姜启源 数学模型第五版第5章 ppt课件
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传染病模型和sars的传播数学建模姜启源
传染病模型和sars的传播数学建模姜启源
传染病模型是一种数学模型，用于描述传染病的传播和蔓延过程。
传染病传播的数学建模可以帮助我们更好地理解疾病的传播机制，评估和预测疫情的发展趋势，指导疾病的控制和预防措施的制定。
SARS（严重急性呼吸综合征）是2002年至2003年期间爆发的一种严重急性呼吸道疾病，由一种名为SARS冠状病毒引起。
姜启源等研究人员在SARS爆发期间进行了一些数学建模研究，以对疾病的传播进行评估和预测。
姜启源等人基于传染病数学建模的经典理论和方法，开展了SARS传播的数学建模研究。
他们考虑了人际传播和环境传播两种传播方式，并建立了相应的动力学模型。
通过模型分析和数值模拟，他们可以估计SARS的传播速度、传播距离和传染性等参数，并通过对不同控制措施的模拟推断出最有效的控制策略。
研究结果显示，人际传播是SARS的主要传播途径，而环境传播的影响较小。
他们还发现，SARS传播速度受到接触感染率和感染者的平均潜伏期的影响。
他们的研究为SARS的疫情控制提供了重要的科学依据，并对其他传染病的传播数学建模研究提供了参考。
总的来说，姜启源等人的研究为我们对传染病的传播和控制机制有了更深入的理解，为疫情的预测和防控提供了重要的科学依据。
这些研究对于应对类似疫情的
发生和传播至关重要。
数学模型姜启源 ppt课件
6
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
(完整版)姜启源数学模型第五版-第5章
• 20世纪的一段时间内人口增长速度过快. • 年净增人口由最多的2000多万降到2011年的600多万. • 老龄化提速, 性别比失调等凸显,开始调整人口政策.
• 建立数学模型描述人口发展规律，是制定 积极、稳妥人口政策的前提.
1. 两个基本的人口模型 2. 用美国人口数据估计参数
年
1790
人口(百万) 3.9
3.9 5.1 6.8 … 245.8 265.4 282.4 2810.4
7.7 9.5 11.7 … 228.3 252.0 275.1 458.2
2. 参数估计
x 300
250 logistic模型 200 (方法一)
x 300
250 logistic模型 200 (方法二)
150
150
100
1. 模型建立 r(x) a bx a = r r(x) r(1 x / xm ) r(0)=r, r(xm)=0 b = r/xm
dx rx(1 x ),
dt
xm
x(0) x0
rx~人口自身增长 (1-x/xm)~资源和环境阻滞人口增长
dx/dt
x
渐近线
xm
S形曲线
xm/2
x增加先快后慢
（百万） (方法一) (方法二) 数模型 （方法一） （方法二）
2010年 308.7
515.0
356.0
314.0
296.8
297.0
误差
66.8% 15.3% 1.7%
-3.9%
-3.8%
2020年 ？
327.8
326.8
模型检验的误差在5%以内，可以接受.
拭目
预测准确性需等2020年美国人口调查结果公布. 以待
• 建立数学模型描述人口发展规律，是制定 积极、稳妥人口政策的前提.
1. 两个基本的人口模型 2. 用美国人口数据估计参数
年
1790
人口(百万) 3.9
3.9 5.1 6.8 … 245.8 265.4 282.4 2810.4
7.7 9.5 11.7 … 228.3 252.0 275.1 458.2
2. 参数估计
x 300
250 logistic模型 200 (方法一)
x 300
250 logistic模型 200 (方法二)
150
150
100
1. 模型建立 r(x) a bx a = r r(x) r(1 x / xm ) r(0)=r, r(xm)=0 b = r/xm
dx rx(1 x ),
dt
xm
x(0) x0
rx~人口自身增长 (1-x/xm)~资源和环境阻滞人口增长
dx/dt
x
渐近线
xm
S形曲线
xm/2
x增加先快后慢
（百万） (方法一) (方法二) 数模型 （方法一） （方法二）
2010年 308.7
515.0
356.0
314.0
296.8
297.0
误差
66.8% 15.3% 1.7%
-3.9%
-3.8%
2020年 ？
327.8
326.8
模型检验的误差在5%以内，可以接受.
