人教版九上数学圆周角定理及其推论
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初中数学人教版九年级上册《圆周角》课件
∵BC是直径，
∴∠B=90°32°=58°．
C.64°
判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
×
×
√
×
×
的中点，M是半径OD上
如图， A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是
任意一点，若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是(
A.45°
B.60°
D.85°
解：连接AO，BO，
∵B是的中点，
1
∠AOB.
2
知识点1
例 我们来证明一下上面的结论.
(
证明： 在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角和圆周
角有下面几种位置关系.
知识点1
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心O在∠BAC的一条边上.
OA OC A C
1
A BOC.
BOC A C
人教版 九年级数学上
24.1.4
圆周角
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角， ∠AOB.
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题.
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点?
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°.
C.115°
圆周角定义
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）.
圆周角与直
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
径的关系
90°（直角）.
圆周角
∴∠B=90°32°=58°．
C.64°
判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
×
×
√
×
×
的中点，M是半径OD上
如图， A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是
任意一点，若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是(
A.45°
B.60°
D.85°
解：连接AO，BO，
∵B是的中点，
1
∠AOB.
2
知识点1
例 我们来证明一下上面的结论.
(
证明： 在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角和圆周
角有下面几种位置关系.
知识点1
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心O在∠BAC的一条边上.
OA OC A C
1
A BOC.
BOC A C
人教版 九年级数学上
24.1.4
圆周角
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角， ∠AOB.
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题.
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点?
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°.
C.115°
圆周角定义
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）.
圆周角与直
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
径的关系
90°（直角）.
圆周角
人教版九年级数学上册24.1.4圆周角第1课时圆周角定理及推论说课稿
2.生生互动：组织学生进行小组讨论，让他们相互分享解题思路和方法，提高合作能力。此外，设计一些小组竞赛活动，激发学生的学习积极性，培养他们的团队精神。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一幅美丽的圆形喷泉图片，引导学生观察并思考：为什么喷泉的水流会呈现出圆形？这与我们今天要学习的圆周角有什么关系？
这些媒体资源在教学中的作用是：直观展示几何图形，降低学生的认知难度；激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性；丰富教学手段，提高教学效果。
（三）互动方式
为促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，我将鼓励学生积极发言，及时给予肯定和鼓励，营造轻松、愉快的课堂氛围。同时，针对学生的疑问，给予耐心解答，引导他们深入思考。
在整个课程体系中，圆周角定理及推论处于几何模块的圆部分，是圆的基本性质和定理之一。在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的对称性以及圆的弦、弧等相关知识。本节课的主要知识点包括：圆周角的定义、圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质等。
（二）教学目标
1.知识与技能目标：
（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.学生在理解圆周角定理的证明过程时可能存在困难。
2.部分学生对几何图形的空间想象能力较弱，影响解题效果。
3.课堂时间有限，可能无法充分满足所有学生的学习需求。
为应对这些问题，我将在课堂上增加师生互动，及时解答学生的疑问，并通过实际操作活动，培养学生的空间想象能力。课后，我将通过作业完成情况、课堂表现和学生反馈来评估教学效果。
