几种常见的约束条件下平抛运动的处理方法
平抛运动处理方法
平抛运动处理方法
平抛运动是指物体在水平方向上做匀速直线运动的同时，在竖直方向上受到重力作用而做竖直自由下落运动的运动形式。
平抛运动的处理方法如下：
1. 将平抛运动分解为水平方向运动和竖直方向运动两个独立的分量。
2. 对于水平方向运动，由于没有外力作用，物体做匀速直线运动，速度恒定。
可以使用v=xt来计算物体在水平方向某一时刻的位置，其中v是水平方向速度，t是时间，x是位移。
3. 对于竖直方向运动，物体在竖直方向上做自由下落运动，受到重力作用。
根据重力加速度的定义，竖直方向上的速度随时间线性增加，加速度恒定，可以使用v=gt来计算物体在竖直方向某一时刻的速度，其中v是竖直方向速度，t是时间，g是重力加速度。
4. 物体在竖直方向上的位移可以使用s=gt²/2来计算，其中s是竖直方向上的位移。
5. 通过水平方向运动和竖直方向运动的分量计算，可以得到物体在任意时刻的位置。
具体方法是将水平方向和竖直方向的位置分量相加。
6. 使用以上公式可以计算物体在平抛运动中的各个参数，如位置、速度、时间等。
高中物理平抛运动
A．P点以下
B．P点以上
C．P点
D．由于v0未知，故无法确定
【典例精析】如图所示，以水平初速度v0 = 9.8 m/s抛出的物体，飞行一段时 间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上.可知物体完成这段飞行的时间是 ()
A.
3 3
B.
23 3
C. 3
是( D )
【典例精析】 【多选】如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最 低点，半径为R.一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力．则下列
判断正确的是( AD )
A．只要v0足够大，小球可以击中B点 B．v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以 相同
C．v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上 D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
常考的约束条件下的平抛运动
竖直挡板约束平抛
圆周约束平抛
【典例精析】 一物体做平抛运动时，描述此物体在竖直方向的分速度vy (取
向下为正)随时间变化的图线是下图中的(
)
【典例精析】如图所示，A、B为两个不计体积、挨得很近的小球，并列放 于光滑斜面上，斜面足够长，在释放B球的同时，将A球以某一速度v0水平
【典例精析】 如图所示，在倾角为θ的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一 个小球，不计空气阻力，它落到斜面上的B点所用的时间为 ( )
【典例精析】 2016年里约奥运会上，中国女排再次夺冠．如图所示，在某 次比赛中，我国女排队员将排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出， 排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD.已知网高为 h，球场的长度为s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，
例析求解平抛运动常见问题的常用方法
为圆盘与餐桌在同一水
平面内且两者之间的间
图5
隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物
体与圆盘之间的动摩擦因数%1=0. 6,与餐
桌之间的动摩擦因数%2 = 0. 225 ,餐桌离地 高度h = 0.8m。设小物体与圆盘、餐桌之间 的最大静摩擦力都等于滑动摩擦力，小物体
可视为质点，取重力加速度g = 10 m/s2 # (1) 为使小物体不滑到餐桌上，圆盘的角
:评：本题中飞镖的运动是平抛运动，在
水平方向上的运动受到 空 间 的约束，因 此飞
镖的
间由沿水平方向的分
定,
可以根据; = "$ 表示出运动时间，再用时间 表示出竖直方向上的分位移,根据两飞镖的
竖直距离之差等于F,即可求解水平距离。 例2 如图2所
示，A、B两小球用长 Z = 5 m的细线相连， 先后将两小球从平台
恒定，因此可以对小球运动的位移进行分解%
若突出落：问题时，一般要通过建立水平位
移和竖直位移之间的关系列式求解％
例3 从空中同一点沿水平方向同时抛
出两个小球，它们的初速度大小分别为"1和
"2，初速度方向相反，重力加速度为g，经过 多长时间两小球速度之间的夹角为90°?
