最 经典的 三角函数的不定积分
不定积分三角函数万能公式
不定积分三角函数万能公式不定积分的三角函数万能公式是指一系列用于求解三角函数不定积分的公式。
这些公式可以帮助我们在求解复杂的三角函数积分时，通过变换或替换的方式进行简化。
在本篇文章中，我们将介绍常见的三角函数不定积分公式，并给出它们的推导和应用。
1.积分公式不妨先从三角函数的定义入手。
我们知道，正弦函数和余弦函数的定义分别是：sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2其中，i是虚数单位。
这两个定义可以帮助我们化简三角函数的积分。
2.基本不定积分考虑到求导和积分是互逆的操作，我们可以根据导函数的性质得到一些基本的不定积分公式。
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C这是求解三角函数不定积分的最基本的公式。
3.幂函数的三角函数不定积分当需要计算幂函数乘以三角函数的积分时，我们可以通过换元法将其转化为三角函数的积分。
设幂函数f(x)=x^n，那么：∫x^n*sin(x) dx = -x^n*cos(x) + n∫x^(n-1)*cos(x) dx∫x^n*cos(x) dx = x^n*sin(x) - n∫x^(n-1)*sin(x) dx通过这个公式，我们可以将幂函数乘以三角函数的积分转化为含有更低次幂的积分。
重复应用这个公式，我们可以将其化简为基本不定积分的形式。
4.三角函数的乘积积分有时候，我们需要求解两个三角函数的乘积积分。
这时，我们可以使用积化和差公式将其转化为多个三角函数积分的和或差。
设乘积sin(x)*cos(x)的不定积分为∫sin(x)*cos(x) dx。
我们可以使用积化和差公式sin(2x) = 2sin(x)*cos(x)将其转化为两个三角函数积分的和：∫sin(x)*cos(x) dx = ∫(1/2)sin(2x) dx = -(1/4)cos(2x) + C 通过这个公式，我们可以将三角函数乘积的积分转化为单个三角函数的积分。
三角函数不定积分总结
三角函数不定积分总结三角函数是高等数学中非常重要的一个概念，其在物理、工程和计算机科学等领域有广泛的应用。
不定积分是求函数的原函数的过程，也是数学中的一项基本操作。
三角函数不定积分是指带有三角函数（包括正弦、余弦、正切等）的函数不定积分。
在三角函数不定积分中，我们会遇到各种常见的形式，需要利用一些基本的公式和技巧来求解。
下面我将总结一些常见的三角函数不定积分形式，以及求解的方法和要点。
1. 正弦函数不定积分正弦函数的不定积分形式常见的有两种情况：（1）∫sin(ax)dx = – (1/a)cos(ax) + C（2）∫sin^2(ax)dx = x/2 – (1/4a)sin(2ax) + C2. 余弦函数不定积分余弦函数的不定积分形式也有几种常见的情况：（1）∫cos(ax)dx = (1/a)sin(ax) + C（2）∫cos^2(ax)dx = x/2 + (1/4a)sin(2ax) + C（3）∫cos(ax)sin(ax)dx = – (1/2a)cos^2(ax) + C3. 正切函数不定积分正切函数的不定积分形式比较有特点：（1）∫tan(a x)dx = – (1/a)ln|cos(ax)| + C（2）∫sec^2(ax)dx = (1/a)tan(ax) + C（3）∫sec(ax)tan(ax)dx = (1/a)sec(ax) + C4. 反余弦函数不定积分反余弦函数的不定积分形式较为复杂：∫arccos(x)dx = xarccos(x) + √(1 – x^2) + C5. 反正弦函数不定积分反正弦函数的不定积分形式也较为复杂：∫arcsin(x)dx = xarcsin(x) –√(1 – x^2) + C以上只是一些常见的三角函数不定积分形式和求解方法，实际上还有更多的情况和技巧，需要根据具体问题来适当调整和运用。
在实际应用中，可以利用一些三角函数的性质和换元法、分部积分法等方法来进行求解，有时也需要结合其他数学知识和技巧来解决。
[精华]三角函数之不定积分
![[精华]三角函数之不定积分](https://img.taocdn.com/s3/m/860f417049d7c1c708a1284ac850ad02de8007d3.png)
三角函数之不定积分当结合一些有用的三角恒等式代换时，可以求出更多含有三角函数型式的积分，下面是几种常见的积分类型：类型1. sinnxdx ⎰及cos n xdx⎰（1） n 为正奇数时：可利用双数变换，提出sinx 或cosx 后，再利用恒等式22sin =1-cos x x或者22cos =1-sin x x 。
（2） n 为正偶数：利用三角函数半角公式221-cos sin =2x x ；21+cos 2cos =2x x【例1】 求5sin xdx⎰解：原式=4sin sin x xdx⎰ =22(sin )sin x xdx⎰=22(1-cos )sin x xdx⎰=24(1-2cos +cos )sin x xdx⎰=24-(1-2cos +cos )(-sin )x xdx ⎰令=cos x μ,则=-sin d xdxμ故 原式=24-(1-2+)d μμμ⎰=3521--++35c μμμ=3521-cos +cos +cos +35x x x c【例2】 求4sin xdx⎰解：原式=22(sin )x dx⎰=221-cos ()2x dx⎰=11+cos 4(1-2cos 2+)42xx dx ⎰=1(3-4cos 2+cos 4)8x x dx⎰ =1sin 4(3-2sin 2+)+c84xx x类型2 sincos mn x xdx⎰（1） 若m 或n 为奇数：可利用双数变换，将几次方提出sinx 或cosx 后，再利用恒等式22sin =1-cos x x 或22cos =1-sin x x 。
