7(8)多元函数的极值与二元函数的泰勒公式
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
8多元函数微分学专题解析
专题七：多元函数微分学【大纲要求】1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 5．会用隐函数的求导法则.6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.【知识要点】1.多元函数及其极限与连续：1.1 二元函数的定义：设D 为一平面点集，若()D y x ∈∀,，变量z 按一定法则，总有确定值与之相对应,则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作()y x f z ,=。
1.2 二元函数的极限：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某去心邻域内有定义，A 为常数，如果,0,0>∃>∀δε当()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,，则称函数()y x f z ,=当()y x ,趋于()00,y x 时极限为A ，记作()A y x f y y x x =→→,lim0,。
1.3 二元函数的连续性：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内有定义，且()()00,,,lim0y x f y x f y y x x =→→，则称函数()y x f z ,=在点()00,y x 连续。
2. 多元函数的偏导数与全微分：2.1 偏导数： 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(), (lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 对x 的偏导数,记为;),(00y x x z ∂∂;),(00y x x f∂∂),(00y x f x 。
泰勒公式与极值问题
§ 4泰勒公式与极值问题教学计划：6课时.教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二 元函数取极值的必要和充分条件.教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式. 教学方法：讲授法. 教学步骤： 一 高阶偏导数由于z = f(x, y)的偏导函数f x (x, y), f y (x, y)仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们 关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：.:x : yfy ；：x但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22 x - y22xy 飞 2，x y - 0, x y0,x 2+y 2=0.它的一阶偏导数为y(x 4+4x 2y 2_y 4 )2 + 2」o (x 2+ y 22,x y ,. 0,x 2+y 2=0,,仪4 _4x 2y 2 _ y 4 ) 2 + 2* (x 2 + y 22 ,x 『2 2L 0,x +y =0, 进而求f 在(0, 0)处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得f x 0, y - f x 0,0y 4f xy O,o =啊— 厂 啊可=7以0,0)=慎 ------------ Zx ------------ 瓦"由此看到，这里的f x, y 在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么 条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此， 我们按定义先把f xy x 0, y 0与f yx x 0, y 0表成极限形式•由于；2Z.\jy ?z -：y ；：x-y 2 2创 l x +yx * +这些函数关于一 x 2 y 2 2,2 2x - y =~ (2 . 2 2 , x y-2xy.:y : y注意 从上面两个例子看到， 种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为 已2z o y 丿(x 2+y 2)x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(这 混合偏导数),即-2:zf x x, y =f y x, y =fxx,y =寸 f因此有f x x o ,y oy - f x x o , y of xy &, y o二 li y m .o ---------------------------------- y --------------------------------------.. 1 f (x o +^x, y o + 也y )—f (x o ,y °+A y) =lim lim.y 】o Ay |[A )of X o ：x,y o - f (x °,y °)Z一f(X o +A x, y o +3 卜 f (X o , y o +A y) — f(X o +A x,yo )+ f (x °, y o ) =lim lim -.y o .x -p类似地有f yx X o , y o_ li m H m f (x o 中A x, y ° + 也y)— f (x °+ A x, y °) — f (x °, y o + 也y)+ f (x °, y o )x o二x i y 为使f xy X o , y o 二f yx X o ,y o 成立，必须使(1),(2)这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序•下述定理给出了使极限(1), (2)相等的一个充分条件.定理17.7 若f xy . X, y 和f yx . X, y 都在点连续，则f xy X o，y o fyx X o ,y o令F( X ：y)二 f(x ° xy °：y)— f(x ° xy 。
第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识
本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。
如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。
6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。
可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。
7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。
定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。
无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。
如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。
解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。
趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。
16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。
多元函数Taylor公式及其应用
2021年第08期256高教论坛多元函数Taylor公式及其应用刘心蕾西南石油大学，四川资阳000000一、课题背景：于一七一二年，泰勒公式由布瑞科泰勒所提出，他是英国的一位伟大的数学家.泰勒公式后来经过了拉格朗日以及柯西等数学家的进一步补充后，为数学理论未来的发展提供了非常有效的工具.近几年来关于公式的研究非常繁多，对泰勒公式在一些近似计算、向量值函数、等式与不等式、判断函数的敛散性和极限中都有特别深刻的研究.下面就我对其在几篇文章中的应用的理解为，在其中有一篇名为泰勒公式及其余项的证明中，主要研究的内容是先理解泰勒公式的一般型，在理解泰勒公式基本概念后，对泰勒公式的一般型进行一些推导，就可以分别得到佩诺型、拉格朗日型以及积分型三种不同形式的余项。
