二次函数讲义详细(2020年10月整理).pdf
2020年九年级中考数学总复习：二次函数知识复习总结 讲义
2020 年中考数学人教版总复习：二次函数知识总结一、二次函数的概念一般地，形如 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x ）（x –x ），其中 x ，x 是二次函数与 x 轴的交点的横坐标，a ≠0 ．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴顶点（–b 2abx =–2a4ac b 2 ， ）4aa 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下当 x =–b 2a时，当 x =–b 2a时， 最值y最小值=4ac b 4a2y=最大值 4ac b 4a21 2 1 2最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性b当x<–时，y 随x 的增大而减小；2ab当x>–时，y随x 的增大而增大2a当x<–当x>–b2ab2a时，y随x的增大而增大；时，y 随x的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号a>0aa<0b=0b ab>0（a与b同号）ab<0（a 与b异号）c=0c c>0c<0b2–4ac=0b2–4ac b2–4ac>0b2–4ac<0图象的特征开口向上开口向下对称轴为y轴对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧经过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交与x轴有唯一交点（顶点）与x轴有两个交点与x轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．考点一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典型例题典例1 ）如果y=（m–2）x m 2m是关于x的二次函数，则m=A．–1【答案】AB．2C．–1或2D．m不存在【解析】依题意m²m 2m 20，解得m=–1，故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a典例2 下列函数是二次函数的是0.A．y=2x+2B．y=﹣2x C．y=x2+2D．y=x﹣2【答案】C【解析】直接根据二次函数的定义判定即可．A、y=2x+2，是一次函数，故此选项错误；B、y=﹣2x，是正比例函数，故此选项错误；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y=x﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选C．考点2二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典型例题典例3 函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是A．B．C．D．【答案】C【解析】A，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b<0矛盾，故此选项错误；B，由图象可知，开口向下，则a<0，又因为顶点在y轴左侧，则b<0，则a+b<0，而图象与y 轴交点为（0，1）在y 轴正半轴，可知a+b=1与a+b<0矛盾，故此选项错误；C，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，a+b=1 可能成立，故此选项正确；D，由图象可知，开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，与y 轴交于正半轴，则a+b>0，而图象与x轴的交点为（1，0），则a+b+a+b=0，显然a+b=0 与a+b>0矛盾，故此选项错误．故选C．典例4 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是A．a>0B．b<0 C．ac<0D．bc<0【答案】C【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=–b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴ac<0，bc>0．故选C．考点4二次函数的性质二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典型例题典例5由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2可知A．其图象的开口向下C．其顶点坐标为（4，2）【答案】B B．其图象的对称轴为直线x=4 D．当x>3时，y随x的增大而增大【解析】Q y 3(x 4)22，a=3>0，抛物线开口向上，故A不正确；对称轴为x 4，故B正确；顶点坐标为（4，–2），故C不正确；当x 4时，y随x的增大而增大，故D不正确；故选B．【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y a(x h)2k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴x h．a决定了开口方向.典例6 （2019·福建厦门外国语学校初三期中）在函数y (x 1)23中，当y随x的增大而减小时，则x的取值范围是A．x 1B．x 0C．x 3D．x 1【答案】D【解析】二次函数y (x 1)23的对称轴为直线x 1，∵a 0，∴x 1时，y随x的增大而减小.故选D.【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，在对称轴左侧y 随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小考点4 二次函数的平移1．抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax20），y=a（x–h）2+k的顶点是（h，k）．4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典型例题典例7 如果将抛物线y=–x2–2向右平移3 个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2D．y=–（x+3）2–2【答案】C【解析】y=–x2–2 的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．【名师点睛】牢记抛物线的平移口诀可轻松解决此类问题．典例8如图，如果把抛物线y=x2 沿直线y=x向上方平移22个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是A．y=（x+2C．y=（x–22）2+22）2+222B．y=（x+2）2+2D．y=（x–2）2+2【答案】D【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵直线y=x与x轴夹角为45°，OA=22，∴OB=AB=2 2×22=2，∴点A的坐标为（2，2），∴平移后的抛物线解析式是y=（x–2）2+2．故选D．考点5二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a>0时）或在x 轴的下方（a<0时）．典型例题典例9二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程a x2+bx+c=0的一个解的范围是A．–0.03<x<–0.01 C．6.18<x<6.19xy6.17–0.036.18 6.19–0.010.02B．–0.01<x<0.02D．6.17<x<6.18【答案】C【解析】由表格中的数据看出–0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18<x<6.19，故选C．典例10 如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2C．–3<x<1B．