4.数学游戏：设计一些与圆周角相关的数学游戏，让学生在游戏中学习，提高他们的学习积极性。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一幅美丽的圆形喷泉图片，引导学生观察并思考：为什么喷泉的水流会呈现出圆形？这与我们今天要学习的圆周角有什么关系？
这些媒体资源在教学中的作用是：直观展示几何图形，降低学生的认知难度；激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性；丰富教学手段，提高教学效果。
（三）互动方式
为促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，我将鼓励学生积极发言，及时给予肯定和鼓励，营造轻松、愉快的课堂氛围。同时，针对学生的疑问，给予耐心解答，引导他们深入思考。
在整个课程体系中，圆周角定理及推论处于几何模块的圆部分，是圆的基本性质和定理之一。在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的对称性以及圆的弦、弧等相关知识。本节课的主要知识点包括：圆周角的定义、圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质等。
（二）教学目标
1.知识与技能目标：
（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.学生在理解圆周角定理的证明过程时可能存在困难。
2.部分学生对几何图形的空间想象能力较弱，影响解题效果。
3.课堂时间有限，可能无法充分满足所有学生的学习需求。
为应对这些问题，我将在课堂上增加师生互动，及时解答学生的疑问，并通过实际操作活动，培养学生的空间想象能力。课后，我将通过作业完成情况、课堂表现和学生反馈来评估教学效果。
4.数学游戏：设计一些与圆周角相关的数学游戏，让学生在游戏中学习，提高他们的学习积极性。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角定理的推论和圆内接多边形教案
学生小组讨论环节，大家表现出较高的积极性，提出了很多有见地的观点。但在分享成果时，我发现部分同学的表达能力还有待提高。为了提高同学们的表达能力，我将在以后的课堂中多设置一些类似的环节，让大家有更多的机会进行锻炼。
教学反思中，我认识到以下几点需要关注：
1.加强对基础知识的巩固，确保同学们对圆周角定理推论的理解更加深入。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角定理的推论和圆内接多边形的基本概念。圆周角定理推论指的是在同一个圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；圆内接多边形则是指所有顶点都在圆上的多边形。这些概念在几何学中非常重要，它们帮助我们解决与圆和多边形相关的各种问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个圆内接四边形的性质，展示如何应用圆周角定理的推论来解决问题。
-以圆内接四边形为例，详细讲解其对角互补的特点，并通过实际例题演示如何利用这一性质解决几何问题。
-对于圆内接多边形的性质，重点讲解对边相等和对角线互相平分的原理，并通过绘制多边形图形，让学生直观感受这些性质的应用。
2.教学难点
-理解并应用圆周角定理的推论解决复杂的几何问题，尤其是涉及到多个圆周角和圆内接多边形的综合应用。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角定理的推论和圆内接多边形教案
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角定理的推论和圆内接多边形，主要包括以下内容：
1.圆周角定理的推论：圆周角相等；圆内接四边形的对角互补；圆内接多边形的外角和等于360°。
2.圆内接多边形的性质：圆内接多边形的对边相等；圆内接多边形的对角线互相平分；圆内接多边形的每个内角都小于180°。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我注意到同学们对圆周角定理的推论和圆内接多边形的性质表现出较高的兴趣。通过导入新课环节的日常生活例子，大家能较快地进入学习状态，这让我深感欣慰。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。
教学反思中，我认识到以下几点需要关注：
1.加强对基础知识的巩固，确保同学们对圆周角定理推论的理解更加深入。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角定理的推论和圆内接多边形的基本概念。圆周角定理推论指的是在同一个圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；圆内接多边形则是指所有顶点都在圆上的多边形。这些概念在几何学中非常重要，它们帮助我们解决与圆和多边形相关的各种问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个圆内接四边形的性质，展示如何应用圆周角定理的推论来解决问题。
-以圆内接四边形为例，详细讲解其对角互补的特点，并通过实际例题演示如何利用这一性质解决几何问题。
-对于圆内接多边形的性质，重点讲解对边相等和对角线互相平分的原理，并通过绘制多边形图形，让学生直观感受这些性质的应用。
2.教学难点
-理解并应用圆周角定理的推论解决复杂的几何问题，尤其是涉及到多个圆周角和圆内接多边形的综合应用。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角定理的推论和圆内接多边形教案
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角定理的推论和圆内接多边形，主要包括以下内容：
1.圆周角定理的推论：圆周角相等；圆内接四边形的对角互补；圆内接多边形的外角和等于360°。