（2） 若m 、n 皆为偶数：利用三角函数半角公式：221-cos sin =2x x ；21+cos 2cos =2x x【例3】 求3-4sin cos x xdx⎰解：原式=2-4sin cos sin x xdx⎰=2-4(1-cos )cos sin x xdx⎰ =2-4(1-cos )cos sin x xdx⎰=-4-2-(cos -cos )(-sin )x x xdx ⎰=-4-2-(-)d μμμ⎰=-3-11-+3c μμ=311sec -sec +3x x c【例4】 求24sin cos x xdx⎰解： 原式=21-cos 21-cos 2()22x x dx⎰=(1-cos2)(1+cos2)(1+cos2)8x x x dx⎰=21(1-cos 2)(1+cos2)d 8x x x⎰=21(sin 2)(1+cos2)d 8x x x⎰=2211(sin 2)d +(sin 2)(cos2)d 88x x x x x⎰⎰=3111sin 2(-sin4)++164163xx x c类型3 sin sin sin cos cos cos mx nxdx mx nxdx mx nxdx⎰⎰⎰、、利用积化和差公式：1sin sin =[cos(+)-cos(-)]2mx nx m n x m n x1sin cos =[sin (+)+sin (-)]2mx nx m n x m n x1c o sc o s =[c o s (+)+c o s (-)]2m x n x m n x m n x【例5】 求sin 2cos3x xdx ⎰解： 原式=1[sin 5+sin(-)]2x x dx ⎰=11-cos5-cos +102x x c类型4 tannxdx ⎰、cot n xdx⎰利用三角函数恒等式22tan =sec -1x x 、22cot =csc -1x x【例6】 求2tan xdx⎰解： 原式=2(sec -1)x dx⎰=tan -+x x c【例7】 求3tan xdx⎰解： 原式=2tan (sec -1)x x dx⎰=2(tan sec -tan )x x x dx⎰=2tan sec -tan x xdx xdx⎰⎰=-tan d xdxμμ⎰⎰=21+ln|cos |+c 2x μ =21tan +ln|cos |+c2x x类型5 tansec mnx xdx ⎰（n 为偶数或m 为奇数）（1） 当n 为偶数时，tan sec m nx xdx ⎰型可先分出22sec =tan +1x x ，及双数变换=t a n x μ，2=sec xdx μ再化简。
常用不定积分公式
常用不定积分公式1. 基本积分公式：对于n不等于-1的任意实数，有∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
2. 幂函数积分公式：∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为大于0且不等于1的常数，C为常数。
3.基本三角函数积分公式：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(4) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(5) ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C(6) ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C4.基本指数函数积分公式：(1) ∫e^x dx = e^x + C(2) ∫a^x(ln(a)/a^x) dx = a^x + C，其中a为大于0且不等于1的常数，C为常数。
5.基本对数函数积分公式：(1) ∫1/x dx = ln，x， + C(2) ∫ln(x) dx = x(ln，x， - 1) + C6.基本双曲函数积分公式：(1) ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C(2) ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C(3) ∫sech^2(x) dx = tanh(x) + C(4) ∫csech^2(x) dx = -coth(x) + C(5) ∫sech(x)tanh(x) dx = -sech(x) + C(6) ∫csech(x)coth(x) dx = -csech(x) + C7. 部分积分法：对于两个可导函数u(x)和v(x)，有∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx。
8. 代换法：对于一个可导函数u(g(x))，有∫u'(g(x))g'(x) dx =∫u'(u) du。
三角函数不定积分总结
三角函数不定积分总结三角函数是数学中重要的一类函数，不定积分也是数学中非常基础的一部分。
本文将总结三角函数的不定积分，帮助读者更好地掌握这一知识点。
首先，我们需要掌握以下几个基本的三角函数：1. 正弦函数：$sin x$2. 余弦函数：$cos x$3. 正切函数：$tan x$4. 余切函数：$cot x$对于这些函数，我们需要熟悉它们的性质和常用公式，才能更好地进行不定积分。
