a c b a ，-----------------5分 所以6326≤++≤-c b a ， 当且仅当66===c b a 时，取得最大值6，66-===c b a 时，取得最小值6-， 因此c b a 32++的取值范围是]6,6[-． --------------------7分。
2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷
2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1.i 是虚数单位，复数(2)(1)z x i i =++，R ∈x ．若z 的虚部为4，则x 等于A ．2B ．-2C ．1D ．-12. 要得到函数tan(2)3y x π=+的图象，只须将x y 2tan =的图象上的所有的点 A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度C.向左平移6π个单位长度D.向右平移6π个单位长度3. 根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是 A.300 B. 305C.315D. 320 锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R =π，343V R =π其中R 为球的半径样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为样本平均数 柱体体积公式 V Sh =其中S 为底面面积，h 为高天数年份3503403303203103002902007 2008 2009 2010 2011 2012第3题图４.已知函数()af x x x=+，则“4a =”是“函数()f x 在(2,)+∞上为增函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知命题“直线l 与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题： ①直线l 上的点都在平面α内； ②直线l 上有些点不在平面α内；③平面α内任意一条直线都不与直线l 平行． 其中真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.06.已知等比数列{}n a 的公比2=q ，且462,,48a a 成等差数列，则{}n a 的前8项和为 A.127B.255C.511D.10237.设88018(1),x a a x a x +=+++ 则0,18,,a a a 中奇数的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．58.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2(1)P D P A C Bλ=-+ ，其中R ∈λ，则点P 一定在 A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部9.对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点，则双曲线的离心率等于 A ．2B ．2C ．3D ．1010.对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数： ①2()f x x =，22)(-=x x g ； ②()f x x =，()2g x x =+；③x x f -=e )(，1()g x x=-； ④()f x ln x =，x x g =)(，则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是 A ．①② B ．③④ C ． ②③ D ．①④第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 .12.已知函数()f x cos ,0,1,0,x x x ≥⎧=⎨<⎩，则22()d f x x π-⎰的值等于．13. 已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入10=x ，输出4=y ，则在图中“？”处可填入的算法语句是 （写出以下所有满足条件的序号）． ①1-=x x ； ②2-=x x ； ③3-=x x ； ④4-=x x ．14.在区间]2,0[上任取两个数a ，b ，能使函数()f x 1a x b =++在区间]1,1[-内有零点的概率等于________.15.设数列}{n a 是由集合t s ts<≤+0|33{，且s ，}Z ∈t 中所有的数从小到大排列成的数列，即41=a ，102=a ，123=a ，284=a ，a 5＝30，a 6＝36，…，若2013a ＝n m 33+(0m n ≤<，且m ，}n ∈Z ，则n m +的值等于____________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分13分） 已知平面向量a (sin,3)3x π=错误！未找到引用源。
2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷(word)
2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷(word)22013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）注意事项： 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，锥体体积公式13V Sh = 其中S 为底面面积，球的表面积、体积24S R =π，343V R =π 其中R 为球的半径 样本数据1x ，2x ，，nx 的标准差 ()()()222121ns x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为样本平均数 柱体体积公式 V Sh =其中S 为底面面积，h 为高3共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. i 是虚数单位，复数(2)(1)z x i i =++，R ∈x ．