2.圆内接多边形的性质：圆内接多边形的对边相等；圆内接多边形的对角线互相平分；圆内接多边形的每个内角都小于180°。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我注意到同学们对圆周角定理的推论和圆内接多边形的性质表现出较高的兴趣。通过导入新课环节的日常生活例子，大家能较快地进入学习状态，这让我深感欣慰。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。
24.1.4圆周角定理及其推论(教案)-2023-2024学年九年级上册数学(人教版)
24.1.4圆周角定理及其推论（教案）-2023-2024学年九年级上册数学（人教版）
一、教学内容
本节课选自人教版数学九年级上册第24章“圆”的24.1.4节，主要教学内容包括圆周角定理及其推论。具体内容包括：
1.圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
2.圆周角定理推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
首先，我发现学生们在理解圆周角定理的基本概念时，普遍感到比较困难。尽管我通过动态演示和模型操作来帮助他们形象地理解，但似乎效果并不如预期。在今后的教学中，我需要寻找更直观、更贴近学生生活实际的教学方法，让他们能够更容易地接受和理解这个定理。
其次，在案例分析环节，我注意到学生们对实际问题的解决能力还有待提高。他们往往知道定理，但在应用时却不知道从何下手。针对这个问题，我计划在后续的教学中增加一些典型例题的讲解，并引导学生从多个角度去思考问题，培养他们的解题技巧和思维灵活性。
-强调圆周角为90°的圆弧为四分之一圆，通过画图展示。
-圆内接四边形对角互补，通过具体例子让学生理解内接四边形的性质。
-实践应用：通过典型例题，让学生应用定理和推论解决具体问题。
2.教学难点
-难点内容：圆周角定理及其推论的理解和运用。
-难点解析：
-理解难点：
-圆周角与圆心角的关系：学生可能难以理解圆周角为何等于圆心角的一半，需要通过动态演示或模型操作来直观展示。
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
一、教学内容
本节课选自人教版数学九年级上册第24章“圆”的24.1.4节，主要教学内容包括圆周角定理及其推论。具体内容包括：
1.圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
2.圆周角定理推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
首先，我发现学生们在理解圆周角定理的基本概念时，普遍感到比较困难。尽管我通过动态演示和模型操作来帮助他们形象地理解，但似乎效果并不如预期。在今后的教学中，我需要寻找更直观、更贴近学生生活实际的教学方法，让他们能够更容易地接受和理解这个定理。
其次，在案例分析环节，我注意到学生们对实际问题的解决能力还有待提高。他们往往知道定理，但在应用时却不知道从何下手。针对这个问题，我计划在后续的教学中增加一些典型例题的讲解，并引导学生从多个角度去思考问题，培养他们的解题技巧和思维灵活性。
-强调圆周角为90°的圆弧为四分之一圆，通过画图展示。
-圆内接四边形对角互补，通过具体例子让学生理解内接四边形的性质。
-实践应用：通过典型例题，让学生应用定理和推论解决具体问题。
2.教学难点
-难点内容：圆周角定理及其推论的理解和运用。
-难点解析：
-理解难点：
-圆周角与圆心角的关系：学生可能难以理解圆周角为何等于圆心角的一半，需要通过动态演示或模型操作来直观展示。
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论
人教版初三上册数学第24章知识点复习：
圆周角定理及推论
一、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：
a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )
b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧
c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.
②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
二、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
三、推论解释说明
圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.
②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”
③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件
④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
以上就是为大家整理的人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 圆周角 第1课时 圆周角定理及推论
AD ＝ CB . 求证： AM ＝ CM .
证明：由圆周角定理推出∠ A ＝∠ C ，∠ D ＝∠B ，
在△ ADM 和△ CBM 中，
∠＝∠，
ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ ADM ≌△ CBM （ASA）.∴ AM ＝ CM .
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching!
.
定理的 2.半圆（或直径）所对的圆周角是 直角
推论 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
，
图例
90°直径ຫໍສະໝຸດ 圆周角内容图例
①在圆中，利用“直径所对的圆周角是直
解题
角”构造直角三角形解题.
策略
②一条弦所对的圆周角有两种情况：相等
或互补.
