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浙江温州四校2024届高三第一次联考语文试题及答案解析

浙江温州四校2024届高三第一次联考语文试题一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，17分)阅读下面的文字，完成1-5题。

材料一：先秦诸子百家中，儒、道、墨、法、阴阳、名六家属第一流的大学派。

汉以后，法、阴阳、名三家，基本思想为儒、道所吸收，不再成为独立学派；墨家中绝；唯有儒、道两家长期共存，互相竞争，互相吸收，形成中国传统文化中一条纵贯始终的基本发展线索。

在中国传统文化的多元成分中，儒家和道家是主要的两极，形成鲜明的对立和有效的互补，能够相辅相成，给予整个中国传统文化深刻的影响。

儒家的人生观，以成就道德人格和救世事业为价值取向，内以修身，充实仁德；外以济民，治国平天下，这便是内圣外王之道。

其人生态度是积极进取的，其对社会现实强烈关切并有着历史使命感，以天下为己任，对同类有不可自已的同情。

“己所不欲，勿施于人”；“穷则独善其身，达则兼济天下”；不与浊俗同流合污，在生命与理想发生不可兼得的矛盾时，宁可杀身成仁，舍生取义，以成就自己的道德人生。

道家的人生观，以超越世俗人际关系网的羁绊，获得个人内心平静自在为价值取向，既反对心为形役，“逐万物而不反”，又不关心社会事业的奋斗与成功，只要各自顺任自然之性而不相扰，必然自为而相因，成就和谐宁静的社会。

其人生态度消极自保，以免祸全生为最低目标，以各安其性命为最高目标。

或隐于山林，或陷于闹市，有明显的出世倾向。

儒家的出类拔萃者为志士仁人，而道家的典型人物为清修隐者。

儒、道两家的气象不同，大儒的气象似乎可以用“刚健中正”四个字表示，就是道德高尚、仁慈亲和、彬彬有礼、忠贞弘毅、情理俱得、从容中道、和而不同、以权行经等，凡事皆能观研深究，以求合理、合时、合情，可谓为曲践乎仁义，足以代表儒家的态度。

古者有儒风、儒士、儒雅、儒吏、儒将等称谓，皆寓道德学问有根底、风度温文尔雅之意。

道家高士的气象似可用“涵虚脱俗”四个字表示，就是内敛不露、少私寡欲、清静自守、质朴无华、超然自得、高举远慕、留恋山水等，富于诗意，富于山林隐逸和潇洒超脱的风味。

广东省四校(华附、省实、广雅、深中)2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)

