华东师范大学离散数学章炯民课后习题第4,5章答案

P59
1（1）. 用谓词公式表达语句“所有的运动员都钦佩某些教练”，个体域为全总个体域。

解：
P(x):x是运动员，G(y):y是教练，R(x,y):x钦佩y。

原题量词表达为：
∀x (P(x)→∃y(R(x,y)∧G(y)))
此题错误较多：1. ∀x∃ yR(P(x),G(y)) 2. ∀x∃y(P(x)∧G(y)→R(x,y)) 3. R(x):x钦佩某些教练3. 将∀x(C(x)∨∃y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同班同学，个体域是学校全体学生的集合。

解：
学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。

80%能正确解释。

5. 给定解释I如下：
个体域D：{-2,3,6}；
个体常元a：6；
谓词P：2>1，Q(x)：x≤3，R(x)：x>5。

求出谓词公式∀x(P→Q(x))∨R(a)在解释I下的真值。

解：
R(a)总为1,故
∀x(P→Q(x))∨R(a)为∀x(P→Q(x))∨1＝1
都能做对最后答案。

有的学生将D的每个元素代入求得，有的学生做法如上。

9（2）. 指出谓词公式∀x∀y(P(x,y)∨Q(y,z))∧∃xR(x,y)的指导变元、量词的辖域、约束变元和自由变元。

解：
第一个x是指导变元，相应的辖域是∀y (P(x,y)∨Q(y,z))；第二、四个x是约束变元；第三个x 是指导变元，相应的辖域是R(x,y)；
第一个y是指导变元，相应的辖域是：(P(x,y)∨Q(y,z))；第二，三个y是约束变元；第四个y 是自由变元；
第一个z 是自由变元。

即：
指导变元：第一个x，第三个x，第一个y
辖域：∀y (P(x,y)∨Q(y,z))，R(x,y)，(P(x,y)∨Q(y,z))
约束变元：第二个x，第四个x，第二个y，第三个y
自由变元：第四个y，第一个z
约一半学生错在第一个X为指导变元时的辖域，错写为(P(x,y)∨Q(y,z))，其余的正确。

10（1）. 求谓词公式∀x∀y(P(x,y)↔Q(x,y))→∃x∀yR(x,y)的前束范式。

解：
∀x∀y(P(x,y)↔Q(x,y))→∃x∀yR(x,y)=∀x∀y(P(x,y)↔Q(x,y))→∃u∀vR(u,v)
=∀x∀y(⌝P(x,y)∨Q(x,y)∧(⌝Q(x,y)∨P(x,y))→∃u∀vR(u,v)
=∃x∃y(((P(x,y)∧⌝Q(x,y))∨(Q(x,y)∧⌝P(x,y))∨∃u∀vR(u,v))
=∃x∃y∃u∀v((P(x,y)∧⌝Q(x,y))∨(Q(x,y)∧⌝P(x,y))∨R(u,v))
三分之一的学生出错。

1. ↔不化简2. 没有改变相同的量词，并将相同的量词合并。

3. 计算错误。

11. 构造∀x(P(x)∨Q(x)),∀x(Q(x)→⌝R(x)),∀xR(x)⇒∀xP(x)的形式证明。

解：
①∀xR(x) 前提引入
②R(e) ①US规则
③∀x(Q(x)→⌝R(x)) 前提引入
④Q(e) →⌝R(e) ③US规则
⑤⌝Q (e) ②④析取三段论
⑥∀x(P(x)∨Q(x)) 前提引入
⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则
⑧P(e) ⑤⑦析取三段论
⑨∀x (P(x)) ⑧EG规则
此题出错较多：1. 误用量词的推理规则，如①∀xR(x) 前提引入②R(x) ①US规则 2.形式证明的格式不规范
15. 证明下面的推理：
“每个科研工作者都是努力工作的。

每个努力工作而又聪明的人都取得事业的成功。

某个人是科研工作者并且聪明。

所以，某人事业取得成功。

”
解：
命题符号化，个体域为人。

定义谓词P(x):x是科研工作者，Q(x):x努力工作，R(x):x是聪明的人，M(x):x事业取得成功. 前提：∀x (P(x)→Q(x)), ∀x((Q(x)∧R(x))→M(x)), ∃x(P(x)∧R(x))
结论: ∃x M(x)
构造形式证明
①∃x(P(x)∧R(x)) 前提引入
②P(a)∧R(a) ①ES规则
③P(a) ②化简规则
④∀x (P(x)→Q(x)) 前提引入
⑤P(a)→Q(a) ④US规则
⑥Q(a) ③⑤假言推理规则
⑦R(a)∧Q(a) ③附加规则
⑧∀x((Q(x)∧R(x))→ M(x)) 前提引入
⑨(Q(a)∧R(a))→ M(a) ⑧US规则
⑩M(a) ⑦⑨假言推理规则
⑪∃x M(x) ⑩EG规则
基本正确
补充：
1. 用谓词公式表达语句“本班的学生都已学过微积分”，个体域分别取ECNU的学生集合和本班的学生集合。

