高考数学复习 5.5 解三角形角化边、边化角问题练习文

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浙江省2018版高考数学一轮复习-专题05-解三角形中的边角转换特色训练

4五、三角形中的边角转换选择题分别为角A, B,C 的对边）U AABC 的形状为（【答案】AA.4【答案】BcosA =3,2由余弦定理得： a = b c - 2bccosA ,即 1 = 3 c 二-3c 解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去）, 则 c=2.故选：B.则ABC 面积的最大值是（【答案】D1.【2018届天津市南开中学高三上学期第一次月考】在 MBC 中，COS 2-B22c(a,b,cA.直角三角形B.等边三角形C. 等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形I c 为直角,则2.【2018届陕西省西安中学高三 10月月考】ABC 的内角代B,C 的对边分别为a,b,c ，若B=_2A ,a =1,A. 1 或 2B. 2C.D. 1【解析】•••B =2Aa =1 , •••由正弦定理asinA si nBb得:sinA si nB si n2A 2sinAcosA3. [2018届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】在 ABC 中, 31B 二，若 b = 2「2 ,A. 4 4 2B. 4C.4 2 D. 2 2 27 25【解析】•••a si nAb si nBc n，由 B=, b = 2 2，得 a = 4si nA, c = 4si n C ,sinC41S = acsinB2 =4 2sinAsi nC .又 sinAsi nC 二 sinAsin n- A-B 二 si nAs in i =si nA 2 2 cosA sinA 2 •••面积的最大值为 2sin2A - 4 45n .，•当 2A-2 2 2，故选D. 4.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】在锐角 b = 2asinB ,则角A 等于 A.上3 B. nC. 6 n n ［、5 nD. 一或一 4 cos2A」sin 2A- 2 n ■ '2 4 【答案】【解析】由正弦定理得 sin B=2s in Asi nB sinA sinAsinC 取得最大值 ABC 中，角A,B,C 所对角为 a,b,c.5•在- ABC 中，内角则 cosC A. -7 25B.25【答案】 ITC 所对的边分别是a C. <5D.24 25【解析］据正弦定理结合已知可得匕 sm84 2 2 2c 4故cos- = -,由二倍角公式得=b ,c ，已知 8b = 5c , C =2B ,sin C5—c8tn —2= 2x(rc ，整理得6.【2018届河北省武邑中学高三上第二次调研】在 ABC 中，a, b, c 是A, B , C 的对边,若a , b, c 成等比数列,A =60，则bsinB二()的最小值为*选G届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】在锐角若竺+竺二工11兰，甜昭+冉锁nB = 2，^唸+ f 的取值范围【解析】由题意—---—可得: c SsinCc cos B + b cos C sinCco^ B + sinBcos CA.12 B. C.D.【答案】【解析】由题意可得: 结合正弦定理可得本题选择B 选项. 7. A. 3 B. 【答案】C 【解析】rb 2B 、C.2=ac, sin B 二 sinAsinC , bsinB的最小值为C1D.+沪）＞由余弦走理得，cosC = a +" C ° +乃~ 1lab违当且仅士 "时取A. B.【答案】B() -C.D.be bsinC bsinC& 【2018 角AB J C 的对边分别为a,bjC ，sin(B + C) 2^sinA+ V3sinBfi2 y COS B in B=2Ab2nB=T0O：<--Aa - r = sinA + s: cos L i 3 sii101故答案选卜.9.【2018届河南省原名校咼三第三次联考】在ABC中, C的对边，且2absinC =讥3 b2A. 3B. 3.3C. 2 3 a，b，c分别为内角A，B，c = 3，则ABC的面积为（）2，理得書整理窄10 •在锐角三角形 ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=1n= cosA, -1 ,且m — n,则b c 的取值范围是【答案】DSUL31【解袖Ibcsii的面*A. 1,2]B.1,2] C.3,2D.3,2【解析丘=（COS^, —1）,且亦丄元j.n •••由正弦定理得asinA si nBsinC . 3sinB si nC =2 sinB sin 23 L 乙3JT233i cosB - sinB 3 2 2二 cosB 、3sinBJI= 2sin B ；••• 0 ： B ：：—,且0 B2 32，【答案】D 【答案】B[ JI :::sin I BI 6_1,二b • e和v'3,2 ，即b c的取值范围是3, 2 D.11. [ 2018届福建省数学基地校高三单元过关联考】在厶ABC中，角A B C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为評则：i-的最大值是（b cA. 8B. 6C. 3D. 4b c【解析】b c =be 这个形式很容易联想到余弦定理:b2 +c2-a2cosA =----- ------------2bc，①而条件中的“高”容易联想到面积,1 <3—bcsinA ,2besi nA，②将②代入①得: =2bc(cosA +、. 3 si nA),、3 si nA) = 4sin(A + —)，当A=6 —时取得最大值4,故选D. 312. [ 2018届衡水金卷全国高三大联考】已知止址j|：的内角A丿B ；；的对边分别c,且(卅+b：- c：)・©cosB +比茁A)二伫臥若j」「I】-/，则-的取值范围为A.(0.2)B. [12)C. D.阳所C 口0朋 (2言又匚：(因 7f 且(a+b)2；I所以［，即，又 ^所以 | .故选B. 二、填空题13. 【2017年浙江省源清中学高三 9月月考】在 ABC 中，若b = 2,A=120，三角形的面积S=*3，贝U c= _______ ;三角形外接圆的半径为【答案】2 21【解析】S = 3 2csin120，解得c=2.2a 2 =22 +22 —2 汉2 汉2 汉cos120” = 12 ,解得a =2j 3 ,解得R=2.故答案为：2;2.14. 【2018届深圳中学高三第一次测试】在 ABC 中, 则cosC 的取值范围为 _______ .【答案】1,112丿sinAc nnBcosA)=: k + B) = sinC.2R2 2 2sin B sin C = sin A —sinBsinC ,asi nA【：析由弦T <.二 < 二 <15. [ 2018届河南省天一大联考高三上10月联考】在=ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为222sin Ba,b,c ，若 2a -c si nC = b ，c-a，且 b = 3 U ^ABC 周长的取值范围为b【答案】4 3,6 3【解析】依题意c 2sinC -sinA=SinBb 2c 2-a 2，故 b2si nB 2222sinC -sinAb c -a ，则 2sinC-sinA = 2sinBcosA ，因为 2bcC =180，- A B ，所以 2sin A B -sinA -2sinBcosA ，化简得 sinA 2cosB T i=0长的取值范围为 4-3,6、3，故答案为4、3,6、3 .16. [ 2018届安徽省蚌埠市第二中学高三 7月月考】已知在感战中，角如風用的对边分别是 *』讹，其满足食…詡k 演；一心燧1i 译訂，点】在边抵上且糜匚號，则一的取值范围■ ■ BF是 __________ .1 由于 sinA = 0，故 cosB =2 a 2 c 2 -ac =12 ,即 a c 即a ■ c _ 4、3，当且仅当aJI，因为0注「:，故 Bl ，由已知及余弦定理得2-3…，可得a c -3. 22<12 , (a +c )兰48= c =2.3时，取等号，所以 2“3乞a • c^4J3，故 ABC 周【答案】【解析】根据正弦定理变形，- 可化为m二二二二一-二二二二二二，即诙，占-鋪呗□:},所以加:竝虑，则-,A如上團》AB3= BC2 +AC2-2BC -AC-cosC = 10a a - 6a2cosC,BF2= BC2 + FC2-2BC FC cosC = 2a2-2a3cosC,所以AE J ICa3—6a J cosC S-3DCM C1-l-aCl —CD&Q 2 .------------------ °—“—=------------------------------------------- —= I , —=4= ±EF J 3a2-2H?<™<；,YM€I-CD&C1-coSrC 、因为D <C<n,所叹—1 <cosC <1, 0< 1 - cosC < 2,则匸衆> 1,所以兽>4,则詈> 2.三、解答题17. 【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】在阳進中，狎；：.分别为角训嵐的对边，已知<A- mi U(i)求角二的值；(II)若求］弭］电得取值范围.【答案】(1) (2) ：— -【解析】试题分析：(1)由遊弘-3cos(B+C) = 1,得2co S3A+3c OS A-2 = 0,解得wsA二得到结果;J*'!—2(2)由余弦走理易得:b3 + c3-bc = 4,即Cb + c)a-3bc = 4?又be < (^)，从而得到b+c<4,又因为b 4- c > 2,求得结果.试题解析：(|)由「二二…沁J -C:-，得验劉R沁加姑[：即?rc.=...-:.匚—・〔'解得…二-.2因为，所以’：二.3(11)「「：： - 厂寸，臼二12 二一，于护「卜以-hr 一二22:、(b+护-3bc=4/<'bc<[yj /-(b+c)2= 4 + 3bc<4+^(b + c)3A(b+<03< 16^b+c<4又因为加:壮2所以一■:点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果.18. [ 2018届南宁市高三摸底联考】在阀毓中，角如風肾的对边分别为f；：[:止,已知吧缶饰馮：•瑟-曲矍("求证::躺二日彳:<1(2) 若「'二，拡诫的面积为块恳求•【答案】⑴证明见解析；(2)爲匚点.【解析】试题分析: (1) 由正弦定理边化角统一角，得 :胚过弍「，再用正弦定理角化边即证。