当堂检测
1. 如图，已知圆心角∠ BOC ＝78°，则圆周角∠ BAC
的度数是（ C
）
A. 156°
B. 78°
C. 39°
D. 12°
第1题图
1
2
3
4
5
2. 如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，若∠ A ＝
30°，则∠ B 的度数为（ B
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 15°
）
第2题图
1
2
3
4
5
3. 如图， AB ， BC 是☉ O 的弦， AB ＝3，∠ ACB ＝
30°，则☉ O 的半径等于（
A. 1.5
B. 3
C. 4.5
D. 6
）
B
第3题图
1
2
3
证明：由圆周角定理推出∠ A ＝∠ C ，∠ D ＝∠B ，
在△ ADM 和△ CBM 中，
∠＝∠，
ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ ADM ≌△ CBM （ASA）.∴ AM ＝ CM .
1
2
3
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谢谢观看
Thank you for watching!
.
定理的 2.半圆（或直径）所对的圆周角是 直角
推论 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
，
图例
90°直径ຫໍສະໝຸດ 圆周角内容图例
①在圆中，利用“直径所对的圆周角是直
解题
角”构造直角三角形解题.
策略
②一条弦所对的圆周角有两种情况：相等
或互补.
当堂检测
1. 如图，已知圆心角∠ BOC ＝78°，则圆周角∠ BAC
的度数是（ C
）
A. 156°
B. 78°
C. 39°
D. 12°
第1题图
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2. 如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，若∠ A ＝
30°，则∠ B 的度数为（ B
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 15°
）
第2题图
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3. 如图， AB ， BC 是☉ O 的弦， AB ＝3，∠ ACB ＝
30°，则☉ O 的半径等于（
A. 1.5
B. 3
C. 4.5
D. 6
）
B
第3题图
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人教版九年级上册数学圆周角定理及其推论课件
(6)如图③，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角 ∠BAC是锐角、直角还是钝角？ (7)如图④，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦 BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
图③
图④
活动3 知识归纳
1．顶点在_圆__上_， 并且两边都与圆_相__交_的角叫做圆周 角． 2．在同圆或等圆中，_等__弧_或_等__弦_所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的_圆__心__角_的一半． 3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_相__等_． 4．半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角_，90°的圆周角 所对的弦是_直__径_．
图②
(
2、探究
分别测量图11中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角 ∠AOB的度数，它们之间有什么关系？
在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角 和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗 ？由此你能发现什么规律？
可以发现，同弧所对的圆周 角的度数等于这个这条弧所对的 圆心角的度数的一半。
提出问题： (1)经过测量，图24.1－11中的圆周角∠ACB和圆心角 ∠AOB之间有什么关系？ (2)任意作一个圆，任取一条弧，作出它所对的圆周角 与圆心角，测量它们的度数，你发现什么规律？ (3)一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角有几个 ？ (4)改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有 没有变化？你发现了什么？ (5)如果把上述发现的结论中的“同弧”改为“等弧”，结 论还正确吗？
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝
1 2
AB＝5
cm.
∴BC＝ AB2－AC2＝ 102－52＝5 3(cm)．
练习
1．教材P88 练习第1，3，4题． 2．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一 点，则圆周角∠BAC的度数为__5_0_°_．
人教版数学九年级上册课件22-第二十四章24.1.4圆周角
答案 A
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.
