第4讲(4)Matlab中的矩阵分解命令
第四讲矩阵和线性方程实验投入产出分析
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练习：
• （经济预测）在某经济年度内，各经济
部门的投入产出表如下表所示。（单位： 亿元）。假设t经济年度工业、农业及第 三产业的最后需求均为１７亿，预测t经 济年度工业、农业及第三产业的产出 （提示：直接消耗矩阵和Leonief矩阵可 视作不变）。
投入产出表（单位：亿元）
投入部门 工业 农业 第三产业 工业 6 2.25 3 农业 2 １ 0.2 第三产业 1 ０.2 1.8 最后需求 16 １.55 15 总产值 25 5 20
zeros(m,n) m行n列0矩阵； ones(m,n) m行n列1矩阵； rand(m,n) m行n列[0，1]上均匀分布随机矩阵； eye(n) n 阶单位矩阵； diag(A) A的对角线构成的向量（A为矩阵）； diag(X) X的元素构成的对角矩阵（X为向量）； linspace(x1,x2,n) x1与x2间的n维等距向量，即将[x1,x2]n-1等分。
x 1 B A , Y [ 1 , , 1 ] B x n ( 1 . 5 )
经济学上称
B—投入产出矩阵 Y—总投入向量 Z=X-Y—新创造价值向量
线性代数运算的MATLAB命令
zeros ones 生成0矩阵 生成1矩阵 eig 特征值、特征向量 diag 对角矩阵
(3) 如果煤矿需要增加总产值10000元，它对各个企业的产 品或服务的完全需求分别将是多少？
(4) （4）假定三企业的外部需求仍是用于城镇的各种消费 和积累，其中用于消费的产品价值分别为35000元、 18000元和20000元，而假定三个企业的新创造价值又包 括支付劳动报酬（工资等）和纯收入，其中支付劳动报 酬分别为25488元、10146元和14258元，试分析各企业 产品使用情况的比例关系；以及该星期系统的经济效益； (5) （5） 若在以后的三周内，企业外部需求的增长速度分 别是15%、3%和12%；那么各企业的总产值将增长多少？
数学实验教程_实验10(矩阵及其分解)
实验10 矩阵及其分解实验目的1．理解矩阵的概念，掌握矩阵的Matlab构造方法2．掌握矩阵的基本运算、初等变换和秩的Matlab实现3．掌握方阵的行列式和可逆矩阵的计算的Matlab命令4．了解方阵的分解的Matlab命令实验准备1．复习矩阵相关概念及其基本运算2．复习矩阵的初等变换、秩等3．复习可逆矩阵的基本知识4．查阅学习有关方阵LU分解。
实验内容1．矩阵的构造方法2．矩阵的基本运算：加法、数乘、乘法、转置3．方阵的幂、行列式、逆运算4．矩阵的初等变换和秩5．矩阵的分解方法软件命令表11-1 Matlab矩阵操作命令实验10 矩阵及其分解 - 61 -实验示例【例10.1】矩阵构造及修改1．分别利用命令窗口直接输入、由m 文件生成、由文本文件生成三种方式生成的矩阵110102155436A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
【步骤】：方法1：命令窗口直接输入： A=[1 -1 0 1;0 2 1 5;5 4 3 6]方法2：由m 文件生成：在m 文件中建立，文件中应该包含变量名，在命令窗口中直接调用，便于修改大型矩阵，但需要文件名与矩阵名不相同（以免混乱）。
（1）定义M 文件：Def2.m ，内容为 A=[1 -1 0 1;0 2 1 5;5 4 3 6]（2）在命令窗口中运行Def2即可。
方法3：由文本文件生成：建立一个包含矩阵数据的文本文件*.txt ，文本文件中不应该包含变量名，且每行数值个数必须相等，并将文件名作为变量名。
（1）按要求定义文本文件A.txt（2）用load 命令调入矩阵数据：load A.txt2．对１中的矩阵Ａ执行下述操作（1）在A 中增加一行[2 3 5 8]； （2）删除第2行； （3）删除第3列；- 62 - 第一章 基础实验（4）将第3行的元素修改为-1，-1，5，0。
【步骤】：（1）命令：B=[A;[2 3 5 8]];（2）命令：A(2,:)=[]; （3）命令：A(:,3)=[]; （4）命令：A(3,:)=[-1 -1 5 0]3．特殊矩阵的构造（1）生成3阶单位矩阵； （2）生成3x2的零矩阵； （3）产生一个3x4的的随机矩阵；（4）产生4阶的魔方矩阵； （5）产生以[-1 2 4 6]为对角元的对角阵； （6）提取1中矩阵A 的上三角和下三角部分元素； （7）产生4阶的Hilbert 矩阵及其逆矩阵。