若z 的虚部为4，则x 等于 A ．2B ．-2C ．1D ．-12. 要得到函数tan(2)3y x π=+的图象，只须将x y 2tan =的图象上的所有的点 A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位长度D.向右平移6π个单位3. 根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是 A.300 B.305C.315天数第345的中点为D ，若2(1)PD PA CB λ=-+，其中R ∈λ，则点P 一定在A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC的内部9.对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点，则双曲线的离心率等于 A ．2 B ．2 C ．3 D ．1010.对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f xg x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D上的“友好点”．现给出两个函数： ①2()f x x =，22)(-=x x g ；②()f x x =，()2g x x =+； ③xx f -=e )(，1()g x x=-； ④()f x ln x =，x x g =)(，则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是A ．①②B ．③④C ． ②③D ．①④6第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 . 12.已知函数()f x cos ,0,1,0,x x x ≥⎧=⎨<⎩，则22()d f x xπ-⎰的值等于 ．13. 已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入10=x ，输出4=y ，则在图中“？”处可填入的算法语句是 （写出以下所有满足条件的序号）． ①1-=x x ； ②2-=x x ； ③3-=x x ； ④4-=x x ．第13开始 _0?x结束 输是 否 输1()2xy714.在区间]2,0[上任取两个数a ，b ，能使函数()f x 1ax b =++在区间]1,1[-内有零点的概率等于________.15.设数列}{na 是由集合ts t s<≤+0|33{，且s ，}Z ∈t 中所有的数从小到大排列成的数列，即41=a，102=a ，123=a ，284=a，a 5＝30，a 6＝36，…，若2013a ＝n m 33+(0m n≤<，且m，}n ∈Z ，则nm +的值等于____________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分13分）已知平面向量a (sin 3)3x π=错误！未找到引用源。
2013年秋高三(上)期末测试卷数学试题(理)
2013年秋高三(上)期末测试卷数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1～5 CABAD 6～10 CADAB（10）提示：如图所示，因为圆2O 内含于圆1O ，所以2O 在以1O 为圆心半径为2的圆内运动，又点N 在两条垂直的直径上运动，即2O 在到两条直径的距离为1的带状区域内运动，综上，2O 的运动区域为图中所示的多边形 区域，其中每个小弓形的面积为332234214321-=⋅⋅-⋅⋅ππ，所以此 多边形区域的面积为4343822322)332(42-+=-⋅⋅+-ππ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）i 63- （12）2 （13）400 （14）22 （15）2 （16）m ≤34- （13）提示：先安排航模与棋艺，有25A 种方法，再安排另外两门课程，有25A 种方法，所以，安排四门课程的方法为4002525=⋅A A 种．三、解答题：本大题共6小题，共75分.（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）816324=+⇒=a a S ，即822=+d a )3)((22225122d a d a a a a a +-=⇒=即d a 322= 2,32==∴d a 12-=∴n a n ；………………7分 （Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n 12)1211(21+=+-=∴n n n T n ．…………13分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）6161312133=⨯⨯⨯=A P ；………………6分 （Ⅱ）ξ的取值为3,2,1,0，分布列如下：23321=⨯=ξE ．………………13分 （19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos 31cos 21)cos(32cos 2+-=-⇒++=A A C B A 即02cos 3cos 22=-+A A )(221cos 舍或-=∴A 3π=∴A ；………………6分 （Ⅱ）21)cos(-=+C B 21sin sin 81-=--∴C B 83sin sin =∴C B ………………9分 又A bc S sin 21=即432321=⇒=⋅bc bc ………………11分 由正弦定理知CB bc A a sin sin sin 22=即834432=a 22=∴a ．………………13分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）ax x x f 21ln )(++=' a f 21)1(+=' a f =)1( ∴切线方程为)1)(21(-+=-x a a y由题知，)1()21(-⋅+=-a a 1-=∴a ；………………5分（Ⅱ）ax x x f 21ln )(++=' 要使函数()f x 在区间)1,0(内不单调，则只需)(x f '的函数值在)1,0(内有正有负，令12ln )(++=ax x x g ，则a x x g 21)(+='，而11)1,0(>⇒∈x x ……………8分 当a 2≥1-即a ≥21-时，0)(>'x g ， )(x g ∴在)1,0(内单增，又0→x 时-∞→)(x g ∴只需012)1(>+=a g ， 即21->a ，21->∴a ；………………10分 当12-<a 即21-<a 时，)(x g 在)21,0(a -上单增，在)1,21(a-上单减 ∴只需0)21(>-a g 即0)21ln(>-a 21->∴a ，矛盾，舍；综上，21->a ．