x>–3D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1，∵二次函数y=a（x+1）2+2与x 轴的一个交点是（–3，0），∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1，0），∴由图象可知关于x 的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．考点六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．典型例题典例11 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣A．1032t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是s．B．20C．30D．10或30【答案】A【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600，此时 t =20，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．因此 t 的取值范围是 0≤t ≤20；即当 y =600﹣150=450 时，即 60t ﹣3 2t 2=450，解得：t =10，t =30（不合题意舍去），∴滑行最后的 150m 所用的时间是 20﹣10=10，故选 A ．【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程. 典例 12如图，一段抛物线：y =﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为 C ，它与 x 轴交于两点 O ，A ；将 C 绕 A 旋转 180°得到 C ，交 x 轴于 A ；将 C 绕 A 旋转 180°得到 C ，交 x 轴于 A ；…如 此变换进行下去，若点 P （17，m ）在这种连续变换的图象上，则 m 的值为A ．2C ．﹣3B ．﹣2D ．3【答案】D【解析】∵y =﹣x （x ﹣4）（0≤x ≤4）记为 C ，它与 x 轴交于两点 O ，A ，∴点 A （4，0），∴OA =4， ∵OA =A A =A A =A A ......，∴OA =A A =A A =A A (4)∵点 P （17，m ）在这种连续变换的图象上，17÷4=4……1，∴点 P （17，m ）在 C 上，∴x =17 和 x =1 时的函数值相等，∴m =﹣1×（1﹣4）=﹣1×（﹣3）=3，故选 D ．1 1 1 12 2 2 23 3 1 11 11 12 23 34 1 1 2 2 3 3 45【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出x=17和x=1时的函数值相等是解题关键.。
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数一般式、顶点式、交点式这节课我们学什么1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象；了解特殊与一般相互联系和转化的思想；3. 根据交点求解解析式．知识点梳理1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可；3、一般式2y ax bx c =++的性质对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？将一般式配方成顶点式：2y ax bx c =++=2()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a+++- =222424b b ac a x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；典型例题分析1、 二次函数一般式；例1、抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线 ．【答案：1x =】例2、抛物线2243y x x =-+的顶点坐标是 ．【答案：(1,1)】例3、二次函数223y x x =--，当0y <时，自变量x 的取值范围是 ． 【答案：根据一般式，画出图像，求出与x 轴的两个交点，位于x 轴下方的部分就是0y <；∴13x -<<】例4、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则a 、b 、c 的正负性分别是 ．【答案：0a <；0b <；0c >】例5、如果)21y A ，（-，)12y B ，（-为二次函数241y x x =-+的图像上的两点，试判断1y 与2y 的大小为 ．【答案：21y y <】例6、若二次函数()32122--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值为 ． 【答案：3】例7、二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么2,4,2,abc b ac a b a b c -+++值为正数的有 个．【答案：2】例8、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(2,0)-、1(,0)x 且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b c -+>；③0a b c ++<；④0a b <<．其中正确结论的是 ．【答案：①正确，将2x =-即可；②正确，将1x =-代入得：0a b c -+>； ③错误，将1x =代入得：0a b c ++>；④正确，将2x =-代入得：420a b c -+=，将1x =代入得：0a b c ++>，所以(42)()0a b c a b c -+-++<，整理得：330a b -<】例9、已知二次函数2231y x x =++的顶点是A ，与x 轴的两个交点为B 、C （B 点在C 点的左侧）与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．【答案：31(,)48A --；(1,0)B -；1(,0)2C -；(0,1)D ；面积为932】2、 二次函数顶点式；例10、把二次函数221x y =的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得图像的解析式为： ． 【答案：21(1)32y x =++或21722y x x =++】例11、如果抛物线23y x mx m =-++的顶点在x 轴上，那么m = ． 【答案：6m =或2m =-】例12、抛物线21y ax =-上有一点(2,2)P ，平移该抛物线，使其顶点落在点(1,1)A (1,1)A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．【答案：(3,4)Q ，原函数顶点坐标是(0,1)-】例13、将函数2287y x x =-+-写成()2y a x m k =++的形式为_______________． 【答案：22(2)1y x =--+】例14、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？【答案：（1）3m =-或2m =；（2）2m =，(0,0)；当0x =时，y 有最小值为0，当0x >，y 随x 的增大而增大（3）3m =-，(0,0)；当0x =时，y 有最大值为0，当0x >，y 随x 的增大而减小】例15、（1）若抛物线m mx x y 22++=的顶点在y 轴右侧，求m 的取值范围； （2）已知抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在x 轴上，求k 的值； （3）若抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在y 轴，求k 的值．【答案：（1）0m <；（2）3k =或5k =-；（3）1k =-】3、 二次函数交点式；例16、抛物线c bx x y ++=2经过点(0,3)-和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 【答案：223y x x =--】例17、二次函数的图像经过点(1,0)-，(3,0)，且最大值是3，求二次函数的解析式．【答案：2339424y x x =-++】例18、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的两交点的横坐标分别是1-和3，与y 轴交点的纵坐标是32-；（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．