解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

解三角形(文科)解答题30题--高考数学复习提分复习资料教师版

专题2解三角形（文科）解答题30题1．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记ABC 的面积为S ，其内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1c =，)2214a b S +-=．(1)求C ；(2)求ABC 面积的最大值．2．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（文科）4月20日试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求tan B 的值；(2)设3a =，1c =，求b 和△ABC 的面积．3．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A 卷））在ABC中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin cos sin )a C A A c A =-.(1)求A ；(2)a =，ABC 的外接圆圆心为点P ，求PBC 的周长.4．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）在ABC中，内角、、A B C 的对边分别为a 、b 、c ，在条件：①sin cos a C A ；()sin 0B C A ++=；③222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是______，并解答下面问题：(1)求角A 的大小；(2)若b c a +=ABC 的面积.5．（江西省宜春市丰城中学2022届高三高考模拟数学（文）试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin 2B Cb a B +⋅=，(1)求角A ；(2)若2AB AC ⋅=，求a 的最小值.6．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知锐角ABC中，()()sin sinA B A B+=-=.(1)求tan tanAB；(2)若7AB=，求ABC的面积S.7．（陕西省西安市莲湖区2022届高三下学期高考模拟考试文科数学试题）在①()cos 2cos A B C =+，②sin cos a C A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______．(1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．8．（陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AD 2AB =，3BC AE ==，5CD DE ==.(1)若2BE =，求()tan ABE BEA ∠+∠的值；(2)若120BCD ∠=︒，求BE 的长.（2）连接BD .在BCD △中，3BC =，CD 2235235cos1203430BD =+-⨯⨯⨯︒=-由余弦定理，得22232cos 23BE AEB BE +-∠=⨯⨯余弦定理，得22257cos BE BED +-==∠9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=.(1)求证：2A B =；(2)若3cos 4B =，点D 为边AB 上的一点，CD 平分ACB ∠，1CD =，求边长b .中，由正弦定理可得：在ACD10．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在①10ac =，②a =③()sin sin 6sin b A C B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值及三角形ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在,ABC 它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2,3,sin Bb bc C==___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题）已知在ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，a ，b ，c 为三边，2cos c b B =，2π3C =．(1)求角B 的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC 边上的中线的长度．①ABC 的面积为4；②ABC 的周长为4+的三个12．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设ABC的面积为S．且有关系式：内角A，B，C所对的边长为a，b，c，ABC2+=+．cos2cos22cos2sin sinA B C A B(1)求C；(2)求2cS的最小值．13．（广西四市2022届高三4月教学质量检测数学（文）试题）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=．(1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=；(2)若3A B =，求B 的值．14．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ､b ､c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+.(1)求角A 的大小；(2)若5a =，2c =，求ABC 的面积.15．（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角OAB 中，OA OB =，延长BA 到C ，使得3AC =，4AOC π∠=，sin 3OAC =∠.(1)求OC ；(2)求sin BOC ∠.16．（江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：sin sin 2B C b a B +=，条件②：1cos 2b a Cc =+，条件③：tan (2)tan b A c b B =-这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=，求a 的最小值．17．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan cos 2cos C B C A =-且角A 为锐角.(1)求角B ；(2)若ABC b 的最小值.18．（宁夏银川一中2022届高三二模数学（文）试题）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积tan S B =⋅.(1)求B ；(2)若a 、b 、c 成等差数列，ABC ∆的面积为32，求2b .19．（宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（文）试题）已知函数()f x m n =⋅，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =-，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a =c b +的最大值.20．（内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试文科数学试题（A 卷））如图所示，经过村庄B 有两条夹角为60︒的公路BA 和BC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F ，分别在两条公路边上建两个仓库D 和E （异于村庄B ），设计要求3FD FE DE ===（单位：千米）.(1)若30BDE ∠=︒，求BF 的值（保留根号）；(2)若设BDE θ∠=，当θ为何值时，工厂产生的噪音对村庄B 的居民影响最小（即工厂F 与村庄B 的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1 1.732≈）21．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin b c C B c a A +-=-(1)求B ；(2)若2a =，b =ABC 的面积．22．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在①23coscos cos 24A C A C --=；②()22sin sin sin 3sin sin A C B A C +=+；③2cos 2b C c a +=这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角B 的大小；(2)若a c +=ABC 周长的最小值.23．（陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考模拟文科数学试题）已知())cos ,cos ,,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅ ，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a 22b c +的取值范围.24．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（文）试题）已知ABC 的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若角A B C ，，成等差数列，且2b =，（1）求ABC 的外接圆直径；（2）求a c +的取值范围.25．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知()()sin sin a B C b c B +=+，D 为边BC 的中点．(1)证明：2A B =；(2)若π3A =，AD ABC 的周长l ．26．（河南省平顶山市汝州市2022届高三3月联考文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S AB AC →→=⋅.(2)延长AC 至点D ，使得CD ＝AC ，且BD ＝2BC ，若c ＝6，求△ABC 的周长.27．（甘肃省酒泉市2022届高三5月联考文科数学试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 26A C b C ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)若a b =，P 为ABC 内一点，2PA =，4PC =，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①BP CP ⊥；②PB =；③150∠= BPA ．28．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin b A B =，求ABC 面积的最大值．29．（河南省2022-2023年度高三模拟考试数学（文科）试题）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(sin sin )sin sin a A C c C b B -+=.(1)求角B ；(2)若5b =，求ABC 周长的最大值.30．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos sin b c a B B +=+．(1)求角A 的大小；(2)若D 是BC 边上一点，且2CD DB =，若2AD =，求△ABC 面积的最大值．因为2CD DB=，23 AD AB=由222133AD AB AC⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以。