…………12分 （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题知1,22==a b b a 4,2==∴a b 所以椭圆1C 的方程为141622=+y x ；…………4分 （Ⅱ）由题意知，两条切线的斜率均存在，可设点),(00y x M 、切线的斜率为k ，则切线方程为)(00x x k y y -=-即000=-+-kx y y kx11||200=+-+∴k kx y k 即01)1(2)2(20002020=-+-+-y k y x k x x ，记其两根分别为21,k k在)(00x x k y y -=-中，令0=x ，得00kx y y -=，∴|)(|||021x k k PQ -=∴]4)[(||21221202k k k k x PQ -+= 2002020202020200202020)2(24)2()1)(2(4)1(4--+⋅=⋅-----=x x x y x x x y x x y x ……………8分 又14162020=+y x ∴200202)2(1683||-+-=x x x PQ 200200020)2()1(43)2(44)44(3-++=-+++-=x x x x x x ， 令t x =+10，则]5,1()1,3[ -∈t ，694)3(4)2()1(42200-+=-=-+tt t t x x 当3-=t 时，694-+tt 取得最小值31- ||4||||21PQ PQ CD S S ==∴的最大值为63134=-．………………12分（22）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记第k 行中的最大者为k a ，第m 列中的最小者为m b ，其中i k ,2,1=，j m ,,2,1 =则},,,min{21i a a a a =，},,,max {21j b b b b =，显然对任意的m k ,有，k a ≥km a ≥m b ，a ∴≥b ；………………5分（Ⅱ）要||b a -最大，则让a 尽量大，b 尽量小，当将n ,,2,1 排成i 行j 列的方阵时，要使a 尽量大，b 尽量小，则只需让n ,,2,1 中最大的i 个数分布于不同的行，最小的j 个数分布于不同的列，此时1+-=i n a ，j b =，)(20151||j i j i n b a +-=+--=-∴，又531922014⨯⨯==⨯j i ，∴当53,38==j i 或38,53==j i 时，j i +取最小值91， 所以||b a -的最大值为1924．………………12分。
福建省2013届高三数学毕业班质量检测试题 文(含解析)新人教A版
2013年某某省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的某某、某某号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式=31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．z =【答案】D【解析】1z i =+，因此，A ，B 不正确；而z =D 正确。
2．已知,0a b c >≠，则下列不等式一定成立的是A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．a b c c >【答案】C【解析】当1a =-，2b =-时显然A 项不对；当0c <时B 和D 项不对；不等式两边加上同一个数不等式方向不改变，因此C 项对。
3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为 A ．3 B ．8 C ．9 D ．63 【答案】B【解析】由输入x 的值是2，循环一次x 的值是3，循环两次x 的值是8，恰好可以满足条件8x ≥，结束程序，输出的值是8。
福建省福州市2012-2013高三数学第一学期期末考试卷 理
某某一中2012-2013学年第一学期期终考试高三理科数学试卷（完卷100分钟 满分100分）一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．当12a <<时，复数2(1)z a a i =-+-在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 下列命题中错误．．的是 A ．命题“若2560,x x -+= 则2x =”的逆否命题是“若2,x ≠ 则2560x x -+≠”B.“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件C ．已知命题p 和,q 若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对于命题:,p x R ∃∈ 使得210,x x ++< 则¬p ：,x R ∀∈则210.x x ++≥3. 在平面直角坐标系中,若角α的顶点在坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边经过 点(3,4)P a a -(其中0a <),则cos α的值为 A.54-B.53- C.53 D.54 4. 已知集合{}{}22201220130,0,M x x x N x x ax b =-->=++≤若,MN R =(]2013,2014,MN =则A ．2013,2014a b ==- B. 2013,2014a b =-= C ．2013,2014a b ==D ．2013,2014a b =-=-5．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.下列四个命题，其中是“可换命题”的是 ①垂直于同一平面的两直线平行②垂直于同一平面的两平面平行 ③平行于同一直线的两直线平行④平行于同一直线的两平面平行 A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．