拭目
预测准确性需等2020年美国人口调查结果公布. 以待
(完整版)姜启源数学模型第五版-第6章
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
k 1
2
例2 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月) x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较
• 等额本息方式简单，便于安排收支. • 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,
贷款购房——最简 单的差分方程模型
输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.70.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
c 20000 0.025
w 8000100
每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal 正常代谢消耗相当弱.
2. 正常代谢情况下的第一阶段计划 • 吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal, 直至达到安全下限10000 kcal/周. c(k) 200001000k, k 1,2, ,10 c(10)= 10000 第一阶段需10周 w(k 1) (1 )w(k) (20000 1000 k)
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
k 1
2
例2 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月) x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较
• 等额本息方式简单，便于安排收支. • 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,
贷款购房——最简 单的差分方程模型
输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.70.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
c 20000 0.025
w 8000100
每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal 正常代谢消耗相当弱.
2. 正常代谢情况下的第一阶段计划 • 吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal, 直至达到安全下限10000 kcal/周. c(k) 200001000k, k 1,2, ,10 c(10)= 10000 第一阶段需10周 w(k 1) (1 )w(k) (20000 1000 k)
数学模型第01章第五版ppt课件
2）由 f, g 连续可得 h连续.
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
邱关源第五版全部课件_9
& U
ϕz
& UL
& UC
& UX
& UR
ϕZ>0, 电压超前电流
2. 阻性：X=0, ωL=1/ωC, 阻性：
& I
& & UL UC
ϕZ=0, 电压电流同相
3. 容性：X<0, ωL<1/ωC, 容性：
& & UR = U
& I
& UR
ϕz
ϕZ<0, 电压滞后电流
第9-8页
■
& U
UX
& & UL UC
U2 1 = =100 I ωC 1 C= = 31.8µF 100×314 & U1 求R和L： & = Z1 = R+ jωL 和 ： I & & 法1：相量图法 U2 =UC = 200∠0o V ： & ∴& = 2∠ o A U1 = 200∠ o V I 90 120 & U1 200∠ o 120 ∴ = =100∠ o = 86.6+ j50 = R+ jωL 30 o & I 2∠ 90
B
电纳
|Y|
G = Y cosϕY B = Y sin ϕY
B ϕY = arctan G
第9-10页 10页
■
ϕY
G 导纳三角形
10
R、L、C的导纳： 、 、 的导纳 的导纳：
& I
+
G
& U −
实数， & & I = GU Y = G 实数，与ω无关
& I jωL
ϕz
& UL
& UC
& UX
& UR
ϕZ>0, 电压超前电流
2. 阻性：X=0, ωL=1/ωC, 阻性：
& I
& & UL UC
ϕZ=0, 电压电流同相
3. 容性：X<0, ωL<1/ωC, 容性：
& & UR = U
& I
& UR
ϕz
ϕZ<0, 电压滞后电流
第9-8页
■
& U
UX
& & UL UC
U2 1 = =100 I ωC 1 C= = 31.8µF 100×314 & U1 求R和L： & = Z1 = R+ jωL 和 ： I & & 法1：相量图法 U2 =UC = 200∠0o V ： & ∴& = 2∠ o A U1 = 200∠ o V I 90 120 & U1 200∠ o 120 ∴ = =100∠ o = 86.6+ j50 = R+ jωL 30 o & I 2∠ 90
B
电纳
|Y|
G = Y cosϕY B = Y sin ϕY
B ϕY = arctan G
第9-10页 10页
■
ϕY
G 导纳三角形
10
R、L、C的导纳： 、 、 的导纳 的导纳：
& I
+
G
& U −
实数， & & I = GU Y = G 实数，与ω无关
& I jωL
数学模型姜启源-(第五版)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例2 奶制品旳生产销售计划 在例1基础上深加工
12h 1桶 牛奶 或
3kgA1 1kg 2h, 3元
获利24元/kg 0.8kgB1
获利44元/kg
8h
4kgA2
50桶牛奶, 480h
1kg 2h, 3元
获利16元/kg 0.75kgB2
获利32净利润最大
Objective value:
3460.800
Total solver iterations:
2
Variable
Value Reduced
Cost
X1 0.000000
1.680000
X2 168.0000
0.000000
X3 19.20230
0.000000
X4 0.000000
0.000000
O
c l5
l3 D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目的函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成旳凸多边形 目旳函数旳等值线为直线
最优解一定在凸多边 形旳某个顶点取得.