近年届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第八节解三角形夯基提能作业本文(2021年整理)

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第八节解三角形A组基础题组1。

若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的( ）A.北偏东15°B.北偏西15°C。

北偏东10° D.北偏西10°2。

已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A,C两地间的距离为( ）A.10 km B。

10 km C.10 km D.10 km3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km,参考数据:≈1。

732）( ）A.11.4 km B。

6.6 km C.6.5 km D。

5.6 km4.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ）A。

专题59 边角转化解三角(解析版)

专题59 边角转化解三角一、单选题1．设ABC 的内角，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a b +=，sin 2sin A B =，则角C =（）A ．6πB ．3πC ．D ．56π 【答案】B【分析】由正弦定理得出边,,a b c 之间的关系，再由余弦定理求得cos C ，由角的范围可得选项.【详解】根据正弦定理，由sin 2sin A B =，得2a b =，又a b +=，所以令2a t =，b t =，c =，0t >. 由余弦定理可得())22221cos 222t t C t t +-==⨯⨯，又故0C π<<，所以3C π=. 故选：B.2．在锐角ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b，若2sin a B =，则A ∠等于（） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒【答案】A【分析】由条件结合正弦定理可得，然后得到sin A =即可选出答案. 【详解】因为2sin a B =所以由正弦定理可得，因为sin 0B ≠，所以sin A =因为角A 为锐角，所以故选：A3．在锐角ABC 中，内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4cos abC b a +=，则（）A ．1B ．12 C ．4 D ．2【答案】D【分析】利用正、余弦定理角化边，运用同角三角函数关系切化弦，化简解出即可【详解】锐角ABC 中，4cos b a C a b +=，由余弦定理可得，化简得：2222a b c +=，又22222222222c ab c ab a b c c c =⋅==+--．故选：D4．ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别是，B ，C ，若2sin b a B =，则角A =（）A ．30B ．150︒C ．60︒或120︒D ．30或150︒ 【答案】D【分析】利用正弦定理的边角互化即可求解.【详解】在ABC 中，由正弦定理知则sin sin 1sin 2sin 2a B a B Ab a B ⋅⋅===⋅，因为角是ABC 的内角，所以0180A <<︒︒，所以角等于30或150︒．故选：D ．5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角，B ，C 的对边，若，则B =（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】C【分析】根据条件由正弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理可得得出答案.【详解】由，得a b c a c a b-=-+，可得222a b ac c -=-所以222a cb ac +-=，则2221cos 222a c b ac B ac ac +-=== 又0B π<<，所以3B π=故选：C 6．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin sin sin B A C =+，3cos 5B =，ABC 的面积等于6，则b =（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【分析】利用正弦，余弦定理将角化边，结合三角形面积公式，列方程求解即可.【详解】 2sin sin sin B A C =+2b a c ∴=+① 3cos 5B = 222325a cb ac +-∴=② ()0,B π∈4sin 5B ∴= 据题设可得14625ac ⨯=③ 由①②③解得4b =故选：C7．在ABC 中，a 、b 、c 分别为ABC 的内角、B 、C 的对边，2sin (sin sin )3sin A A B C B +=23sin C +，则角C 的大小为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】A【分析】由正弦定理将角化边，即可得到222sin 33C b c a =+-，再由余弦定理2222cos c a b ab C =+-⋅，即可得到626cos b a C C a b+=+，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到)3C π+= 【详解】解：因为22sin (sin sin )3sin 3sin A A B C B C +=+由正弦定理可得22(sin )33a a C b c +=+，即222sin 33C b c a =+-，又由余弦定理可知2222cos c a b ab C =+-⋅，则，则626cos b a C C a b +=+33cos b a C C a b+=+，3cos )3C C C π+=+≤33cos b a C C a b +=+≥=，当且仅当3b a a b=时取等号，∴)3C π+=32C ππ+=，6C π=，故选：A.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.8．已知ABC ∆的内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足4A π=，a =222cos cos sin sin sin B C A A B --=-⋅，则边长b 的值为（）A ．4B ．2C D 【答案】D【分析】由同角三角函数的平方关系、正弦定理、余弦定理可求出cos C 的值，可求得角C 的值，利用三角形的内角和定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得b 的值.【详解】222cos cos sin sin sin B C A A B --=-⋅，则()()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ----=-⋅，即222sin sin sin sin sin C B A A B --=-⋅，由正弦定理得222c b a ab --=-，所以，222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===， 0C π<<，3C π∴=，又4A π=，则512B π=，且.又，所以，sin 2sin a b B A =⋅==，故选：D.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.9．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则A 的最大值是（）A ．56πB ．23πC ．6πD ．3π 【答案】C【分析】先根据题中条件，由正弦定理，得到，sin 2cos sin A B C =-，由两角和的正切公式，得出22tan tan 13tan C A C=+，利用基本不等式，即可得出结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，则，所以，因为A ，B ，C 为ABC 的内角，则，，所以cos 0B <，则2B ππ<<，所以、C 都为锐角；又由可得，即tan 3tan =-B C ，则()2tan tan 2tan tan tan 1tan tan 13tan B C C A B C B C C+=-+=-=-+，令tan 0x C =>，则222tan 1133x A x x x ==≤=++，当且仅当13x x =，即3x =时，等号成立；所以()max tan A =，因此的最大值为6π. 故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于利用正弦定理，结合三角恒等变换，得到22tan tan 13tan C A C=+，再利用基本不等式，求解即可.（求解时，要注意角的范围）.10．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，且，则ABC 周长的取值范围是（）A ．(2,4)B ．(4,6)C ．(2,6) D．2,6) 【答案】B【分析】把已知式中2换成a 后用正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得2A B =，然后由正弦定理把,b c 用角B 表示，得周长的表达式，求出B 角范围后可得周长的范围，【详解】因为2a =，，所以，所以，所以，则B A B =-，即2A B =.由正弦定理可得，则，，故ABC 的周长1124cos 4cos 2cos cos l a b c B B B B=++=++-=+. 因为0π,02π,0π3π,B B B <<⎧⎪<<⎨⎪<-<⎩解得π03B <<，则1cos 12B <<，故ABC 的周长()4,6l ∈. 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理，解题关键是把已知等式中的2用边a 替换，这样可用正弦定理进行边角转化，化边为角，从而求得2A B =，然后可得B 角范围，同时再用正弦定理求出边,b c （表示为B 的函数），从而可求得周长的范围．11．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a =cos 3sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】用正弦定理化边为角，求出tan A ，sin A ，cos A ，再用余弦定理求出,b c 的关系，由基本不等式得bc 的最大值，从而可得三角形面积的最大值．【详解】cos 3sin A a B =，所以，所以，即tan A =，sin A =3cos 4A =. 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即223362b c bc =+-31222bc bc bc ≥-=，则72bc ≤，故ABC 的面积11sin 72224S bc A =≤⨯⨯=故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求三角形面积的最值，应用的知识较多：正弦定理进行边角转换，同角间的三角函数关系，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式等．要求掌握所有的知识点才能正确求解，本题属于中档题．12．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a c =，cos C =，则（） A ．27 B ．47 C ．57 D ．67【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】因为角C 是三角形的内角，所以(0,)C π∈，由cos C =，可得：3sin 7C ===，由正弦定理可知：，因为2a c =，3sin 7C =，所以6sin 2sin 7A C ==. 故选：D二、多选题13．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（） A ．若A B >，则B ．若sin 2sin 2A B =，则A B =C ．若，则ABC 为钝角三角形D ．