人教版高中数学必修二《简单多面体的外接球问题》
8.3.2球的内接与外切类型总结课件(人教版)
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
类型二：长方体方体
长方体的外接球
=
+ +
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则a 2 b 2 c 2 (2 R) 2。
反馈练习
3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且
4 3
球的体积公式 ：V R
3
2
●
R
球的截面问题
例1、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表
8π
面积为_______。
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截
面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以 R 2
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
结论2.直棱柱（圆柱）外接球半径
球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
o1 r
R
o
h 2
R r ( )
2
2
●
o2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
1、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3， 3， 6
的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，
4
4π
其体积是 ×π×13＝ .
3
3
5.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
100π
人教版高中数学必修二《简单几何体的外接球》
1 1 2
2 2
2
2R
O P C
A
例 2.已知棱长为
6 的正四面体（四个面都是正三角形的
9 三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，求此球的体积. 2
C
正方体边长 a 3
体对角线长度 2R 3a 3
A
B
D
1. 三 棱 锥 S-ABC 中 ， SA 平 面 ABC ， AB BC ， SA=1,AB=2,BC=3，求三棱锥 S-ABC 外接球的半径.
长方体的长宽高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，求球O
的半径.
2R 3 2 1
2 2
2
14 R 2
例 1. 已 知 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA,PB,PC 两 两 互 相 垂 直 ， 且
PA=PB=1，PC=2，求三棱锥P-ABC外接球的面积. 6
B
求长方体体对角线的长度
O'' S
O
C
O' A B
方法二 解题情景 解题步骤
几Байду номын сангаас法（直三棱柱） 侧棱垂直于底面 解 OO' 、 球的半径 OA 、 截面圆的半径 O' A 确定的
Rt OO' A ,
本节配套试卷
S
14 2
B A C
2.三棱锥 S-ABC 中， SB AC 5 , SC AB 13 , SA BC 10 ,求三棱锥 S-ABC 外接球的半径. 14
2
S
A
c B a b C
B
C
S
A
O P C
B A C
B D
A
方法一 解题情 景 解题步 骤
简单多面体的外接球问题新教材教案
教学设计课题：简单多面体的外接球问题学校：姓名：教案教学过程（师生活动）设计意图知识梳理4.三角形外接圆的圆心与半径直角三角形等边三角形一般三角形正弦定理：数学来源于生活，培养从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，用数学的方法解决问题的数学素养.通过展示模型让学生直观感受多面体的外接球，激发学生的学习兴趣，使学生产生探索欲望.让学生回顾已学的知识，有利于本节课的顺利进行，从学生已有的认知水平出发，引发学生积极思考，相互交流.1.球的体积公式：343V Rπ=2.球的表面积公式：24S Rπ=3.球的截面圆圆心与球心dO'O历年涉及真题2016Ⅱ文4 2017Ⅰ文162017Ⅲ文9 理8 2018Ⅲ文12 理102020Ⅰ文12 理10 2020Ⅱ文11 理10重心圆心：半径：高的OACBOCBA圆心：斜边的中点半径：斜边的一半R——外接圆半径ABC球的半径圆的半径两心距RCcBbAa2sinsinsin===''OOO截面圆⊥知识梳理例题讲解5.长方体的外接球6.正方体的外接球二、割补法通过视频探究演示，体会求长方体外接球半径的方法，并再此方法的基础上归纳求外接球半径的公式.培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力，深刻体会化归的数学思想.利用类比的数学方法快速得到正方体外接球的半径计算公式.以高考真题开篇，充分调动学生的积极性，提高重视程度.长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.正方体外接球的直径等于正方体的体对角线.A BCDD1C1B1A1O1.（2017Ⅱ文15）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.球表面积外接球半径长宽高长方体体对角线分析：解：设外接球半径为，表面积为R S2222cbaR++=ππ144144214141232222=⨯===++=SRR，aaaaR⋅=++=32222自主探究归纳方法探究一割补长方体和正方体师：小组合作，试一试能在长方体和正方体中割补出哪些简单的多面体.生：小组活动后展示成果.师：将小组成果画下来.引导学生探究可以补成长方体和正方体的类型，动态演示割补过程，将问题简单化.各小组进行模型操作，理解补体法，培养动手操作能力与合作交流能力.教师通过引导，鼓励学生自主探索、动手实践、合作交流，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．通过图形动态演示与动手操作模型，发展几何直观和空间想象能力，培养学生的数学直观想象素养.注重分析的过程，理清解题思路，强调计算方法.2.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且则此三棱锥的外接球的体积为__________ .ABCP-，，，257===PCPBPA527ACBP分析墙角型三棱锥墙角型补成长方体长方体外接球半径3.已知三棱锥中则该三棱锥外接球的半径为__________ .BCDA-，，，52513======CDABBCADBDACABCDabc三式相加⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+202513222222bacbca⎪⎩⎪⎨⎧===？222cba()582222=++cba归纳方法加强练习师：不能借助长方体和正方体解题的题型，一般通过确定球心构造直角三角形来解决外接球问题.探究二外接球的球心师：请一位同学发表自己的看法.培养学生观察与归纳的能力，帮助学生进一步巩固知识，并能运用构造直角三角形解决问题.通过图形动态演示，归纳解题方法，明确构造直角三角形关键在于定两心：底面外接圆圆心和外接球的球心.学以致用，强调具体问题具体分析，考虑问题要全面.CBAA'B'C'底面是一般三角形的直三棱柱它的外接球球心在哪？外接球的半径怎么求？4.已知正三棱锥的底面外接圆半径为1，侧棱长为3，则该正三棱锥外接球半径为_________．BCDA-1O13AOBCDRd-=22()12222=--RR课堂小结数学方法：①类比②数形结合③化归通过反思进行小结归纳，培养概括能力.帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.布置作业学生独立完成例题解题过程，巩固今天的内容.板书设计简单多面体的外接球问题长方体：割补法：多面体外接球墙角型双垂直正四面体对棱相等构造直角三角形：定两心（圆心，球心）2.完成课后练习.1. 完成今天所有题目的解答过程；1.长方体：3.割补法：①墙角型②双垂直③正四面体④对棱相等4.构造法：直角三角形2.正方体：定两心（圆心，球心）正方体：球的半径圆的半径两心距球的半径圆的半径两心距2222aaaR++=a⋅=32222cbaR++=2222cbaR++=2222aaaR++=a⋅=3。