其次也研究了泰勒公式“中点函数”的可微性以及其余项“中间点”的渐进性.在高阶方向导数与多元泰勒定理的简单基本形式的文章中，泰勒公式对方向导数进行了推广.并且在对多元函数的研究中得到了高阶方向导数的概念及其相关方面的计算.最后，利用高阶方向导数从而推导出了多元函数泰勒公式的简单形式.泰勒是英国的一位伟大的数学家,他在函数值逼近上面做出了伟大的成就，而且他在函数值逼近上的研究结果显示:若这个函数具有一直到n + 1阶的导数，并且在某一个点的邻域中取得的值能用此函数在这一点的函数值和这个函数的各阶导数值所组成的n次多项式来近似表达出来，则由此产生的就称为泰勒公式.二、多元函数泰勒公式及其应用的发展状况:对于研究者来说，泰勒公式的证明与应用方面的研究一直都具有非常强大的吸引力.很多研究者在此领域中获得的成就很高，并且在一些优秀的文献中，有的作者在不等式和等式的证明和计算中都最大限度地利用了泰勒公式及其性质，而且使用的研究方法新颖又简便易懂，非常值得我们引以为我们学习的风向标.在泰勒提出公式后，一九九九年六月，就关于多元函数的高阶微分和泰勒共识这一篇文章的探讨中，它主要是研究了把一阶微分的微分定义为二阶微分的明确性，并且对多元函数泰勒公式也进行了一些推导，但在此文中仅仅是以二元函数来进行的展开。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
二元泰勒公式
y
• 根据问题的实际背景
o
x
2. 确定近似函数的标准 •实验数据有误差,不能要求 yi f ( xi )
• 偏差 ri yi f ( xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
[ yi f ( xi )]2 min
i 0
n
y
来确定近似函数 f (x) .
定理1. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k ) 为此邻域内任 一点, 则有
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明:
(1) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) h f x ( x0 h, y0 k ) k f y ( x0 h, y0 k ) (0 1)
0 0
－
+
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
(3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k ) C k
2 则 Q(h, k ) 1 ( Ah B k ) 若 A≠0, A
+ ( x0 , y0 )
o x Q(h, k )可能
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第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号, 再判定是否是极值.
9
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求函数 f ( x, y) 3axy x3 y3 (a 0)
的极值.
解
fx fy
3ay 3ax
3x2 3y2
z
容易判断的.
例 函数 z 3x2 4 y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
•O
y
xz
例 函数 z x2 y2
下半个圆锥面
O•
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). x
y
例 函数 z xy
在(0,0)点无极值.
马鞍面
z
•O
y
x
5
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 )处 有极值, 则它在该 点的偏导数必然为零:
第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 小结 思考题 作业
1
第七章 多元函数微分法及其应用
最大面积 一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来， 想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆 围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱 笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长， 认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了 他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后 宣布：“我现在是在外面。”
将上方程组再分别对x, y求偏导数,
A
zxx
|P
2
1
z
,
B zxy |P 0,
C
zyy
|P
2
1
z
,
11
多元函数的极值与拉格朗日乘数法 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0
故
AC
B2
1 (2 z)2
0
(z 2)
A
zxx
|P
2
1
z
函数在P有极值.
B zxy |P 0
6
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
推广 如果三元函数 u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件 为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0, f y ( x0 , y0 , z0 ) 0,
fz ( x0 , y0 , z0 ) 0. 仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点,均称为函数的驻点.
注 驻点
极值点
如, 点(0,0)是函数z xy的驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2(充分条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 令 fxx( x0 , y0 ) A, f xy( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时有极值,
0 0
驻点(0,0), (a, a).
又 f xx 6x, f xy 3a, f yy 6 y.
在点(0,0)处, AC B2 9a2 0
故 f ( x, y)在(0,0)无极值;
在点(a,a)处, AC B2 27a2 0且A 6a 0
故 f ( x, y) 在(a,a)有极大值, 即 f (a, a) a3 .
将P (1,1) 代入原方程, 有
z1
2, z2
6
C
zyy
|P
1 Hale Waihona Puke z当z12时,
A
1 4
0,
所以 z f (1,1) 2为极小值;
当
z2
6时,
A
1 4
0,
所以 z f (1,1) 6 为极大值.
12
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的函数z f ( x, y)的极值. 解 法二 配方法 方程可变形为
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0. 证 不妨设 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极大值,
则对于( x0, y0 )的某邻域内任意( x, y) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时, 有f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0处有极大值, 必有 fx ( x0 , y0 ) 0;类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
10
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的函数 z f ( x, y)的极值.
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数,
2x
2z
zx
2
4zx
0
2 y 2z zy 2 4zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值. 函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值.
极小值未必是函数的最小值. 有时, 极小值可能比极大值还大.
4
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 存在极值, 在简单的情形下是
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值; (2) AC B2 0时没有极值;
(3) AC B2 0时可能有极值,也可能无极值.
8
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
2
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近
将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域, f (P) f (P0 ), 则称 点P0为函数的极大值点. f (P0 )为极大值.
类似可定义极小值点和极小值.
3
多元函数的极值与拉格朗日乘数法