2014东大真题解答
东北大学2014自控真题及解答
东北大学2014自控真题一、简答题（10分）1. 简述前馈控制可以改善线性系统哪方面性能，对线性系统稳定性有何影响？2. 简述频率特性的定义，最常用的频率特性表示方法有哪些？ 解：（1） 通过前馈补偿，提高了系统的控制精度，减小了稳态误差。
对于给定前馈，可以提高跟踪速度。
对于按扰动矫正，可在偏差对被控量产生影响前对系统进行校正。
由于输入取自闭环外，不影响系统的特征方程式，故不影响系统的稳定性。
（2） 当输入信号为谐波时，频率特性为输出信号的傅氏变换与输入信号的傅氏变换之比。
常见的表示法有幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线、对数幅相频率特性曲线。
二、（20分）若某系统在单位阶跃输入作用时，系统在零初始条件下的输出响应为212t t e e -+,试求系统的单位阶跃响应。
解：12132[c(t)]21(s 2)(s 1)-+=-+=----s L s s s s 由于1Rs （S ）= 故(S)32(S)(S)(S 2)(S 1)B C S W R -+==-- 当(t)(t)r δ=，即R(S)1=32(S)W (S)*R(S)(S 2)(S 1)B SC -+==--， 进行拉氏反变换有11241[c(s)][]421---=+=-+--t t L L e e s s 三、（20分）已知系统的结构图如下图所示，若系统以2/n w rad s =的频率做等幅震荡，试确定震荡的k 、a 。
解：系统闭环特征方程：32(s)s as (k 2)s (k 1)0B D =+++++=由系统在2/n w rad s =的频率做等幅震荡，知2j ±为特征方程式的根。
令2s j =得“84(k 2)*2(k 1)0j a j --++++=整理得(2k 4)(k 14a)0j -++-=分别令实部为零，虚部为零，可得2k =，0.75a =四、（20分）已知单位负反馈系统的开环传递函数为，21(s a)4(s)(s 1)K W s +=+ 试绘制以a 为参数的根轨迹0a ≤<∞并确定使该单位负反馈系统稳定的a 的取值范围。
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年考研东南大学通信920专业基础真题(回忆版)
一、选择题（15个小题45分）
二、4线-2线编码器设计，要求有输出有效信号标志（可使用与门、或门、非门）7分
三、时许逻辑电路给出电路图写状态转移方程画出时序图10分
四、根据PAL16L8图中的编程情况写出输出表达式用74153利用四选一实现
五、用面包板、发光二极管、电阻、导线、+5v电压源、峰值为+5v的方波、74195移位寄存器来设计直接反映其右移功能。
六、拉普拉斯变换的卷积性质证明9分
七、序列x(k)的双边z变换为x(Z)，收敛域为a<|z<|b，y(k)=x(k/2),k为偶数时y(k)=0,k为奇数时。
求y(k)的双边z变化及其收敛域。
10分
八、一个调制的题目，输入一个信号乘以p(t)，p(t)是一个周期矩形波（是奇信号的那种），有三问1）求p(t)傅里叶变化并画出频谱2）使得信号恢复出来，一些参数的要求3）忘了这个题目分值为18分不说了都是泪跟13年的那题很相似基本是原题
九、题目给出了一个RC网络图（是低通滤波器）。
1）写出其H(s)，2）画出其大致幅频曲线，3）给了e(t)=tε(t)（e(t)的形式可能不是这个）求零状态响应3）e(t)=1+sint求输出响应。
十、题目给出了一个系统框图（框图中有一个K），标明了A、B、C三点，题目要求将A、B、C三点处作为状态变量。
1）写出状态方程和输出方程2）求系统的H(s)3）求系统稳定是K的取值范围。
东南大学2014学年上学期工科数学分析期末考试卷(A卷)
共 4 页 第 1 页南大学2014学年上学期工科数学分析期末考试卷（A 卷） 课程名称 考试学期 得分 适用专业 工科类 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟 1．函数1()2d (0)x F x t x ⎫=->⎪⎭⎰的单调增加区间为 ； 2．已知2060arctan()d lim 1t t x ax x t →=⎰，则a = ； 3．曲线32635y x x x =-++上的拐点是 ； 4．曲线323(2)x y x =+的斜渐近线的方程是 ； 5．二阶常系数线性非齐次微分方程265e x y y y '''+-=的特解形式是*y = ； 6．设θ是常数，0x ∀>，若0ln d ln 2x x t t x θ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰，则θ= ； 7．240sin d x x π=⎰ ； 8．设21()cos d x f x t t =⎰，则10()d f x x =⎰ ； 9．用M ε-语言叙述极限lim ()x f x →-∞存在的Cauchy 收敛准则 .二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10．300sind lim (1cos )x x t tt x x →-⎰ 11. ()240(1)sin(1)d x x x x --⎰共 4 页 第 2 页12．已知()f x 的一个原函数为(1sin )ln x x +，求()d xf x x '⎰.13．设220sin ()2d ,()1xx t f x t p x ax bx c t+=+=+++⎰，求常数a 、b 、c ，使得 (0)(0),(0)(0),(0)(0)p f p f p f ''''''===.14。
