四种傅里叶变换
傅里叶变换4种形式
1 / 24种傅里叶变换形式离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要，而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用.连续傅里叶变换FT当x(t)为连续时间非周期信号，而且满足傅里叶变换条件，它的傅里叶变换为X(j Ʊ).x(t)与X(j Ʊ)之间变换关系为傅里叶变换对：⎰∞∞-Ω=Ωdt e t x j X t j )()( ⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π 傅里叶变换的结果通常是复数形式，其模为幅度谱，其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续.连续傅里叶变换级数FS当~x 是周期为T 的连续时间周期信号，在满足傅里叶级数收敛条件下，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk 0Ω).其中，T π20=Ω,单位为rad/s ，称作周期信号的基波角频率，同时也是离散谱线的间隔.)(~t x 与)(0Ωjk X 之间的变换关系为傅里叶级数变换对：dt e t x T jk X T T t jk ⎰-Ω-=Ω22~00)(1)( t jk k e jk X t x 0)(21)(0Ω∞-∞=∑Ω=π时域波形周期重复，频域幅度谱为离散谱线，离散谱线频率间隔为模拟角频率0Ω=T π2.幅度谱|)(0Ωjk X |表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号t jk e 0Ω组合而成，其基波角频率为0Ω，单位为rad/s.离散时间傅里叶变换DTDT当x(n)为离散时间非周期信号，且满足离散时间傅里叶变换条件，其离散时间傅里叶变换为)(ωj e X .x(n)与)(ωj e X 之间变换关系为离散时间傅里叶变换对:∑∞∞--=n nj j e n x e X ωω)()(ωπωππωd e e X n x n j j ⎰-=)(21)(时域波形以抽样间隔s T 为时间间隔离散化，而频域频谱图则是连续的，且以数字角频率2π为周期化.离散傅里叶级数DFS当~x (n)为离散时间周期为N 的周期信号，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数系数为)(~k x .~x (n 与))(~k x 之间变换关系为离散傅里叶级数变换对：∑-=-=102~~)()(N n nk N j en x k X π -∞<k<∞∑-==102~~)(1)(N k nk N j ek X N n x π时域与频域都离散且周期.时域波形以N 为周期，以抽样间隔s T 为时间间隔离散化.频域频谱图|)(~k X |以N 为周期，离散谱线间隔为数字角频率Nπ2，对应模拟角频率为s NT π2.频谱图表明离散时间周期信号是由成谐波关系的有限个角频周期序列kn N je π2组合而成，基波频率为N π2，单位为rad/s-----精心整理，希望对您有所帮助!。
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的信号处理方法，可以将一个信号表示为频域上的复合波。
在实际应用中，我们常常需要用到一些常用的傅里叶变换表来简化计算过程。
下面是常用的傅里叶变换表。
1. 频域采样点数与时间域采样点数的对应关系：当时间域采样点数为 N 时，对应的频域采样点数为 N/2+1。
采样点数越多，则频域分辨率越高，对于高频信号的分析会更准确。
2. 傅里叶变换对称性：傅里叶变换具有一定的对称性，包括对称性、共轭对称性和反对称性。
利用这些对称性，我们可以简化计算过程。
- 偶函数的频谱是实数，在频域中左右对称；- 奇函数的频谱是虚数，具有共轭对称；- 复合偶函数和复合奇函数的频谱会具有反对称性。
3. 常用信号的傅里叶变换表：以下是一些常见的信号的傅里叶变换表：- 矩形脉冲信号（Rectangular Pulse）的傅里叶变换：矩形脉冲信号在时域上是一个宽度有限且幅度为常数的信号。
其傅里叶变换在频域上是一个 sinc 函数，表达式为：F(w) = wwww(ww/2) / (ww/2)其中，w是信号的宽度，w是频率。
- 高斯函数（Gaussian Function）的傅里叶变换：高斯函数在时域上是一个钟形曲线，其傅里叶变换仍然是一个高斯函数。
傅里叶变换的表达式如下：F(w) = ww^(−w^2w^2/4w^2)其中，w是高斯函数的标准差，w是时间尺度。
- 正弦函数（Sine Function）的傅里叶变换：正弦函数在时域上是一个连续的周期函数。
其傅里叶变换也是一个周期函数，表达式为：F(w) = 0.5j (w(w−w)−w(w+w))其中，w是正弦函数的频率。
4. 傅里叶变换的性质：傅里叶变换具有很多重要的性质，包括线性性质、平移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质在信号处理中起到了重要的作用，可以简化傅里叶变换的计算过程。
- 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即线性组合的函数的傅里叶变换等于各个函数的傅里叶变换之和。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换如下：
1. 矩形波信号：由大量正弦波组成，频率为整数倍的基频，其幅度随频率的增加而下降。
2. 三角波信号：由一系列奇次正弦波组成，其幅度随频率的增加而下降。
3. 锯齿波信号：由无限多个正弦波组成，频率为整数倍的基频，其幅度随频率的增加而下降。
