北师大八年级下数学第一章复习课
数学第一章复习课件(1)(北师大版八年级下)
2.(1)不等式的基本性质1:不等式两边都加上（或 减去）同一个整式，不等号的方向_____.
(2)不等式的基本性质2:不等式两边都乘以（或除 以）同一个正数，不等号的方向_____.
(3)不等式的基本性质3:不等式两边都乘以（或除 以）同一个负数，不等号的方向_____.
D.0是不等式5x<1的解.
2.已知关于x的不等式mx>10的解集为x<-20,则m的 值为______.
3.已知关于x的不等式(a-2)x>a-2,的解集是x<1,则a 的取值范围是_______.
4.（1）不等式x>-3的非正整数解是______; （2）不等式x<4的非负整数解是_______ ; （3）不等式x<-4的最大整数解是_______; （4）不等式x-1≤3的自然数解是_______.
2.如果关于x的不等式2x2k-1+3<-7是一元一次不等式, 则k=____,不等式的解集为______.
3.求不等式 x-1 - 2x+1 >-1的非负整数解.
3
4
4. 已知关于x的方程4(x-5)-a=3a+4的解不小于
2a+1，求a的取值范围.
5. 已知关于x,y的方程组
3x+y=1 x-2y=a
5. 已知关于x的不等式m-2x<3的解集如图，则m的值 为_______.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
6.已知关于x不等式5x+a<3的解集与2x<4的解集相同， 求a的值. 7.已知关于x的方程ax-4=0的解为x=2,求不等式 （a-3）x<-6的解集.
北师大版八年级下册数学《回顾与思考第一章全等三角形的证明》课件
同学们能帮老师填满模型四、五的空白吗？
模型四 平移型 模型五 角平分线型
…… ……
谈收获
全等是说明线段、角相等或者线段的和、差、倍、
分关系的重要方法之一。
注意：
用不同的标
说明时注意以下三点：
示将已知条件在 图形中标注出来
①找准全等模型
② 视察结论中的线段或角，在哪两个可能全等的三角形 中，分析已有条件，欠缺条件，选择判定方法。
【典例解析】
1、若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=
.
说说理由.
无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分
2、如图∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
有重叠：两个三角形含有一部分公共角， 运用角的和差可得到一对等角。
E
B D
CC
A
【模型分析】
此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，
友谊提示：公共边，公共角， 对顶角这些都是隐含的边、 角相等的条件！
【中考赏析】----202X广东
．如图，矩形ABCD中，AB﹥AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使 点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
（1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：△DEF是等腰三角形.
模型二：一线三垂型
边
一
找边对的另一角（AAS）
角
变式3、如图所示：已知∠B=∠C，请你添加一个条件————，使得 △ABE≌△ACD
思路
∠A为公共角
找夹边（ASA） 已 知 两 角
找对边（AAS）
A
D
E
B
C
你能否快速分析出此题的证明思路？
初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思
北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。
通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。
八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。
在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。
具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。
二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。
本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。
2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教案：第一章 课题 等边三角形的判定
2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教案：第一章课题等边三角形的判定一. 教材分析等边三角形的判定是北师大版八年级数学下册第一章的内容。
本节课的内容主要包括等边三角形的定义，性质及其判定方法。
通过本节课的学习，使学生能够理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的性质，能够运用判定方法判断一个三角形是否为等边三角形。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念，如三角形的定义，性质等。
同时，学生也已经学习了全等三角形的判定和性质，这为学习等边三角形提供了基础知识。
但是，学生对于等边三角形的概念和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的性质，能够运用判定方法判断一个三角形是否为等边三角形。
2.过程与方法目标：通过观察，操作，推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：等边三角形的定义，性质及其判定方法。
2.难点：等边三角形的判定方法的灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导探究法，小组合作法等教学方法。
通过问题引导，激发学生的思考，引导学生自主探究，小组合作，共同解决问题。
六. 教学准备1.教师准备：准备好PPT，教学素材，如三角形模型，挂图等。
2.学生准备：预习课本内容，了解三角形的基本概念和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些三角形模型，让学生观察，提问：你们能找出这些三角形中的特殊三角形吗？特殊在哪里？2.呈现（10分钟）展示等边三角形的定义，性质及其判定方法。
引导学生通过观察，操作，推理等方法，理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组，每组选择一个三角形，通过测量，计算等方法，判断该三角形是否为等边三角形。
学生在操作过程中，能够加深对等边三角形判定方法的理解。