x ⎰共 4 页 第 3 页 三（15）．（本题满分8分）求微分方程sin 2e x y y x ''+=+满足初值条件01x y ==， 00x y ='=的特解.四（16）．（本题满分7分）设函数()f x 定义在区间[0,)+∞上，恒取正值，若对(0,)x ∀∈+∞，()f x 在[0,)+∞上的积分平均值等于(0)f 与()f x 的几何平均值，试求()f x 的表达式.五（17）．（本题满分6分）1与(ln 1+的大小，并给出证明.共 4 页 第 4 页六（18）．（本题满分7分） 对参数,p q ，讨论反常积分0d 1p qx x x +∞+⎰的敛散性，并给出证明.七（19）．（本题满分6分）设()f x 在区间[0,2]上连续可导，(0)(2)0f f ==，求证：2002()d max ()x f x x f x ≤≤'≤⎰.。
东南大学14-15-2 弹性力学试卷-A
东 南 大 学 考 试 卷 （A 卷）课程名称弹性力学考试学期 14-15-2得分适用专业 交通运输工程 考试形式闭卷考试时间长度 120分钟共3 页 第 1 页一、问答题（30分，每小题3分） 1. 弹性力学中的基本假定有哪些？2. 什么是边界条件？它可以分为哪几种类型？3. 什么是逆解法？4. 试叙述圣维南原理。
5．试写出极坐标系中用应力函数表达的相容方程。
6. 不计体力时，在极坐标中求平面应力问题，归结为求解一个应力函数()ρϕΦ，，它应满足那些条件？7. 产生轴对称应力状态的条件是什么？ 8. 小孔口问题的应力集中现象具有那些特点？ 9. 试叙述极小势能原理。
10. 试写出弹性力学的虚功方程。
二、计算题1. 试证明：发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。
（10分）2. 已知开孔矩形薄板在图示荷载作用下的应力解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2222223112cos 212ρρϕρσρr r q r q ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4422312cos 212ρϕρσϕr q r q试求在孔边应力分量ϕσ达到的最大值及其位置。
（10分）3. 试检验223126y a y a +=Φ能否作为应力函数？若能，试求应力分量（不计体力），并画出图示杆件上的面力，求面力的合力并指出该应力函数所能解的问题。
（10分）4. 已知内半径为r ，外半径为R 的圆环受内压1q 作用时，圆环中的应力分别为1222211q r R R ---=ρσρ；1222211q r R R -+=ρσϕ试求具有圆形孔无限大弹性薄板内的应力。
（10分）5. 设半平面体在直边界上受集中力偶的作用，单位宽度上力偶矩为M ，如图所示，设应力函数为2=B sin +C ϕϕΦ，试求应力分量（15分）。
共3 页 第2页自觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无效6. 图示的薄板，b a =，厚度为1个单位，两边固定，取泊松比0=μ，上边受到均布拉力q 的作用。
2014年考研东南大学翻硕真题(回忆版)
资料来源：中国教育在线 /
资料来源：中国教育在线 / 英语基础
一、单词全都是考单词，没有语法。
单词只有几题是专八单词里的，其他的都看不懂。
本人专八单词来回背了有6、7遍，可是做起来还是感觉困难。
每道题都像是在解释一种现象或者文化~总之就是单词要好好的背，尽可能多背写GRE 单词吧~~
二、阅读，阅读感觉不难，基本都是原文可以边度边做的，文章很短，之前看到说是GRE 类型的阅读，感觉蛮像的。
三、作文。
很简单，就专八类型的作文。
问ZF 该不该给那些考上大学但付不起学费的学生实行免学费政策。
至少300字。
翻译。
翻译这次改革，之前是一篇C-E 一篇E-C ，这次
第一大题是10个单句的E-C ，40分。
都不难。
第二题是C-E ，三段，蛮短的，讲科技的，感觉跟二笔的类型差不多，本人就是拿二笔来训练的。
所以做起来还蛮顺手的。
第三题是一整篇E-C ，也是讲科技的，说的是小行星的危害，使得欧洲国家发散探测器什么之类的上去获取信息。
百科。
一、10个名词解释，6分一个，一共60分。
看到的时候要很郁闷，之前是25个，2分一个，这次改革改得分值好大。
九州，五礼，三省六部制，玄学，古文运动，乾嘉学派，中体西用，软实力，避讳，还有一个忘了。
二、就最近发生的新闻，写一篇新闻评论。
600字
三、给了一大段钱钟书关于文学翻译的理论，就自拟题目写一篇作文，要有专业性，800字。
线性代数第三章习题与答案(东大绝版)
第三章 习题与答案 习题 A1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1,3)T T T=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.