matlab中的矩阵分解
matlab 中的矩阵分解matlab 中的矩阵分解矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。
常见的矩阵分解有LU分解（三角分解）、QR分解（正交变换）、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。
(1) LU分解（三角分解）矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异（即行列式不等于0）的，LU分解总是可以进行的。
MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。
注意，这里的矩阵X必须是方阵。
[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。
当然矩阵X同样必须是方阵。
（设P 是一个m×n 的(0,1) 矩阵，如m≤n且P*P′=E，则称P为一个m×n的置换矩阵。
）实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。
例7-2 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。
命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[L,U]=lu(A);x=U\(L\b)或采用LU分解的第2种格式，命令如下：[L,U ,P]=lu(A);x=U\(L\P*b)(2) QR分解（正交变换）对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。
QR 分解只能对方阵进行。
MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。
[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。
matlab中的矩阵的基本运算命令
1.1 矩阵的表示1.2 矩阵运算1.2.14 特殊运算1．矩阵对角线元素的抽取函数diag格式X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。
X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。
v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。
k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。
v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。
2．上三角阵和下三角阵的抽取函数tril %取下三角部分格式L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵LL = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
函数triu %取上三角部分格式U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵UU = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
3．矩阵的变维矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。
（1）“：”变维（2）Reshape函数变维格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵BB = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A变维为m×n×p×…B = reshape(A,[m n p…]) %同上B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数相同。
（5）复制和平铺矩阵函数repmat格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。