以下是一些常用的三角函数公式：1. $sin^2 x + cos^2 x = 1$2. $tan^2 x + 1 = sec^2 x$3. $cot^2 x + 1 = csc^2 x$4. $sin 2x = 2sin xcos x$5. $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$6. $cos 2x = 2cos^2 x - 1$7. $cos 2x = 1 - 2sin^2 x$在掌握了这些基本公式后，我们就可以进行不定积分了。
以下是三角函数的不定积分公式：1. $int sin x mathrm dx = -cos x + C$2. $int cos x mathrm dx = sin x + C$3. $int tan x mathrm dx = -ln |cos x| + C$4. $int cot x mathrm dx = ln |sin x| + C$5. $int sec x mathrm dx = ln |sec x + tan x| + C$6. $int csc x mathrm dx = -ln |csc x + cot x| + C$在使用这些公式时，还需要注意一些特殊情况，例如：1. 对于$tan x$和$cot x$，在$x=kpi + frac{pi}{2}(kin mathbb{Z})$处不定积分不存在。
2. 对于$sec x$和$csc x$，在$x=kpi(kin mathbb{Z})$处不定积分不存在。
三角函数的不定积分计算与应用
三角函数的不定积分计算与应用在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们在各个领域都有广泛的应用。
不定积分是微积分中的基本概念之一，它可以用于计算函数的原函数。
本文将介绍三角函数的不定积分计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、三角函数的不定积分计算方法1. 正弦函数的不定积分正弦函数是三角函数中最常见的一种。
对于正弦函数sin(x)，其不定积分可以通过以下公式计算：∫sin(x) dx = -cos(x) + C其中C为常数。
2. 余弦函数的不定积分余弦函数是另一种常见的三角函数。
对于余弦函数cos(x)，其不定积分可以通过以下公式计算：∫cos(x) dx = sin(x) + C同样，C为常数。
3. 正切函数的不定积分正切函数tan(x)的不定积分可通过以下公式计算：∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C其中ln为自然对数，C为常数。
二、三角函数不定积分的应用1. 面积计算三角函数的不定积分可以用于计算闭曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
例如，给定一个函数f(x)，通过计算∫f(x) dx，我们可以得到曲线f(x)与x轴之间的面积。
2. 物理问题三角函数的不定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，在运动学中，通过计算加速度函数的不定积分，可以得到速度函数和位移函数。
这在描述物体的运动过程中非常有用。
3. 工程问题三角函数的不定积分在工程学中也有一定的应用。
例如，在电路分析中，通过计算电流和电压函数的不定积分，可以得到电路中的电荷量和电流量。
4. 统计学问题在统计学中，三角函数的不定积分也有一定的应用。
例如，在频率分析中，通过计算函数的傅里叶级数展开式，可以得到信号的频谱分布。
综上所述，三角函数的不定积分计算方法以及其在实际问题中的应用非常广泛。
通过掌握计算方法，我们可以更好地理解三角函数的性质，并将其应用于不同领域的问题求解中。
三角函数的不定积分与不定积分的计算
三角函数的不定积分与不定积分的计算不定积分是微积分中的一个重要概念，而三角函数在数学中也扮演着重要的角色。
本文将介绍三角函数的不定积分以及如何计算不定积分。
一、三角函数的不定积分三角函数是数学中的基本函数之一，它们包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的倒数函数。
三角函数的不定积分可以通过积分表得到，以下是常见的三角函数不定积分公式：1. 正弦函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C2. 余弦函数的不定积分：∫cos(x)dx = sin(x) + C3. 正切函数的不定积分：∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C其中，C为常数项。
值得注意的是，除了上述公式外，还存在许多三角函数的不定积分公式。
在计算中，我们可以根据具体函数形式选择相应的不定积分公式。
二、不定积分的计算不定积分是求解函数的原函数的过程。
计算不定积分时，我们需要注意以下几点：1. 基本积分法：对于一些常见的函数形式，我们可以使用基本积分法进行计算。
基本积分法是根据函数的导数与原函数之间的关系来进行计算的。
2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法进行计算。
分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du。
3. 常数项处理：在计算不定积分时，常数项需要特殊处理。
我们需要在计算过程中将常数项保留，并且在最终结果中添加常数项。
4. 替代变量法：有时候，我们可以通过进行替代变量来简化计算。