从以下方程中求向量α1233()2()5()-++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1).TT T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα，1232104651112632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα故1234⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,即(1,2,3,4)T =α.3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++则有方程组131223000k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,因为系数行列式10311030010D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12200k k =⎧⎨-=⎩,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,则有方程组1234123412341234426405230235063960k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪----=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其系数行列式42645231021356396D ----==,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++则有方程组14243412341234203040234110547120k k k k k k k k k k k k k k +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证 设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,故13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n 个数12,,,,n k k k 使()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,则得方程组1122310000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其系数行列式11000011100000110001(1),000110000011n n D +==+-可见,当n 为奇数时,20n D =≠,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n 为偶数时,0n D =,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,证明:向量组12α,α,,αn 线性相关的充分必要条件是det()0ij a =.证 必要性:设12α,α,,αn 线性相关,则存在不全为0的n 个数12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= ,即有方程组()11121211212222112200*0n n n nn n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 该方程组有非零解,故系数行列式0n D =,即det()0ij a =,充分性: 对于方程组(*)当det()0ij a =时,系数行列式0n D =,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= 成立,故12α,α,,αn 线性相关.10.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.已知n 维标准单位向量组12e ,e ,,e n 能由它们线性表出,证明: 12α,α,,αn 线性无关.证 设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,则有1122αe e e ,i i i in n a a a =+++可见12α,α,,αn 也能由12e ,e ,,e n 线性表出,从而两个向量组等价. 因为12e ,e ,,e n 线性无关,所以12α,α,,αn 也线性无关.11.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表出.证 必要性:设12α,α,,αn 线性无关,β为任一n 维向量,则12α,α,,αn ,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn 线性表出.充分性:设任一n 维向量β都可由12α,α,,αn 线性表出.因此12α,α,,αn 与12e ,e ,,e n 等价,从而12α,α,,αn 线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);T T T =-==--- (2) 123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);T T T ===(3) 1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1,1,0);T T T T ==---=---=- 解 (1)19221004A 1102448-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 192082001900320-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭192010000000-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭102010000000-⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎝⎭, 向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.