八年级数学上册难点突破17一次函数中的构造等腰直角三角形法试题北师大版

专题17 一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等）,∴OE＝AD,∵k＝﹣1,∴y＝﹣x+4,∴B（0,4）,∴OB＝4,∵BE＝3,∴OE＝,∴AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,∴A（3,0）,①当BM⊥AB,且BM＝AB时,过点M作MN⊥y轴,∴△BMN≌△ABO（AAS）,∴MN＝OB,BN＝OA,∴MN＝4,BN＝3,∴M（4,7）；②当AB⊥AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,∴△ABO≌△AMK（AAS）,∴OB＝AK,OA＝MK,∴AK＝4,MK＝3,∴M（7,3）；③当AM⊥BM,且AM＝BM时,过点M作MH⊥x轴,MG⊥y轴,∴△BMG≌△AHM（AAS）,∴BG＝AH,GM＝MH,∴GM＝MH,∴4﹣MH＝MH﹣3,∴MH＝,∴M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS⊥y轴,∴△ABO≌△BQS（AAS）,∴BS＝OA,SQ＝OB,∴Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,∴OQ的最小值为4．2、已如,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（6,0）、点B的坐标为（0,8）,点C在y轴上,作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上,连接CB′．（1）写出点B′的坐标,并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上,连接DB、DB′、BB′,当△DBB′是等腰直角三角形时,求点D坐标；（3）如图2,在（2）的条件下,点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动,到达点O时停止运动,连接PD,过D作DP的垂线,交x轴于点Q,问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A的坐标为（6,0）、点B的坐标为（0,8）,∴OA＝6,OB＝8,∵∠AOB＝90°,∴AB＝10,∵B与B'关于直线AC对称,∴AC垂直平分BB',∴BC＝CB',AB'＝AB＝10,∴B'（﹣4,0）,设点C（0,m）,∴OC＝m,∴CB'＝CB＝8﹣m,∵在Rt△COB'中,∠COB'＝90°,∴m2+16＝（8﹣m）2,∴m＝3,∴C（0,3）,设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）,把A（6,0）,C（0,3）代入可得k＝﹣,b＝3,∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB',∴DB＝DB',∵△BDB'是等腰直角三角形,∴∠BDB'＝90°,过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°,∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF,∠EOF＝90°, ∴∠EDF＝90°,∴∠EDF＝∠BDB',∴∠BDF＝∠EDB',∴△FDB≌△EDB'（AAS）,∴DF＝DE,设点D（a,a）代入y＝﹣x+3中, ∴a＝2,∴D（2,2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE, ∵DF＝DE＝2,∠PDF＝∠QDE,∴△PDF≌△QDE（AAS）,∴PF＝QE,①当DQ＝DA时,∵DE⊥x轴,∴QE＝AE＝4,∴PF＝QE＝4,∴BP＝BF﹣PF＝2,∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时,∵A（6,0）、D（2,2）,∴AD＝2,∴AQ＝2,∴PF＝QE＝2﹣4,∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2,∴点P的运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时,设QE＝n,则QD＝QA＝4﹣n,在Rt△DEQ中,∠DEQ＝90°, ∴4+n2＝（4﹣n）2,∴n＝1.5,∴PF＝QE＝1.5,∴BP＝BF+PF＝7.5,∴点P的运动时间为3.75秒,∵0≤t≤4,∴t＝3.75,综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中,对于任意P（x1,y1）,Q（x2,y2）,若点M（x,y）满足x＝3（x1+x2）,y＝3（y1+y2）,则称点M是点P,Q的“美妙点”．例如：点P（1,2）,Q（﹣2,1）,当点M（x,y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3,y＝3×（2+1）＝9时,则点M（﹣3,9）是点P,Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1,3）,B（3,3）,C（2,﹣2）,请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图,已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3,0）,点M（x,y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；②若直线DM与x轴相交于点F,当△MEF为直角三角形时,求点D的坐标．解：（1）∵3×（﹣1+2）＝3,3×（3﹣2）＝3,∴点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m,m+2）,①∵M是点D、E的“美妙点”．∴x＝3（3+m）＝9+3m,y＝3（0+m+2）＝m+6,故m＝x﹣3,∴y＝（x﹣3）+6＝x+3；②由①得,点M（9+3m,m+6）,如图1,当∠MEF为直角时,则点M（3,4）,∴9+3m＝3,解得：m＝﹣2；∴点D（﹣2,）；当∠MFE是直角时,如图2,则9+3m＝m,解得：m＝﹣,∴点D（﹣,）；当∠EMF是直角时,不存在,综上,点D（﹣2,）或（﹣,）．