【答案：（1）21322y x x =--；（2）开口向上；对称轴：直线1x =；顶点坐标(1,2)】课后练习练1． 抛物线265y x x -=+的顶点坐标为 ．【答案：(3,4)-】练2． 已知一元二次方程230x bx -=+的一根为3-，在二次函数23y x bx +=-的图象上有三点14(,)5y -、25(,)4y -、31(,)6y -，1y 、2y 、3y 的大小关系是 ． 【答案：123y y y <<】练3． 已知函数21()32y k x x +=+－的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ． 【答案：4k ≤】练4． 若二次函数232y x x c =-+图象的顶点在x 轴上，则c = ． 【答案：916c =】练5． 抛物线2y ax bx c =++在点(3,1)处达到最高点，抛物线与y 轴交点的纵坐标为8-，则它的解析式为 ．【答案：268y x x =-+-】练6． 已知抛物线2y ax bx c =++经过(1,2)、(3,0)两点，它在x 轴上截得线段的长为6．求此抛物线的函数解析式．【答案：21327828y x x =-+或21944y x =-+】练7． 已知抛物线22y x mx =-+-与直线2y x b =-+相交于M N 、两点，点M 、点N 的横坐标分别是7和－2．求：（1）M N 、两点的坐标；（2）直线和抛物线的解析式；（3）若坐标原点是O ，求MON ∆的面积．【答案：（1）(7,30)M -，(2,12)N --；（2）232y x x =-+-；216y x =--；（3）72MON S ∆=】练8． 抛物线2y ax bx c =++过点()0,1-与点()3,2，顶点在直线33y x =-上，0a <，求此二次函数的解析式．【答案：142-+-=x x y 】练9． 已知二次函数图象与x 轴交于(2,0)A -，(3,0)B 两点，且函数有最大值是2． （1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求ABP ∆的面积．【答案：（1）25482582582++-=x x y ；（2）5ABP S ∆=】练10． 已知抛物线22y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为.B 若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．【答案：（1）240b ac ∆=->；（2）2m =；（3）(1)0，或(0,1)】课后小测验1. 将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向右平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 ．【答案：2123y x =-；21(3)23y x =--；(0,2)-；(3,2)-】2. 抛物线1662--=x x y 的顶点坐标为_________．【答案：(3,25)-】3. 二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于________． 【答案：－6，6】4. 已知抛物线的顶点坐标为(1,1)，且抛物线过原点，则抛物线的关系式是 ．【答案：22y x x =-+】5. 抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，ABC ∆的面积为1，则b 的值为______．【答案：3-】本章小结精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
二次函数讲义
第1页共12页二次函数【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___.已知三个点的坐标时，宜用一般式.②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a >0定义域x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定)值域a >0a <0y ∈[4ac －b 24a，＋∞)y ∈(－∞，4ac －b 24a]a <0奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈(－∞，－b2a]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增x ∈(－∞，－b 2a]时递增，x ∈[－b2a，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x ＝－b 2a；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 24a)3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、第2页共12页M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞ 。
二次函数重点难点总结(2020年10月整理).pdf
向下
(h，k )
X=h
x h 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y 随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a( x − h)2 + k ，确定其顶点坐标 (h，k ) ；
⑵ 保持抛物线 y = ax2 的形状不变，将其顶点平移到 (h，k ) 处，具体平移方法如下：
从解析式上看， y = a( x − h)2 + k 与 y = ax2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前
者，即
y
=
a
x
+
b 2 2a
+
4ac − b2 4a
，其中 h
= − b ，k 2a
=
4ac − b2 4a
．
五、二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的画法
没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.
2
六、二次函数 y = ax2 + bx + c 的性质
1.
当
a
0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x
=
−
b 2a
，顶点坐标为
−
b 2a
，4ac − 4a
b2
．
当 x − b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x − b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = − b 时， y 有最小
2a
2a
2a
二次函数讲义详细
第一讲 二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1、 函数y=（m ＋2）x22-m＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．训练题:1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．2、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
3、已知函数y=(m －1)x 2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（ ）A ．y=3x 2＋4B ．y=－31x 2 C ．y=52-xD ．y=（x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ； （2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围； （3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．第二讲 二次函数的图像和性质知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。
第22章《二次函数》讲义 第8讲 二次函数与方程(有答案)
第3讲 二次函数与方程、不等式1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．（1）、a+b+c 的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a+b+c 。