北师大版数学八年级下册全册复习教案
34D 第一章三角形的证明【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：本章知识的综合性应用。
【学习过程】1、等腰三角形的性质：（边）；（角）；“三线合一”的内容。
2、等边三角形的性质：（边）；（角）。
3、判定等腰三角形的方法有：（边）；（角）。
4、判定等边三角形的方法有：（边）；（角）。
5、线段垂直平分线的性质定理：。
逆定理：。
三角形的垂直平分线性质：。
6、角的性质定理：。
逆定理：。
三角形的角平分线性质：。
7、三角形全等的判定方法有：。
8、30°锐角的直角三角形的性质：。
9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；）等角对等边；）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。
（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。
1、填空：（1）△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4cm ，最长边AB=。
（2）直角三角形两直角边分别是5cm 、12cm ，其斜边上的高是。
（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形。
（4）三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是________2、已知：如图，是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF 。
北师大版八年级下册数学《第一章复习》教学设计
北师大版八年级下册数学《第一章复习》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《第一章复习》主要是对八年级上册的知识进行复习，包括实数、不等式、函数、几何等知识点。
本章的目的是使学生对已学的知识有一个全面、深入的理解，并为后续的学习打下坚实的基础。
教材通过大量的例题和练习题，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、不等式、函数、几何等知识点，对数学有了一定的认识和理解。
但是，由于学习时间的推移，部分学生可能对一些知识点的理解和掌握有所遗忘。
因此，在复习过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生对实数、不等式、函数、几何等知识点有一个全面、深入的理解，提高解题能力。
2.过程与方法：通过复习，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.实数的性质和运算2.不等式的解法和应用3.函数的性质和图像4.几何图形的性质和计算五. 教学方法采用讲练结合的教学方法，通过讲解、示范、练习、讨论等方式，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和积极性。
六. 教学准备1.教材和教学参考书2.PPT和教学课件3.练习题和测试题4.板书和教学工具七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，了解学生对已学知识的掌握情况。
然后，教师简要介绍本章的复习内容，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）教师利用PPT和教学课件，呈现本章的主要知识点，包括实数的性质和运算、不等式的解法和应用、函数的性质和图像、几何图形的性质和计算。
在呈现过程中，教师引导学生积极参与，提出问题和观点。
3.操练（20分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
然后，教师选取部分学生的作业进行讲解和示范，引导学生掌握解题方法和技巧。
对于学生的错误，教师要及时指出并给予纠正。
4.巩固（10分钟）教师给出一些测试题，让学生在规定时间内完成。
北师大版八年级数学(下)第一章 线段的垂直平分线
1.3线段的垂直平分线一、知识点梳理1.线段垂直平分线性质定理：①线段垂直平分线垂直平分某条线段②线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知线段的垂直平分线4.三角形外心：三角形三条边垂直平分线的交点二、经典题型总结题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用三、解题技巧点睛1.若题目中出现“求一点到某几个点的距离相等”则可以想到运用垂直平分线的性质画出中垂线2.三角形外心也是三角形外接圆的圆心，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部3.求两条线短的最短距离，通常是想到过一个已知点做已知直线的对称点，连接对称点与另一个已知点的连线即为最短距离。
4.灵活运用垂直平分线逆定理解决题目四、易错点分析在运用线段垂直平分线计算周长的时候容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长例题：在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D.（1）若△BCD的周长为8,求BC之长. （2）若BC=4,求△BCD的周长.题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度例题：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=___∘.题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题例题：如图,在直角中,∠BAC=90∘,AB=8 ,AC=6 ,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D ,交BC 于点E ,连接AE ,则△ACE 的周长为________.题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题例题：如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．六、中考真题再现（2019.长沙.9题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是A．20° B．30° C．45° D．60°（2019.江苏.15题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．七、习题巩固训练1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．15°B．20°C．65°D．100°2.