吉林大学离散数学课后习题答案

第二章命题逻辑

§2.2 主要解题方法

2.2.1 证明命题公式恒真或恒假

主要有如下方法：

方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每

一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。

真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。

例2.2.1 说明 G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。

解：该公式的真值表如下：

表2.2.1

由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故

G恒真。

方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。

例2.2.2 说明 G= ((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。

解：由(P→R) ∨⌝ R=⌝P∨ R∨⌝ R=1，以及

⌝ (Q→P) ∧ P= ⌝（⌝Q∨ P）∧ P = Q∧⌝ P∧ P=0

知，((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)=0，故G 恒假。

方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。

方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G恒假，

若最终结果有1，有0，则是可满足的。例子参见书中例2.4.3。

方法五. 注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是：公式G→H是恒真的；公式G，H等价的充要条件是：公式G↔H是恒真的，因此，如果待考查公式是G→H型的，可将证明G→H 是恒真的转化为证明G蕴涵H；如果待考查公式是G↔H型的，可将证明G↔H是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。

例2.2.3 证明 G= (P→R) → ( (Q→ R) →(( P∨Q) →R))恒真。

证明：要证明(P→R) → ( (Q→ R) →(( P∨Q) → R))恒真，只需证明(P→R) ⇒( (Q→ R) →(( P∨Q) → R))。我们使用形式演绎法。

（1）P→R 规则1

（2）Q→ R 附加前提

（3）⌝P∨ R 规则2，根据（1）（4）⌝Q∨ R 规则2，根据（2）（5）（⌝P∨ R）∧（⌝Q∨ R）规则2，根据（3）、（4）

（6）（⌝P∧⌝Q）∨ R 规则2，根据（5）（7）⌝（P∨ Q）∨ R 规则2，根据（6）（8）（P∨Q）→ R 规则2，根据（7）（9）(Q→R) →(( P∨Q) →R) 规则3，根据（2）、

（8）

2.2.2 公式蕴涵的证明方法

主要有如下方法：给出两个公式A，B，证明A蕴涵B，我们有如下几种方法：

方法一.真值表法。将公式A和公式B同列在一张真值表中，扫描公式A所对应的列，验证该列真值为1的每一项，它所在行上相应公式B所对应列上的每一项必为1（真），则公式A蕴涵B。

例2.2.4 设A= (P∧Q→R)∧(P→Q)，B=(P→R)，证明：A⇒B。

证明：

表2.2.2

由表2.2.2可以看出，使A为真的解释均使B亦为真，因此，A⇒B。

方法二.证明A→B是恒真公式。

由例2.2.1知，(P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)恒真，因此，立即可得到例2.2.4中的结论：(P∧Q→R)∧(P→Q)⇒(P→R)，即A⇒B。

例2.2.5 设A、B和C为命题公式，且A⇒B。请分别阐述（肯定或否定）下列关系式的正确性。

（1）(A∧C) ⇒ (B∧C)；

（2）(A→C) ⇒( B→C)。

解：由A⇒B知，A→B是恒真公式，故A=1时，B不可能为0。

真值表如下：

表2.2.3

从真值表可以看出，(A∧C) → (B∧C)是恒真公式，所以，(A→C) ⇒( B→C) (A∧C) ⇒(B∧C)正确；(A→C) →( B→C)不是恒真公式，所以，(A→C) ⇒( B→C)不正确。

例2.2.6 设A=(R→ P) → Q，B= P→ Q，证明A蕴涵B。

证明：我们来证明A→B恒真。

((R→ P) → Q) →( P→ Q)= ⌝ (⌝ ( ⌝R∨P) ∨Q) ∨(⌝P∨Q)

=((⌝R∨P) ∧⌝ Q) ∨(⌝P∨Q) =(⌝R∧⌝ Q) ∨( P ∧⌝ Q) ∨⌝( P ∧⌝ Q)

=1

方法三.利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。

对于例2.2.6，由基本等价式可得：

A=(R→ P) → Q

=⌝ ( ⌝R∨P) ∨Q

= (R∧⌝ P) ∨Q

=( R∨Q) ∧(⌝ P∨Q)

=( R∨Q) ∧( P→ Q)

由教材中基本蕴涵式2. P∧Q⇒Q可知，( R∨Q) ∧( P→ Q) ⇒(P→ Q)，即A蕴涵B。

方法四.任取解释I，若I满足A，往证I满足B。

例2.2.7 设A= P→ Q，B=(R→Q) →（（P∨R）→ Q），证明A蕴涵B。

证明：任取解释I，若I满足A，则有如下两种情况：（1）在解释I下，P为假，这时，B等价于(R→Q) →（R→ Q），因此，I亦满足B。

（2）在解释I下，P为真，Q为真，所以，P∨R→ Q 为真，故B为真，即，I满足B。

综上，I满足B，因此，A蕴涵B。

方法五.反证法，设结论假，往证前提假。

对于例2.2.6，证明(R→ P) → Q蕴涵 P→ Q，若使用方法三，是很烦琐的，而使用方法四，就很简单。假设存在解