③④ 6. 用反证法证明命题：“,,m n N mn ∈可被5整除，那么,m n 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为A ．,m n 都能被5整除B ．,m n 不都能被5整除C ．,m n 都不能被5整除D ．n 不能被5整除7. 已知函数()xf x a x b =+-的零点0(,1)(),x n n n Z ∈+∈其中常数,a b 满足23,a=32,b =则n 的值是 A.2- B.1- C.0 D .18. 设点,O F 分别是原点和抛物线24y x =的焦点，抛物线上的点A 在其准线上的射影为B ，且60,OFB ∠=︒则ABF ∆的面积为A．．．9．已知,,a R b R ∈∈且1,22b ab a b a ≥⎧⎪≤+⎨⎪≥-+⎩则229a b ab +A ．18B ．16C ．14D ．49410．已知函数()y f x =()y f x =的解析式应为A. 2ln )(x xx x f -= B. 2ln )(x xx x f += C. xx x x f ln )(2-= D. xx x x f ln )(+=二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12应位置.11. 函数32()1f x x x =-+在点(1,1)处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于___.12．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若要拼成一个棱长为1的正方体，则需要这样的几何体个.13．如图所示，由若干个点组成形如长方形的图形，每条边（包括两个端点）有(2)n n ≥个点，每个图形总的点数记为n a ， 则2334452012201316161616_____.a a a a a a a a ++++=14.把离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”，如图的两个相似椭圆,分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，且(1)qq>是这两个椭圆长轴的长的比值，那么_____.q =2n = 3n = 4n =正视图 侧视图俯视图三、解答题:本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题8分）已知数列{}n a 的首项12a =，且13,n n a a +=数列{}n n a b -是等差数列，其首项为3，公差为2 ,其中*∈N n .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S .16.（本小题10分）已知(3sin ,2cos ),(2cos ,cos ),m x x n x x ==-函数()1f x m n =-． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期和对称轴的方程；(Ⅱ)设ABC ∆的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1,()0a f A ==，求c b +的取值X 围．17.（本小题10分）如图，四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ,ABCD 是边长为2的菱形，,2(0),3BAD PD k k E π∠==>为AB 中点.(Ⅰ)求证：ED ⊥平面PDC ；(Ⅱ)当二面角P EC D --的大小为6π时，求k 的值； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求直线EC 与平面PAB 所成的角θ的正弦值．PAB CDE18. （本小题10分）已知双曲线2222:1x y E a b-=的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线0x y -=相切. (Ⅰ) 求双曲线E 的方程；（Ⅱ）已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线l 交双曲线E 于,P Q 两点，使FP FQ ⋅为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题10分）已知函数()ln ,f x x =若存在函数()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“下界函数”. （I ） 如果函数()ln (ag x x a x=-为实数)为()f x 的一个“下界函数”，求a 的取值X 围；（Ⅱ）设函数1()(), 2.x mF x f x m e ex=-+> 试问函数()F x 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.某某一中2012-2013学年第一学期期终考试高三理科数学试卷参考答案一、选择题： DCBDC CBCBA 二、填空题： 11. 16 12. 3 13. 20112012三、解答题：15. 解：（Ⅰ）由题可得：13n na a +=，∴ 数列{}n a 是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴123n n a -=⨯. ………………………………2分（Ⅱ）由题知：121,2321n n n n b a n b n --=+∴=⨯++， ……………………4分∴()()21232122323233212n nn n n S n n -++=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=++-.…8分16. 