设两小球被抛出后经过时
间$，它们的速度之间的夹角为 90°,与竖直方向间的夹角分别为«和对两
解题篇
题
高一使用 2020年5月
■江西省南康中学 彭长礼
平抛运动是运动合成与分解的典型应
用，也是重要的考点和命题热点。与平抛运
动相关的常见问题，有直接运用平抛运动规
律的问题，也有平抛运动与圆周运动相组合
的问题，还有平抛运动与天体运动相组合的
问题，求解这些问题往往需要灵活运用动能
2024届高考物理复习讲义：专题强化五 有约束条件的平抛运动
专题强化五有约束条件的平抛运动学习目标1.会分析平抛运动与斜面、圆弧面结合的约束条件，并根据约束条件求解相关问题。
2.会处理平抛运动的临界、极值问题。
考点一与斜面或圆弧面有关的平抛运动角度与斜面有关的平抛运动1.顺着斜面平抛(如图1)图1处理方法：分解位移。
x ＝v 0t ，y ＝12gt 2tan θ＝y x可求得t ＝2v 0tan θg。
2.对着斜面平抛(垂直打到斜面上，如图2)图2处理方法：分解速度。
v x ＝v 0，v y ＝gt tan θ＝v x v y ＝v 0gt 可求得t ＝v 0g tan θ。
例1(2023·湖南长沙模拟)如图3，在倾角为α的斜面顶端，将小球以v 0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。
自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x ，忽略空气阻力，则下列图像正确的是()图3答案D解析小球落在斜面上时，小球位移方向与水平方向夹角为α，则有tan α＝yx＝gt 2v 0，则水平位移x ＝v 0t ＝2tan αgv 20∝v 20；小球落在水平面上时，小球飞行时间恒定，水平位移正比于v 0，故D 正确，A 、B 、C 错误。
例2如图4所示，斜面倾角为θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球(可视为质点)自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t 1，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t 2，不计空气阻力，则t1t 2为()图4A.21B.32C.32D.53答案D解析设小球水平抛出的初速度为v 0，则打到斜面上时，速度沿竖直方向的分速度v y ＝v 0tan θ＝gt 2，水平位移x ＝v 0t 2，抛出点离斜面的高度h ＝v 2y 2g x tan θ＝v 202g tan 2θ＋v 20g ＝5v 202g ，又h ＝12gt 21，解得t 2＝3v 0g ，t 1＝5v 0g ，则t1t 2＝53，D 正确。
微专题20 有约束条件的平抛运动
微专题20 有约束条件的平抛运动【核心要点提示】 1.平抛运动基本规律以抛出点为原点，水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则：(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t . (2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y ＝gt ，位移y ＝12gt 2.(3)合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y v x ＝gtv 0.(4)合位移：s ＝x 2＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝gt2v 0.【核心方法点拨】类型一：平抛运动受斜面约束【例题1】(2016·四川绵阳高三联考)一工厂用皮带传送装置将从某一高度固定位置平抛下来的物件传到地面，为保证物件的安全，需以最短的路径运动到传送带上，已知传送带的倾角为θ。
则( )A ．物件在空中运动的过程中，每1 s 的速度变化不同B ．物件下落的竖直高度与水平位移之比为2tan θC ．物件落在传送带时竖直方向的速度与水平方向速度之比为2tan θD ．物件做平抛运动的最小位移为2v 20tan θ【解析】物件在空中做平抛运动，故每1 s 的速度变化Δv ＝g Δt 相同，A 选项错误；以最短的路径运动到传送带上，则需连抛出点到传送带的垂线，如图所示，则由平抛运动规律，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝x y ，故B 选项错误；解得物件飞行时间为t ＝2v 0g tan θ，则v y ＝gt ＝2v 0tan θ，物件落在传送带时竖直方向的速度与水平方向速度之比为v y v x ＝2v 0v 0tan θ＝2tan θ，C 选项正确；物件平抛运动的最小位移为L ＝x sin θ＝v 0t sin θ＝2v 20g tan θsin θ，故D 选项错误。
【答案】C【变式1】(2018·湖南省衡阳八中高三上学期第二次月考试题)如图，不计空气阻力，从O 点水平抛出的小球抵达光滑斜面上端P 处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ 做匀加速直线运动。
专题03 约束条件下的平抛运动(解析版)