若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 为直角三角形【答案】ACD 【分析】根据正弦定理与余弦定理，可判断AC 选项；根据诱导公式及三角形的性质，可判断B 选项；根据三角恒等变换和正弦定理，可判断D 选项.A 选项，在ABC 中，大边对大角，由AB >可得a b >，利用正弦定理，可得；故A 正确； B 选项，在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=；故B 错；C 选项，若，则222cos 02a b c C ab+-=<，所以角C 为钝角，即ABC 为钝角三角形；故C 正确；D 选项，若cos cos sin b C c B a A +=，则2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，则2sin sin A A =，又为三角形内角，所以，则2A π=.故选：ACD.14．下列说法正确的是（） A ．在ABC 中，若，则A B >． B ．在ABC 中，．C ．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．D ．在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，则此三角形有一解．【答案】ABC 【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为，根据正弦定理，可得a b >，由三角形的性质，大边对大角，所以AB >，故A 正确； B 选项，在ABC 中，由正弦定理可得（R 为ABC 外接圆半径），所以，故B 正确；C 选项，在三角形中，若已知两边与两边夹角，可直接根据三角形面积公式求三角形面积；若已知两边一邻角，可根据余弦定理，先求出第三边，再根据三角形面积公式即可求出三角形面积；即在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．故C 正确；D 选项，在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，由正弦定理可得：40sin 2sin 120b CB c===>，显然不成立，所以此三角形不存在，故D 错.故选：ABC.三、解答题15．在①，②cos cos 2b C c B π⎛⎫-=⎪⎝⎭，③sin cos B B +=题中，若问题中的三角形存在，求ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6A π=，__________，4b =？【答案】答案见解析. 【分析】选择①结合余弦定理和正弦定理求出2a =，2B π=，c =即可求出三角形面积；选择②由正弦定理可得，从而可求出B 的大小，再结合正弦定理可求出a ，从而可求出三角形的面积；选择③由辅助角公式可求出4B π=，结合正弦定理可求出a =.【详解】选择①：由余弦定理可知，222222cos cos 222a c b a b c c B b B c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，由正弦定理得，sin sin 1b A B a==，又()0,B π∈，所以2B π=，所以ABC 是直角三角形，则c =，所以ABC 的面积12S ac ==. 选择②：由正弦定理得，sin cos sin cos 2B C C B π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即，又，所以sin 0C ≠，所以sin cos B B =，即，又()0,B π∈，所以4B π=.由正弦定理得，，所以ABC 的面积.选择③：因为sin cos 4B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又(0,)B π∈，所以，所以，42B ππ+=，即4B π=.由正弦定理得，，所以ABC 的面积. 【点睛】思路点睛：三角形相关问题，若已知条件中既有边又有角，则常运用正弦定理进行边角互换，偶尔也会用到余弦定理或余弦定理的变形形式进行边角互换.16．从条件①22cos b a c A -=，②tan cos cos c C a B b A -=，③4cos 5c B a b -=中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．在ABC 中，内角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，b =________，求ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．【答案】答案见解析.【分析】若选①，利用余弦定理可得222a b c ab +-=，求出角后可计算三角形的面积. 若选②，利用正弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积. 若选③，利用正弦定理可得4cos 5C =-，求出角的正弦后可计算三角形的面积. 【详解】解：选择①，因为22cos b a c A -=，所以由余弦定理得，所以222a b c ab +-=，所以由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，而C 为三角形内角，所以sin C =，所以ABC 的面积为113sin 12224ab C ⋅=⨯=．选择②，因为tan cos cos c C a B b A -=，所以由正弦定理得，所以．又0C π<<，所以sin 0C ≠，所以，而C 为三角形内角，所以π4C =，所以sin 2C =，所以ABC 的面积为11sin 12224ab C ⋅=⨯=选择③，因为4cos 5c B a b -=，所以由正弦定理得4sin cos sin sin 5C B A B -=，即5sin cos 5sin()5sin cos (5sin cos 5cos sin )4sin C B B C C B B C B C B -+=-+=，所以．又0B π<<，所以sin 0B ≠，所以4cos 5C =-，而C 为三角形内角，所以3sin 5C =，所以ABC 的面积为113sin 122510ab C ⋅=⨯=．【点睛】思路点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.17．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =，2b =，sin sin 14A B +=．（1）求的值；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积．【答案】（1）7；（2）2. 【分析】（1）根据正弦定理，由题中条件，求出ABC 外接圆的半径，进而可求出；（2）先由（1）求出cos B ，根据余弦定理，求出c 的值，并检验，再由三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】（1）根据正弦定理，由sin sin A B +=可化为22a b R R +=R 为ABC 外接圆半径），因为3a =，2b =，所以2R =则sin 273b B R ===；（2）因为ABC为锐角三角形，所cos 7B ==，由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-2120c -+=，解得c =c =当c =时，222a b c >+，此时为钝角，舍去．所以c =18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且满足)cos cos a C c A -= （1）求角C 的大小；（2）若a=bc ，求△ABC 的面积【答案】（1）π4C =；（2）16. 【分析】（1）利用正弦定理把)cos cos a C c A -= 中边统一成角，然后利用三角函数公式化简可求出角C 的值；（2）利用余弦定理求出c 的值，再利用面积公式可求得结果【详解】解：（1）∵)cos cos a C c A -= ，∴由正弦定理有， ∴，∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴cos C =π4C =．（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴222)22c =+-⨯⨯∴2320c -+=，∴c =∴8b ==，∴11sin 816222ABC S ab C ==⨯=△．19．在ABC 中，角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，4b c =.（1）求tan C 的值；（2）若a =，求ABC 的面积.【答案】（12【分析】(1)7sin 2C C =，进而得解； (2)根据已知条件，利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-求得c 的值，进而利用面积公式计算. 【详解】（1）由正弦定理可得，由4b c =，可得sin 4sin B C =. 因为3A π=，所以23B C π+=，故2sin 4sin 3C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 4sin 2C C C +=，7sin 2C C =，得tan C =. （2）在ABC 中，由余弦定理，得22222212cos 1624132a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，又因为a =，所以1c =，4b =，所以ABC 的面积为1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，涉及两角差的正弦公式和同角三角函数的关系，属基础题,关键是利用正弦定理将边的关系化为角的正弦的关系和根据已知条件选择合适的余弦定理的形式求得c 的值, 20．在ABC 中，角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且2a =，求ABC 周长的取值范围. 【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根据，利用正弦定理化简得到222b c a bc +-=，然后再利用余弦定理求解.（Ⅱ）结合2a =，3A π=，在ABC 中利用正弦定理得到4sin 6B π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据ABC 为锐角三角形，求得B 的范围，利用三角函数的性质求解. 【详解】（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，即为222b c a bc +-=.由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，所以3A π=.（Ⅱ）在ABC 中由正弦定理得sin sin sin3ab cB C π==，又2a =，所以b B ，，所以，3sin 2B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭， 4sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以，且()3B b c π≠≠，所以62B ππ<<且3B π≠，所以2363B πππ<+<且62B ππ+≠，所以，所以()b c +∈，所以ABC 周长a b c ++的取值范围是.【点睛】易错点点睛：第二问在确定角B 的范围时，容易忽视sin sin 0B C -≠，结合3A π=即3B π≠的条件.21．在ABC 中，内角、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan a B b A =.（1）求的值；（2）若a =，，求ABC 的周长.【答案】（1）3π；（2）5+【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得1cos 2A =，结合范围()0,A π∈，可求的值.（2）由已知可得()45bc b c =+，又由余弦定理可得2213b c bc +-=，联立解得b c +的值，即可得解三角形的周长.【详解】解：（1）由题意可得sin 2sin cos b A a B A =，可得sin cos 2sin b A A a B =，由正弦定理可得，因为()0,A π∈，可得3A π=.（2）由，可得()45bc b c =+，又由余弦定理可得2213b c bc +-=，可得()2313b c bc +-=，可得212()()135b c b c +-+=，解得5b c +=，或135b c +=-（舍去），故ABC 的周长为522．在ABC 中，3B π∠=，b =______，求BC 边上的高.在①sin 7A =；②sin 3sin A C =；③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】选①，先根据正弦定理得2a =，再根据余弦定理得3c =，进而得BC 边上的高为sin h c B ==；选②，由sin 3sin A C =得3a c =，进而根据余弦定理得1c =，进而得BC 边上的高为sin 2h c B ==；选择③，由2a c -=得2a c =+，进而由余弦定理得1c =，进而得BC边上的高为sin h c B =. 