4. 指数信号：由正弦波叠加而成，其幅度随时间指数级增长或衰减。
5. 高斯信号：由无限多个正弦波组成，频率连续分布在整个频域上，且其幅度随频率的增加而呈高斯分布。
以上就是常用信号的傅里叶变换的中文描述，希望对你有帮助。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
对于任意一个周期信号，傅里叶变换可以将其表示成一系列正弦波的叠加形式，从而更好地理解和处理信号。
在实际应用中，有很多信号都需要进行傅里叶变换。
下面介绍一些常用信号的傅里叶变换。
1. 正弦信号正弦信号是一种最基本的周期信号，其函数形式为y=sin(wt)，其中w为角频率。
通过傅里叶变换，可以将正弦信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即：y(t) = A1*sin(wt) + A2*sin(2wt) + A3*sin(3wt) + …其中，An为振幅，表示第n个正弦波的幅度。
2. 方波信号方波信号是一种由周期为T的矩形波形组成的信号，其函数形式为：y(t) = sgn(sin(wt))其中，sgn表示符号函数，即当sin(wt)>0时，sgn(sin(wt))=1，否则sgn(sin(wt))=-1。
通过傅里叶变换，可以将方波信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即：y(t) = (4/pi)*[sin(wt) + (1/3)*sin(3wt) + (1/5)*sin(5wt) + …]3. 带限信号带限信号是指信号的频率范围有限，通常是指截止频率为一定值的信号。
通过傅里叶变换，可以将带限信号表示为一组频率在一定范围内的正弦波的叠加形式，即：y(t) = (1/2*pi)*Int[-w0,w0]{F(w)*e^(jwt)dw}其中，F(w)为信号的频谱，w0为信号的截止频率，Int表示积分运算。
以上三种信号只是常用信号中的一部分，实际应用中还有很多其他类型的信号需要进行傅里叶变换。
傅里叶变换不仅可以分析信号的频域特性，还可以用于信号的滤波、压缩、编码等方面，具有广泛的应用价值。
傅里叶变换常用公式大全
傅里叶变换常用公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
在信号处理、图像处理和通信领域广泛应用。
本文将介绍一些傅里叶变换中常用的公式，以帮助读者更好地理解和应用傅里叶变换。
1. 傅里叶变换的定义公式傅里叶变换的定义公式如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)]dt其中F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的傅里叶变换。
2. 傅里叶变换的逆变换公式傅里叶变换的逆变换公式如下：f(t) = ∫[F(ω) * e^(jωt)]dω其中f(t)表示频域信号F(ω)的逆变换。
3. 傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开公式将一个周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
公式如下：f(t) = a₀ + Σ[aₙ * cos(nω₀t) + bₙ * sin(nω₀t)]其中a₀, aₙ, bₙ为系数，n为正整数，ω₀为基本角频率。
4. 傅里叶级数系数计算公式傅里叶级数系数的计算公式如下：a₀ = 1/T₀ * ∫[f(t)]dtaₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * cos(nω₀t)]dtbₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * sin(nω₀t)]dt其中T₀为周期。
5. 傅里叶变换的线性性质公式傅里叶变换具有线性性质，公式如下：F(a * f(t) + b * g(t)) = a * F(f(t)) + b * F(g(t))其中a和b为常数。
6. 傅里叶变换的频移性质公式傅里叶变换具有频移性质，公式如下：F(f(t - t₀)) = e^(-jωt₀) * F(f(t))其中t₀为时间偏移量。
7. 傅里叶变换的频率缩放公式傅里叶变换具有频率缩放性质，公式如下：F(f(a * t)) = (1/|a|) * F(f(t/a))其中a为常数。
8. 傅里叶变换的频域微分公式傅里叶变换的频域微分公式如下：F(d/dt[f(t)]) = jωF(f(t))其中d/dt表示对时间t的导数。
归纳4种傅里叶变换.ppt
x(t )
X ( jk0 )
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
Tp / 2 x(t )e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t )
X ( jk 0 )e jk0t
k
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
时域：连续、周期（周期为Tp） 频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）
.,
4种傅里叶变换
.,
4种傅里叶变换2.连续傅里叶变换(FT)
非周期连续时间信号 FT 非周期连续频谱
x(t)
正变换：
0
X ( j ) x(t)e jtdt
t
X ( j )
反变换：
0
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
.,
4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
