新北师大版九年级下册数学圆的对称性第二课时
北师大版九年级下册数学《圆的对称性》圆2精品PPT教学课件
它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高 (弧的中点到弦的距离,
也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
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垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的两条弧。
几何语言表达：
AE ＝ BE
A
CD是直径
A⌒C＝B⌒C
CD⊥AB
A⌒D＝B⌒D
C
O
E
B
D
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垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
② CD⊥AB
⑤⌒AD=⌒BD.
③ AM=BM
C
A M└
B
●O
条件 结论
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D
①③ ①④ ①⑤
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
九年级下册
第三章
2.圆的对称性
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1
2.圆的对c称性
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。
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圆的基本性质
数学：3.2《圆的对称性》课件2(北师大版九年级下)
离开瘦西湖时，太阳早偏西。 孩子们提议，去东关街逛逛。顺便，享受一下舌尖上的扬州美食。 东关街是一条老街，离瘦西湖并不远。车子不再能移得动，决定打的。左等右等，每辆的士都停不下来，只能改乘公交。公交，人也是多。挤进去，再不能动弹，更别说想使劲看一眼窗外行走的扬 州城了。下车，又迷了方向，却不见东关街。东关街，竟是深藏在城的最里面，左拐右拐，问几个行人才得见。街不宽，也不甚古老，大多是老样子新建筑。 进去，仿佛是一条深巷子。一千多米长，穿过去却要近两个小时。走走停停，因为，那里有好多的东西拽着你的步子和眼睛。街道不宽，也不奢华，两边都是铺子，开门向着一条街。一间间房，青 砖，黑瓦，木门，高低错落。每一户，各有特色，大多是地方特产和古玩艺。其间，地方小吃居多，每间房都打着古老的招牌。古老的东西，似乎都能吸引人，譬如老树、老房子、老古董、老物件。只 有一样东西老了，似乎别人不大待见，那就是人。所以大家都怕老，特别是女人。可是，又不能不老。有些明星，翻过来调过去地涂抹和折腾，最后还是逃不过一个老。
ห้องสมุดไป่ตู้
数学：3.2《圆的对称性》课件2(北师大版九年级下)(20200806110820)
办理中央电视台广告投放事宜的具体流程 营业执照商标注册证或受理通知书广告投放资金预算 1、01 提出要求 客户初次联系中视海澜传播，客户阐述广告投放的要求。 2、02 策划提案 据客户广告投放要求和目的，中视海澜传播媒介人员作出广告投放方案。 3、03 确定方案 对广告投放方案双方识，帮助大家快速了解什么是互联网广告投放策略。
1、策略一 互联网广告投放从形式上来说分为线上投放和线下投放，从目的上来说分为获客和品牌。线上投放包括但不局限于PC端和移动端的一切软硬广，从网站banner到弹窗链接等；线下投放就是一切实体化的广告，从公交地铁站的平广到电线杆上的小广告。 2、策略二 任何一个网站想要生存，都需要不断获客，而获客的来源就是流量。所以互联网广告大多是针对流量来做的，在保证流量的基础上尽可能的精准投放。这里的“精准”指的是：将最有吸引力的广告放到最有需求的人眼前，因此，选择什么样的互联网广告投放媒体就非常重要了。 3、策略三 投放有各种各样的媒体，这也是一个媒体为王的市场，什么媒体好，怎么去选择搭配，则是市场运营的终极课题。 4、策略四 作为甲方，看的东西永远只有一个：ROI。正常的互联网投放的考核标准就是ROI（投入产出比），也有一些很难考核ROI的行业是看获客成本，这也是为什么互联网投放多半都在线上的原因，线下投放是无法统计ROI或者获客成本的，线下投放更倾向于做品牌，又没有立竿见影的效果，因此对于看 主要讲了点关于广告文案方面的内容！！ World 1、1:广告文案由标题、副标题、广告正文、广告口号组成的； 如图所示：2、2：广告标题：是文案的主题，吸引人们的视线，方便搜索； （1）字数最好掌握在12个字以内； 如图所示：3、3：广告副标题：是一种提醒的作用在里面，方便人们对广告大致内容的了解； 如图所示：4、4：广告正文：抓住产品要点、主要信息，叙述产品的作用，方便消费者了解和认识产品； 如图所示：5、5：广告口号：口号需要具有侵略性，容易朗朗上口，加深消费者和路人的印象，让群众可以第一首选就想到它； 如图所示：6、6：广告文案有广义和狭义的区别； （1）广义：文案由标题、正文、口号的撰写和对广告形象的选择组成； （2）狭义：文案由标题、正文、口号3部分组成； 如图所示：