【详解】解：选择①，在ABC7=，解得2a =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22172222c c =+-⨯⨯⨯，化简得2230c c --=，解得3c =或（舍去）；所以BC边上的高为sin 3h c B ===选择②，在ABC 中，由正弦定理得，又因为sin 3sin A C =，所以，即3a c =；由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2217(3)232c c c c =+-⨯⨯⨯，化简得277c =，解得1c =或（舍去）；所以BC边上的高为sin 1h c B ===选择③，在ABC 中，由2a c -=，得2a c =+；由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2217(2)2(2)2c c c c =++-⨯+⨯⨯ 化简得2230c +c -=，解得1c =或3c =-（舍去）；所以BC 边上的高为sin 122h c B ==⨯=. 【点睛】本题解题的关键在于应用正余弦定理的方程思想计算出边c ，进而根据BC 边上的高为sin h c B =求解，考查运算求解能力，是基础题.23．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos a C c B b C =+（1）求角C 的正弦值；（2）若2c =，求+a b 的最大值．【答案】（1）；（2）4.【分析】(1)利用正弦定理化简边角关系式后可得1cos 2C =，从而可求得角C 的正弦值； (2)利用正弦定理将三角形的边转化为角，利用三角函数的值域可求得所求的最值.【详解】解：（1）∵2cos cos cos a C b C c B =+，∴，∵0A π<<，∴．∴1cos 2C =，0C π<<，∴3C π=，∴sin 2C =；（2）∵2c =，∴2sin sin sin sin 3c b a C B A π====23A B C ππ+=-=，∴2sin sin sin sin sin sin 3c c a b A B A A C C π⎫⎛⎫+=+=+- ⎪⎪⎝⎭⎭4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵203A π<<，∴，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()4a b +=．【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. （4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.24．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c A B b a A C +=-+. （1）求角B 的大小.（2）若ABC S =BA BC ⋅的值.【答案】（1）23π；（2）-4. 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得B 角；（2）由三角形面积公式得ac ，再由数量积的定义求得数量积．【详解】（1）∵sin sin sin sin c A B b a A C+=-+，∴由正弦定理：， ∴222ac c b a +=-，222c a b ac +-=-.由余弦定理：∴2221cos 222c a b ac B ac ac +-==-=-. ∵)(0,B π∈，∴23B π=.（2）由1sin 24ABC S ac B ac ===，8ac =，. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和余弦定理，三角形面积公式，解三角形时，边角出现在一个等式中，常常利用正弦定理进行边角互化，化角后应用三角性等变换公式化简，化边后，一种利用代数式的运算进行变形，一种利用余弦定理求角．25．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若.（1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）6【分析】（1）利用正弦定理余弦定理化简即得解；（2）利用基本不等式求出2b ≥，即得ABC 周长的最小值和此时ABC 的面积.【详解】（1）∵，由己知结合正弦定理可得22()a c a c b -+=，∴222a c b ac +-=， ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,)B π∈， ∴3B π=.（2）∵22222cos ()3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-， ∴221632a c b +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号， ∴min 2,b ABC =周长的最小值为6，此时ABC 的面积1sin 2S ac B ==【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法（研究函数的单调性求出最值）；（2）导数法（利用导数求出函数的单调性得到函数的最值）；（3）数形结合法（把数和形结合起来求出函数的最值）；（4）基本不等式法（利用基本不等式法求函数的最值）.26．已知在ABC 中，角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且.（1）求角的大小；（2）若a =2b =，求ABC 的面积.【答案】（1）4A π=；（2）4.【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得，由sin 0B ≠可得，即可求角的大小；（2）利用余弦定理求出边c ，再利用面积公式即可求解.【详解】（1）在ABC 中，A B C π++=，在ABC 中，由正弦定理得，即，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，∴，π04A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又∵0()A π∈，，∴4A π=，（2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，则220442c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭，即2160c --=，解得c =或c =-(舍)，∴11sin 24222ABC S bc A =⋅=⨯⨯=. 【点睛】关键点点睛：求三角形面积的关键是利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅求出边c ，再利用面积公式1sin 2ABC S bc A =⋅即可求ABC 的面积. 27．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角，B ，C 的对边，.（1）求B ；（2）若4b =，ABC 的面积为a c +.【答案】（1）3π；（2）8. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得222b a c ac =+-，由余弦定理可得1cos 2B =，结合范围0B π<<，可求B 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac 的值，进而利用余弦定理可求a c +的值．【详解】（1）由，根据正弦定理可得，即222b a c ac =+-，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得，由于0B π<<，所以3B π=.（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2ac B ==16ac =，因为22216b a c ac =+-=，所以2232a c +=，所以8a c +==【点睛】方法点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.28．已知ABC 中，角，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22a b bc =+．（1）求证：2A B =；（2）若π6B =，2b =，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足，当线段BP 的长度取得最小值时，求APC △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据余弦定理得2cos =-b A c b ，再由正弦定理得()sin sin A B B -=，由角的范围可得证；（2）由（1）和已知条件求得π2C =，π3A =，再由向量垂直的条件得点P 在以AC 为直径的圆上，且当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，再由三角函数的定义和正弦二倍角公式可求得APC △的面积．【详解】（1）∵2222cos a b c bc A =+-，22a b bc =+，∴2cos =-b A c b ，由正弦定理得2sin cos sin sin =-B A C B ，∵，代入得，，即()sin sin A B B -=，∵，B ，C 为三角形的内角，∴2A B =．（2）因为π6B =，所以π2C =，π3A =．由题意，得PA PC ⊥，点P 在以AC 为直径的圆上，∵2b =，∴4AB =，BC =设O 为AC 中点，连结BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时．设∠=OCP θ，则，2sin =PA θ，2cos =PC θ，Rt BCO △中，，APC △的面积12sin cos sin 2213=⨯===S PA PC θθθ∴当BP 1-时，APC △的面积为．【点睛】关键点点睛：本题关键在于由已知条件得出点P 的轨迹，找到BP 取得最小值时，点P 的位置. 29．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知cos sin c B b C =.（1）求角B ；（2）若4,c D =为边BC 的中点，且AD =ABC 的面积.【答案】（1）4B π=；（2）8.【分析】（1）利用正弦定理边化角和同角公式可求得结果；（2）在ABD △中，根据余弦定理可求得BD =，再根据三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）因为cos sin c B b C =，所以sin cos sin sin C B B C =，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos sin B B =，即.因为0B π<<，所以4B π=.（2）在ABD △中，4,4AB AD ABD π==∠=.由余弦定理可得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠，则2816242BD BD =+-⨯⨯⨯，即280BD -+=，解得BD =.故ABC 的面积为.【点睛】关键点点睛：第（1）问利用正弦定理边化角是解题关键，第（2）问在ABD △中，根据余弦定理求出BD 是解题关键.30．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A C a c =. （1）求C 的大小；（2）如果6a b +=，ABC S =c 的值.【答案】（1）3C π=；（2）c =.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，可得C 的大小；（2）利用三角形的面积公式求出ab ，利用余弦定理可得c 的值．【详解】（1）由正弦定理，sin A C a c=可化为，即tan C =又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由ABC S =1sin 2ab C =8ab ∴=. 由余弦定理，得22222cos ()22cos 3c a b ab C a b ab ab π=+-=+--22()363812a b ab =+-=-⨯=∴c =.31．已知ABC 中，角，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .（1）求的大小；（2）若3cos 5B =，5BC =，17BD BA =，求CD 的长.