素养提升微突破03 约束条件下的平抛运动——用理想模型解决实际生活问题平抛运动体育运动中许多运动都可简化为平抛运动模型，在分析此类问题时一定要注意从实际出发，寻找一些临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件，并由此分析出临界条件所对应的运动特征，进而列出符合临界条件的物理方程，并恰当运用数学知识求解临界与极值问题。
【2017·新课标全国Ⅰ卷】发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。
速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大【答案】C【解析】由题意知，速度大的球先过球网，即同样的时间速度大的球水平位移大，或者同样的水平距离速度大的球用时少，故C正确，ABD错误。
【素养解读】重点要理解题意，本题考查平抛运动水平方向的运动规律。
理论知识简单，难在由题意分析出水平方向运动的特点。
本题体现了物理视角解决实际问题的学科素养。
一、圆周约束在半圆内的平抛运动（如图），由半径和几何关系制约时间t ：221gt h =t v h R R 022=-+联立两方程可求t 。
【典例1】如图所示，地面上固定有一半径为R 的半圆形凹槽，O 为圆心、AB 为水平直径，现将小球（可视为质点）从A 处以初速度v 1水平抛出后恰好落到D 点：若将该小球从A 处以初速度v 2水平抛出后恰好落到C 点，C 、D 两点等高，OC 与水平方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，则下列说法正确的是A ．v 1:v 2＝1:4B ．小球从开始运动到落到凹槽上的过程中，其两次的动量变化量相同C ．小球落在凹槽上时，其两次的重力的瞬时功率不同D ．小球落到C 点时，速度方向可能与该处凹槽切面垂直 【答案】B【解析】过C 与D 分别做AB 的垂线，交AB 分别与M 点与N 点，如图：则OM ＝ON ＝R ·cos60°＝0.5R ；所以AM ＝0.5R ，AN ＝1.5R ；由于C 与D 点的高度是相等的，由：h ＝12gt 2可知二者运动的时间是相等的。
4.2平抛运动规律及其应用
5.(单选)(2010·全国卷Ⅰ)一水平抛出的小 球落到一倾角为 θ 的斜面上时，其速度方向与 斜面垂直，运动轨迹如图 4 － 2 － 7 中虚线所 示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向 通过的距离之比为( )
1 A. tan C. tan
五、平抛运动的综合问题
考点解读：涉及平抛运动的综合问题主要是以 下几种类型 1．平抛运动与其他运动形式(如匀速直线运动、 竖直上抛运动、自由落体运动、圆周运动等) 的综合题目，在这类问题的分析中要注意平抛 运动与其他运动过程在时间上、位移上、速度 上的相关分析．
2．多体平抛问题，分析此类问题的关键是要明确不同 物体抛出的时刻和位置． 3．平抛运动与竖直上抛运动中的相遇问题，分析此类 问题同一般追及相遇问题一样，关键分析两种运动的 位移关系、速度关系、时间关系等．但不同的是，由 于平抛运动是二维的运动，故在分析竖直方向运动的 同时，一定要注意分析水平方向的运动．
如图4－2－3所示，设平抛物体的初速度为v0，从 原点O到A点时间为t， A点坐标为( x，y )， B点坐标为( x， 0)则 1 2 x＝v0 t，y＝ gt ，v＝gt， 2 v y 又 tan＝ ＝ v0 x x x 解得 x＝ 2 即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必 为此时水平位移的中点．
典例透析 如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂 于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的 小球．现将小球拉到A点(保持绳绷 直)由静止释放，当它经过B点时绳 恰好被拉断，小球平抛后落在水平 地面上的C点．地面上的D点与OB在 同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m， B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点 的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取 10 m/s2，不计空气影响，求：
物理解题技巧之平抛运动题
物理解题技巧之平抛运动题物理学中的平抛运动题是我们在高中物理学习中经常遇到的一类问题。
平抛运动是指物体在斜向抛出或投掷时，仅受重力作用下的运动。
解决平抛运动题需要灵活运用运动学的知识和解题技巧。
下面，我们将介绍几种常见的解题方法和技巧，并通过实际例子进行说明。
首先，我们需要了解平抛运动的基本特点。
在平抛运动中，物体的水平速度恒定不变，而竖直方向上的速度会受到重力的影响而逐渐增加或减小。
由于水平方向上的速度恒定，所以水平方向上的位移也是恒定的。
这一点可以帮助我们简化问题，从而更容易解决平抛运动题。
其次，我们可以利用平抛运动的公式来解题。
平抛运动的位移公式是：S = V0 * t + 1/2 * g * t^2，其中S是物体在水平方向上的位移，V0是物体的水平速度，g是重力加速度，t是时间。
这个公式可以根据题目给出的条件，求解出所需的物理量。
例如，有这样一个问题：某人以10m/s的速度把一个小球以角度30°的角度抛出，求小球在水平方向上飞行的时间。
我们可以根据角度来分解速度，得到垂直方向上的初始速度V0y和水平方向上的初始速度V0x。