解：（Ⅰ）2()22cos 12cos 22f x x x x x =--=--2sin(2) 2.6x π=--…………………………………2分故)(x f 的最小正周期为,π…………………………………3分 由262x k πππ-=+（Z k ∈）得对称轴的方程为1,.23x k k Z ππ=+∈……4分 （Ⅱ）由0)(=A f 得2sin(2)20,6A π--=即sin(2)1,6A π-=112,2,66662A A πππππ-<-<∴-=,3A π∴=…………………………6分 解法一：由正弦定理得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+)32sin(sin 32sin sin 32B B C B c b π）（ =)6sin(2π+B …………………………………8分25,(0,),(,),33666A B B πππππ=∴∈+∈ 1sin(),1,62B π⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦b c ∴+的取值X 围为(]2,1. …………………………10分解法二：由余弦定理得222,1,a b c bc a =+-= 221,b c bc ∴+=+22()()1313,4b c b c bc +∴+=+≤+⋅解得2,b c +≤………………………8分又1>+c b ，所以c b +的取值X 围为(]1,2.…………………………10分 17.解：(Ⅰ)证明：连结,DB 由题知ABD ∆为正三 角形，,ED AB ∴⊥………………1分//,,AB DC ED DC ∴⊥又PD ⊥平面ABCD ,,ED PD ∴⊥ED ∴⊥平面PDC ；…………………………3分(Ⅱ)解法一：作DM EC ⊥于点,M 连结,PM DM 为斜线PM 在平面ABCD 的射影，,PM EC DMP ∴⊥∴∠为二面角P EC D --的平面角，故,6DMP π∠=……5分在直角三角形DEC 中，7DE DC DM EC ⋅==PABCDE因为,DM ==所以k =……………………………………7分解法二：以点D 为原点O ，射线,,DE DC DP 分别为Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向 建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,2,0),(0,0,2),E C P k ……………4分 设平面PEC 的法向量为1111(,,),n x y z=111111(,,)(2,0)0,(,,)(0,2,2)0x y z x y z k ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩可得1(2n k =…………………………………………………5分 又平面DEC 的法向量可为2(0,0,1),n =由123cos ,2n n 〈〉=化简得271,k k =∴=………………………………………………7分 (Ⅲ) 解法一：设平面PBA 的法向量为3333(,,),n x y z=333333(,,)(0,2,0)0,(,,)07x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅-=⎪⎩可得3n=…………………………………………………8分 又(2,0),EC =-因此sin θ=32cos ,35EC n 〈〉=…………………10分 解法二：设点C 到平面PAB 的距离为,h 则,C PAB V-=…………………8分 又P ABC V -=因为,P ABC C PABV V --= 所以h =………………………9分 PABCD EM因此sin θ=35h EC =………………………………………………………10分18.解：(Ⅰ)2,1,c a b ==∴=………………………………………2分所以双曲线E 的方程为22:13x E y -=； ……………………3分（Ⅱ）解法一：当直线l 为0y =时，((2,0),P Q F -(2,0)2,0)1;FP FQ ∴⋅=-⋅=……………………4分当直线l 不是0y =时，可设:,l x ty m =+(t ≠代入22:13x E y -=整理得222(3)230(t y mty m t -++-=≠*……………………6分由0∆>得229,m t +>设方程*的两个根为12,,y y 满足212122223,,33mt m y y y y t t -+=-=-- 1122(2,)(2,)FP FQ ty m y ty m y ∴⋅=++⋅++22221212221215(1)(2)()(2),3t m m t y y t m y y m t ---=++++++=-………8分 当且仅当2212153m m ++=时，FP FQ ⋅为定值1，解得3m =-±3m =-+而且3m =-满足0∆>；综上得：过定点(3M -任意作一条直线l 交双曲线E 于,P Q 两点，使FP FQ ⋅为定值1.…………………………………………………………………10分解法二： 前同解法一，得FP FQ ⋅=22221215,3t m m t ----…………………8分 由222212151,3t m m t ---=- 得2212153m m ++=，解得3m =-±. …………………………………………………10分解法三： 当直线l 不垂直x 轴时，设:()(3l y k x m k =-≠±代入22:13x E y -=整理得22222(31)63(1)0(3k x mk x m k k --++=≠±*…………5分 由0∆>得222310,m k k -+>设方程*的两个根为12,,x x 满足222121222633,,3131mk m k x x x x k k ++==-- 1122(2,())(2,())FP FQ x k x m x k x m ∴⋅=+-⋅+-22222212122(21215)1(1)(2)()4,31m m k k x x mk x x m k k ++-=++-+++=-……7分 当且仅当2212153m m ++=时，FP FQ ⋅为定值1，解得3m =-±3m =-+而且3m =-满足0∆>； …………………………………………………8分当直线l x ⊥轴时，:3l x =-代入22:13x E y -=得1,2y =21212(1)(1)(11;FP FQ y y y y ∴⋅=-⋅-=-+=……………9分 综上得：（结论同解法一） ………………………………………10分 （注：第（II ）题有一般性结论） 19．