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（3）在同一圆内，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于该弧所对 的（ 圆心角的一半 ）
（4）相等的（圆周角）所对的弧相等．
3.如图，AB是⊙O 的直径，∠A＝80°． 求∠ABC的度数．
解 ：∵ AB是⊙O的直径，而
直径所对的圆周角是直角， ∴ ∠ABC＝180°－∠A－
∠ACB ＝180°－80°－
探究一：
观察：如图，△ABC是 ⊙O的内接三角形，它的 三个内角与⊙O有着怎样 的特殊的位置关系？
顶点在圆上，并且两边都与圆还另 有一个交点的角叫做圆周角。
当堂训练（一）
1.判断下列图形中，哪些是圆周角？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2.你能说出圆周角与其他角的区别吗？
探究二：
4.由定理可得以下两个推论，你能说 出理由吗？
推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等，相等的圆周角所 对的弧也相等。
推论2 半圆或直径所对的圆周角是
直角；90˚的圆周角所对的弦是直径。
1.填空： （1）半圆或直径所对的圆周角都 相等，都等于（ 90°）
（2）90°的圆周角所对的弦是圆 的 （直径）
3.尝试对你的猜想给予证明。
Ａ
Ａ
Ａ
ＢＣ
ＣＢ
Ｂ Ｄ
ＣＤ
Ａ
Ａ
Ａ
ＢＣ
பைடு நூலகம்ＣＢ
Ｂ Ｄ
ＣＤ
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半。
２.如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上 任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是 直径AB所对的圆周角.想想
看，∠ACB会是怎么样的角？
解：因为OA＝OB＝OC， 所以△AOC、△BOC都是等腰三角形， 所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又因为∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB ＝90°
1.如图，△ABC是⊙O 的内接三角形,若 △ABC是等边三角形， 则∠BAC与∠BOC有 怎样的数量关系与位置 关系？
2.如图，△ABC是⊙O的 内接三角形,若△ABC是 任意三角形，则∠BAC 与∠BOC有怎样的数量 关系与位置关系？
请画一画，并用量角器量一量，并猜 想一个圆周角与它所对弧上的圆心角 有着怎样的关系？
90° ＝10°． ∴ ∠ABC的度数是10°．
图 23.1.12
4. 如图 OA、OB、OC都是 圆O的半径，∠AOB=2∠BOC． 求证：∠ACB=2∠BAC.
5.已知：如图，弦AB和CD交于⊙O 内一点Ｐ。
求证：PA·PB=PC·PD。
6.已知：在△ABC中，∠BAC的平 分线分别交边BC和外接圆于点D和 点E。求证： △ABD ∽△AEC。
（4）相等的（圆周角）所对的弧相等．
3.如图，AB是⊙O 的直径，∠A＝80°． 求∠ABC的度数．
解 ：∵ AB是⊙O的直径，而
直径所对的圆周角是直角， ∴ ∠ABC＝180°－∠A－
∠ACB ＝180°－80°－
探究一：
观察：如图，△ABC是 ⊙O的内接三角形，它的 三个内角与⊙O有着怎样 的特殊的位置关系？
顶点在圆上，并且两边都与圆还另 有一个交点的角叫做圆周角。
当堂训练（一）
1.判断下列图形中，哪些是圆周角？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2.你能说出圆周角与其他角的区别吗？
探究二：
4.由定理可得以下两个推论，你能说 出理由吗？
推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等，相等的圆周角所 对的弧也相等。
推论2 半圆或直径所对的圆周角是
直角；90˚的圆周角所对的弦是直径。
1.填空： （1）半圆或直径所对的圆周角都 相等，都等于（ 90°）
（2）90°的圆周角所对的弦是圆 的 （直径）
3.尝试对你的猜想给予证明。
Ａ
Ａ
Ａ
ＢＣ
ＣＢ
Ｂ Ｄ
ＣＤ
Ａ
Ａ
Ａ
ＢＣ
பைடு நூலகம்ＣＢ
Ｂ Ｄ
ＣＤ
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半。
２.如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上 任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是 直径AB所对的圆周角.想想
看，∠ACB会是怎么样的角？
解：因为OA＝OB＝OC， 所以△AOC、△BOC都是等腰三角形， 所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又因为∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB ＝90°
1.如图，△ABC是⊙O 的内接三角形,若 △ABC是等边三角形， 则∠BAC与∠BOC有 怎样的数量关系与位置 关系？
2.如图，△ABC是⊙O的 内接三角形,若△ABC是 任意三角形，则∠BAC 与∠BOC有怎样的数量 关系与位置关系？
请画一画，并用量角器量一量，并猜 想一个圆周角与它所对弧上的圆心角 有着怎样的关系？
90° ＝10°． ∴ ∠ABC的度数是10°．
图 23.1.12
4. 如图 OA、OB、OC都是 圆O的半径，∠AOB=2∠BOC． 求证：∠ACB=2∠BAC.
5.已知：如图，弦AB和CD交于⊙O 内一点Ｐ。
求证：PA·PB=PC·PD。
6.已知：在△ABC中，∠BAC的平 分线分别交边BC和外接圆于点D和 点E。求证： △ABD ∽△AEC。