模型求解
软件实现
LINGO
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
决策 变量
目的 函数
8h
4kg A2
1kg
2h, 3元
出售x1 kg A1, x2 kg A2，
获利16元/kg
0.75kg B2
获利32元/kg
x3 kg B1, x4 kg B2
数学模型姜启源-第四章(第五版)课件
TIME 0.000000 2.000000
CPCT 40.00000 0.000000 加工能力增长不影响利润
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗? 35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！
PPT学习交流
10
敏感性分析 (“LINGO|Ranges” ) 最优解不变时目标函
原料供应
x1x2 50
规划
约束条件 劳动时间
12x18x2480 模型
加工能力
3x1 100
(LP)
非负约束
x1,x2 0
PPT学习交流
5
模型分析与假设
线性规划模型
比 xi对目标函数的“贡 A1,A2每千克的获利是与各自 例 献”与xi取值成正比 产量无关的常数
性 xi对约束条件的“贡 每桶牛奶加工A1,A2的数量, 时 献”与xi取值成正比 间是与各自产量无关的常数
非负约束
x1,,x6 0
14
模型求解
Global optimal solution found.
Objective value:
3460.800
软件实现 LINGO
Total solver iterations:
2)x1x5x2x6 50 34
Variable X1 X2
Value 0.000000 168.0000
充分条件 !
• 35元可买到1桶牛奶, 每天最多买多少? 最多买10桶!
PPT学习交流
12
例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工
12h 1桶 牛奶 或
3kgA1 1kg 2h, 3元
获利24元/kg 0.8kgB1
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1. 模型建立 r(x)abx a = r r(x)r(1x/xm) r(0)=r, r(xm)=0 b = r/xm
dxr(x1x),
dt
xm
x(0)x0
rx~人口自身增长 (1-x/xm)~资源和环境阻滞人口增长
dx/dt
x
渐近线
xm
S形曲线
xm/2
x增加先快后慢
O
xm/2
xm x
x0 0
t
拐点
x(tk)/x(tk)≈ rk
r =0.2052/10年
x0=3.9 (原始数据)
4. 改进的指数增长模型
美国人口增长率/10年
r 0.4
• 修改人口增长率为常数的假设. 0.35
0.3
r(t)=r0r1t
0.25
0.2
dx
d tr(t)x(r0r1 t)x,
x(0)x00.15 0.1
x(t)x0e(r0tr1t2/2)
精品资料
5.1 人口增长预测
世界人口增长
人口翻番时间
123年
47年
中国人口增长
39年
• 20世纪的一段时间内人口增长速度过快. • 年净增人口由最多的2000多万降到2011年的600多万. • 老龄化提速, 性别比失调等凸显,开始调整人口政策.
• 建立数学模型描述人口发展规律，是制定 积极、稳妥人口政策的前提.
0.05 0
5
10
1800年r≈ 0.3
t
15
20
25
2000年r≈ 0.1
10年增长率数据 线性最小二乘法 r0=0.3252，r1=0.0114 x0=3.9 (原始数据)
5. 美国人口用指数增长模型计算结果的比较
1960年以后3个结果明显不同
5. 美国人口用指数增长模型计算结果的比较x源自450400350
300
250
200
150
100
50
0
0
5
t
10
15
20
25
指数模型(方法一)
x 300
250
200
150
100
50
0
t
0
5
10
15
20
25
指数模型(方法二)
x 300
250
200
150
100
50
0
t
0
5
10
15
20
25
改进的指数模型
用指数模型计算的美国人口与实际数据相差很大.