点在x 轴下方，则a+b+c 。
点在x 轴上，则a+b+c 。
（2）、a-b+c 的符号：由x=－1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a －b+c 。
点在x 轴下方，则a －b+c 。
点在x 轴上，则a －b+c 。
（3）、2a±b 的符号： 由对称轴与X=1或X=-1的位置相比较的情况决定. （4）、b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0； 1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．1、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①、当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ②、当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③、当0∆<时，图象与x 轴没有交点.（1）当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；（2）当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3、二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、已知点A（2，3）在函数y=ax2-x+1的图象上，则a等于（）A．－1 B．1 C．2 D．－2例2、若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点，则m的值为（）A．m=2 B．m=±2 C．m=D．m=±例3、已知抛物线顶点为（1，3），且与y轴交点的纵坐标为-1，则此抛物线解析式是．例4、已抛物线过点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，且BC=，则这条抛物线的解析式为．例5、二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2，3），且顶点在直线y=3x-2上，则二次函数的关系式为：．例6、已知二次函数的图象经过点（0，－1）、（1，－3）、（－1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．例7、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x上，且这个顶点到原点的距离为又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于－1，求此抛物线的解析式．1、已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（）A．y=-x2-4x-3 B．y=-x2-4x+3 C．y=x2-4x-3 D．y=-x2+4x-32、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4，积是-5，且抛物线经过点（0，-5），则此抛物线的解析式为（ C ）A．y=x2-4x-5 B．y=-x2+4x-5 C．y=x2+4x-5 D．y=-x2-4x-53、已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A（c，0），对称轴为直线x=3，则此二次函数解析式为．4、抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为．5、已知y与x2+2成正比例，且当x=1时，y=6．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，12）在函数图象上，求a的值．6、如图，抛物线y=2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．考点2、函数与方程例1、如果抛物线y=x2+（k-1）x+4与x轴有且只有一个交点，那么正数k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6例2、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则以下关于m的结论正确的是（）A．m的最大值为2 B．m的最小值为－2C．m是负数D．m是非负数例3、设抛物线y=x2+kx+4与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），则下列结论中，一定成立的是（）A．x12+x22=17 B．x12+x22=8 C．x12+x22＜17 D．x12+x22＞8例4、已知抛物线y=x2-2ax+a+2的顶点在x轴上，则方程的实数根的积为．☆例5、已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若m为整数，且抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；（3）若直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点，求b的取值范围．1、抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系式中不能成立的是（）A．b=0 B．S△ABE=c2 C．ac=-1 D．a+c=03、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是．4、已知抛物线y=x2+kx+4-k交x轴于整点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为．5、已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．考点3、二次函数与不等式（组）例1、如图，是二次函数和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，写出y1＞y2时x的取值范围是（）A．－2＜x＜1 B．x＜－2或x＞1 C．x＞－2 D．x＜1例2、若函数y=mx2+mx+m-2的值恒为负数，则m取值范围是（）例3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（1，3）及部分图象（如图所示），其中图象与横轴的正半轴交点为（3，0），由图象可知：①当x 时，函数值随着x的增大而减小；②关于x的一元二次不等式ax2=bx+c＞0的解是．例4、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于 A（-2，4）、B（8，2）两点，则能使关于x的不等式ax2+（b-k）x+c-m＞0成立的x的取值范围是．例5、如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．1、抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）和直线y=mx+n（m≠0）相交于两点P（-1，2），Q（3，5），则不等式-ax2+mx+n＞bx+c的解集是（）A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞32、已知：二次函数y=x2-4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，－2），则a=－3．A．1 B．2 C．3 D．43、直线y=-3x+2与抛物线y=x24、已知函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答下列问题．（1）当x取何值时y=0．（2）方程x2-2x-3=0的解是什么？（3）当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？（4）不等式x2-2x-3＜0的解集是什么？5、如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．1、一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（－1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝－2（x－1）2＋3 B．