【答案】（1）π4A =；（2）CD =【分析】（1）由正弦定理得，再由，代入得，可求得的大小；（2）由正弦定理，求得AC =7AB =，1BD =，利用余弦定理求得答案.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得，又，所以即，整理得，因为sin 0C ≠可得cos sin A A =，又0A π<<，所以π4A =；（2）在ABC中，4sin 5B ==，由4sin sin 5AC BC AC B A =⇒=，解得AC = 又因为，所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =，由17BD BA =得17BD BA =，所以1BD =，所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.【点睛】关键点点睛：在运用正弦定理、余弦定理解三角形时，注意由已知条件选择合适的定理，并注意角的范围. 32．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c，a =3b =，sin 2sin C A =. （1）求c 的值；（2）求sin A 的值.【答案】（1）2.. 【分析】（1）已知sin 2sin C A =，根据正弦定理可得2c a =，即求c 的值；（2）根据余弦定理求出cos A ，根据平方关系式求sin A ，得到结果.【详解】（1）由正弦定理得sin 2sin C c a a A===（2）由（1）知c =又因为a =3b =，由余弦定理得222cos2b c a A bc +-===，又因为0A π<<，所以sin 5A =. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，解题方法如下：（1）根据正弦定理，结合题中条件，建立等量关系式，求得结果；（2）结合（1）的结论，得到c =cos A ，根据平方关系式求sin A .33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角A 的大小；（2）若点D 是BC 的中点，且AD =，求△ABC 的面积的最大值.【答案】（1）23π；（2）【分析】（1）由正弦定理的角化边公式化简得到222b c a bc +-=-，结合余弦定理解出角的大小；（2）利用1()2AD AB AC =+两边平方得到2221()4AD AB AC AB AC =+-⋅,再利用基本不等式得出最大值.【详解】（1）由题意得 222,b c a bc ∴+-=-()1cos ,0,2A A π∴=-∈，2.3A π∴= （2）1()2AD AB AC =+ 2221(2)4AD AB AC AB AC =++⋅221()4AB AC AB AC =+-⋅ 12(2)4AB AC AB AC ∴≥⋅-⋅,当且仅当AB AC =时，等号成立. 8,AB AC ∴⋅≤故△ABC 的面积的最大值是【点睛】用三角形中线向量进行转化是解题关键.34．已知A ，B ，C 为ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若(2)cos cos b c A a C +=- （1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积【答案】（1）23π；（2【分析】（1）由正弦定理将边化成角，再根据和角公式化简即可；（2）由余弦定理代入数据，求出4bc =，再由面积公式求解即可.【详解】（1）根据正弦定理得2sin cos (sin cos cos sin )B A A C A C ∴=-+即2sin cos sin()sin B A A C B =-+=- 又1sin 0,cos 2B A >=- 又20,3A A ππ<<∴=；（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅则222()22cos 3b c bc bc π=+--⋅11216222bc bc ⎛⎫∴=--⋅- ⎪⎝⎭4bc ∴=11sin 422∴=⋅=⨯=ABC S bc A 【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用，涉及到三角形面积公式，属于中档题.35．ABC 的内角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos2A a C c =．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知1b =，3c =，且边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S =，求AD ．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）AD =. 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得sin cos 2A A =，再利用二倍角公式即可求解. （Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ，根据3ABD ADC SS =可得12h h =，从而确定AD 是ABC 角的内角平分线，然后由34ABD ABC S S =△△，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）因为sin cos 2A a C c =，由正弦定理得sin sin sin cos2A A C C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos 2A A =，所以，因为，所以cos 02A ≠，所以，即26A π=，所以3A π=．（Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ，因为3ABD ADC S S =，3c =，1b =，所以1211322c h b h ⋅=⨯⋅，所以12h h =，AD 是ABC 角的内角平分线，所以π6BAD ∠=，因为3ABD ADC S S =，可知34ABD ABC S S =△△，所以，所以AD =．【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦定理的边角互化、三角形的面积公式，解题的关键是确定AD 是ABC 角的内角平分线，考查了运算能力.36．ABC 中，内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos (2)cos B c A =. （1）求角的大小；（2）若2a =，b =ABC 的面积.【答案】（1）6π；（2或【分析】（1)2sin cos A B C A +=，然后根据A B C π+=-得出，最后根据sin 0C ≠以及0A π<<即可得出结果；（2）本题首先可根据正弦定理求出3B π=或23π，然后求出角C 的大小，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1cos (2)cos B c A =，cos (2sin )cos A B C B A =-，)2sin cos A B C A +=，因为A B C π+=-，所以，因为sin 0C ≠，0A π<<，所以cos 2A =，6A π=.（2）因为2a =，b =6A π=，所以，即，解得sin B =，3B π=或23π，若3B π=，则2C π=，1=sin 2ABC S ab C △=若23B π=，则6C π=，1=sin 2ABC S ab C △=故ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理边角互化的应用以及解三角形面积公式，考查两角和的正弦公式，正弦公式，解三角形面积公式1=sin 2S ab C ，考查计算能力，是中档题. 37．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知.（1）求的值；（2）若1cos 6B =，2b =，求c 的值. 【答案】（1）3；（2）2.【分析】（1）由题中条件，根据正弦定理，将原式化简整理，即可得出结果；（2）由（1）的结果，结合正弦定理，得到3c a =，再由余弦定理，根据题中条件，即可求出结果.【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，则，即sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A B A B B C B C +=+，即，即sin 3sin C A =，∴.（2）∵，∴3c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得：22149236a a a a =+-⨯⨯，解得23a =， ∴32c a ==.38．在ABC 中，内角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222b c a +=+，（1）求sin A ；（2）若ABC 外接圆的面积为16π，求边长a ．【答案】（1）1sin 2A =；（2）4a =．【分析】（1）由题中条件，根据余弦定理，求出cos A ，进而可求出sin A ；（2）根据题中条件，先求出外接圆半径，再由正弦定理，即可求出结果.【详解】（1）由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-又222b c a +=+，∴2cos bc A =，∴cos A =，又为三角形ABC 的内角，所以sin 12A ==；（2）∵ABC 外接圆的面积为16π，设该圆半径为R ，则216R ππ=，∴4R =，由正弦定理得：28sin a R A==，所以8sin 4a A ==.四、填空题39．在ABC 中，若，则ABC 是________三角形．【答案】等腰直角【分析】根据正弦定理，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由正弦定理可知：，因为，所以，由，当且仅当时取等号，即a b A B =⇒=，有2sin 2C ≥，所以，而，所以，π2C =，因此ABC 为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角40．在ABC 中，内角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若()cos()cos sin a B C A C a -=-，则A =_______. 【答案】3π 【分析】先利用三角恒等变换，将原式化为，根据正弦定理，得到sin A A =，进而可求出结果.【详解】由()cos()cos sin a B C A C a -=-得cos()cos sin cos a B C a A C A -+=，则cos()cos()sin cos a B C a B C C A --+=，则即，由正弦定理可得：，又角，B ，C 为三角形内角，所以()0A B C π∈,,,，则sin A A =，即tan A =3A π=. 故答案为：3π. 41．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）.在非直角ABC 中，a ，b ，c 为内角，B ，C 所对应的三边，若3a =，且()cos a c B C =，则ABC 的面积最大时，c =______.【答案】3【分析】先利用正弦定理将边化为角，化简整理得b =，带入面积公式，配方可得最值．【详解】解：()cos a c B C =，()sin sin cos A C B C ∴=+，，， ABC 非直角三角形，cos 0C ∴≠，，即b =，，当且仅当29c =，即3c =时，S 有最大值.故答案为：3．【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，注意三角形内角和的应用．五、双空题42．如图，设ABC 的内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos cos )2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若点D 是ABC 外一点，1CD =，3AD =，则当D ∠=______时，四边形ABCD 的面积的最大值为____________【答案】56π 32+【分析】利用正弦定理边角互化结合B 的取值范围可求得3B π∠=，可判断出ABC 为等边三角形，利用余弦定理求得2106cos AC θ=-，利用三角形的面积公式可得出四边形ABCD 的面积关于θ的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形ABCD 面积的最大值及其对应的θ的值，即可得解.。