32圆的对称性第2课时教学案北师大版九年级下
§ 3.2圆的对称性（第二课时）学习目标：圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理.学习重点：圆心角、弧、弦之间关系定理.学习难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.学习方法：指导探索法.学习过程：一、例题讲解：【例1】已知A,B是O O上的两点,/ AOB=120,C是的中点,试确定四边形OACB勺形状，并说明理由.【例2］如图，AB CD EF都是O O的直径，且/仁/ 2=7 3,弦AC EB DF是否相等? 为什么？【例3］如图，弦DC FE的延长线交于O O外一点P,直线PAB经过圆心O,请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：_________________ ，使/仁/ 2.1、判断题（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等（）2、填空题O O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是 ________ 度.6.已知：如图2,O O 的直径CD 垂直于弦 AB 垂足为P,且 AP=4cm PD=2cm 则O O3、选择题如图，0为两个同圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C D 两点，OEL AB 垂足为 E,若 AC= 2.5 cm , ED= 1.5 cm , 0A= 5 cm ,则 AB长度是 ____________ .A 、6 cmB 、8 cmC 7 cmD 7.5 cm4、选择填空题如图2,过O O 内一点P 引两条弦AB CD 使AB= CD 求证：OP 平分/ BPD证明：过 0作 OML AB 于 M ON L CD 于 N.AB = CD（）（）\^0M = 01^\ OP^^^BPDA OM L PB B OM L ABC ON L CD D ON L PD三、课后练习：1.下列命题中，正确的有（ ）A. 圆只有一条对称轴B. 圆的对称轴不止一条，但只有有限条C. 圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D. 圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2.下列说法中，正确的是（ ）A.等弦所对的弧相等C.圆心角相等，所对的弦相等 3.下列命题中，不正确的是（）A.圆是轴对称图形C.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 4. 半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）A. —3 RB. —3 RC. 3 RD. 23 R4 25. 如图1,半圆的直径 AB=4, O 为圆心，半径 OE L AB F 为OE 的中点，CD// AB,则弦B.等弧所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等B.圆是中心对称图形 D.以上都不对CD的长为（）A. 2 . 3B. 3C. . 5D. 2 56.已知：如图2,O O的直径CD垂直于弦AB垂足为P,且AP=4cm PD=2cm 则O OA. 4cmB. 5cmC. 4 2 cmD. 2 3 cm7. 如图3，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C D,已知AB=4, CD=2 AB 的弦心距等 于1,那么两个同心圆的半径之比为( )A. 3: 2B. 5 : 2C. .、5 :、『2D. 5： 48. 半径为R 的O O 中，弦AB=2R 弦CD=R 若两弦的弦心距分别为 OE OF,贝U OE OF= ( ) 9. 在O O 中，圆心角/ AOB=90 ,点O 到弦AB 的距离为4,则O O 的直径的长为( )C. 24D. 16)B.