y＝－（2x＋1）2＋3C．y＝－2（x＋1）2＋3 D．y＝－（2x－1）2＋32、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是1，-1，给出下列结论：①a+b+c=0；②b=0；③a=1．c=-1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3、已知：二次函数y=x2-4x-a，下列说法中错误的个数是（）①若图象与x轴有交点，则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为-8③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-1⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x1、x2，则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等．A．1 B．2 C．3 D．44、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为，5、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1．若抛物线与x轴一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c≥0的解集是：．6、若关于x的方程3x2+5x+11m=0的一个根大于2，另一根小于2，则m的取值范围是．7、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是．8、已知点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是．9、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（－4，0）、C（0，3）两点．（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．10、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．11、如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）结合（1）（2）及图象，直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围．1、若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x22、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一点，如果∠ABC=∠ACB，求：（1）点C的坐标；（2）图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式．3、在直角坐标平面内，二次函数图象的经过A（-1，0）、B（3，0），且过点C（0，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若P是该抛物线上一点，且△ABC与△ABP面积相同，求P的坐标．1、抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是（）A．无交点B．一个交点C．两个交点D．无法确定2、已知函数y=ax2+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（）A．y=-x2+2x+3 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2-2x+3 D．y=-x2-2x-33、如图，已知直线y=kx+b（k＞0）与抛物线y=x2交于A、B两点（A、B两点分别位于第二和第一象限），且A、B两点的纵坐标分别是1和9，则不等式x2-kx-b＞0的解集为（）A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．1＜x＜9 D．x＜1或x＞9（2）（3）4、已知二次函数y=2x2-（4k+1）x+2k2-1的图象与x轴交于两个不同的点，则关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5、已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G6、已知抛物线y=（m-1）x2+x+1与x轴有交点，则m范围是．7、已知二次函数的图象关于直线x=3对称，最大值是0，在y轴上的截距是-1，这个二次函数解析式为．8、如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0④ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；⑤8a+c＞0．其中正确的命题是．9、如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）观察图象，当x取何值时，y＜0？y=0？y＞0？10、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：（1）求出函数的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程和顶点坐标？（3）当x取何值时y随x的增大而减小？（4）方程ax2+bx+c=0的解是什么？（5）不等式ax2+bx+c＞0的解集是什么？11、如图，抛物线y=-x2+3x-n经过点C（0，4），与x轴交于两点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．12、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．参考答案第8讲二次函数与方程、不等式考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、B例2、D例3、例4、例5、例6、例7、1、D2、C3、4、5、6、考点2、函数与方程例1、C例2、A例3、D例4、例5、解：（1）证明：分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-2=0，∴x=2，方程有实数根；②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=（m+1）2∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；综合①、②，可知m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根．（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∵|x1-x2|=2，∴|2-x2|=2，当m=1时，y=x2-2x，把（2，0）代入，左边=右边，m=1符合题意，∴抛物线解析式为y=x2-2x答：抛物线解析式为y=x2-2x；1、D2、D3、4、5、考点3、二次函数与不等式（组）例1、B例2、C例3、例4、例5、1、C2、A3、4、5、1、C2、A3、B4、5、6、7、8、9、10、11、1、C2、3、1、C2、A3、B4、B5、C6、7、8、9、10、11、12、31。
初中二次函数知识点汇总(史上最全).pdf