其中V0y = V * sinθ，V0x =V * cosθ。
然后，我们可以利用V0y的值来求解小球从抛出到落地的时间，然后就可以得到小球在水平方向上飞行的时间。
除了利用公式解题外，还可以运用图像法来解决平抛运动题。
我们可以画出平抛运动的位移-时间图像，从而更直观地分析问题。
在图像上，水平方向上的位移是直线，而垂直方向上的位移是抛物线。
通过观察图像的形状和特点，我们可以得到很多有用的信息。
例如，如果水平方向上的位移等于零，那么物体就是从最高点回到地面。
如果垂直方向上的位移等于零，那么物体就是从最高点落地。
通过观察图像，我们可以更好地理解平抛运动的规律，从而更容易解决问题。
下面，我们通过一个实际例子来演示解决平抛运动题的过程。
假设一个人以50m/s的速度将一个物体以角度60°抛出，求物体离开地面的高度。
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几种常见的约束条件下平抛运动的处理方法
平抛运动是生活中一种常见的曲线运动，我们常用的处理方法是把其分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
在实际的问题处理时，常常见到的是有约束条件下的平抛运动。
对这类问题的处理我们不仅仅要学会平抛运动的一般处理方法，还要能结合实际的约束条件分析其中的物理情景。
下面就几种常见的约束条件下的平抛运动实例，来简单的谈谈此类问题的处理方法。
常见的约束条件有很多，这里就处理斜面约束、挡板约束、圆周约束这三种情况做简单的方法总结。
一、斜面约束
例一、一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面
上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图虚线
所示。
小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通
过的距离之比为（ ）
A 、
1tan θ B 、12tan θ
C 、tan θ
D 、2tan θ
分析：对于约束条件下的平抛运动，我们需要从约束条件中找到需要的几何关系，如位移偏角，速度偏角等等。
然后通过这些已知的几何关系再进一步由平抛运动的水平竖直运动规律去求解题设的问题。
那么对于例一我们需要抓住的是小球落到斜面上时，其速度方向和斜面垂直，进而分析出其落到斜面上时的速度偏角，再结合平抛运动的规律即可求解。
解：如图将速度分解在水平和竖直两方向，
设速度偏角为α位移偏角为β。
由几何关系得速
度偏角为090αθ=-，所以0tan y
v v α=。
题问竖直位移和水平位移的比值，即为tan y x
β=。
由平抛
运动的推论任意时刻的速度偏角正切值为位移偏角正切值的两倍。
所以有
H
tan 2tan αβ=，联立以上关系可得，11tan tan 22tan y x βαθ
===。
故正确选项为B 。
原创练习一：如图从倾角为θ的斜面ABC 的顶端C 点，以速度0v 水平抛出
一小球，小球落在斜面上某点P 。
则小球在空
中的飞行时间t 为 ？
当然斜面约束下的平抛运动还有其他的
处理方法，这里就不再赘述。
二、挡板约束
例二、在网球比赛中，运动员在离开网的距离为d =12m 处沿水平方向发球，发球高度为H =2.4m ，网高为h =0.9m 。
求：
（1）若网球恰好擦网而过，求网球的初速度0v ；
（2）若按上述的初速度发球，求该网球落地点到网的距离x 。
分析：这是一个以网球运动为背景的物理情景题，转化为物理模型即是一个有竖直挡板约束下的平抛运动。
由题问条件——恰好擦网而过，找出符合条件的平抛轨迹（如图）。
取抛出点至网顶端的这段平抛来求解网球的初速度即可。
解：（1212
H h gt -= 0d v t = 联立两式可得022v m =（2
）落地点到网的距离 3.4x v d m == 原创练习二：如图所示，距离水平地面高
H =20m 处以不同的速度v 0水平抛出小球，在小
球的下方有一长为l =1m 的水平挡板，挡板与小
球抛出点的水平距离d =1m ，离地面的高度为
h =15m ，请问水平面上不能被小球砸中的区域
长？（不考虑小球与挡板的碰撞反弹）。
三、圆周约束 C
B H
例题三、如图，水平地面上有一个坑，其竖直截
面为半圆，ab 为沿水平方向的直径。
若在a 点以初速
度v 0沿ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c
点。
已知c 点与水平直径的距离为圆半径的一般，求
圆的半径r 。
分析：既然平抛运动是在圆周的约束下发生的，那么我们就要充分的利用圆周的几何特点，去寻找几何关系，这是解决圆周约束下的平抛的关键。
解：连接oc 这条半径，过c 点做直线cd 交直径ab 于d 点由几何关系可得，在Δdoc 中∠doc =300
、12od cd r =
=、。
根据平抛运动水平和竖直方向的运动规律有：
002cos30122r r v t
r gt +==
联立以上两式可解得2r =
原创练习三：
如图在半径为R =的圆周上的A 点
以速度05/v m s =水平抛出一小球，小球正好能通过圆心O ，
求小球从抛出后至运动到圆心处经多长时间t ？
总结：以上是平抛运动中常见的三种约束情况，从上面的这些实例可以看出对此类问题的处理关键是依据约束的条件去寻找相应的几何关系，再根据平抛运动的规律去求解。
当然，平抛运动还有很多其他的约束条件，在这里由于篇幅有限就不再一一详细列举。
a b c。