(2) 100A 120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100020003⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为3, 123α,α,α为一个极大线性无关组.(3) 14122131A 15413670⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭141209530953018106⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1412095300000000⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0)--. 解 所求方阵可写成1030011000A 001000001000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则1030001300A 00100000100000⎛⎫⎪- ⎪⎪→⎪⎪ ⎪⎝⎭显然(A)4R =.14.已知12α,α,,αs 的秩为r ,证明: 12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12α,α,,α,r i i i 为12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量,因为向量组的秩为r ,故1212α,α,,α,α,(,,)r i i i i r i i i i ≠ 线性相关.可见12α,α,,αs 中的每个向量都可由12α,α,,α,r i i i 线性表出.因此, 12α,α,,α,r i i i 是12α,α,,αs 的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1)001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (2)1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭;(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.解 (1) 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131********r r ↔⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为3.(2) 1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2131123403360336r r r r+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭32123403360000r r -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为2.(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭12011203430471r r ---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭213134011200130039r r r r ++--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭323011*********r r ---⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭, 秩为2.(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭213143317253143201330153015r r r r r r ---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭433217253143201310020000r r r r --⎛⎫⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭1310022013172531430000r r ↔⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭2131217100200110253190000r r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭23100202531900110000r r ↔⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭,秩为3. 16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 (A B)(A)(B)R R R +≤+.证 设1A (α,,α),(A),n R r == 1α,,αr 为一个极大线性无关组,1B (β,,β),(B),n R s == 1β,,βs 为一个极大线性无关组, 1A B (r ,,r )n += .因为1r ,,r n 可由1α,,αn ,1β,,βn 线性表出,从而也可由1α,,αr ,1β,,βs 线性表出.故()1A B (r ,,r )n R R +=≤ ()11α,,α,β,,βr s R r s =+=(A)(B)R R +.17.