华附､省实､广雅､深中2022级高二下学期四校联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名､姓名､考号､座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟..1.若()i 11z +=（i为虚数单位），则z z −=（）A.2−B.2i− C.2D.2i【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z ，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得.【详解】因为()i 11z +=，所以11i iz +==−，所以1i z =−−，则1i z =−+，所以()()1i 1i 2i z z −=−+−−−=.故选：D2.已知等比数列{}n a 中，1241,9a a a ==，则7a =（） A.3 B.3或-3C.27D.27或-27【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，计算得到等比数列的等比，结合通项公式计算得出答案；【详解】设等比数列{}n a 的公比为1212134,1,9,93q a a a qa a q q ==∴=⇒= ，则6371327a a q ===，故选：C.3. 已知圆22:2O x y +=与抛物线2:2(0)C x py p =>的准线相切，则p 的值为（）A. B.C. 4D. 2【答案】A 【解析】【分析】写出抛物线C 的准线方程，根据该准线与圆O 相切求出实数p 的值.【详解】由题意可知，圆O 的圆，抛物线C 的准线方程为2py =−，由于抛物线C 的准线方程与圆O 相切，则2p=，解得p =. 故选：A.4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得2π2π2R r =，求得4R =，进而由h =可求得圆锥的高.【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为1r =，设扇形半径为R ，则有π2π2R r =，解得4R =，所以圆锥的母线长为4R =，故圆锥的高h =故选：C.5. 某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（=平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X N µσ ，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈. A. 127人 B. 181人 C. 254人 D. 362人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩()273.5,22X N ，再根据所给条件求出()5790P X ≤≤，即可求出()90P X ≥，即可估计人数.【详解】依题意可知平均分为1500.4973.5×=，又标准差为22，所以学生的数学成绩()273.5,22X N ，即73.5µ=，22σ=，又9073.50.7522−=，所以()()()00.57900.75.750.54775P X P X p µσµσ≤≤=−≤≤+=≈，所以()10.547900.22652P X −≥=≈=，又8000.2265181.2×=，所以该次数学考试及格的人数约为181人. 故选：B6. 已知双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x =与双曲线的右支交于点P ，则12PF PF ⋅=（）A. 1−B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点P 的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得.【详解】双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为()12,0F −，()22,0F ，由2213y x y x −= =，解得x y= =x y = =P ，则12PF =−，22PF =− ，所以212221PF PF ⋅=−×+=− . 故选：A7. 现有一组数据0,1,2,3,4,5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（） A.23B.1115C.45D.1315【答案】B 【解析】【分析】设删去的两数之和为x ，依题意可得15362x−<−，求出x 的范围，再列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意得这组数据各数之和为01234515+++++=，设删去的两数之和为x ，若剩下数据的平均数小于3，则15362x−<−，解得3x >，则删去的两个数可以为()0,4，()0,5，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共11种情况，从0,1,2,3,4,5中任意取两个数有：()0,1，()0,2，()0,3，()0,4，()0,5，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共15种情况，故所求概率1115P=. 故选：B8. 若函数()()21e 12xg x x b x =−+−存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（） A. [0,)+∞ B. ()0,∞+C. (],0−∞D. (),0∞−【答案】D【解析】【分析】根据题意转化为导函数e 10x x b −+−<有解，参变分离e 1x b x <−++有解,设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <，求导计算可得解；【详解】函数()()21e 12xg x x b x =−+−的定义域为R , 求导得()e 1xg x x b ′=−+−，函数存在单调递减区间，所以e 10x x b −+−<有解，即e 1x b x <−++有解，设()e 1x f x x =−++，则实数max ()b f x <，则()e 1x f x ′−+=，令()0f x ′=，得0x =，当0x <时，()0,()′>f x f x 在(),0∞−上递增；当0x >时，()0,()′<f x f x 在(),0∞−上递减；所以函数()f x 有最大值(0)0f =，因此0b <. 故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9. 若“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是（） A. 3B. 3−C. 5D. 5−【答案】BCD 【解析】【分析】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，依题意可得B 真包含于A ，即可求出参数的取值范围.【详解】令{|2A x x k =<−或}x k >，{}|23B x x =−<<，因为“2x k <−或x k >”是“23x −<<”的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以2k ≤−或23k −≥，解得2k ≤−或5k ≥，结合选项可知符合题意的有B 、C 、D. 故选：BCD10. 下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（） A. 成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x yB. 依据小概率事件0.1α=的2χ独立性检验对零假设0H 进行检验，根据22×列联表中的数据计算发现20.10.837 2.706x χ≈<=，由()2 2.7060.1P χ≥=可推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1C. 在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设D. 决定系数2R 越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差【答案】AC 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质判断A ，根据独立性检验的基本思想判断B ，根据回归分析的相关知识判断C 、D.【详解】对于A ：成对样本数据的经验回归直线一定经过点(),x y ，故A 正确；对于B ：因为20.10.837 2.706x χ≈<=，由()22.7060.1P χ≥=可推断0H 成立，即认为X 和Y 独立，故B 错误；对于C说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故C 正确；对于D ：决定系数2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 错误. 故选：AC11. 如图，心形曲线22:()1L x y x +−=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（）A. 