这两条弦所对的圆心角相等 D.以上答案都不对11 .O O 中若直径为25cm,弦AB 的弦心距为10cm ，则弦AB 的长为 ________________ . 12. ________ 若圆的半径为 2cm,圆中的一条弦长 2 _ 3 cm,则此弦中点到此弦所对劣弧的中点 的距离为 _________ .13. AB 为圆 O 的直径，弦 CDLAB 于 E ,且 CD=6cm OE=4cm 贝U AB= ______ . 14. _______________________________________________________________ 半径为5的O O 内有一点P,且OP=4则过点P 的最短的弦长是 ______________________________ ,最长的 弦长是 _________ . 15.弓形的弦长6cm,高为1cm,则弓形所在圆的半径为 cm.16. 在半径为6cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为cm .17. _____________________________________________________ 一条弦把圆分成1 : 3两部分，则弦所对的圆心角为 ________________________________________ . 18. __________________________________________ 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ____________________________________________________ ，弦所对的圆心角是 _________ 19. ____________________________________________________ 如图 4,ABCD 是O O 的直径 OELAB, OF 丄CD 则/ EO ________________________________ / BOF AC ____ AE ,A. 2: 1B. 3: 2C. 2: 3D. 0 A. 4 .. 2B. 8 210.如果两条弦相等，那么( A.这两条弦所对的弧相等 C.这两条弦的弦心距相等20. 如图5, AB为O O的弦，P是AB上一点，AB=10cm OP=5cm PA=4cm 求O O的半径.21.如图6,已知以点 0为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.(1) 求证：AC=DB(2) 如果AB=6cm CD=4cm 求圆环的面积.22. O 0的直径为50cm,弦AB// CD 且AB=40cm CD=48cm 求弦AB 和CD 之间的距离.23. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么?24•已知一弓形的弦长为 4・6 ,弓形所在的圆的半径为 7 ,求弓形的高.25.如图，已知O O 和O 02是等圆，直线 CF 顺次交这两个圆于 C D 、E 、F ,且CF 交 OQ 于点M CD EF , OM 和OM 相等吗？为什么？。
3.2 圆的对称性 课件(共14张PPT) 北师大版九年级下册数学
合作探究
如图，弦DC、FE的延长线交于☉O外一点P，直线
PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件:
DC＝FE(答案不唯一，符合要求即可) ，使∠1＝∠2.
合作探究
ห้องสมุดไป่ตู้
如图，在☉O中，弦AB的长是半径OA的 倍，C为
的中点，AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状，并说
明理由.
A.①和②
B.① 和③
C.①和④
D.①、②、③、④
合作探究
如图，AB、CD、EF都是☉O的直径，且∠1＝∠2＝
∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？
合作探究
解:弦AC、EB、DF相等.理由如下:因为∠AOC＝∠1，
∠BOE＝∠2，∠DOF＝∠3，而∠1＝∠2＝∠3，所以∠AOC＝
∠BOE＝∠DOF.即弦AC、EB、DF相等.
预习导学
圆心角、弧、弦之间的相等关系定理
阅读教材本课时“做一做”及后面的内容，思考下列问题.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 .
预习导学
·导学建议·
1.对知识点一中圆的制作让学生在上课前制作好，教师也可
提前做好相应的准备.有条件的话还可以制作一个微课.