设A 与B 可乘,且AB 0=,证明: (A)(B)A R R +≤的列数. 证法一 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵 由AB 0=,有11111111n l m mn n nl m n n l a a b b a a b b ⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0000m l⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 比较等式两边对应元素,有111111111100n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩,11121211220,0n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ ,11111100l n nl m lmn nl a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ . 可见B 的列向量组为上述l 个齐次线性方程组的解向量,因此有 (B)(A)R n R ≤-, 移项得(A)(B)R R n +≤(A 的列数).证法二 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵, 12(A),(B)R r R r ==,因为1(A)R r =,则A 的标准形可写成1E 000r ⎛⎫⎪⎝⎭,即存在可逆阵P,Q 使得 PAQ 1E 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭.又设()111B Q B B r m n r m ⨯--⨯⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 则10(AB)(PAB)(PAQQ B)R R R -===,但()111111B E 0B PAQQ B Q B B 000r m r r m n r m ⨯⨯---⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可见11(B )(PAQQ B)0r m R R -⨯==,又因为12(Q B)(B)R R r -==,所以()12(B )n r m R r -⨯=,而()1B n r m -⨯共1n r -行,因此12n r r -≥,即12r r n +≤或(A)(B)R R n +≤.习题 B1.证明: 12α,α,,αs (其中1α0≠)线性相关的充要条件是至少有一个α(1)i i s <≤可被121α,α,,αi - 线性表出.证 必要性:设12α,α,,αs 线性相关(1α0≠),则存在不全为0的s 个数12,,,s k k k 使1122ααα0s s k k k +++= ,设i k 是12,,,s k k k 中最后一个不为零的数,即0i k ≠,而10i s k k +=== ,则1122ααα0i i k k k +++= ,因为1α0≠,所以1i >,即1i s <≤,(否则120,0s k k k ≠=== 则1α0k =不能成立),于是1111αααi i i i ik k k k --=--- ,即αi 可由121α,α,,αi - 线性表出.充分性:如果1111αααi i i k k --=++ ,则11111ααα0αα0i i i i s k k --+++-+++= ,而11,,,1,0,,0i k k -- 不全为0,所以12α,α,,αs 线性相关.2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组12α,α,,αn 秩为s ,12α,α,,αr i i i 是它的任意一个线性无关组,如果r s =,则它就是12α,α,,αn 的一个极大线性无关组.如果r s <,则12α,α,,αn 的其余向量中一定可以选出向量1αr i +,使12α,α,,αr i i i ,1αr i +线性无关(否则与12α,α,,αn 秩s r >矛盾),只要1r s +<,重复上述过程,直到r i s +=时为止.这样121α,α,,α,α,,αr r s i i i i i + 就是由12α,α,,αr i i i 扩充成的一个极大线性无关组.3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设12A :α,α,,α;s 12B:β,β,,βt 为两个秩为r 的向量组, 1212α,α,,α;β,β,,βr r 分别为A,B 极大线性无关组,设B 可由A 线性表出,则有()()1212β,β,,βα,α,,αTr r K = ,其中K 为组合系数构成的r 阶方阵,因为1212α,α,,α;β,β,,βr r 线性无关,所以K 可逆,()()11212α,α,,αβ,β,,βr r K -= ,从而12α,α,,αr 可由12β,β,,βr 线性表出,从而可由12β,β,,βt 线性表出,又12α,α,,αs 可由12α,α,,αr 线性表出,所以12α,α,,αs 可由12β,β,,βt 线性表出,即A 可由B 线性表出,因此向量组A ,B 等价.4.设向量组12α,α,,αs 的秩为r ,在其中任取m 个向量12α,α,,αm i i i ,证明:{}12α,α,,αm i i i R r m s ≥+- .证 设12α,α,,αm i i i 的秩为t ,从它的一个极大线性无关组(含t 个向量)可扩充为12α,α,,αs 的一个极大线性无关组(含r 个向量),所扩充向量的个数为r t -个.