解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题备战2023年高考数学

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题06解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

但在三角形．．．中，sin sin A B A B >⇔>成立一、单选题1．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2a b c b c a bc +++-=，那么ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定【答案】B【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.【详解】在ABC 中，()()()2222222a b c b c a b c a b c a bc bc +++-=+-=+-+=，2220b c a ∴+-=，即222b c a +=，则ABC 为直角三角形，故选：B.2．在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222a b c +<，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形3．在ABC 中，1cos b cA c++=，则三角形的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到222c b a =+，进而得到ABC 的形状为直角三角形.二、基础知识过关4．ABC ∆中，sin sin A B >是a b >的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，则下列关系不成立的是（）A ．cos a cB =⋅B ．tan tan 1A B ⋅=C ．cos b c A =⋅D ．tan a b B=6．ABC 的三边分别为a ,b ,c ,若ABC 是锐角三角形,则（）A ．sin cos AB <B ．tan tan 1A B >C ．cos()0A B +>D ．sin()sin A B C+>二、填空题7．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos bA c=，则ABC 的形状是____________（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．8．ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且满足2cos a b C =，则此三角形的形状是_____.【答案】等腰三角形【分析】利用正弦定理边角互化，由π()A B C =-+结合三角函数和差公式和角的范围即可得B C =，即可得到结果.【详解】因为2cos a b C =，所以由正弦定理可得sin 2sin cos A B C =，又在ABC 中π()A B C =-+,所以sin sin()sin cos sin cos 2sin cos A B C B C C B B C =+=+=，所以sin cos sin cos 0C B B C -=即sin()0C B -=，由,(0,π)B C ∈，故B C =，则此三角形的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形四、解题技巧实战1．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且(cos cos )a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状；2．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB⋅+⋅=⋅(1)若cos cos A Bb a=，判断ABC 的形状并说明理由；3．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2tan tan cos cos A BA B B A+=+．（1）证明：2a b c +=；4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：2sin a bc C--=.1．（2022·高三课时练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos cos a A b B c C +=，判断ABC 的形状．2．（2022春·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b c =sin cos b A B =．(1)判断ABC 的形状；(2)若O 为ABC 所在平面内一点，且O ，C 在直线AB 的异侧，22OA OB ==，求OC 的最大值．五、跟踪训练达标θ32在AOB 中，由正弦定理可知：sin AB 由余弦定理可知，2cos OB OBA ∠=∴233sin cos 4AB OBC AB AB θ-∠=-=∴在OBC △中，由余弦定理可得：2222cos OC OB BC OB BC 3．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（1）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222b c a bc +=+，tan tan tan A B A B ++，判断ABC 的形状；（2）在ABC 中，120,B AB == A 的平分线AD =，求AC 的长.2sin 2ADB ∠∴=，由题意知060ADB ∠<< 4．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．(1)若aa bba b c+=++，判断ABC 的形状；(2)若ABC 不是钝角三角形，求ac的取值范围．5．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ (1)若cos cos A Bb a=，判断ABC 的形状并说明理由；(2)若ABC 是锐角三角形，求sin C 的取值范围.6．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明；(2)若a b ¹，求sin sin sin A B C ++的取值范围．7．（河北·模拟预测）在△ABC 中，()12cos c b A =+，求证：2A B =.所以A B B -=或180A B B -+=(舍)，所以2A B =8．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．9．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，求证：（1）()()222222tan tan 0a b c A a b c B --+-+=；（2）2222cos 2cos 211A B a b a b-=-.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）根据余弦定理将2222222cos ,2cos bc A ac B a b c a b c ==---+-代入左式，整理结合正弦定理，即可证明等式；（2）用二倍角公式将cos2,cos2A B 转化为sin ,sin A B ，再由正弦定理，即可证明等式.10．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，sin sin sin sin a b C B c A B--=+.(1)求A ；(2)若33c b =，证明：2c b =.11．（2023·高三课时练习）在ABC 中，22sin cos 222+=(1)求B 的大小；(2))2a c b +=，证明：a c =.12．（2020春·山东济南·高三统考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点.（1）证明：CD =.（2）已知4a =，6b =，4CD =，求ABC 的面积.。