B.圆不仅是特殊的轴对称图形，也是特殊的中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57'时，不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
合作探究
下列命题中，正确的是( C )
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧
也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，
数学：3.2《圆的对称性》课件2(北师大版九年级下)(20200806110820)
二次结构柱泵,操作运转前的查看试运转前应先用手盘动联轴器或轴，查看转向是不是准确，运转是不是灵敏，如盘不动或有反常声响，应及时查看，查看时先从外部用手查看联轴器是不是水平，从轴承座上的油镜孔处查看润滑油的位置是不是在油镜的中心线邻近(太多应放掉一些，太少应加上一些 边盘动，如果疑问仍然存在，就要拆泵查看，(拆泵时请参照本阐明书上的结构简图和拆装程序)整理异物，并联络厂家洽谈解决方法。开车过程将泵内灌满液体及时翻开进口阀门(如进口阀门为单向止回阀，就不需求人工操作)接通电源再翻开出口阀门。依据结构柱浇筑的状况研发了一款结构柱浇筑 备。设备体积小，移动便利，经济实用，功率高。填补了结构柱浇筑机械化的空白.移动式小型混凝土运送泵，是结构柱浇筑的专用设备，规划精美，移动便利，可以在楼面上现场浇筑，操作简略运用便利，省时省工，是结构柱浇筑的优选商品。适用于高层的细石混凝土运送，修建楼层集体结构柱 构柱泵特色：该泵机质量轻，装有行走轮，便利移动，规划独特，移动便利，运转平稳，操作简略，运用寿命长。泵送体系是人工施工的10倍，节省时刻和劳作本钱，进步劳作出产功率。可直接放于楼面现场浇注，而且不受泵送高度的约束。本商品用液压式送浆，轰动网过滤双缸往复工作彻底可 建运用中各种砂浆、细石混凝土等，本品具有排量大，压力高、省工省料，移动灵敏等特色，是一种抱负砂浆运送设备。二次构造柱泵推动建筑机械行业快1速发展:随着近几年来修建业的鼓起二次构造柱泵是求过于供，浇筑柱子地暖回填都用的现代化机器，使用率比上一年有所增长。 二次构造柱泵小型混凝土泵原理：1.全液控换向液压系统，回路优化设计，发热损耗低，系统更稳定。2.S管阀采用高锰钢铸造成型，易磨损面堆焊抗磨材料；眼镜板和切割环采用高硬耐磨合金，耐压耐磨。3.活塞采用进口原材料，油缸密封及关键电气部件采用进口元件。4.布局合理，维护空间大 谨，兼顾经济性与可靠性，性价比高。构造柱泵特点：该泵机质量轻，装有行走轮，方便移动，设计独特，移动定位方便，运行平稳，操作简单，使用寿命长。泵送系统是人工施工的10倍，节约时间和劳动成本，提高劳动生产效率。可直接放于楼面现场浇注，并且不受泵送高度的限制小型混凝土 二次结构土泵的操作方法：1.向下泵送混凝土时，应先把保送管上气缸翻开，待保送管下段混凝土有了定然压力时，方可开放气缸2.混凝土泵送行将终了前，应准确计划尚需用的混凝土单位，并应及时奉告混凝土搅和处3.泵送进程中，废除的和泵送终止时必要的混凝土，应按过后必定的处理办法和 时间断妥善处理泵送终了时，应将混凝土泵和保送管清洁洁净分析液压二次构造柱泵浇筑效率:浇筑结构柱二次结构柱泵进步功率节约时间带来的效益现如今，二次结构柱泵设备现已进入大家眼球，而一台好的二次结构柱泵又能为施工方带来高效益。就拿新式二次结构柱泵浇筑楼层来举例，一台结 设备的施工作业量为200根/天(每根柱子按0.18立方)，相当于48人灌注工人一天的作业量。经对比结构柱施工设备可缩短灌注工程90%的施工作业周期，而且每日可节约几千元的人工工资。该泵机质量轻，装有行走轮，便利移动，设计共同，可直接放于楼面现场浇注，二次结构泵而且不受泵送高度 有用的处理结构柱浇注过程中呈现的顶部挨近底梁段难以高质量浇注的问题，确保结构柱的平整度和观感质量。液压原理，故障率低，功率高。可运送灰浆、砂浆、细石混凝土、二次结构柱灌浆料等资料。选用无极调速设备，运送速度、流量。可快可慢。可遥控控制开关机，使操作更快捷，功率 构造柱专用泵的使用优势:二次构造细石砂浆专用浇筑泵可实现远距离高层建筑细石混凝土、砂浆等运送。分配阀选用领先的S管阀，密封性好、构造简略牢靠。双眼板和起浮切开环选用硬质合金，耐磨性好、寿命长、替换便利，切开环选用可主动补偿间隙构造。操控方式用电-液操控，具有完善的 维护及仪表显示体系； 二次构造柱泵适用于大型建筑建房施工中房屋边角和墙交界处，室内门窗周边以及过长的墙中间等位置用混凝土浇筑一些柱子与圈梁，地梁，基础梁整体结合起来增强房屋砌体的稳固性以及抗震性。保证构造柱的平整度和观感质量。泵送效率高，泵送系统是人工施工的10倍，这样有效的提高了生 节省了劳动成本。是构造柱浇注的好帮手。新型二次构造柱设备主要用于建筑内外砂浆喷涂，墙体拉毛，普通楼房砂浆输送，二次构造柱浇灌，以及边坡喷锚支护。