matlab 矩阵运算 奇异值分解
matlab 矩阵运算奇异值分解
奇异值分解（SVD）是线性代数中的一个基础方法，可以将一个矩阵分解为三个部分的乘积：
A = U \Sigma V^T
其中，A为任意m \times n矩阵，U为一个m \times m正交矩阵，\Sigma 为一个m \times n矩阵，仅有对角线上有数值且为非负实数（称为奇异值），V 为一个n \times n正交矩阵。
matlab中的SVD函数是svd，其用法为：
`[U,S,V] = svd(A)`
其中，A为一个矩阵，U、S、V分别为返回的矩阵U、奇异值矩阵S和矩阵V。
我们可以使用SVD来完成很多矩阵操作，例如：
1. 矩阵压缩：将一个矩阵的奇异值降低，从而达到压缩数据的目的。
2. 去噪：对于一个受到噪声干扰的矩阵，对其进行SVD分解，将奇异值低的部分去掉，再将去掉部分重构回原始矩阵，即可实现去噪的效果。
3. 图像压缩和重构：将一张图片看成一个矩阵，对其进行SVD分解，再将奇异值低的部分去掉，将去掉部分重构回图片，实现图片的压缩和重构。
4. 推荐系统：对用户和商品之间的评分矩阵进行SVD分解，然后通过对低奇异值部分的填充，实现对评分的预测，即推荐系统。
matlab对hermite矩阵分解-概述说明以及解释
matlab对hermite矩阵分解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对Hermit矩阵分解的定义和背景的介绍。
下面是一个可能的概述内容的例子：在数学和计算科学的领域中，矩阵分解是一种重要的技术，用于将复杂的大矩阵表示转化为更简洁、可处理的形式。
其中一种矩阵分解方法是Hermit矩阵分解，它是对Hermit矩阵进行分解的一种特殊方法。
Hermit矩阵是一种具有特殊属性的正方矩阵，其元素复共轭对称。
在Hermit矩阵分解的过程中，通过将一个Hermit矩阵表示为两个特定形式的矩阵的乘积，可以使得矩阵运算更加有效，并且可以提取出矩阵的结构信息。
本文旨在介绍MATLAB在Hermit矩阵分解中的应用，并讨论Hermit 矩阵分解的算法和实现。
首先，我们将详细介绍Hermit矩阵分解的概念和相关背景知识。
接着，我们将探讨MATLAB在Hermit矩阵分解中的具体应用，包括如何使用MATLAB进行矩阵分解和分析。
最后，我们将总结Hermit矩阵分解的优势和局限性，并展望未来相关研究的发展方向。
通过本文的阐述，读者将能够了解Hermit矩阵分解及其在科学和工程问题中的应用价值，同时也能够熟悉MATLAB在这一方面的操作和实现。
无论是对于研究人员还是对于对矩阵分解感兴趣的读者来说，本文都将为他们提供有用的信息和参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为以下几个部分进行讨论和叙述。
第一部分为引言部分，对整篇文章进行概述，并介绍文章的结构和目的。
在这一部分中，我们将简要介绍Hermit矩阵分解的概念以及MATLAB 在该领域的应用。
第二部分为正文部分，主要讨论Hermit矩阵分解的概念、MATLAB 在该领域的具体应用以及Hermit矩阵分解的算法与实现。
我们将详细介绍Hermit矩阵分解的相关概念，包括其定义、特性等，并探讨MATLAB 在该领域中的重要作用和应用。
此外，我们还将介绍一些常用的Hermit 矩阵分解算法，包括其原理、步骤和实现方式。
matlab河南工业大学课件第4章
例4.2 生成三对角矩阵:
1 5 0 0
2 0 0 2 3 0 4 3 4 0 3 4
>> V=diag([1 2 3 4])+diag([2 3 4],1)+diag([5 4 3],-1)
控制工程中的程序设计
授课教师:冯肖亮 E-mail: fengxl2002@
河南工业大学 电气工程学院
1
第四章
数值问题求解
2
第四章 数值问题求解（上）
4.1 4.2 4.3 4.4 4.6 特殊矩阵 矩阵分析 矩阵分解 秩与线性相关性 线性方程组的求解
3
4.1 特殊矩阵
triu(A) ，其用法与提取下三角矩阵的函数tril(A) 完全相同。
同样地，triu(A,k)可求矩阵A第k条对角线以上的上三角阵
10
求矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵
