人教版初三数学上册尺规作图
人教版数学中考复习课件第七章第一节 尺规作图
尺规作图题常见考查类型 1．直接作图，如作角平分线，线段的垂直平分线，作一个角等于已 知角等，直接利用五种基本的尺规作图来解答． 2．给出作图痕迹或步骤，判断结论正误或进行相关计算，对于此种 类型的题目，平时要对五种基本尺规作图了熟于心，从而判断是哪种基 本作图，再根据作图依据进行结论判断或计算．
5．★(2020·郴州)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝4，AB＝8.分别以点 B，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点 E 和 F.作直线 EF 分别与 DC，DB，AB 交于点 M，O，N，则 MN＝ 2 5 .
6．(2020·扬州)如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，BC 于点 D，E. ②分别以点 D，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F. ③作射线 BF 交 AC 于点 G. 如果 AB＝8，BC＝12，△ABG 的面积为 18，则△CBG 的面积为 27 .
∴∠DBA＝∠ACD＝45°， ∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10， ∴AD＝BD＝AB·sin 45°＝10× 22＝5 2.
7．(2020·青海)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.
(1)尺规作图：作 Rt△ABC 的外接圆⊙O；作∠ACB 的角平分线交⊙O 于点 D，连接 AD；(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，Rt△ABC 的外接圆⊙O，线段 CD 即为所求．
(2)若 AC＝6，BC＝8，求 AD 的长． 解：连接 BD， ∵∠C＝90°. ∴AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA＝90°， ∵CD 平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
命题点：尺规作图及相关的证明与计算(2020 年考查 2 次，2019 年考 查 2 次，2018 年考查 2 次，2017 年考查 1 次)
初三数学复习尺规作图ppt课件
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1 ＭＮ的长为 2
半径作弧．两弧在∠AOB
的内部交于Ｃ． ３．作射线OC．
A
Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
则射线ＯＣ即为所求．
Ｏ
4
作线段的垂直平分线。
已知：线段AB，
A
求作：线段AB的垂直平分线。 作法：(大两1)于弧分—交别12—于以AC点B、的AD、长两B为点为半；圆径心作，弧以，
2、连接AB’、B’C’、C’A。 2、连接A’B’、B’C、CA’。
17
利用位似定义如何将一个图形进行
放大或缩小？ A
请把图中的四边
形缩小到原来的二
D
分之一
B
C
18
A
作法一
（1）在边形ABCD外任取一点O
D
（2）过点o分别作射线
B
OA,OB,OC,OD
A．
（3）分别在射线OA, OB,OC,OD上取点A，
A
．
B
．
O
．
．
D
C
21
a
⑶ 以B为圆心,b为半径画弧，交射线CN于点 A; ⑷ 连接AB; (5)△ABC即为所求的直 角三角形
9
已知：不在同一直线上的三点
A、B、C
求作：⊙O，使它经过A、B、C
B
作法：
F A O
1、连结AB，作线段AB的垂
C
直平分线DE，
G
2、连结BC，作线段BC的垂直平
分线FG，交DE于点O，
3、以O为圆心，OB为半径作圆，
． D． B ． C
． B，，Ｃ，，Ｄ，， O
九年级中考数学二轮复习 第8讲-尺规作图课件
交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1=∠2；
（2）在图2中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；
③与边AC相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
真题演练
10．（2018·常州）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相
交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
则AB=a．
1、尺规作图
②作一个角等于已知角．
作法：作PC=OB，CD=BA，又∵PD=PC=OB=OA，
∴△PDC≌△OAB，∴∠DPC=∠AOB．
1、尺规作图
③作已知线段的垂直平分线．
作法：分别以A、B为圆心，线段r（ >
）为半径作圆，交点是C、D，
连接CD．则直线CD即为线段AB的垂直平分线．
答案不唯一）
真题演练
8．（2018·陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连
接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作
法，保留作图痕迹）
真题演练
9．（2019·宿迁）在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）如图1，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为
圆心，大于 的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于
的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线
段OA长为半径作圆．则圆O的半径为（ ）
A．2 5
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C
中考数学复习：尺规作图 课件
自主作图
(1)两点确定一条直线； 作图依据
(2)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
作图5：过一点作已知直线的垂线情 形一：点P在直线l上
已知：直线l和直线l上一点P. 求作：直线l的垂线(根据作法使用直尺和圆规作图) 作法：(1)以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线l于A，B
自主作图 (1)两点确定一条直线；
作图依据 (2)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
随堂练习
1.如图，已知∠AOB，求作∠CDE，使得∠CDE＝∠AOB.根据尺规作 图的痕迹，下列结论不一定正确的是( C )
A. 圆弧MN与圆弧FG是等弧B. 线段ON 与线段DF的长相等C. 圆弧FG与圆弧 QH的半径相等D. 扇形MON与扇形 FDG的面积相等
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C
为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和 点D为圆心，大于 1AD长为半径作弧，两弧相交于点
2 E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是
_1_8_°__．
第6题图
已知：直线l和直线l外一点P.