二次结构混凝土泵主要用于大型的群体建筑楼层室内二次结构适应部位设置钢筋混凝土柱的浇注，与圈梁结合共同加强建筑物的稳定 性。二次构造柱泵的维护保养方法:1、首先轴承座内的润滑油应定期更换，一般正常情况6个月更换一次。2、其次保持电机上没有水迹，防止电机受潮，受潮后会影响设备的使用和安全。3、寒冷季节，停泵后若有结冰现象，应先接通密封处冷却水，必要时可加热水进去解冻，之后用手盘动联轴器 转灵活，再按照启动步骤开车。4、有冷却水装置的泵，开车前应先接通冷却水，泵正常运行时，可继续接通，若条件不允许也可停掉。5、泵在关闭出口阀门时的运行称为闭压运行状态，全塑泵或衬塑泵的闭压运行时间应尽可能减短，常温介质以不超过5分种为限，高温介质不要超过2分种。6、最 承受进出口管道的重量，进口管路越短越好，泵出口到阀门处的垂直高度应尽可能短。停机以后注意事项1、每次泵送混凝土工作结束以后，要立即把残留在混凝土缸和管道中的混凝土清理或冲洗干净；2、当采用压缩空气清洗时，必须严格按操作规定进行。操作员必须离开管端，切勿靠近，以免 人；3、在冬季应把泵机上所有的水放尽，以免冻裂机件；4、在进行班后保养作业中，如紧固部件，对运动部件进行润滑等工作，应确定电机停止转动后方可进行。 从目前的二次构造柱泵行业来看，随着我国新型城镇化建设速度的加快，国内众多的二次构造柱泵品牌也在努力开拓三四线城市以及农村的广阔市场。但是，随着人们观念的改变，价格不再是问题，质量越来越占据重要地位。因此，我国二次构造柱泵企业在满足国内新型城镇化建设需求的情况下 进行一定的技术创新，顺应市场需求，真正的把握好行业新商机。二次构造柱泵成功地解决了地暖施工中输送细石混凝土的难题。该设备采用多项混凝土泵的世界先进技术，是小型的先进构造柱施工设备，也是建筑施工中输送细石混凝土的理想设备。二次构造柱泵全机械构造无论维护还是操作都 （傻瓜式操作）破除液压型工人不敢碰不会操作问题，维护维修成本低，移动十分方便一个人可移动（以前液压型多需要4-5个人才能移动），整机十分小巧任可狭小地方都能进入，整机采用积木式设计可随时分开组合十分方便，为老板节省巨大资产的小型二次构造柱泵车专门解决二次结构施工费 力，生产效率低的问题。该机体积小，操作简单，降低人员劳动强度，灵活地在楼层中施工，可靠近过梁、柱子浇筑。1采用全新的开式液压系统及专有的液压缓冲技术，使得系统换向冲击小，发热少。同时选用世界顶级原装重载液压主泵及液压阀，主泵排量大，液压阀通径大，从而确保混凝土泵 高可靠性。2液压回路采用独特的全程三级高低压过滤系统，同时，独家采用自动加油及旁路自循环系统，在方便加油的同时，对新油进行精过滤，防止人为污染。从而确保油泵、阀组、马达、油缸的低故障与高可靠性。3独特的油箱设计及风、水冷却系统，确保在高温环境中连续工作，油温不超 度。混凝土泵（拖泵）4液压管路选用进口高性能无缝钢管，精良的焊接工艺确保管路无渗漏现象.并采用了PARKER公司独特的扣管技术，确保无爆管、无渗油现象。5高压管路的连接处全部采用新型的法兰式连接，具有耐冲击、强度高、无渗漏、安全、易拆装等特点。
数学：3.2《圆的对称性》课件2(北师大版九年级下)
例
A
C
如图，在⊙O中，AB，CD是两条 E
弦，OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别
为E，F。
B
F O
D
⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什 么关系？为什么？
⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？ 为什么？ ∠ AOB与∠ COD呢？
练一练:
完成课本随堂练习1、2、3。
课时小结
议一议：在得出本节结论的过程中你用到了哪些方法？
讨论归纳出：利用折叠法研究了圆是轴对称图 形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及 其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋 转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究 了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系 定理。
推理格式：如图所示
（1）若 A B = C D ，
猜一猜
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O，
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定 在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个 圆还重合吗 ?