>> A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; >> b=diag(A); b' ans = 1 1 1 >> triu(A) ans = 1 2 -2 0 1 1 0 0 1 >> tril(A) ans = 1 0 0 1 1 0 2 2 1
V= 1 5 0 0
2 2 4 0
0 3 3 3
0 0 4 4
例4.3 先建立5×5矩阵A，然后将A的第1行元素乘以 1，第2行乘以2，…，第5行乘以5。 命令如下：
A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25, 2,19]; D=diag([1,2,3,4,5]); D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数
matlab复值矩阵分解
matlab复值矩阵分解如何在Matlab中实现复值矩阵分解。
复值矩阵分解是将一个复值矩阵分解为两个或多个复值矩阵的过程。
Matlab提供了几种方法来实现复值矩阵分解，包括特征值分解，奇异值分解和矩阵分解算法。
一、特征值分解：特征值分解是将一个方阵分解成特征值和特征向量的过程。
对于一个复值矩阵A，特征值分解可以得到：A = V * D * V^(-1) (1)其中V是特征向量矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素是对应的特征值。
在Matlab中，我们可以使用eig函数来进行特征值分解。
例如，假设我们有一个复值矩阵A，可以使用以下代码进行特征值分解：[V, D] = eig(A);其中V是返回的特征向量矩阵，D是对应的特征值矩阵。
二、奇异值分解：奇异值分解是将一个复值矩阵分解为两个酉矩阵和一个对角矩阵的过程。
对于一个复值矩阵A，奇异值分解可以得到：A = U * S * V' (2)其中U和V是酉矩阵（单位模长度为1的列向量的集合），S是对角矩阵，对角线上的元素是奇异值。
在Matlab中，我们可以使用svd函数来进行奇异值分解。
例如，假设我们有一个复值矩阵A，可以使用以下代码进行奇异值分解：[U, S, V] = svd(A);其中U和V是返回的酉矩阵，S是对应的奇异值矩阵。
三、矩阵分解算法：除了特征值分解和奇异值分解之外，还有一些特定的矩阵分解算法可以在Matlab中使用，例如LU分解、QR分解和Cholesky分解等。
这些算法可以适用于复值矩阵的分解。
在Matlab中，我们可以使用lu函数来进行LU分解，使用qr函数来进行QR分解，使用chol函数来进行Cholesky分解等。
总结：在Matlab中，我们可以使用特征值分解、奇异值分解和其他矩阵分解算法来实现复值矩阵的分解。
这些方法可以帮助我们理解和处理复值矩阵的特征和结构。
通过这些分解，我们可以对复值矩阵进行降维、求逆、求伪逆等操作，从而为复值矩阵的应用提供了便利。
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1
4—6 矩阵分解的Matlab 命令
2
(1)矩阵的LU 分解
(2)矩阵的QR 分解(3 )矩阵的Cholesky 分解(4) 矩阵的奇异值分解(5)矩阵的特征值分解(6) 矩阵的Schur 分解(7) 矩阵的Jordan 标准型分解
3(1)矩阵的LU 分解
在Matlab 中用函数lu 来实现矩阵的LU 分解，其命令格式为：[L, U]=lu(X)
说明：U 矩阵为上三角矩阵，满足X=L*U.
4
[L,U,P]=lu(X)
说明：返回的P 矩阵是置换矩阵，矩阵U 是上三角矩阵，矩阵L 满秩矩阵，满足L*U=P*X.
5例4.1
>>a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c,p]=lu(a)运行结果:b =
1.0000 0 0-0.5000 1.0000 00.5000 0.2632 1.0000
6
c =
2.0000 -1.0000 5.00000 9.5000 6.50000 0 -0.2105p =0 1 00 0 11 0 0
7
(2)矩阵的QR 分解
在Matlab 中，矩阵的QR 分解可由函数qr 来实现，其常用的调用格式如下：①[B,C]=qr(A)
说明：返回的C 矩阵为上三角矩阵，矩阵B 为满秩矩阵。
[Q,R,E]=qr(A)
说明：返回的矩阵E 是置换矩阵，矩阵R 是上三角矩阵，矩阵Q 是满秩矩阵，上述矩阵满足关系A*E=Q*R.