求作：直线l的垂线(根据作法使用直尺和圆规作图)
作法：(1)在直线l另一侧取点M；
作图步骤
(2)以点P为圆心，以_P_M___长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
(3)分别以点A，B为圆心，以_大__于__1_2_A__B_长为半径作弧，交点M同侧于
点PM； (4)作直线PN，则直线PN即为所求作的垂线
③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图 过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
初中数学中的尺规作图
尺规作图是一种古老而神奇的工具，能够用简单的工具和技巧绘制出精确的几何图形。
在初中数学中，尺规作图是一个必修的内容，对于学生来说，掌握它是非常重要的。
本文将详细介绍尺规作图的基础知识、步骤和实践技巧。
一、什么是尺规作图？尺规作图，又称欧氏几何作图，是一种利用尺子和圆规进行的几何作图方法。
它的基本原理是：利用尺子测量长度，用圆规画出圆和弧，然后通过将这些线段和圆弧相交、平移、旋转等操作，得到所需的几何图形。
尺规作图是欧几里得几何的基础，也是很多复杂几何问题的解决方法之一。
二、尺规作图的基本步骤1. 给定图形尺规作图的第一步是给定一个几何图形，通常是已知几条线段或者角度的大小关系。
例如，给定一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为3cm和4cm，要求作出这个三角形。
2. 作出基础线段根据给定的条件，用尺子和圆规作出基础线段。
例如，在一个纸上画一条长度为3cm的线段AB，再画一条长度为4cm的线段AC，其中∠BAC为直角。
3. 作出辅助线段根据需要，作出一些辅助线段，以便通过相交、平移、旋转等操作得到所需的图形。
例如，可以在线段AB上取一点D，再以点C为圆心、AC为半径画一个圆，得到一个圆弧，将其与线段AB相交于点E，再连接线段AE和BE，就得到了一个直角三角形ABC。
三、尺规作图的实践技巧1. 细心测量尺规作图需要精确测量线段的长度和角度的大小，因此必须细心认真地进行测量，避免出现误差。
特别是在作大型图形时，必须使用长尺和精密测量工具，以确保准确性。
2. 多加练习尺规作图需要的是手眼协调能力和灵活性，这些技能需要通过不断地练习才能掌握。
建议初学者多做练习题，逐渐提高自己的技巧和速度。
3. 熟练运用尺规尺规作图需要灵活运用圆规和尺子，掌握不同的测量技巧和作图方法。
例如，可以利用圆规的不同刻度测量半径和角度，或者利用尺子的折叠功能作出垂线等。
四、总结归纳尺规作图是一种重要的几何工具，能够在解决复杂几何问题时提供有力的支持。
【中考数学考点复习】第一节 尺规作图 课件(23张PPT)
直平分
线(已 知线段 结论：AB⊥l
， AB)
AO＝OB
到线段两
1.分别以点A，B为圆心，大于
个端点距
1
__2_A__B___的长为半径，在AB两侧 离相等的
作弧，两弧交于两点；
点在这条
2.连接两弧交点所成直线l即为所求 线段的垂
作的垂直平分线
直平分线
上
第一节 尺规作图
类型
步骤
五种基本 尺规作图
第一节 尺规作图
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成都10年真题及拓展
尺规作图的相关计算
1. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和点 C 为圆心，
以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；②作直线 MN 交
AC 于点 D，连接 BD.若 AC＝6，AD＝2，则 BD 的长为( C )
A．2
的两侧；
到线段两 2.以点P为圆心，PM的长为半径作弧
个端点距 ，交直线l于点A和点B，可得到PA＝
PB；
离相等的
1
3大.分于别2以AB点A、点B为圆心，以
点在这条 线段的垂
________长为半径作弧，交点M的
直平分线
同侧于点N，可得到AN＝BN；
上
4连接PN，则直线PN即为所求作的垂
线
第一节 尺规作图
长为( C )
A．252 3 C．20
B．12 3 D．15
第9题图
第一节 尺规作图
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10．人教版初中数学教科书八年级上册第 35－36 页告诉我们作一个三角 形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC. 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC. 作法：如图．
中考数学知识点复习：尺规作图全面版
如何利用尺规作图解决最值问题？
最值问题的求解
最值问题是一类求解最优解的问题，可以利用尺规作图来解决。例如，在几何、代数等领域中，经常需要使用尺规作 图来求解最值问题。
作图方法
利用尺规作图求解最值问题，需要先了解问题的具体内容，然后根据问题内容进行尺规作图。在作图过程中，需要注 意图形绘制的准确性和规范性，以保证求解的准确性。
03
多边形的尺规作图
作已知线段的垂线
01
总结词：通过一个已知点，作 已知线段的垂线，是尺规作图
的基础。
02
详细描述
03
04
1. 分别以线段的两个端点为 圆心，以大于线段的一半为半 径画圆弧，得到两个交点。
2. 连接两个交点，得到的直 线即为已知线段的垂线。
已知二线段平行的垂线段的中垂线
总结词：找到一个已知的平行线段的中垂线，是尺规作 图的进阶技能。
1. 以平行线段的一个端点为圆心，以适当长度为半径画 圆弧，与平行线段相交于两点。
详细描述
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知平行线段的中垂 线。
作已知直线的平行线
01
总结词：通过一个已知点，作已知直线的平行线，是尺规作图的基本 技能之一。
02
详细描述
03
1. 以已知点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，与直线相交于两点。
04
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知直线的平行线。
作已知二线段的中垂线
01 总结词：通过两个已知点，作已知二线段 的中垂线，是尺规作图的高级技能。
02
详细描述
Hale Waihona Puke 031. 以两个已知点为圆心，以适当长度为半 径画圆弧，得到两个交点。