4、如图,过点A（1,3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴,y轴相交于B,C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0,2）,与线段BC相交于点E．（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分,求直线l的函数表达式；（ⅱ）连接AD,若△ADE是以AE为腰的等腰三角形,求满足条件的点E的坐标．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴,y轴相交于B,C两点,则点B、C的坐标分别为：（2,0）、（0,6）；（i）S△BCO＝OB×CO＝2×6＝6,直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分,则S△CDE＝2或4,而S△CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4,则x E＝1或2,故点E（1,3）或（2,0）,将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y＝±x+2；（ⅱ）设点E（m,﹣3m+6）,而点A、D的坐标分别为：（1,3）、（0,2）,则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2,AD2＝2,ED2＝m2+（4﹣3m）2,当AE＝AD时,（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2,解得：m＝或；当AE＝ED时,同理可得：m＝；综上,点E的坐标为：（,）或（,）或（,）．5、建立模型：如图1,等腰Rt△ABC中,∠ABC＝90°,CB＝BA,直线ED经过点B,过A作AD⊥ED于D,过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角,所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2,点A（0,4）,点B（3,0）,△ABC是等腰直角三角形．①若∠ABC＝90°,且点C在第一象限,求点C的坐标；②若AB为直角边,求点C的坐标；（2）如图3,长方形MFNO,O为坐标原点,F的坐标为（8,6）,M、N分别在坐标轴上,P是线段NF上动点,设PN＝n,已知点G在第一象限,且是直线y＝2x一6上的一点,若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点G的坐标．解：（1）①过点C作CD⊥x轴于点D,∴∠BDC＝90°＝∠AOB,∴∠BCD+∠DCB＝90°,∵∠ABC＝90°,∴∠ABO+∠DBC＝90°,∴∠ABO＝BCD,∵AB＝BC,∴△AOB≌△BDC（AAS）,DC＝OB＝3,BD＝OA＝4,故点C（7,3）；②若AB为直角边,则除了①的情况以外,另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称, 故点C′（﹣1,﹣3）；故点C的坐标为：（7,3）或（﹣1,﹣3）；（2）如图2,当∠MGP＝90°时,MG＝PG,过点P作PE⊥OM于E,过点G作GH⊥PE于H,∴点E与点M重合,∴GF＝AB＝4设G点坐标为（x,2x﹣6）,6﹣（2x﹣6）＝4,得x＝4,易得G点坐标（4,2）；如图3,当∠MGP＝90°时,MG＝PG时,同理得G点坐标（,）,综上可知,满足条件的点G的坐标分别为（4,2）或（,）．6、如图1,直线l：y＝x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B．已知点C（﹣2,0）．（1）求出点A,点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点,且△BOP和△COP的面积相等,求点P坐标．（3）如图2,平移直线l,分别交x轴,y轴于交于点A1B1,过点C作平行于y轴的直线m,在直线m上是否存在点Q,使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0,则x+2＝0,解得：x＝﹣4,设x＝0,则y＝2,∴点A的坐标为（﹣4,0）,点B的坐标的坐标为（0,2）；（2）∵点C（﹣2,0）,点B（0,2）,∴OC＝2,OB＝2,∵P是直线AB上一动点,∴设P（m,m+2）,∵△BOP和△COP的面积相等,∴×2|m|＝2×（|m|+2）,解得：m＝±4,当m＝﹣4时,点P与点A重合,∴点P坐标为（4,4）；（3）存在；理由：如图1,①当点B1是直角顶点时,∴B1Q＝B1A1,∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°,∠A1B1O+∠OA1B1＝90°, ∴∠OA1B1＝∠QB1H,在△A1OB1和△B1HQ中,,∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS）,∴B1H＝A1O,OB1＝HQ＝2,∴B1（0,﹣2）或（0,2）,当点B1（0,﹣2）时,Q（﹣2,2）,当点B1（0,2）时,∵B（0,2）,∴点B1（0,2）（不合题意舍去）,∴直线AB向下平移4个单位,∴点Q也向上平移4个单位,∴Q（﹣2,2）,②当点A1是直角顶点时,A1B1＝A1Q,∵直线AB的解析式为y＝x+2,由平移知,直线A1B1的解析式为y＝x+b,∴A1（﹣2b,0）,B1（0,b）,∴A1B12＝4b2+b2＝5b2,∵A1B1⊥A1Q,∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b∴Q（﹣2,4﹣4b）,∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20, ∴20b2﹣40b+20＝5b2,∴b＝2或b＝,∴Q（﹣2,﹣4）或（﹣2,）；③当Q是直角顶点时,过Q作QH⊥y轴于H,∴A1Q＝B1Q,∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°,∠A1QC+∠CQB1＝90°,∴∠QA1C＝∠CQB1,∵m∥y轴,∴∠CQB1＝∠QB1H,∴∠QA1C＝∠QB1H在△A1QC与△B1QH中,,∴△A1QC≌△B1QH（AAS）,∴CQ＝QH＝2,B1H＝A1C,∴Q（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）,即：满足条件的点Q为（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）或（﹣2,12）或（﹣2,）．