但12α,α,,αs 中除了12α,α,,αm i i i 外,还有s m -个向量,故r t s m -≤-,即t r m s ≥+-.5.设n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ,证明:存在秩为r 的n r ⨯阶矩阵P 及秩为r 的r m ⨯阶矩阵Q ,使A PQ =.证 因(A)R r =,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m 阶可逆阵F 和n 阶可逆阵G ,使得 E 0GAF 00r ⎛⎫=⎪⎝⎭,即11E 0A GF ,00r--⎛⎫= ⎪⎝⎭记111212122G G G ,G G -⎛⎫= ⎪⎝⎭111212122F F F F F -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1111G ,F 均为r 阶方阵,则111211121121222122G G F F E0E 0A G F GG F F 0000rr--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212122G 0F F G 0F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1111111221212122G F G F G F G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11112121G F F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 记1121G P G ⎛⎫=⎪⎝⎭,则P 为n r ⨯矩阵且(P )R r =(因1G -可逆,故其前r 列线性无关), ()1121Q F F =,则Q 为r m ⨯矩阵且(Q)R r =(因1F -可逆,故其前r 列线性无关),而A PQ =.。
东北大学自动控制原理2014年考研真题试卷
s(s
1 1)(s
2)
，用描述函数法分析系统是否存
在稳定自振点，若存在，求自振 和 A。
八．
设有零阶保持器的离散系统如图所示，其中 r(t) = 1(t),T = 1s,K = 1。试求系统的上升时间、 峰值时间、调节时间。
R(s) -
1 eTs s
K
C(s)
s(s 1)
整理编辑 By 邵永 2014 年 1 月
+ -
Kp
+
1
s(s 1)
KdS
+
科目代码：839 Xc
(1) Kp =10,Kd =1,求相位裕度。 (2) 若 Wc=5，r=50o，求 Kp，Kd。
七．
（1）用描述函数法分析
W1=
2 s(0.1s
1)
、W2=
2 s(s 1)
，哪个更精确，为什么？
（2）非线性部分
N(A)=
4 A
,线性部分
W(s)=
东北大学
2014 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
一．
科目代码：839
1.简述前馈控制可以改善线性系统哪方面性能，对线性系统稳定性有何影响？ 2.简述频率特性的定义，最常用的频率特性表示方法有哪些？
二．
若某系统在单位阶跃输入作用时，系统在零初始条件下的输出响应为：1-2e2t+et,试求系统的 单位脉冲响应。
五．
已知一最小相位系统开环对数幅频特性如下。其中实线为渐近线，虚线为精确线。试求系统 的开环传递函数8
0 -1
400
整理编辑 By 邵永 2014 年 1 月
东北大学
2014 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
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东北大学2014自控真题
一、概念题（共10分，2小题）
1. （5分）简述前馈控制可以改善线性系统哪方面性能，对线性系统稳定
性有何影响？
2. （5分）简述频率特性的定义，最常用的频率特性表示方法有哪些？
解：
（1） 通过前馈补偿，提高了系统的控制精度，减小了稳态误差。
对于给定
前馈，可以提高跟踪速度。
对于按扰动矫正，可在扰动对被控量产生影响前对系统进行校正，从而减弱或者消除扰动对被控量的影响。
由于输入取自闭环外，不影响系统的特征方程式，故不影响系统的稳定性。
（2） 当输入信号为谐波时，频率特性为输出信号的傅氏变换与输入信号的
傅氏变换之比。
常见的表示法有幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线、对数幅相频率特性曲线。
二、（共20分）若某系统在单位阶跃输入作用时，系统在零初始条件下的输出响应为：212---+t t e e ,试求系统的单位脉冲响应。
解：12132
[c(t)]21(s 2)(s 1)
+=
-+=++++s L s s s s 由于1R
s
（S ）= 故(S)32
(S)(S)(S 2)(S 1)
+=
=++B C S W R 当(t)(t)r δ=，即R(S)1=
3241
(S)W (S)*R(S)(S 2)(S 1)21
+==
=-++++B S C s s ，
进行拉氏反变换有11
241[c(s)][
]421
----=-=-++t t L L e e s s 三、（共20分）已知控制系统结构图如图1所示，若系统以2/n rad s ω=的频率做等幅振荡，试确定振荡时参数k 与a 的值。
解：系统闭环特征方程：
32(s)s as (k 2)s (k 1)0B D =+++++=
由系统在2/n w rad s =的频率做等幅震荡，知2j ±为特征方程式的根。
令2s j =得“
84(k 2)*2(k 1)0j a j --++++=
整理得
(2k 4)(k 14a)0j -++-=