解：（I ）解法一：由ln ln ax x x-≤ 得2ln ,a x x ≤………………………1分 记()2ln ,h x x x =则()2(ln 1),h x x '=+…………………………………2分当1(0,)x e∈时，()0,h x '< 所以()h x 在1(0,)e上是减函数，当1(,)x e ∈+∞时，()0,h x '> 所以()h x 在1(,)e+∞上是增函数， …………3分因此min 12()(),h x h e e ==- 即2.a e ≤-………………………………………5分解法二：由ln ln a x x x -≤ 得2ln 0,ax x -≤设()2ln ,a P x x x =-则22(),a xP x x --'=………………………………………1分（1）若0,a <由22()()2aP x x x '=-+知()P x 在(0,)2a -上是增函数，在(,)2a-+∞上是减函数， ………………………2分因为()0P x ≤恒成立，所以max ()()0,2a P x P =-≤解得2;a e ≤-……………3分（2）若0,a ≥当0x >且0x →时，()2ln ,aP x x x=-→+∞此与()0P x ≤恒成立矛盾，故舍去0a ≥； ……………………………………4分 综上得2.a e≤-……………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法一：函数1()ln , 2.x mF x x m e ex=-+> 由（I ）知22ln ,x x e ≥-即1ln ,x ex≥-………………………………………6分111(1)(),x x x m m e exF x e ex xe+---≥-+=………………………………………7分 设函数()(1)(0),()(1),xxP x m e ex x P x m e e '=-->=-- （1）当21m e <<+时，()P x 在(0,ln)1e m -上是减函数，在(ln ,)1em +∞-上是增函数，故()(ln)ln ,11e e P x P e e m m ≥=--- 因为2,m > 所以ln ln 1,1ee m <=- 即()0;P x >………………………8分（2）当1m e ≥+时，()()0;xxP x e e ex e e x ≥⋅-=->……………………9分 综上知()0,F x > 所以函数()F x 不存在零点.……………………………10分解法二：前同解法一，1111()(),x x m m x F x e ex x e e--≥-+=-………………7分 记1(),x m x M x e e -=- 则1(),x x M x e-'=所以()M x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数， 因此min 2()(1)0,m M x M e-==>………………………………………9分 故2()0,m F x ex-≥> 所以函数()F x 不存在零点.……………………10分 解法三：前同解法一，因为2,m >故1(),x x e exF x xe +->………………………7分 设函数()(0),(),xxP x e ex x P x e e '=->=-因此()(1)0,P x P ≥=即10,x x e exxe +-≥…………………………………9分 故()0,F x > 所以函数()F x 不存在零点.…………………………………10分解法四：前同解法一，因为2,m >故1(),x x e exF x xe+->………………………7分 从原点O 作曲线:(0)xE y e x =>的切线,l 设切点为00(,)xA x e ，那么000:(),x x l y ee x x -=-把点(0,0)O 代入得01,x =所以:,l y ex =所以xe ex ≥（当且仅当1x =时取等号），即10,x x e exxe+-≥…………………9分 故()0,F x > 所以函数()F x 不存在零点.……………………………………10分。
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福建省福州市2013届高三上学期期末质量检查
数学（理）试题
（满分：150分；完卷时间：120分钟）
参考公式：
用最小二乘法求线性回归方程系数公式12
21
,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y bx x
nx
==-=
=--∑∑
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一
个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．i 是虚数单位，复数21i
i
-+在复平面上的对应点所在直线的方程是 A ．x+y －2 =0 B ．x －y+2 =0 C ．x+y+1 =0
D ．x －y －1=0
2．如图设全集U 为整数集，集合{|18},{0,1,2}A x N x B =∈≤≤=则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 3．在2012年第30届伦敦奥运会上，中国队教练想从5名女运动员中选出3名参加乒乓球女子团
体比赛，不同选法有
A ．35种
B ．53种
C ．3
5A 种
D ．3
5C 种
4
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a ∧
∧
=+，据此模型来预测当x= 20时，y 的估计值为
A ． 210
B ．210．5
C ．211．5
D ．212．5
5．函数
21,0()2,0x
og x x f x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是
A ．0a <
B ．102
a <<
C ．
1
12
a << D ．01a a ≤>或
6．若运行如右图所示的程序，则输出S 的值是
A ．2012
2011 B ．
2011
2012 C ．2012
2013
D ．20132012
7．已知函数()sin()(0,0,||2
f x M x M π
ωϕωϕ=+>><
半个周期内的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为
A ．()2sin()6
f x x π
=+
B ． ()2sin(2)6
f x x π
=-
C ．()2sin()6
f x x π
=-