如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（）A．45°B．60°C．50°D．55°3.如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是______.5.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为______.6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．7.如图，AD和EF分别是△ABC中BC与AB垂直平分线，且BE+CE＝20cm，则AB＝．8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．9.在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则的周长的最小值为______．11.如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条路的距离相等，且MD=MC，这个茶水供应点应建在何处?12.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（2）求CD的长．13.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE（垂足为D）交BC的延长线于点E，求线段CE的长．14.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,E是AB的中点.求证:OE 是线段AB的垂直平分线.15.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．16.两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）17.尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．18.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE（1）求∠ECD的度数；（2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．22.已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE=CF；②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．23.如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．。
八年级下册数学北师大版第一章知识点
八年级下册数学北师大版第一章知识点北师大版八年级下册数学第一章主要包含了有理数的概念与运算、有理数的比较、绝对值与反数以及数轴等内容。
本文将对这些知识点进行详细介绍。
一、有理数的概念与运算有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
有理数的运算包括加、减、乘、除四则运算。
1.1有理数的概念有理数的概念是在整数的基础上引入了分数。
任何整数皆为有理数，例如2、-5、0等。
另外，任何有限小数或者循环小数也是有理数。
例如0.25、-0.33333等。
1.2有理数的加减运算有理数的加减运算类似于整数的加减运算。
同号相加，异号相减，结果的符号取决于绝对值较大的有理数的符号。
例如，2 + 5 = 7，-3 + (-2) = -5。
1.3有理数的乘法与除法有理数的乘除运算也与整数的乘除运算类似。
同号相乘为正，异号相乘为负；被除数与除数同号为正，异号为负。
例如，2 × 3 = 6，-4 × (-2) = 8，6 ÷ 3 = 2，-10 ÷ 5 = -2。
二、有理数的比较有理数的比较是指对两个有理数大小进行判断。
比较有理数的大小可以通过将其转化为相同分母的分数进行比较，也可以通过数轴的方法进行比较。
2.1相同分母比较大小若两个有理数的分数表示分母相同，只需比较分子的大小即可。
例如，将1/3和2/3进行比较时，由于分母相同，只需比较分子的大小，可得1/3 < 2/3。
2.2数轴比较大小另一种比较有理数大小的方法是利用数轴。
可以将数轴上的点与有理数一一对应，根据数轴上的位置判断有理数的大小。
例如，-1位于0的左边，-1 < 0。
三、绝对值与反数绝对值和反数是有理数的两个重要概念。
3.1绝对值绝对值是一个非负数，表示一个数到原点的距离。
对于正数，其绝对值就是其本身；对于0，其绝对值为0；对于负数，其绝对值是其相反数。
例如，|3| = 3，|0| = 0，|-5| = 5。
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7．[2011· 枣庄]将一副三角尺按图 1－6 所示叠放在一起，若 49 2 2 AB＝14 cm，则阴影部分的面积是_______cm .
图1－6
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9．[2011· 泰安]已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC 图 1－ 1
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【解析】 三角形全等的判定方法常用SSS，SAS，ASA，AAS 这四种，易知图中两三角形有一条公共边，所以另两边对应相 等，这两个三角形全等；若补充两组角对应相等，这两个三角 形也全等；若补充一角一边对应相等，则这个角必须是两对应
图 1－ 9
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解： 分别作∠ABC，∠CAB的角平分线，设两线交于点P，则 P点为所求．如图所示，作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂 足分别为D，E，F，则PD＝PE＝PF(三角形三条角平分线的 交点到三边的距离相等)．
第10题答图
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本章复习课
类型之一
6 ， 4或 5， 5 ． 长为______________
等腰三角形
1．[2012· 随州] 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边
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类型之二
全等三角形的性质与判定
2．[2011· 江西]如图1－1，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD 的是 A．BD＝DC，AB＝AC ( D )
边的夹角，很明显，D选项补充的∠B，∠C不是两对应边的夹
角，所以D不能证明△ABD≌△ACD.