8
例4.2
>> a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c,e]=qr(a)运行结果:b =
-0.1952 -0.5068 -0.83970.0976 -0.8619 0.4976-0.9759 0.0152 0.2177
9
c =
-10.2470 -4.1964 0.9759
0 -6.2762 -2.24580 0 -0.0622e =0 0 11 0 00 1 0
10
(3 )矩阵的Cholesky 分解
在Matlab 中用函数chol 对矩阵进行Cholesky 分解，函数chol 的调用格式为：1.R=chol(X)
说明：矩阵X 必须是正定矩阵，否则会返回错误信息，返回的矩阵R 是上三角矩阵。
2.[R,p]=chol(X)
说明：此调用格式不管矩阵X 是否正定，都不会返回错误信息。
如果矩阵X 正定，则返回上三角矩阵R, p 为零；如果矩阵X 非正定，则返回的矩阵R 也是上三角矩阵，但p 为正数。
11例4.4
>> a=[3,-1,1;-1,5,2;1,2,4];>> b=chol(a)运行结果:b =
1.7321 -0.5774 0.57740
2.1602 1.08010 0 1.5811
12
(4) 矩阵的奇异值分解
在Matlab 中，矩阵的奇异值分解则由函数svd 来实现，其调用格式为：[b,c,d]=svd(A)
说明：返回的矩阵b 为左奇异矩阵，矩阵d 为右奇异矩阵，矩阵c 为奇异值矩阵。
例4.5
>> a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c,d]=svd(a)
13运行结果:b =
0.3249 0.4385 -0.83800.1393 0.8542 0.50100.9354 -0.2795 0.2164c =
11.4170 0 00 6.1359 00 0 0.0571
14
d =
-0.0291 0.3954 -0.91800.8640 -0.4518 -0.22200.5026 0.7997 0.3285
15
(5) 矩阵的特征值分解
Matlab 中求矩阵的特征值的函数是eig 和eigs ，其中函数eigs 主要用于稀疏矩阵。
函数eig 主要有以下几种调用格式：1.D=eig(A)
说明：矩阵D 为矩阵A 的特征向量矩阵。
2.D=eig(A,B)
说明：矩阵D 为矩阵A,B 的广义特征向量矩阵。
3.[V,D]=eig(A)
说明：矩阵V,D 为矩阵A 的特征值矩阵和特征向量矩阵。
16
4.[V,D]=eig(A ，‘nobalance’)
说明：‘nobalance’表示在求矩阵A 的特征值矩阵和特征向量矩阵时禁止“平衡”程序的运行。
当矩阵A 中有元素小到与截断误差相当时，这样做可以减少计算的误差。
5.[V,D]=eig(A,B)
说明：矩阵V,D 为矩阵A,B 的广义特征值矩阵和特征向量矩阵，满足A*V=B*V*D.
17
6.[V,D]=eig(A,B,flag)
说明：使用某种确定的分解算法来计算矩阵的特征值和特征向量，参数flag 可以取”chol”或”qz”。
当参数flag 取”chol”时，表示对B 使用乔累斯基分解算法来计算矩阵A,B 的特征值和特征向量，若矩阵A 为对称矩阵，矩阵B 为对称正定矩阵，此算法为默认算法；当参数flag 取”qz”时，则忽略对称性。
18
例4.6
>> B=[3,-2,-0.9,2*eps;-2,4,-1,-eps;-eps/4,eps/2,-1,0;-0.5,-0.5,0.1,1];>> [VB,DB]=eig(B)运行结果:VB =
0.6153 -0.4176 -0.0000 -0.3305-0.7881 -0.3261 -0.0000 -0.2949-0.0000 -0.00000.0000 -0.81360.0189 0.8481 1.0000 -0.3765
19DB =
5.5616 0 0 00 1.4384 0 00 0 1.0000 00 0 0 -1.0000
20
(6) 矩阵的Schur 分解
Matlab 中矩阵的Schur 分解用函数schur 来实现，其调用格式为：[b,c]=schur(A)
说明：矩阵c 为Schur 矩阵。
例4.7
>> a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [b,c]=schur(a)
21
运行结果:b =
-0.2204 -0.9719 0.0821-0.6821 0.2138 0.69940.6973 -0.0981 0.7100c =
-5.4654 3.9074 3.79090 0.0780 -4.51230 0 9.3874
22
(7) 矩阵的Jordan 标准型分解
Matlab 中矩阵的jordan 标准型分解用函数jordan 来实现，其调用格式为：[V,J]=jordan(A)
说明：返回的矩阵V 为矩阵A 的相似变换矩阵，矩阵J 为矩阵A 的jordan 标准型。
>> a=[1,2,4;2,-1,5;-1,10,4];>> [V,J]=jordan(a)
23
运行结果:V =
0.0431 + 0.0000i -0.0939 -0.0000i 1.0508 -0.0000i 0.0418 -0.2907 + 0.0000i 0.2489 + 0.0000i 0.0695 -0.0000i 0.2971 -0.0000i -0.3667 + 0.0000i J =
9.3874 0 0 0 -5.4654 -0.0000i
0 0 0.0780 + 0.0000i。