例如，将x替代为sin(t)或cos(t)，然后进行计算。
在实际计算过程中，我们可以根据需要和题目要求灵活运用这些方法，以求得准确的结果。
三、示例为了更好地理解三角函数的不定积分及计算方法，以下是一些示例：示例1：计算∫2sin(x)cos(x)dx。
解：根据分部积分法，我们令u = sin(x)，dv = cos(x)dx。
则du =cos(x)dx，v = sin(x)，根据分部积分法的公式有：∫2sin(x)cos(x)dx = 2∫udv = 2(uv - ∫vdu)= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)d(cos(x))= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)(-sin(x))dx= 2sin(x)cos(x) + ∫sin^2(x)dx进一步计算∫sin^2(x)dx：∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos^2(x))dx= ∫dx - ∫cos^2(x)dx= x - ∫cos^2(x)dx根据正弦函数和余弦函数的不定积分公式，进一步计算可得：∫sin^2(x)dx = x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)d(cos(x)))= x - (sin(x)cos(x) - ∫cos(x)d(sin(x)))= x - (sin(x)cos(x) + ∫cos(x)sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) - cos(x)) + C= x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C综合以上结果，最终计算结果为：∫2sin(x)cos(x)dx = 2sin(x)cos(x) + x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C示例2：计算∫(sec^2(x) + tan(x))dx。
三角函数的不定积分
1
cos 2
4x
d
x
1 2
x 1 sin 4x C 8
sin2 2x cos 2x d x 1 sin2 2x d(sin 2x) 1 sin3 2x C
2
6
sin2 x cos4 x d x 1 (sin2 2x sin2 2x cos 2x) d x
8
1 x 1 sin 4x 1 sin3 2x C
d
x
三角有理函数
x
x
taannxx sseeccxx
ccootxx ccssccxx csc2 x cot2 x 1 (cot x) csc2 x (csc x) cot x csc x
sin 2xcos2x1
例 计算积分 sin3 x d x
(sin x) cos x (c osx) sin x
解 sin3 x d x (1 cos2 x )d( cos x)
cos2 x 1 cos 2x 2
sin2 x 1 cos 2x 2
例 求积分 sec6 x d x
se c2xta n2x1 (ta nx) se c2x (se cx) ta nxse cx
解 sec6 x d x (1 tan2 x)2 d(tan x)
sseecc44xx sseecc22xxddxx d(tan x)
1
1 sin
x
1
1 sin
x
d(sin
x)
1 ln(1 sin x) ln(1 sin x) C
2
sec
xd
x
1 ln(1 sin
2
x)
ln(1 sin
x)
C
sec
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三角函数有理式的不定积分
由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.
⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定式.一般通过变换t=tan 2x
,可把他化为有理函数的不定积分。
这是因为
Sinx=2
222122tan
12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 2t t x x x x x x +=+=+ (8) Cosx=2
22
2
2222112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos t t x x x x x x +-=+-=+- (9) dx=dt t
2
12
+ 所以dt t t t t t R dx x x R 2
22212
)11,12()cos ,(sin ++-+=⎰⎰ （10）
例3 求dx x x x
⎰
++)
cos 1(sin sin 1
解 令t=tan 2
x
,将(8)、（9）、（10）代入被积表达式，
dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1=dt t
t t t t t t 2
2
22212)111(12121+∙+-++++
⎰ =)ln 22(21)12(212
t t t dt t t ++=++⎰+C
=C x
x x +++2
tan ln 212tan 2tan 412
注意 上面所用的交换t=tan 2
x
对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，
但并不意味着在任何场合都是简便的.