200多年时间内假设增长率为常数违背实际情况.
1. 模型建立
logistic 模型
dxr(x1x),
dt
xm
x(0)x0
求解
~可分离变量方程
x xm
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
作 xm/2 图 x0
0
logistic曲线
t1/2
t
2. 参数估计
模型
方法一 数值微分计算增长率, 线性最小二乘估计参数.
≈ x(tk)/x(tk)
需分析人口增长率下降的机理, 修改假设建立新模型.
logistic 模型
1. 模型建立 • 人口增长到一定数量后增长率下降的原因——
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用, 且阻滞作用随人口增加而变大. r是x的减函数 • 简单、便于应用的线性函数 r(x)abx系数a,b ？
内禀(固有)增长率r ~理论上x = 0时的增长率. r(0)= r 人口容量xm~资源和环境对人口的最大容量. r(xm)= 0
第五章 微分方程模型
• ~含自变量、未知函数及其导数的方程.
• 描述随时间连续变化物体或过程的动态变化规律.
• 采用机理分析方法或类比法建立微分方程. 物理领域 ~工程技术, 科学研究 电路原理
例. 火箭发射——由燃料燃烧推力发射的火箭 加速度、速度、高度的微分方程.
非物理领域 ~,,
特定的内在规律
x(0) x0
x(t) x0ert
• 与常用公式一致? x(t)x0(er)t x0(1r)t
? • t→∞, x(t)→∞, 按指数规律无限增长.
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合) 方法一 直接用人口数据和线性最小二乘法.
x(t) x0ert
1790年 (t=0) 至2000年美国人口数据 最小二乘法 MATLAB编程计算
1. 两个基本的人口模型 2. 用美国人口数据估计参数
3. 模型检验和增长预测
指数增长模型
1. 一个常用的人口预测公式
今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
x k
x(1r)k 0
基本前提~增长率r在k年内保持不变.
• 已知增长率预测未来人口. • 根据人口统计数据估计增长率——由x0, xk估计r. 例. 从1960年到1999年( 39年时间)世界人口翻番.
该期间的年平均增长率约为 r=(log2)/39=1.8%
为什么？
2. 人口指数增长模型的建立 马尔萨斯1798年提出
假设 • t 时刻人口数量为连续、可微函数x(t).
• 单位时间人口增长率为常数r.
• 初始时刻(t=0)的人口为x0
模型 解释
单位时间内x(t)的增量为rx(t)
dx rx, dt
数值微分
最小二乘法 r =0.2805/10年 xm =352.0548 x0=3.9 (原始数据)
r 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0
x
50
100
150
200
250
300
2. 参数估计
模型
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
方法二 直接用数据和非线性最小二乘估计参数.
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合)
方法二 对人口数据作数值微分估计增长率.
设x(t) 在t0, t1, …, tn(等间距△t)的函数值为x0, x1, …, xn x(t)在各点的导数近似值 x(tk)xk 1 2 txk 1,k1 ,2 , ,n 1 , x ( t0 ) 3 x 0 2 4 t x 1 x 2 ， x ( tn ) x n 2 4 2 x n t 1 3 x n 数 中值 点微 公分 式
例. ——含人口数量及增长率的微分方程.
第 5.1 人口增长
五 5.2 药物中毒急救
章 5.3 捕鱼业的持续收获
微 分
5.4 资金、劳动力与经济增长 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 火箭发射升空
方 5.7 食饵与捕食者模型
程 5.8 赛跑的速度
模 5.9 万有引力定律的发现
型 5.10 传染病模型和SARS的传播
6. 指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合. • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代. • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律. • 可用于短期而不能用于较长期的人口预测. • 改进的指数模型计算结果有所改善, 但它未反映增
长率下降的机理, 函数形式也不易确定, 不便于应用.