《零指数幂与负整数指数幂》示范公开课教学设计【青岛版七年级数学下册】

《零指数幂与负整数指数幂》教学设计
教学目标：
1、能说出零指数幂与负整数指数幂的运算法则.
2、能正确地运用零指数幂与负整数指数幂的运算法则进行有关运算.
教学重难点：
教学重点：会运用零指数幂与负整数指数幂的运算法则进行有关运算. 教学难点：零指数幂与负整数指数幂的意义得理解.
教学过程：
（一）观察与思考：
你听说过这样一个故事吗？古印度舍罕王国打算重赏国际象棋发明者宰相西萨.西萨要求在棋盘的第1个格内只赏一粒卖粒，在第2个格内只赏2粒，第3个格内只赏4粒，以后的每格内都比上一格的麦粒多放一倍，直至第64 格——棋盘的最后一格.结果国王找人一算，发现即使把国库中的全部麦子都给这位宰相，还远远不够！
在这个故事中，从第二个格开始，各方格的麦粒都可以写成底数是2的正整数指数幂的形式，如下表所示：
能把第1个格内的麦粒数也写成底数为2的幂的形式吗？
学生：按照表中的规律，第一个格中的麦粒数用底数是2的幂表示，应写成2 º，不过，这样就出现零指数了.
学生：“2 º=1”，这在数学上合理吗？
（2）观察除式2 ³÷2 ³，你发现被除式和除式有哪些特点？如何计算它们的商？ 由于被除数和除数相等，因此它们的商等于1，即2 ³÷2 ³=1. 如果仿照同底数幂除法的运算性质进行计算，就得2 ³÷2 ³=03
-322
=.
为了使被除式的指数等于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，应当规定2º=1.
（3）一般地，为了使同底数幂的除法性质n m n m
a a a
-=÷（m ，n 是正整数，m ﹥n ，
a ≠0）当m =n 时也成立，你认为应对零指数幂的意义作怎样的规定呢？
10=a （其中a ≠0）.
（4）在上面的规定中，为什么会有a ≠0的限制？与同学交流. （二）例题解析： 例1：计算：2x 0（x ≠0）.
例2：计算：a ²÷a 0·a ²（a ≠0） （三）观察与思考：
（1）如下图，数轴上点A 表示的数是8，一动点P 从点A 出发，向左按以下规律跳动：第1次跳动到OA 的中点A ₁处，第二次从A ₁点跳动到OA ₁的中点A ₂处，第3次跳动到OA ₂的中点A ₃处.如果把点A 表示的数写成2 ³，那么点A ₁，A ₂，A ₃应怎样分别用底数是2的幂的形式表示？
点A ，A ₁，A ₂，A ₃依此可以写成2 ³，2 ²，2 ¹，2 º，这里2 ³=8,2 ²=4,2 ¹=2,2 º=1. （2）如果动点P 按（1）中的规律继续向左跳动到点654A A A ，，……处，你能把点
654A A A ，，所表示的数写成2的整数指数幂的形式吗？它们应当分别等于多少？
学生：按照上面的规律，点654A A A ，，所表示的数写成底数是2的幂的形式，应分
别是3
-2-1-2,2,2.不过，这样就出现负整数指数幂了.
学生：按照上面的规律，点654A A A ，，所表示的数分别是
8
1
4121，，.应当有8
1
2,412,2123-2-1-===
.这在数学上合理吗？ 师：同学们回答的非常棒！
（3）观察除式3
2
22÷和4
2
22÷.你发现被除式和除式有哪些特点？如何计算它们的商？
有分数的意义和约分法则，得
222242
4222
323
2
212222222,212222222=
⨯==÷=⨯==÷.
如果仿照同底数幂除法的运算性质进行计算，就得
2-4-2421-3-2322222,2222==÷==÷.
为了使被除式的指数小于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，应当规定
44-33-22-1-2
1
2,212,212,212====
，……
（4）一般地，为了使同底数幂的除法n m n m
a a a -=÷（m ，n 是正整数，m ≥n ，a ≠
0）当m ﹤n 是也成立，我们规定，
p a a
a p
p ,0(1≠=
-是正整数）.
这就是说，任何不等于零的数的-p （p 为正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数.零的负整数指数幂没有意义.
（5）想一想，在上面的规定中，为什么会有a ≠0的限制？ （四）例题解析：
例3：计算：23
3-)2.0(,1-4--），（.
例4：计算：22
3102,)
2
1(---⨯. （五）交流与发现：
师：观察下面两组含有零指数幂和负整数指数幂的算式：
202025252525050522;22;22;22;22;22;22;22--------÷⨯÷⨯÷⨯÷⨯.
学生们纷纷讨论，得出下面的结论：
引入零指数和负整数指数幂后，原有的正整数指数幂的运算性质可以扩展到全体整数指数.
（六）例题解析： 例5：计算：
（1）；1-255÷
（2）
2-3
2
121）（）（⨯； （3）
2
3-103）（⨯. 例6：计算：
（1）;3
5-⋅x x
（2）222)()--÷-b a b a （. （七）交流与发现：
一个绝对值小于1的非零小数可以记作n
a -⨯±10的形式，其中1≤a ﹤10，n 是正整数.
这种记法，是绝对值小于1的非零小数的科学记法.
（八）例题解析：
例7：安哥拉长毛兔最细的兔毛直径约为6-10
5⨯米，将这个数写成小数形式.
例8：已知某花粉直径约为360000纳米，用科学计数法表示，该花粉的直径是多少米？ 课堂总结：
本节课你学会了什么？。