04
初中尺规作图详细讲解含图
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最着名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺号π(即当圆半径1规作图不能问题.若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个着名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形==.2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点.⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点.⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆.∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1.，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边为1的的长度自然就出来了.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.）⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形作法：⑴ 作线段12MD a =； ⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙；⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ，⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG .正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M .1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)；⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ).则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BC AB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． ⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点． 【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边AB 上的高为h ． 12ADC S AD h=△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD=△△． 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD BD AB AD =．∴ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△．∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠， ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，∴DEC FCE S S =△△．A CB 图1 ADB 图2C AD B 图3 C FE 图4设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△． ∴ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形． 又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．⑷ 画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．E M （答案图1）E M （答案图2）。
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练习1 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长
为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分 1
别以E、F为圆心，大于 2 EF的长 为半径画弧，两弧交于点P，作射
线AP，交CD于点M.若∠ACD= 120°,则∠MAB的度数为_3_0_°___. 练习1题图
【解析】∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又 ∵∠ACD=120°，∴∠CAB=60°，由作法知，AM是 ∠CAB的平分线，∴∠MAB＝ ∠CA12 B＝30°.
例题图
CD于点E，作DF⊥AE于点F，已知∠ADF=50°，
∠C的度数为__8_0_°___.
【解析】∵DF⊥AE于点 F，∠ADF=50°， ∴∠DAE=40°，由作图可知，AE平分∠BAD， ∴∠BAD = 40°×2=80°，∵四边形ABCD是平行四边 形，∴∠C=∠BAD=80°.
【答案】80°
画弧,分别交OA、OB于N、M；
1 2．分别以点M、N为圆心,大于2 MN 的长为半径画弧,两弧相交于点P； 3.画射线OP,OP即为所求角平分线
作线段的 垂直平分 线(已知 线段AB)
作一个角 等于已知 角(已知 ∠α)
步骤：1.分别以点A、B为圆心，以大 于 1 AB的长为半径，在AB两侧作弧；
【答案】 10
练习3 如图，已知线段AB，分别 以点A,B为圆心，大于线段AB长 度一半的长为半径画弧，相交于 点C,D，作直线CD，连接AC,BC, BD,DA，其中AB=4,CD=5，则四 边形ADBC的面积为___1_0绝对名师93页2题
【解析】由作图知AB与CD互相垂直平分，则四边
2
2.连接两弧交点所成直线即为所求线 段的垂直平分线
步骤:1.在∠α上以点O为圆心、以适 当的长为半径作弧,交∠α的两边于点 P、Q；2.作射线O′A；3.以O′为圆 心,OP长为半径作弧,交O′A于点M；4. 以点M为圆心,PQ长为半径作弧,交前
弧于点N；5.过点N作射线O′B,则
∠BO′A即为所求角
13
则BF=______6_.