例4 求)0(cos sin 2
222≠+⎰
ab x
b x a dx
解 由于
tan )
(tan tan sec cos sin 2
2222222222⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x x b x a dx 故令t=tanx,就有
tan )
(tan tan sec cos sin 22222222222⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x x b x a dx =
C b
at
ab +arctan 1 适当当被积函数是x x 22cos ,sin 及sinxcosx 的有理式时，采用变换t=tanx 往往比较方便.其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。
三 某些无理根式的不定积分
1.dx d cx b ax x R ),
(⎰++型不定积分（ad-bc ≠0）.对此只需令t=,d
cx b
ax ++就可化为有理函数的不定积分。
例5 求dx x x x 2
2
1-+⎰
解 令t=,22-+x x 则有x=,)
1(8,1)1(22
222dt t t
dx t t --=-+ dt t t t dx x x x ⎰⎰+-=-+)1)(1(4221222
,
=dt t
t )12
12(2
2+--⎰ =ln
C t t
t
+--+arctan 211 =C x x x x x x +-+--+-++2
2
arctan
22
2
2
21ln . 例6 求⎰-++2
2)1(x
x x dx
解 由于
,21)1(12)1(1
22
x
x
x x x x -++=
-++
故令t=,21x x -+则有x=,16,1122
22dt t t
dx t t +=+-
⎰-++2
2)
1(x x x dx =dx x
x
x -++⎰
21)1(12
=dt t dt t t t t ⎰⎰=+⋅+2
2222232
)1(69)1( =.123232C x
x C t ++--=+-
2. dx c bx ax x R ),(2⎰++型不定积分（a>0时.2b -4ac o ≠时，)042>-ac b 由于
,442(2
222
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-++=++a b ac a b x a c bx ax 若记u=,2a b x +,442
22
a b ac k -=则此二次三项式必属于以下三种情形之一：
).(),(),(222222u k a k u a k u a -++
因此上述无理式的不定积分也就转化为以下三种类型之一:
du k u u R ),(22⎰±, .),(22du u k u R ⎰-
例7 求⎰
--=4
22
x x x dx I
解 【解法一】 按上述一般步骤，求的 I=
⎰
⎰+=--)
14
)1(2u du
x x
dx （ x=u+1） =⎰
⋅+θ
θθ
θtan 2)1sec 2tan sec 2d θ (u=2sec θ)
=dt t t t d ⎰⎰+-+=++
2
2
221112cos 2θθ (t=)2tan θ
C +=
)2tan 3
1
arctan(
3
2θ
由于 θ
θθθθsec 1tan cos 1sin 2tan
+=+= =,1
3
212)2(21
2+--=
+-x x x u u
因此
I=,13
2arctan 3
2
2+--x x x
【 解法二】 若令则,322t x x x -=--可解出 ,)1(23
2,)1(232
22dt x t t dx t t x +--=-+=
.)
1(2)322()1(2332222
----=--+=--t x t t t t x x
于是所求不定积分直接化为有理函数得不定积分：
I= 注1 可以证明
,3)
1(332arctan 332arctan 22π
-+--=---x x x x x x
所以两种方法得结果是一致的。
此外，上述结果对x<0同样成立。
注 2 相比之下，解法二优于解法一.这是因为它所选择的变换能直接化为有理式（而解法一通过三次换元才化为有理式）。
如果改令
,322t x x x +=--
显然有相同效果———两边各自平方后能消去2x 项，从而解出x 为t 得有理函数。
一般地，二次三项式c bx ax ++中若a>0,则可令 ;2t x a c bx ax ±=++
若 c>0,还可令
c xt c bx ax ±=++2
这类变换称为欧拉变换.
至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积分的求法。
需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数得形式把这个不定积分 表示出来。
在这个意义下，并不是任何初等函数得不定积分都能“求
出”来的。
例如
)10(sin 1,sin ,ln ,2222
<<-⎰⎰⎰
⎰±k xdx k dx x
x
x dx dx e x 等等，虽然没他们都存在，但却无法用初等函数来表示（这个结论证明起来是非
常难的，刘纬尔（liouville ）于1835年做出过证明）。
因此可以说，初等函数的原函数不一定是初等函数。
在下一章将会知道。
这类非出等函数可采用定积分形式来表示。
最后顺便指出，再求不定积分时,换可利用现成的积分表.在积分表中所有的积分公式是按被积函数分类编排的人们只要根据被积函数的类型，或经过适当变形化为表中列出的类型，查阅公式即可。
此外，有些计算器（例如TI-92型）和电脑软件（例如Mathemetica,Maple 等）也具有求不定积分的使用功能.但对于初学者来说，首先应该掌握各种基本的积分方法.
在附录Ⅲ中列出了一份容量不大的积分表，他大体上是典型例题和习题的总结.列出这份积分表的主要目的的是为了大家学习后记课程提供方便.。