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类型之三
直角三角形与线段的垂直平分线
4. [2012· 毕节]如图1－3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分 斜边AC，交AB于点D，点E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC 的长是 ( A )
A．2
3
B．2
C．4
3
D．4
图 1－ 3
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5．[2012· 贵阳]如图1－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂 直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F＝30°，DE＝1，则 EF的长是 ( B )
图 1－ 4
A．3
B．2
C. 3
D．1
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2 cm(勾股定理 )，
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∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4
2)cm.
(2)证明：由(1)的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC＝AE(全等三角形的对应边相等)．
∵BE＝DE＝CD， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 【思想方法】 运用转化的数学思想：利用角平分线的性质定 理可以进行等线段的转化，利用角平分线的判定定理可以进行等
又AC＝BC，∠ACM＝∠CBE＝45°，
∴△CAM≌△BCE， ∴BE＝CM.
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类型之四
角平分线
10．如图1－9所示，在Rt△ACB中，已知AB＝5，AC＝4，BC＝ 3，∠ACB＝90°.请在△ACB的内部找一点P，使点P到△ACB 三边的距离相等，并求这个距离．
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6．[2011· 凉山]如图1－5，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10， 点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 ( C )
10 A. 13
15 B. 13
60 C. 13
75 D. 13
图 1－ 5
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【解析】 连接 AD，∵ AB＝AC＝13，BC＝ 10，点 D 是 BC 的中点， 1 ∴ AD⊥ BC， BD＝ BC＝5， 2 ∴ AD＝ AB2－BD2＝ 132－52＝ 12. 1 1 ∵ S△ ABD＝ BD· AD＝ AB·DE， 2 2 BD· AD 5× 12 60 ∴ DE＝ ＝ ＝ . AB 13 13
角的证明．
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如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E. (1)求证：CD＝BE； (2)若AB＝10，求BD的长． 解： (1)证明：在△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠CBA＝45°.
∵DE⊥AB，∠CBA＝45°， ∴∠EDB＝∠ABC＝45°，
的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD.
图1
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解： (1)∵ AD 是△ ABC 的角平分线， DC⊥ AC， DE⊥ AB， 垂足为 E， ∴ DE＝ CD＝ 4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等 )． ∵ AC＝ BC， ∴∠ B＝∠ BAC(等边对等角 )． ∵∠ C＝ 90°， 1 ∴∠ B＝ × 90°＝ 45° . 2 ∴∠ BDE＝ 90°－ 45°＝ 45° . ∴ BE＝ DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形 BDE 中， BD＝ 2DE2＝ 4
图3
∴DE＝BE，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE，
∴CD＝BE，
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(2)在 △ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB＝ 10， AC＝ BC， ∴ AC＝ BC＝ 5 2. 2 设 BD＝ x，则有 DE＝ BE＝ CD＝ x， 2 2 ∴ BC＝ BD＋ CD＝ x＋ x＝ 5 2， 2 ∴ x＝ 10 2－ 10，即 BD＝ 10 2－ 10.
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设 PD＝PE＝PF＝r，连接 PC. ∵S△PBC＋S△PAC＋S△ ABP＝S△ ABC， 1 1 1 1 即 BC·r＋ AC·r＋ AB·r＝ BC·CA， 2 2 2 2 ∴3r＋4r＋5r＝3×4， ∴r＝1.
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如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC
∴∠ACE＝∠CBG，
∴△AEC≌△CGB， ∴AE＝CG.
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(2)直线AH垂直于CE的延长线于H，延长AH交CD的延长线于 点M(如图1－8②)，找出图中与BE相等的线段，并说明理由
①
图 1－ 8
②
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解： BE＝CM. 理由：∵CH⊥HM，CD⊥ED， ∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°， ∴∠CMA＝∠BEC，
的中点，点E是AB边上一点．
(1)直线BF垂直CE于点F，交CD于点G(如图1－8①)，求证：AE＝ CG；
证明： ∵点D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°， ∴∠CAE＝∠BCG.
又BF⊥CE，
∴∠CBG＋∠BCF＝90°， 又∠ACE＋∠BCF＝90°，