.,
--t
s
2 T
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jn d
2
.,
---
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T）
常见函数傅里叶变换
常见函数傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。
它是一种非常重要的数学工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、量子力学等领域。
在本文中，我们将介绍几种常见的函数傅里叶变换。
1. 正弦函数傅里叶变换正弦函数傅里叶变换是将一个函数分解成一系列正弦函数的方法。
它适用于周期函数，即函数在一个周期内重复。
正弦函数傅里叶变换的公式为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的傅里叶系数，L 是函数的周期。
正弦函数傅里叶变换可以用于分析周期信号的频谱特性。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。
它适用于周期函数，即函数在一个周期内重复。
傅里叶级数的公式为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的傅里叶系数，L是函数的周期。
傅里叶级数可以用于分析周期信号的频谱特性。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。
它适用于非周期函数，即函数在整个实数轴上都有定义。
傅里叶变换的公式为：F(ω) = ∫f(x)e^(-iωx)dx其中，F(ω)是函数的傅里叶变换，f(x)是原函数，ω是频率。
傅里叶变换可以用于分析信号的频谱特性。
4. 离散傅里叶变换离散傅里叶变换是将一个离散信号分解成一系列正弦和余弦函数的方法。
它适用于数字信号处理。
离散傅里叶变换的公式为：X(k) = Σx(n)e^(-i2πnk/N)其中，X(k)是信号的傅里叶变换，x(n)是原信号，N是信号的长度，k是频率。
离散傅里叶变换可以用于分析数字信号的频谱特性。
傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数，从而分析函数的频谱特性。
在信号处理、图像处理、量子力学等领域都有广泛的应用。
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的数学变换方法，可以将一个函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
它在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域中得到广泛应用。
在本文中，我们将介绍五种常见的傅里叶变换。
1. 离散傅里叶变换（DFT）：离散傅里叶变换是将一个离散时间信号转换为离散频谱的方法。
它适用于离散时间域信号，可以通过对信号进行采样获得离散的频谱信息。
DFT的求解可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法实现，大大提高了计算效率。
2. 快速傅里叶变换（FFT）：快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换。
它利用信号的周期性质和对称性质，将离散信号的傅里叶变换从O(n^2)的复杂度减少到O(nlogn)，极大地提高了计算速度。
FFT广泛应用于频域分析、图像处理、信号压缩以及解决常微分方程等问题。
3. 傅里叶级数变换：傅里叶级数变换是将一个周期函数表达为正弦和余弦函数的级数和的方法。
它适用于周期信号的频谱分析，可以将一个函数在该周期内用无穷多个谐波的叠加来表示。
傅里叶级数变换提供了频域表示的一种手段，为周期信号的特性提供了直观的解释。
4. 高速傅里叶变换（HFT）：高速傅里叶变换是一种用于计算非周期信号的傅里叶变换的方法。
它通过将信号进行分段，并对每个分段进行傅里叶变换，再将结果组合得到整个信号的频谱。
HFT主要应用于非周期信号的频谱分析，例如音频信号、语音信号等。
5. 邻近傅里叶变换：邻近傅里叶变换是一种用于非周期信号和非零进样信号的傅里叶变换方法。
它通过将信号进行分段，并对每个片段的信号进行傅里叶变换，再将结果进行插值得到整个信号的频谱。
邻近傅里叶变换适用于非周期信号的频谱分析，例如音频信号、语音信号等。
综上所述，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，提供了信号在频域的表达方法，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、傅里叶级数变换、高速傅里叶变换和邻近傅里叶变换都是常见的傅里叶变换方法，每种方法适用于不同类型的信号处理问题。
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傅里叶变换
对信号和系统的分析研究可以在时间域进行，也可以在频域进行。
连续时间信号是时间变量t的函数，连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述，也可以用冲激响应来描述。
离散时间信号（序列）是序数n的函数，这里n可以看成时间参量，离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述，也可以用单位脉冲响应来描述。
在时间域对信号和系统进行分析研究，比较直观，物理概念清楚，但仅在时间域分析研究并不完善，有些问题研究比较困难。
比如，有两个序列，从时间波形上看，一个变化快，一个变化慢，但都混有噪声，希望用滤波器将噪声滤除。