7、如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线DE经过点C,过A作AD⊥DE于点D,过B作BE⊥DE于点E,则△BEC≌△CDA,我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2,当k＝﹣1时,若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3,求点A到直线l的距离AD的长；（2）如图3,当k＝﹣时,点M在第一象限内,若△ABM是等腰直角三角形,求点M的坐标；（3）当k的取值变化时,点A随之在x轴上运动,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,求OQ长的最小值．解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等）,∴OE＝AD,∵k＝﹣1,∴y＝﹣x+4,∴B（0,4）,∴OB＝4,∵BE＝3,∴OE＝,∴AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,∴A（3,0）,①当BM⊥AB,且BM＝AB时,过点M作MN⊥y轴,∴△BMN≌△ABO（AAS）,∴MN＝OB,BN＝OA,∴MN＝4,BN＝3,∴M（4,7）；②当AB⊥AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,∴△ABO≌△AMK（AAS）,∴OB＝AK,OA＝MK,∴AK＝4,MK＝3,∴M（7,3）；③当AM⊥BM,且AM＝BM时,过点M作MH⊥x轴,MG⊥y轴,∴△BMG≌△AHM（AAS）,∴BG＝AH,GM＝MH,∴GM＝MH,∴4﹣MH＝MH﹣3,∴MH＝,∴M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS⊥y轴,∴△ABO≌△BQS（AAS）,∴BS＝OA,SQ＝OB,∴Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,∴OQ的最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CA＝CB,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B 作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2,直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3,直线l经过坐标原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°,点A在直线l上,点P为x轴上一动点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,过点B的直线BC交x轴于点C,∠OCB＝30°,点B到x 轴的距离为2,求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°,∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE,且CA＝BC,∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2,在l2上取D点,使AD＝AB,过D点作DE⊥OA,垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B,∴A（﹣3,0）,B（0,4）,∴OA＝3,OB＝4,由（1）得△BOA≌△AED,∴DE＝OA＝3,AE＝OB＝4,∴OE＝7,∴D（﹣7,3）设l2的解析式为y＝kx+b,得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴,如图3,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC,∴∠OAP＝∠BPC,且∠OAC＝∠PCB＝30°,AP＝BP, ∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（4,0）若点P在x轴负半轴,如图4,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APE+∠BPE＝30°,∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC, ∴∠APE＝∠PBC,∵∠AOE＝∠BCO＝30°,∴∠AOP＝∠BCP＝150°,且∠APE＝∠PBC,PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（﹣4,0）综上所述：点P坐标为（4,0）或（﹣4,0）9、如图1,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点,动点C（m,0）在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时,如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′,当直线B′C′经过点D时,求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下,直线AB上是否存在一点P,以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在,写出满足条件的P点坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点,∴B（0,b）∴OB＝b,∵点C（m,0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°,∠BCO+∠OBC＝90°,∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