【解析】如解图，设PQ与BD相交于点M，由题意可得PQ
为BD的垂直平分线，∴EF⊥BD，∵AC=4，BC=3, ∠C=
90°，点D是AC的中点，∴CD=2，BD= CD2 BC2= 1 3 ，
∴ BM= 1 3 ,∵cos∠DBC= B C
13 2
BD
BM
=
BF
, 即3 13
13
=2 ，
BF
∴BF= 6 .
练习4题解图
• 1. (2014河南11题3分)如图，在△ABC中， 按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心， 以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M、 N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD. 若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数 为________．
过一 点作 已知 直线 的垂 线(已 知点 P和直 线l)
过直线 外一点 作已知 直线的 垂线
过直线 上一点 作已知 直线的 垂线
步骤：1.在直线l另一侧取点M； 2.以P为圆心，以PM为半径画弧,交直 线 l 于A、B两点； 3.分别以A、B为圆心,以大于AB长为 半径画弧,交M同侧于点N； 4.连接PN,则直线PN即为所求垂线
尺规作图
学----展----用
中招考点清单 考点1 尺规作图(2015.7,2014.11,2012.10) 1. 五种基本尺规作图
作一条线 段等于已 知线段(已 知线段a)
作已知角 的平分线 (已知 ∠AOB)
步骤：1.作射线OP； 2．在OP上截取OA＝a，OA即为所 求线段
步骤:1.以点O为圆心,任意长为半径
形ADBC为菱形，∴四边形ADBC的面积为
×CD＝
1 2
×4×5＝10.
1 2
×AB
【答案】10
练习4 如图，在Rt△ABC 中，
∠C=90°，AC=4，BC=3，点
D是AC的中点，连接BD，按
以下步骤作图：①分别以点
B、D为圆心，以大于 BD的
长为半径作弧 ，两弧相交于
练习4题图
点P和点Q；②作直线PQ交AB于点E，交BC于点F，
常考类型剖析 类型 与尺规作图有关的计算
【命题解读】近9年考查3次，主要在填空题中考查， ①考查内容有：作已知角的平分线；作线段的垂直 平分线；②考查形式有求线段长度和求角度两种.
例 如图，在平行四边形ABCD中，以
A点为圆心，任意长为半径作弧，分
别交AD、AB于M、N两点，再分别以 1
M、N为圆心，大于2 MN的长为半径 作弧，两弧交于点P，作射线AP，交
步骤:1.过圆心O作任意一条⊙O的直径,
记为AC;2.作AC的垂直平分线(作法同基 本尺规作图的类型三),分别交⊙O于点 B,D; 3.连接AB,BC,CD,DA,则四边形 ABCD即为所求作的正方形
3、2017年中考数学增加的一些内容 尺规作图： 过一点作已知直线的垂线； 已知一直角边和斜边作直角三角形； 作三角形的外接圆、内切圆； 作圆的内接正方形和正六边形
• (2012河南10题3分)如图，在△ABC中， ∠C＝90°，∠CAB＝50°.按以下步骤作 图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径 画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别 以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧， 两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点 D.则∠ADC的度数为________．
步骤:1.以点P为圆心,任意长为半径向
点P两侧作弧,交直线l于A、B两点；
2.分别以点A、B为圆心,以大于
1 2
AB
长为半径向直线l两侧作弧,交点分别
为M、N；
3.连接MN,则MN即为所求垂线
2. 其他作图
作三角形 的内切圆
作圆的内 接正方形 (2011版 课标新增 内容)
步骤：1.作∠B、∠C的角平分线(作法同 基本尺规作图的类型二),两条角平分线交 于一点O;2.作点O到边AB的垂线(作法同 基本尺规作图的类型五),交边AB于点F;3. 以O为圆心,OF长为半径作圆;4.则⊙O即 为△ABC的内切圆
【答案】 30°
练习2 （2016长春）如图，在
△ABC中，AB>AC.按以下步
骤作图：分别以点B和点C为
圆心、大于BC一半的长为半 径作圆弧，两弧相交于点M
练习2题图
和点N；作直线MN交AB于点D；连接CD;若AB=6,
AC=4，则△ACD的周长为__1_0___.
【解析】由作图知，直线MN是BC的中垂线，∴BD= CD，∵AB=6 , AC＝4，∴C△ACD＝AC+AD+CD=AC +AD+BD＝AC+AB＝10.