新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计
简单空间几何体的外接球问题教学设计一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。
本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。
二、教学目标设置知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。
情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。
三、学生学情分析多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。
球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。
四、教学过程设计（一）、新课引入1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.2、学生活动：展示长方形外接圆的求法学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为60。
，则四面体ABCD的外接球的半径为( ).【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。
（根据球的定义确定球心）【注】：小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心设计意图：通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义，通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。
高中数学 简单多面体的外接球
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化 处理量.
7
ti－ t yi－ y
解
由
y
＝9.732≈1.331
及(1)得
i＝1
b＝
7
ti－ t 2
＝22.889≈0.10，
i＝1
a＝ y －b t ≈1.331－0.10×4≈0.93.
所以y关于t的回归方程为y＝0.93＋0.10t.
xi－ x 2
∑
i＝1
yi－ y 2
n
i∑＝1xiyi－n x y
n
n
；
i∑＝1x2i －n x 2
i∑＝1y2i －n y 2
②当r>0时，表明两个变量 正相关 ； 当r<0时，表明两个变量 负相关 ； 当r＝0时，表明两个变量 线性不相关 . |r|值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度 越高 .
多维探究
题型二 回归分析
命题点1 线性回归分析
例2（2）下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的
折线图.注：年份代码1～7分别对应年份2011～2017.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
7
解 由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4， (ti－ t )2＝28，
基础自测
JICHUZICE
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系.( × ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.
( √) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( √ ) (4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得线性回归方程y ＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮.( × ) (5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越大.( √ )
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
确定简单多面体外接球的球心的策略
确定简单多面体外接球的球心的策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径r或确定球心o的位置问题，其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心，下面作一些归纳、总结．1 由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1 正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．结论2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4 正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．例1 （2012年高考辽宁卷·文16）已知点p，a，b，c，d是球o表面上的点，pa⊥平面abcd，四边形abcd是边长为23的正方形.若pa＝26，则△oab的面积为________．图1解析因为外接球球心满足到各个顶点距离相等，直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等，故可知pc的中点即为球心o.如图1，在rt△pac中，ac＝26，pc＝43，故r＝23.球心满足oa＝ob＝r＝23，故△oab为等边三角形，所以其面积s＝33．评注（1）球心满足到各个顶点距离相等，故球心常常在某直角三角形的斜边中点处.另外，因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，故一个球中多个过截面圆圆心的垂线的交点必为球心.（2）此题还可以通过构造长方体找到球心，并获解．例2 （2010年高考全国ⅰ新课标卷·理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）.a.πa2b.73πa2c.113πa2d.5πa2图2解析设o1，o2分别是正三角形a1b1c1和正三角形abc的中心，又三棱柱abc—a1b1c1是正三棱柱，所以其外接球的球心o是o1o2的中点，如图2，于是其外接球的半径为r＝oo22+ao22＝（a2）2+（23ad）2＝（a2）2+（23×32a）2＝7a212，所以球的表面积为4π·r2＝73πa2，故选b．评注（1）正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心的连线的中点.（2）直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．2 构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例3 （2012年高考辽宁卷·理16）已知正三棱锥p—abc，点p，a，b，c都在半径为3的球面上.若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为________．图3解析因为pa，pb，pc两两互相垂直，故正三棱锥p—abc的外接球即是以pa，pb，pc为棱的正方体的外接球，球心是在其体对角线的交点处，如图3，易证op⊥平面abc，所以球心o到截面abc的距离即为球半径r减去正三棱锥p—abc的高.设pa＝a，则（2r）2＝3a2，所以a＝2.设正三棱锥p—abc的高为h，则va—pbc＝vp —abc，即13×12a2·a＝13×34（22）2h，解得h＝233，故球心到截面abc的距离为3－233＝33．评注（1）易知三棱锥o—abc是正三棱锥，求出其高即为所求.（2）构造正方体并找到球心是破解此题的关键．3 由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心o1的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．例4 三棱锥s—abc中，sa⊥平面abc，sa＝2，△abc是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为________．图4解析设o1是△abc的外心，如图4，则o1a＝o1b＝o1c.过点o1作平面abc的垂线oo1，由此可知直线oo1上任意一点与a，b，c的距离相等，故三棱锥s—abc的外接球的球心在直线oo1上，又要使oa＝os，则o在线段sa的垂直平分线do上，从而三棱锥s—abc的外接球的球心是直线o1o与do的交点．do＝ao1＝23ae＝33，在rt△aod中，ao2＝ad2＋do2＝43，于是s球表＝4π·ao2＝163π．评注（1）一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心且垂直于这个面的直线上.（2）此题也可以通过构造正三棱柱来解答，其球心是两底面三角形中心的连线的中点．。