归纳 ：
圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋 转任意一个角度，都能与原来的圆重合。因 此,圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。圆 的中心对称性是其旋转不变性的特例.
想一想
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等， 那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你 是怎么想的？
2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们 所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是 怎么想的？
推理格式：
B
B′
O A
O′ A′
如图所示： (1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且
做一做
按下面的步骤做一做
1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片， 在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠A O B和 ∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起。
北师大版九年级数学下册第三章《圆的对称性》公开课 课件(2)
A
NB
E
O
P
C
MD
作业: 课本习题3.3
1, 2, 3
谢谢合作！
做一做
按下面的步骤做一做
1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片， 在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠A O B和 ∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起。
2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′ 重合。
B
B′
A
A′
O
O′
你能从中发现哪些等量关系?说一说你的 理由.
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦相等。
想一想
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等 ，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗? 你是怎么想的？
2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们 所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是 怎么想的？
1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 4:41:08 PM 3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 4、智力教育就是要扩大人的求知范围 5、最有价值的知识是关于方法的知识。 6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
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O
C D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ACB (用三个字母).
垂径定理 AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你 的想法和理由.
小明发现图中有:
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
（AD＝BD）CD ⊥AB
⌒
⌒
记忆
推论（1）
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对 的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧
B O
A
M└
●
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒=BC, ⌒ ∴AC
⌒ ⌒ AD =BD.
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由. 小明发现图中有:
圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个问题.
读一读
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. AB ,读作“弧 以A,B两点为端点的弧.记作⌒ AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
B A
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). ⌒
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?你 能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个问题的?
●
O
想一想
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m.
C
老师提示: 注意闪烁 的三角形 的特点. F
●
E
OE CD,
1 1 CF CD 600 300(m). 2 2 D 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理, 得
O
R 2 300 2 R 90 .
2
这段弯路的半径约为545m. 解这个方程, 得R 545.
讨论
（3）
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 （2） （1） （4） （5） （1） （ 3） （ 2） （ 5） （1） （3） （4） （2）
（2） （4） （5）
（1）
C
●
A
┗
B O
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
D
垂径定理的应用
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
课本习题3.2
第2题
再见
C
A
M└
●
B
O
③AM=BM,
可推得
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
D
如图,小明的理由是:
连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM.
C
∴点A和点B关于CD对称.
.
C O E
B
D 命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧 已知：AB是弦，CD平分AB，
CD ⊥AB，求证：CD是直径，
AD＝BD，AC＝BC 命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧 已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC）求证：CD平分AB，AC＝BC
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 （7）平分弦的直线，必定过圆心
( ） （ ）
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦
A C O D A C O
3.2.2 圆的对称性
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在学过 哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的 部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称 图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱 形、等腰梯形、正方形
2、我们所学的圆是不是轴对 称图形呢？
.
想一想
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
（ ）
C O B A B
(1) B
(2) D
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径
（ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ） （11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
B O O D A (5)
C
O E D (6)
A
C (4)
B
C
A
B
这节课有何收获？！
作业
（3）
（4）
（5）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧 已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
判断
挑战自我
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )