(新课程)高中数学《2.2.1综合法和分析法》教案 新人教A版选修12

1 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且1

2....1n a a a +++=，则

12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c

++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？

二、讲授新课：

1. 教学例题：

① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) >

6abc .

分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.

③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证

3b c a a c b a b c a b c

+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？

→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.

→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

2. 练习：

① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++60A B +=. （提示：算

tan()A B +）

② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c

+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.

三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）

（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）

2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c

+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.