中,∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b,DE＝OC＝m,∴点D（b+m,m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1,∴b＝3,点C（1,0）,点D（4,1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3,且过（1,0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3,设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+c,把D（4,1）代入得到c＝13, ∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13,当y＝3时,x＝当y＝0时,x＝∴B′（,3）,C'（,0）∴CC′＝,∴△BCD平移的距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°,PC＝CD时,点P与点B重合,∴点P（0,3）如图,当∠CPD＝90°,PC＝PD时,∵BC＝CD,∠BCD＝90°,∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD的中点,且点B（0,3）,点D（4,1）∴点P（2,2）综上所述,点P为（0,3）或（2,2）时,以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形．10、如图,已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A,且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C,使AC+BC最小,求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动,点Q从B点出发向A点以同样的速度运动,两个点同时停止,当△BPQ为等腰三角形时,求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A,且与x轴交于点B．∴点B（7,0）,﹣x+7＝x∴x＝3,∴点A（3,4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1,作点B关于y轴的对称点H（﹣7,0）,连接AH,交y轴于点C,∴此时AC+BC最小值为AH,∵点A（3,4）,点H（﹣7,0）,∴AH＝＝2,∴AC+BC最小值为2,设直线AH解析式为：y＝kx+b,且过点A（3,4）,点H（﹣7,0）, ∴,解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2,过点Q作QE⊥OB,∵以同样的速度运动,∴BQ＝OP,∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D,∴点D（0,7）,∴OD＝OB＝7,且∠DOB＝90°,∴∠DBO＝45°,且QE⊥OB,∴∠QBE＝∠EQB＝45°,∴QE＝BE,∴QB＝QE＝EB,若PB＝QB,且OP＝BQ,∴OP＝PB＝＝BQ,∴BE＝EQ＝,∴OE＝7﹣,∴点Q（7﹣,）,若QP＝QB,且QE⊥OB,∴PE＝BE,∵OB＝7＝OP+PE+BE,∴7＝BE+2BE,∴BE＝＝QE,∴OE＝∴点Q（,）,如图3,若BP＝PQ,过点P作PF⊥BQ,∴BF＝FQ＝BQ,∵∠ABO＝45°,PF⊥AB,∴∠FPB＝∠ABO＝45°,∴PF＝BF,∴PB＝BF,∴7﹣BQ＝∴BQ＝,∴BE＝QE＝,∴点Q坐标为（7﹣,）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,其中O为原点,点A、B分别在x轴、y轴上,D为射线OB上任意一点．（1）如图1,若点D坐标为（0,2）,连接AD交OC于点E,则△AOE的面积为；（2）如图2,将△AOD沿AD翻折得△AED,若点E在直线y＝x图象上,求出E点坐标；（3）如图3,将△AOD沿AD翻折得△AED,DE和射线BC交于点F,连接AF,若∠DAO＝75°,平面内是否存在点Q,使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形,若存在,请求出所有点Q坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,∴点A坐标（4,0）,点C（4,4）,∴直线OC解析式为：y＝x,∵点D坐标为（0,2）,点A坐标（4,0）,∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2,∴解得：∴点E坐标（,）∴△AOE的面积＝×4×＝,故答案为：；（2）如图2,过点E作EH⊥OA,∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴AO＝AE＝4,设点E（a,a）,∴OH＝a,EH＝a,∴AH＝4﹣a,∵AE2＝EH2+AH2,∴16＝a2+（4﹣a）2,∴a＝0（舍去）,a＝,∴点E（,）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴∠DAO＝∠DAE＝75°,OA＝AE,∠DOA＝∠DEA＝90°, ∴∠OAE＝150°,AE＝AC,∠ACF＝∠AED＝90°,∴∠CAE＝60°,∵AE＝AC,AF＝AF,∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°,且AC＝4,∴CF＝,∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形,∴若∠AFQ＝90°,AF＝FQ,如图3,过点Q作QN⊥BF,∴∠NQF+∠QFN＝90°,且∠QFN+∠AFC＝90°,∴∠NQF＝∠AFC,且∠ACF＝∠QNF＝90°,QF＝AF, ∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝,AC＝NF＝4,∴点Q（,4+）同理可求：Q'（8+,4﹣）,若∠FAQ＝90°,AF＝AQ时,同样方法可求,Q''（0,）,Q'''（8,﹣）。