解：
个体域取ECNU的学生集合:
P(x):x是本班学生，G(x):x学过微积分。

则
∀x (P(x)→G(x))
个体域取本班的学生集合:
P(x):x学过微积分，则
∀x P(x)
个体域取ECNU的学生集合时出错较多：H(x): X是ECNU的学生∃x(h(x)→G(x))
2. 用谓词公式表达语句“班上无人恰给另外两个同班同学发过电子邮件”，个体域取本班学生的集合。

解：
p(x,y)：x 给y 发过电子邮件，论域为班上学生。

原题量词表达为：
⌝ ∃x ∃y ∃z (p(x,y)∧p(x,z)∧(y ≠z)∧(x ≠z)∧(x ≠y )∧∀w(p(x,w)→((w=y)∨(w=z))))
正确解答此题的学生很少。

大都只表达了“给另个两个同学发过电子邮件”，忽略“恰恰”。

P81
2. 集合X={a,b,c}上的一个关系R 的关系矩阵如下（左），请写出这个关系。

（注：矩阵的第
1、2、3行以及第1、2、3列，分别对应X 中的元素a 、b 、c ）。

解：
R={(a,a)，(a,c)，(b,b) ，(c,a)，(c,c) }
全部正确
3. 一集合上的一个关系的关系图如上图（右）所示，请写出这个关系。

解：
R={（a ，a ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，b ）（c ，a ），（c ，d ），（c ，c ），（d ，d ）}
全部正确
6. 设R 是X 到Y 的二元关系，S 是Y 到Z 的二元关系，证明(R ︒S)-1= S -1︒R -1。

解：
对∀x,y ∈R,
<x,y>∈(R ︒S)-1
⇔<y,x>∈(R ︒S)
⇔∃u(<y,u>∈R ∧<u,x>∈S)
⇔∃u(<x,u>∈S -1∧<u,y>∈R -1)
⇔<x,y>∈( S -1︒ R -1)
故(R ︒S)-1= S -1︒R -1
基本正确
7(2). 设R 、S 、T 都是X 上的关系。

证明：R ︒(S ∩T)⊆(R ︒S)∩(R ︒T)，(R ∩S)︒T ⊆(R ︒T)∩(S ︒T)。

解：
对∀x,y ∈X,
<x,y>∈ R ︒(S ∩T)
⇒∃u(<x,u>∈R ∧<u,y>∈ S ∩T)
101
010
101
⇒∃u(<x,u>∈R∧<u,y>∈S∧<u,y>∈T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧<u,y>∈S∧<u,y>∈T∧<x,u>∈R)
⇒∃u(<x,u>∈R∧<u,y>∈S)∧∃u (<u,y>∈T∧<x,u>∈R)
⇒<x,y>∈( R︒ S) ∧<x,y>∈( R︒ T)
⇒<x,y>∈(R︒S)∩(R︒T)
故R︒(S∩T)⊆(R︒S)∩(R︒T)
对∀x,y∈X,
<x,y>∈(R∩S)︒T
⇒∃u(<x,u>∈R∩S ∧<u,y>∈ T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧< x,u >∈S∧<u,y>∈T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧< x,u >∈S∧<u,y>∈T∧<u,y>∈T)
⇒∃u(<x,u>∈R∧<u,y>∈T)∧∃u (< x,u >∈S ∧<u,y>∈T)
⇒<x,y>∈( R︒ T) ∧<x,y>∈( S︒T)
⇒<x,y>∈(R︒T)∩(S︒T)
故(R∩S)︒T⊆(R︒T)∩(S︒T)
基本正确，少数学生叙述杂乱，表达不清。

或没看清题意，证明＝
8.设X和Y都是有限集，|X|=m，|Y|=n。

问X到Y的不同的关系有多少个？
解：
共2mn个
大部分学生正确。

少数错写为mn
补充：
1.从m元素集合到n元素集合有多少个不同的关系？
解：
集合A到B的关系是A×B的子集。

若A有m个元素，B有n个元素，则A×B有m×n个元素。

故A×B有2mn个子集。

于是，从m元素到n元素集合共有2mn个不同的关系。

大部分学生正确。

少数错写为mn。