从信号波形观察，时域波形变化快，意味着含有更高的频率成分，因此这两个信号的频谱结构不同，那么对滤波器的性能要求也不同。
为了设计合适的滤波器，就需要将时域信号转换到频率域，得到其频谱结构，分析其特性，进而得到所要设计的滤波器的技术指标，然后才能进行滤波器的设计。
在连续时间信号与系统中，其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。
在离散时间信号与系统中，频域分析采用z变换与傅里叶变换作为数学工具。
现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。
傅里叶变换的几种可能形式
对傅里叶变换的几种可能形式进行总结，再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。
一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换
在“信号与系统”课程中，这一变换对为
X a（j」）= ：©Xa（t）e jt dt
X a（t）= * ；：Xa（W）e jt dJ
lXa(t) |X a(jf»|
i JI
这一变换对的时频域示意图（只说明关系，不表示实际的变换对）如图所示。
可以看出时域上是非周期连续信号，频域上是连续非周期的频谱。
二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示
在“信号与系统”课程中，如果X(t)是一个周期为T 的连续时间信号，则X(t)可以展开成
傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为
X n ，X n 是离散频率的非周期函数。
X(t)与X n 组成周期 连续时间信号的傅里叶级数变换对为
1 T
Xn = - ^x(i)e^di
T -
x(t)八一 X n e jn i t
n =.：:
这一变换对的时频域示意图如图所示。
可以看出时域上是周期连续信号， 频域上是离
散非周期的频谱。
也就是说，周期连续信号可以分解成无穷多个谐波分量之和，其中基波
<x(t) 周期连续信号及其频谱
另外，周期信号虽然不满足绝对可积条件，但在频域引入冲激函数函数后，其傅里叶变 换仍可以表示。
对周期信号X(t)，其傅里叶变换X(j 「)表示为
□0
X( j 「)=2二 V X n 、C - n 「)
n 二■::
三. 非周期序列的傅里叶变换
序列的傅里叶变换，即
X(e j )二 &x(nh n
n =JOO A x(n
)\-： =X(e j )e j i
这一变换对的时频域示意图如图所示。
可以看出时域上是非周期离散时间信号，频域上 是连续周期的频谱。
频率分量为蔦
2~ T
|X(e j )
|
非周期序列及其频谱
序列的傅里叶变换是序列的频谱，也就是时域离散信号的频域特征。
在数字滤波器的设计和信号的频谱分析中经常用到，因此是数字信号处理的重要工具之一。
X (e j ) 一般是复函数，可以写成模和辐角，或者实部和虚部的形式。
X(e j°°)= X(e^)e j*°^ =XR(e^H jXi(e j^) (325) 其中| X(e八)卜• ‘称为序列的幅度频谱，而(称为序列的相位频谱；X R(e j ) ~
称为序列的实部频谱，X I (e j称为序列的虚部频谱。
经常用| X(e j ) |~ ■和：(■)〜•■来表示信号的频谱。
四•周期序列的离散傅里叶级数
上面所讨论的三种傅里叶变换都不能在计算机上实现，因为它们在时域连续或者频域连续，或者时域和频域都是连续的。
如果要用数字计算机对信号进行频谱分析，也就是要计算信号的傅里叶变换，必须要求输入时域信号是离散的，而计算机得到的频谱值也应该是离散的。
由上面三种情况，不难发现以下规律：一个域的连续必然对应另一个域的非周期，一个域的离散必然对应另一个域的周期。
所以，可以大胆推断出第四种情况，也就是周期序列的频谱特征必然是离散周期的。
示意图如图所示。
表1对四种傅里叶变换形式的特点作了简要
归纳。
这里所介绍得到傅里叶变换的几种可能形式中，只有第四种形式对于数字信号处理有实用价值。
要使前三种形式能用数字计算机上进行计算，必须针对每一种形式的具体情况，或者在时域和频域同时取样；或者在时域取样；或者在频域取样。
最后都将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数，那么前三种形式最后都变成第四种形式。
这也就是我们将要提出的周期序列的离散傅里叶级数，也可以认为是后面要重点介绍的离散傅里叶变换 (DFT 的过渡形式。
周期序列及其频谱
表1四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 频率函数
连续和非周期 非周期和连续
连续和周期 非周期和离散
离散和非周期 周期和连续
离散和周期
周期和离散
设~(n)是以N 为周期的周期序列，与连续时间信号的傅里叶级数展开类似，
由于~(n)是 周期的，必然可以进行傅里叶级数展开。
离散傅里叶级数变换对:
〜 N 4 斗兰“
X(k)二 DFS [〜(n)] 7 〜(n)e N
n=0
〜 1 N
/ 〜j ^NTkn 〜(n) =IDFS[X(k)] X(k)e N
N & 这里的x(n)和X(k)都是以N 为周期的周期序列，时域和频域都是周期离散的，也是傅
里叶变换的第四种形式。
其有很明显的物理意义，它表示周期序列〜(n)可以分解成N 次谐波, 第k 次谐波频率为 —k ，k =0,1,2,…，N -1，谐波的幅度为—|)〜(k)|。
其中k = 0，表示直流
N
N
1 〜 1 N d
分量，其幅度为一|X(0)|二一〜(n)|。
'仕
一 k J
-：：:::n ：：：：：
i |X~(k)|
N N n=0。