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =−的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =−+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =−+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y −++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +−+−=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=−+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =−+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a −⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a −=−=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =−+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．当2b x a <−时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >−时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=−时，y 有最小值244ac b a−．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．当2bx a <−时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >−时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=−时，y 有最大值244ac b a −．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =−+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =−−（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac −≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba −<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba −=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba−>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba −>，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba −=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba−<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2−=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =−−−；()2y a x h k =−+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =−−−；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =−+；()2y a x h k =−+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =−+−； ()2y a x h k =−+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =−+−； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=−−+−；()2y a x h k =−+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =−−+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =−+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =−+−+−根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=−>时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =−② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22−−+−=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12−+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
初三试讲 二次函数.pdf
二次函数知识点归纳：1、二次函数的定义一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．2、二次函数的自变量的取值范围（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围为全体实数．（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0．3、回顾学过的函数一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0).反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质知识归纳:1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同．2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线．3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下：①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点．②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点．二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质知识归纳:1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．2、二次函数y=a(x －h)2＋k(a ≠0)的性质如下：当a>0时，若x<h ，则y 随x 的增大而减小；若x>h ，则y 随x 的增大而增大；当x=h 时，y 有最小值k ；当a<0时，若x<h ，则y 随x 的增大而增大；若x>h ，则y 随x 的增大而减小；当x=h 时，y 有最大值k ．3、抛物线y=a(x －h)2＋k(a ≠0)与y=ax 2(a ≠0)的关系．抛物线y=ax 2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位，得抛物线y=a(x －h)2，再把抛物线y=a(x －h)2向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得抛物线y=a(x －h)2＋k ．（二）、知识要点1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
二次函数基本概念讲义
二次函数的图像和性质----基础概念1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。
限制条件：（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。
2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。
（1）一般式：；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。
注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。
离开它用一般形式也可以。
※（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=221xx+。
注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。
这个交点是抛物线的什么点？（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。
实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。
▲三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k=。