简单多面体的外接球问题--解析版
球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题 转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r，球心到 截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
[活学活用] 一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的
[活学活用] 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________． 解析：由三视图可知，该几何体为一个半 径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截 面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的
正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口， 再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深
距离是 2 cm，则该球的体积是
()
A．12π cm3
B．36π cm3
C．64 6π cm3
D．108π cm3
解析：选 B 设球心为 O，截面圆心为 O1，连接 OO1，则 OO1
垂直于截面圆 O1，如图所示．
在 Rt△OO1A 中，O1A＝ 5 cm， OO1＝2 cm，
∴球的半径 R＝OA＝ 22＋ 52＝3(cm)，
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能 求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或 体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视 图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其 表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
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【练习案】高考链接 1、(课标全国Ⅰ，理 6) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当 球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
500 A、 cm 3 3
866 B、 cm 3 3
1372 C、 cm 3 3
M
A1
2 ,则此球的表 3
A
C
例 2、已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为 4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上。 若这两个正四棱锥的体积之比为 1 : 2 ，则该球的表面积为_____________。
D A B C
N
例 3、如图所示，平面四边形 ABCD 中， AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成 四 面 体 ABCD , 使 平 面 ABD 平 面 BCD , 若 四 面 体 ABCD 的 顶 点 在 同 一 球 面 上 ， 则 该 球 的 体 积 为 ________。
0
3 ，且圆 O 与圆 K 所在的平面 2
4、(课标卷，理 11) 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径， 且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（ ）
2 A、 6
3 B、 6
2 C、 3
2 D、 2
5、 （辽宁卷，理 16） 已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到 截面 ABC 的距离为____________。
4 3 R 3
② S球 4R 2
③若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的 外接球。 ④若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
【课前小热身】 1、甲球内切于正方体 AC 的各面，乙球内切于该正方体 AC 的各条棱，丙球外接于该正方体 AC ，则三球 半径之比为_________________；
2、甲 球 内 切 于 正 四 面 体 PABC 的 各 面 ， 乙 球 外 接 于 该 正 四 面 体 PABC ， 则 两 球 表 面 面 积 之 比 为 ___________。
【探究案】 例 1、 直三棱柱 ABC A1B1C1 的各顶点都在同一球面上。 若 AB AC AA 1 2, BAC 面积等于_____________。 B1 A B
2048 D、 cm 3 3
2、(辽宁卷，理 10) 已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB 3, AC 4, AB AC, AA 1 12, 则球
O 的半径为(
3 17 A、 2
)。
B、 2 10
13 C、 2
D、 3 10
3、(大纲卷，理 16) 已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径， OK 所成的一个二面角为 60 ，则球 O 的表面积等于____________。
【专题课】
简单多面体的外接球问题
Байду номын сангаас
【考点透视】 此部分是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点和难点。它注重考查学生的空间想象能力，对 空间形式的观察、分析及抽象概括的能力。 有关球与几何体的相切和相接问题，既要运用几何体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意几 何体的有关几何元素与球的半径之间的关系。因此，在球与几何体的切、接问题中，球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用。 【必备知识】 球体的体积与表面积计算公式： ① V球
A A
B
D
B
D
C
C
例 4：已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： cm ） ，如果这个几何体内接于一个 球 O ，那么这个球 O 的半径是_________________ cm 。
例 5、已知空间 4 个球，他们的半径分别为 2,2,3,3 每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这 4 个球都 外切，则这个小球的半径为______________。