分别令实部为零，虚部为零，可得2k =，0.75a =
四、（共20分）已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
21
(s a)
4(s)(s 1)
K W s +=+
试绘制以a 为变量的根轨迹（0a ≤<∞），并确定使该单位负反馈系统稳定的a 的取值范围。
解：
由系统开环传递函数可知其闭环特征方程式
3211
(s)s 044
=+++=B D s s a
故等效开环传递函数为
2
14(s)1(s )
2
K a
W s + 以根轨迹法则绘制根轨迹，其中： （1）渐近线13
σ=-，60θ=±，180
(2) 分离点
2'114
2
{()}0s s += 21122
()2()0s s s +++= 1
2
20s s +
+=
16
s =-
（3）与虚轴交点令s jw =
22(0.25a )j(0.25)0ωωω-+-= 1a =,0.5ω=
故(0,1)a ∈稳定。
五、（共20分）已知一最小相位系统开环对数幅频特性如图2所示。
其中实线为渐近线，虚线为精确曲线。
试求系统的开环传递函数。
解：
设()2121122222212111400
ξωωξωω⎛⎫++ ⎪
⎝⎭=⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭K s K s W s s s s
在低频段, 由20lg 20=-K 知0.1K = 在1 3.16ω=
处，120lg 8=
解得10.203ξ=。
由
()()240lg lg 2040lg 3.16lg 20
ωωω-=-=-c c
解得210,31.6ωω==c 。
在2ω处，有
2
1
20lg
62ξ=- 解得20.998 (1)ξ=≈。
综上，
()()
()()
22
0.10.10.12810.0010.06310.00251K s s W s s
s s ++=
+++或
六、 （共20分，2小题）已知一采用PD 串联校正的控制系统结构图如图3所示。
1、 （10分）当K p =10，K D =1时，求相位裕度。
2、（10分）若要求该系统穿越频率5c ω=、相位裕度50γ=℃，试确定K p 和K D 的值。
()()()220.10.10.1281(1)0.0025131.6
K s s W s s s ++=
++
解：PD 控制器的传递函数()=+PD K p D W s K K s 系统的开环传递函数为
()()
11⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=
+D p p K K K s K W s s s
（1） 当10,1==p D K K 时，()()
()
100.111K s W s s s +=
+
由
10
1ωω=⋅c c
解得 3.16ω=c
()18090arctan arctan0.135γωωω=︒-︒-+=︒c c c
（2） 由()518090arctan 5arctan
550γ=︒-︒-+⋅=︒D
p
K K
arctan
538.69D
p
K K =o 解得
5
6.24tan38.69
=
=p D
K K o
因为穿越频率可由：
1ωω=⋅p
c c
K
确定，由5ω=c 知25p K =。
故4=D K 。
七、（共20分，2小题）已知非线性控制系统结构框图如图4所示。
1、（5分）若有两个非线性控制系统均如图4所示，且有相同的非线性环节，而线性部分各不相同，两个非线性控制系统的线性部分传递函数分别为：
12(0.1s 1)W s =
+、22
(s 1)
W s =+
试判断应用描述函数法分析上述非线性控制系统稳定性时，哪个系统的分析精确程度高，
说明理由。
2、（15分）若图4所示非线性控制系统非线性环节的描述函数为4
(A)N A
π=,线性部分的传递函数为1
(s)(s 1)(s 2)
W s =++，试分析系统是否存在自振，若存在自振，求出自振的振
幅与频率。
解： （1）由于描述函数是用非线性部分的基波来代替整体的，所以线性部分低通滤波特性越好，精确度越高。
而滤波器的好坏主要体现在线性部分的惯性上，惯性越大，滤波特性越好。
由于2W 的惯性大，因而其低通滤波特性较好，分析的准确度更高。
（2）1(A)4
A
N π-
=-，绘制线性部分的幅相频率特性曲线和非线性部分的负倒数曲线，在交点处，A 增大会进入稳定区域，从而使A 回到交点，故存在自振。
令1(j )(A)ω-
=W N ，即14(j 1)(j 2)πωωω-=++A j =23
13j(2)
ωωω-+-
令32ωω-=0，解得/ω=s ，此时14
6π-
=
-A
，解得A=
4
0.21226π
=.
八、（共20分）已知一控制系统结构图如图5所示，采样周期T=1s 。
求系统的单
位阶跃相应、最大超调量、上升时间与峰值时间。
解：
由结构图知21(s)(s 1)Ts K e W s --=+，故20.3680.264(z) 1.3680.368K z W z z +=-+
20.3680.264
(z)0.632
B z W z z +=
-+，
故其单位阶跃响应为2(0.3680.264)*(z)(z)*R(z)(0.632)(z 1)
B z z
C W z z +==-+-
由长除法得到1
2
345(z)0.368z 1.4 1.4 1.147c z
z z -----=+++++
即
*(t)0.368(t T)(t 2T) 1.4(t 3T) 1.4(t 4T) 1.147(t 5T)c δδ=-+-+-+-+- 在坐标上画出该离散系统的坐标图如下
由图可知 1.41
%*100%40%1
σ-=
=,22,3,M 1.4====r m p t T s t。