当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。
不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。
（1）形状----开口大小。
由决定，越大，开口越。
（2）开口方向：由决定。
当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。
例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？▲（4）顶点坐标公式：（，）；利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。
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y=2x2＋6x－1
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
例 2、已知直线 y=－2x＋3 与抛物线 y=ax2 相交于 A、B 两点，且 A 点坐标为（－3，m）． （1）求 a、m 的值； （2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标； （3）x 取何值时，二次函数 y=ax2 中的 y 随 x 的增大而减小； （4）求 A、B 两点及二次函数 y=ax2 的顶点构成的三角形的面积．
9．如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm．点 P 从点 A 开始沿 AB 方向向点 B 以 1cm/s 的速度移动，同 时，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 以 2cm/s 的速度移动．如果 P、Q 两点分别到达 B、C 两点停止移动，设运动 开始后第 t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为 Scm2，写出 S 与 t 的函数表达式，并指出自变量 t 的取值范围．
（1）右移 2 个单位；（2）左移3 个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位。
例 7、把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 y=x2－3x+5，
Hale Waihona Puke ．例 7、已知二次函数 y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2 的图象过点（0，5） （1）求 m 的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
例
5、二次函数
y=a(x－h)2
的图象如图：已知
1 a=2
，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。
例 6、试写出抛物线 y=3x2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 2
2、若函数 y=(m2+2m－7)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为
。
时，是一次函数；
x2m +1
3、已知函数 y=(m－1)
+5x－3 是二次函数，求 m 的值。
4、已知菱形的一条对角线长为 a，另一条对角线为它的 3 倍，用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线 a 的关系．
第一讲 二次函数的定义
知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果 y = ax 2 + bx + c(a,b, c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的
二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系 数不为 0 考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式必须为整式
2
（3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式．
知识点归纳：
第二讲
二次函数的图像和性质
1、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法： y = ax 2 + bx + c = a x +
b
2
+
4ac
−
b2
， ∴ 顶 点 是（ −
b
，4ac − b2 ），对称轴是直线
2a
3
例 3、求符合下列条件的抛物线 y=ax2 的表达式： （1）y=ax2 经过（1，2）；
1 （2）y=ax2 与 y= 2 x2 的开口大小相等，开口方向相反；
1 （3）y=ax2 与直线 y= 2 x＋3 交于点（2，m）．
例 4、抛物线 y=ax2＋bx＋c 如图所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是
5、请你分别给 a，b，c 一个值，让 y = ax 2 + bx + c 为二次函数，且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、二、三
象限
6．下列不是二次函数的是（
）
1 A．y=3x2＋4 B．y=－ 3 x2 C．y= x2 − 5 D．y=（x＋1）（x－2）
7．函数 y=（m－n）x2＋mx＋n 是二次函数的条件是（
）
A．m、n 为常数，且 m≠0
B．m、n 为常数，且 m≠n
C．m、n 为常数，且 n≠0
D．m、n 可以为任何常数
8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135°的两面墙，另外两边是总长为 30 米的铁 栅栏．（1）求梯形的面积 y 与高 x 的表达式；（2）求 x 的取值范围．
10．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点 D 在斜边 AB 上，分别作 DE⊥AC，DF⊥BC， 垂足分别为 E、F，得四边形 DECF．设 DE=x，DF=y．
（1）AE 用含 y 的代数式表示为：AE=
；
（2）求 y 与 x 之间的函数表达式，并求出 x 的取值范围；
上，顶点是最低点；当 a＜0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大． （2）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是一条对称轴平行 y 轴或者与 y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像
判断二次函数的增减情况。
3、图象的平移：左加右减，上加下减
例 1、
抛物线
y=－2x2＋6x－1
例 4 、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 是 BC 边上一点，QP⊥AP 交 DC 于 Q，如果 BP=x，△ADQ 的面积 为 y，用含 x 的代数式表示 y．
1
训练题:
1、已知函数 y=ax2＋bx＋c（其中 a，b，c 是常数），当 a 时，是二次函数；当 a ，b
当 a ，b ，c 时，是正比例函数．
例 1、 函数 y=（m＋ 2 ）x m2−2 ＋2x－1 是二次函数，则 m=
．
例 2、 下列函数中是二次函数的有（
）
1
1
①y=x＋ x ；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y= x 2 ＋x．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装每提 高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达式．
4a
2a 4a
x=− b . 2a
（2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分
线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
2、二次函数的图象及性质： （1）二次函数 y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当 a＞0 时，抛物线开口向