角化边边化角规则

角化边边化角规则
角化边边化角规则是几何学中常用的转换方法，它指的是将角变
为边，或将边变为角的过程。

这种规则虽然简单易懂，但在实际应用
中却有着非常重要的意义。

角化边，就是将一个角通过作出一条垂线，将其转化为两条相邻
边的夹角。

这种方法在解决三角形相关问题时非常常见。

例如，当我
们解决一个三角形的面积时，往往需要通过角化边的方法将其转化为
两个已知直线段的乘积。

同样，当我们需要求出一个三角形内某个角
的度数时，也可以通过角化边的方法将其转化为两条直线段的比值。

边化角，则是将两条边的夹角通过延长其中一条边，形成一个新
的角度。

这种方法适用于解决一些与直线相关的问题。

例如，当我们
需要判断两条线段是否垂直时，可以通过边化角的方法将两个角度转
化为两个线段的比值，从而得出结论。

同样，当我们需要求出两条线
段之间的夹角时，也可以通过边化角的方法将其转化为两个头端点的
坐标，再通过向量运算求解。

同时，角化边边化角规则也具有一定的指导意义。

它告诉我们在
解决几何问题时，不一定要固守传统的方法，而可以通过合理运用规则，将问题转化为我们更加熟悉、便于处理的形式。

因此，在做题时，我们应该灵活运用规则，利用几何学的基本知识与技巧，更好地解决
问题。

总之，角化边边化角规则是几何学中一个非常重要的转化方法。

在解决几何问题时，合理运用这一规则，不仅可以简化问题难度，还能提高我们的解题效率。

在学习和应用中，我们需要加强练习，熟练掌握相关技巧，以此来提高自己的几何学水平。

高考数学压轴专题开封备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题含答案

高中数学《三角函数与解三角形》期末考知识点一、选择题1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形．故选C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A B C A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.3．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（）ABCD【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增【答案】D 【解析】【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-．由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错；由23x π-＝2k ππ+，得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ，所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 错，D 对；故选：D ．【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．7．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.8．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c，若()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，b =c =，则角B =（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B 【解析】【分析】先由()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭求出3A π=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】因为()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭所以11sin sin 022A A A A A +==所以tan A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=所以由余弦定理得：22222co 1232222s a b c bc A ⎛-=+-=+⨯= ⎝⎭所以a =所以222232cos22a c bBac+-+-===因为0,2Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4Bπ=故选：B【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.9．定义在R上的函数()f x既是偶函数又是周期函数，若()f x的最小正周期是π，且当π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sinf x x=，则5π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A．12-BC．D．12【答案】B【解析】分析：要求53fπ⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sinf x x=来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解详解：()f xQ的最小正周期是π552333f f fππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f xQ是偶函数33f fππ⎛⎫⎛⎫∴-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f fππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sinf x x=，则5sin3332f fπππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．10．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.11．在ABC ∆中，060,A BC D ∠==是边AB 上的一点，CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（） A ．32B ．4C ．2D ．1【答案】C 【解析】1sin 1sin2BCD BCD ∠=∴∠=2242BD BD ∴=-=∴=,选C12．已知ππ43πsin()cos(),0,322ααα++-=--<<则2πcos()3α+等于（）A ．5B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππ43sin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133343sin cos sin sin cos 22225ααααα++=+=-433sin 65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.13．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（）A ．3155AB AC +u u uv u u u vB ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ，所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.14．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（）ABCD【答案】A 【解析】【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u r代入22=,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭所以22OA =⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min9355OP ==u u u r故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.15．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=（）A ．15 B ．14C ．12D ．34【答案】D 【解析】【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=, 故1sin 22θ=. 所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.16．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.17．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．18．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．19．40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（）A．1) B1 C1 D．2【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ．【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.20．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=，因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．。

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5.4 解三角形角化边、边化角问题
总纲：条件中同时含有边和角，若不能直接使用正弦定理或者余弦定理得到答案，则都化成边（即“角化边”），或者都化成角（即“边化角”）来处理。

第一阶：
典例1（直接使用正余弦定理）：（2013年高考上海卷（理）改编）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若22232330a ab b c ++-=,则C cos =
典例2：（不能直接使用定理）在ABC ∆中，
（1）已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状（2）已知B b A a cos cos =，判断ABC ∆的形状
第二阶：
方法指导：含有x sin 的齐次式，优先考虑使用正弦定理，角化边。

例3：（2013年高考天津卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知
sin 3sin b A c B =, a = 3, 2
cos 3
B =
. (Ⅰ) 求b 的值;
(Ⅱ) 求sin 23B π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值.
练习3．（2013年高考江西卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知
12cos sin sin sin sin =++B C B B A
(1) 求证: ,,a b c 成等差数列; (2) 若C =23
π
,求
a
b
的值.
方法指导：含有a ,b ,c 的齐次式，优先考虑使用正弦定理边化角。

例4．（2013年高考陕西卷（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
练习4．（2013年辽宁数学（理）试题）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 而且
1
sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b += a b >,则B ∠=
A.6π
B.3π
C.23π
D.56
π
方法指导：含有x cos 的式子，优先考虑余弦定理角化边。

例 5.（2011山东理17）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c ，已知
b a
c B C A -=-2cos cos 2cos ．
（I ）求A C sin sin 的值；（II ）若4
1
cos =B ，b =2，ABC ∆的面积S 。

第三阶：
方法指导：代数变形或者三角恒等变形后置例6：已知B b A a cos cos =，判断ABC ∆的形状
练习6：（2011山东理17）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c ，已知
b a
c B C A -=
-2cos cos 2cos ．（I ）求A C sin sin 的值；（II ）若4
1
cos =B ，b =2，ABC ∆的面积S 。

方法指导：代数变形或者三角恒等变形前置
例7(代数变形前置)：（2013年高考大纲卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为
,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若1
sin sin 4
A C =
,求C
例8（三角恒等变形前置）：（2013年高考四川卷（文））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,
且3
cos()cos sin()sin()5
A B B A B A c ---+=-. (Ⅰ)求sin A 的值;
(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA u u u r 在BC uuu
r 方向上的投影.
方法指导：含有面积公式的问题，要考虑可能结合余弦定理使用。

例9：2012年江西卷16.（本小题满分12分）
△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知C B C B cos cos 61)cos(3=-- （1）求cosA ；
（2）若3=a ，△ABC 的面积为b 、c 。

方法指导：同时出现两个自由角（甚至三个自由角）的时候，要用到π=++C B A
例:10：2011（湖南理17）△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足C a A c cos sin = （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求)4
cos(sin 3π
+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。

（提示：A 、B 两个角可以消掉一个角）
练习10：（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
cos sin a b C c B =+.
(Ⅰ)求B ；（提示：使用π=++C B A ）
(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.（法1：可以结合余弦定理，使用基本不等式，）（法2：使用π=++C B A 消元，化为一元函数）
参考答案：典例1：
3
1
典例2：（1）等腰三角形（2）等腰三角形或直角三角形例3 : (1) 6=
b (2) 18
3
54)3
2sin(+=
-
π
B
练习3：（1）b c a 2=+，故c b a ,,成等差数列（2）5
3=b a 例4： A 例5： 2sin sin )
1(=A
C
（2）415=S 例6：等腰三角形或直角三角形练习6： 2sin sin )
1(=A
C
（2）415=S 例7：（1）32π=
B （2）12π=
C 或4
π
=C
例8 ：（1）5
4
sin =
A （2）投影为22
例9：（1）31
cos =A （2）⎩⎨⎧==32c b 或⎩⎨⎧==2
3c b 例10：（1）4
π=c （2）最大值为2，此时3
π
=
A 或12
5π
=
B 练10：（1）4
π
=
B （2）S 最大值为12+，此时c a =。