D ．()2sin(2)6
f x x π
=+
8．若函数2(),()1||(0,1),x f x a g x og x a a -==>≠且(3)f ·(3)0g -<则函数()f x 、()g x 在
同一坐标系内的大致图象是
9．设向量a ，b 是非零向量，若函数()()f x xa b =+ ·()()a xb x R -∈
的图象不是直线，且在x=0
处取得最值，则必有 A ．a ⊥b
B ．a ∥b
C ．a ，b 苫不垂直且||||a b =
D ．a ，b ，不垂直且||||a b ≠
10．能够把圆O ：x 2 +y 2= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的 “和谐函数”，
下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是 A ．3
()4f x x x =+ B ．5()15x
f x n
x
-=+
C ．()tan
2
x f x =
D ．()x
x
f x e e
-=+
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。
）
11．设不等式组01,
01
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩ 表示平面区域为M ，在区域M 内随机取一个点（x ，y ），则此点满足
不等式210x y +-≤的概率是 。
12．已知双曲线22
21(0)x y a a
-=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则此双曲线的离心
率为 。
13．若2
(21)n
x dx +⎰，且()n a x x
-的展开式中x 2
的系数是15，则a 的值为 . 14．△ABC 中，若sinB 既是sinA ，smC 的等差中项，又是sinA ，sinC 的等比中项，则∠B 的大小是
____． 15．已知点1212(,)(,)x x A x a B x a 是函数(1)x
y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线
段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论
12
12
22
x x x x a a a ++>成立．运用类比思想方法可知，若点A （x 1，sinx l ）、B （x 2，sinx 2）是函数y=sinx （z ∈（0，π））的图象上的不同两点，则类似地有____成立．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 16．（本小题满分13分） 已知数列*11{}1,(,)32().n n n a a a a y x n N +==+∈中点在函数的图象上 （I ）证明：数列{1}n a + 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和．
17．（本小题满分13分）
2013年将在沈阳举行第12届全运会，乒乓球比赛会产生男子个人、女子个人、男子团体、女
子团体共四枚金牌，保守估计，福建乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为3
4
，福建乒乓球女队获得每枚金牌的概率均为
45
， （I ）记福建乒乓球男队获得金牌总数为X ，按此估计，求X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）按此估计，求福建乒乓球女队比福建乒乓球男队多获得一枚金牌的概率，
18（本小题满分13分）
已知函数()2sin f x x ω=·2
cos x x ωω+ω>o ）
，且函数()f x 的最小正周期为π
（I ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y= f （x ）的图象向右平移
4
π单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的
1
2倍（纵坐标不变）得到函数y=g （x ）的图象．求函数g （x ）在[,]624
ππ
-上的单调区间．
19．（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +>>的离心率为2
，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距
离为2．
（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知直线:l y kx =C 交于A 、B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ， 其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相 切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点 O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
若池边AE 满足函数22(0y x x =-+≤≤M 到边
OA 距离为24(
)33t t ≤≤． （I ）当2
3
t =时，求直路l 所在的直线方程；
（Ⅱ）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
21．（本小题满分14分） 已知函数()1b
f x nx x
=-
（b 为实数） （I ）若b= －1，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）在定义域内的任何一个x ，若满足M （x ）≥N （x ）恒成立，则称M （x ）是N （x ）的一个
“上界函数”． （i ）如果函数()f x 为g （x ）=－1nx 的一个“上界函数”，求b 的取值范围；
（i i ）的若b =0，函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于直线y=x 对称，求证：当(2,)x ∈-+∞
时，函数F （x ）是函数(
1)12
2
y f π
π
=++
+的—个“上界函数”
11。