点和()1,1−均在L 上B. 点PC. OP 的最大值与最小值之和为3D. PA PB +≤ 【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B −对于A ：x =时，2112y += 得0y =或y =，=1x −时，()2111y +−=得1y =，所以和()1,1−均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+−=，所以y x =+()()222221112y y x x x x ==+−+≤++−=，所以x =y B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=−=，所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos23131sin2cos2sin222222θθθθθϕ+=++=++=++，因为θ可取任意角，所以OP 取最小值=，OP 取最大值=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(21)x y +−的展开式中，所有项的系数和为__________. 【答案】64 【解析】【分析】令1xy ==计算可得. 【详解】令1xy ==，可得所有项的系数和为()642611+−=. 故答案为：6413. 如图，正八面体ABCDEF 的12条棱长相等，则二面角E AB F −−的余弦值为__________.【答案】13−.【解析】【分析】AB 的中点为G ，EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可.【详解】连接,AC BD 交于点O ，连接EF ，取AB 的中点G ，连接,EG FG ，根据正八面体的几何特征，有EF 过点O ，EG AB ⊥，FG AB ⊥，又EG ⊂平面ABE ，FG ⊂平面ABF ，平面ABE ∩平面ABF AB =，所以EGF ∠为二面角E AB F −−的平面角.正八面体中， EF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则EF AC ⊥，所以AOE △是直角三角形，设正八面体棱长为2，则AO =，2AE =，所以OE =，得EF =在AEB △中，EGAB =，同理GF =在EGF △中，由余弦定理，可得2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +−∠==−⋅⋅ 故答案为：13−.14. 数列{}n a 前n 项和为n S ，且111,22n n a a a n +=−=，则满足2024n S >的最小正整数n 为__________. 【答案】9 【解析】【分析】先构造等比数列，再应用等比等差数列前n 项和公式计算，最后判断最小值n 即可.【详解】因为122n n a a n +−=，所以()124244n n a n a n +++++，所以()()124222n n a n a n +++=++,所以{}22n a n ++是公比为2首项为1225a ++=的等比数列，所以112252,5222n n n n a n a n −−++=×=×−−.则()()()()()0112512422522246225213122n n n n n n S n n n −−++=+++−++++=−=−−−− ,因为152220,n n a n −=×−−>则n S 单调递增，又因为()8285218385255642411872024S =−−−×=×−−=<,()9295219395511812724472024S =−−−×=×−−=>.则2024n S >的最小正整数n 为9. 故答案为：9.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin A B Cb c a b+=+−. 的（1）求A ；（2）如图，若点D 是BC 边上一点，且,2AB AD BD CD ⊥=，求ADB ∠. 【答案】（1）2π3A =（2）π3ADB ∠= 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后利用余弦定理可求出角A ；（2）由AB AD ⊥结合2π3A =可得π6DAC ∠=，然后在ABD △和ACD 分别利用正弦定理结合已知条件可得b c =，进而可求出ADB ∠. 【小问1详解】因sin sin sin A B Cb c a b+=+−，所以由正弦定理得a b b c bca +=+−，所以222ab bc c −=+，所以222b c a bc +−=−所以由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =；【小问2详解】因为AB AD ⊥，所以π2BAD ∠=，所以2πππ326DAC BAC BAD ∠=∠−∠=−=，在ABD △中，由正弦定理得πsin sin sin 2AB BD BD BDADB BAD ===∠∠，在ACD 中，由正弦定理得2πsin sin sin 6AC CD CD CDADC DAC===∠∠，因为πADB ADC ∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠为因为2BD CD =，所以AB AC =，即b c =，所以π6BC ==, 所以πππππ263ADB BAD B ∠=−∠−=−−=. 16. 如图，四棱锥P ABCD −的侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，已知44CD AB ==，13PM MD =.（1）证明：AM //平面PBC ；（2）若,AC AD PA ==，求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取PC 上的点N ，使14PN PC = ，可得MN AB =，则由线线平行可证线面平行；（2）取CD 中点O ，连,AO PO ，根据题意可证AO CD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】取PC 上的点N ，使14PN PC =，则()1144MN PN PM PC PD DC AB =−=−== ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以//AM BN ，又BN ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM //平面PBC ；【小问2详解】取CD 中点O ，连,AO PO ，因AC AD =，所以AO CD ⊥，因为PCD为正三角形，所以,PO CD PO ⊥，又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为AO ⊂平面ABCD ，所以PO AO ⊥，AO ==以O 为坐标原点，,,OA OC OP分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，则A ，(0,2,0)C ，(0,2,0)D −，)B，(0,0,P ，则(0,1,0)AB =，PA =−，1142AM AP PD =+=−，设(,,)n x y z =为平面PAB 的法向量，则0000y n AB n PA = ⋅=⇒ −=⋅=，可取)n = ，cos ,n AM n AM n AM⋅===⋅，故直线AM 与平面PAB. 17. 一个袋子中有30个大小相同球，其中有10个红球､20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样为的本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用X 表示停止时摸球的次数. （1）求X 的分布列和期望；（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()21181E X = （2）2081【解析】【分析】（1）对于有放回的摸球，()()112,33P A P A ==，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的，X 的可能取值为1,2,3,4,5，依次求出概率，可得分布列，再由期望公式求解；（2）设样本中红球的比例为f ，B =“样本中有红球”，且7133030C f =≤≤ ，分B 不发生，和B 发生求概率，从而得解. 【小问1详解】设=i A “第i 次摸出红球”，1,2,3,4,5i =，对于有放回的摸球，()()1101202,303303P A P A ====，且i A ()1,2,3,4,5i =相互独立的， X 的可能取值为1,2,3,4,5，则由题意可知，()(()()11212121,23339P X P A P X P A A ======⋅=， ()()212321433327P X P A A A ===⋅= ，()()3123421843381P X P A A A A ===⋅=，()()412342165381P X P A A A A ====，期望()124816211123453927818181E X =×+×+×+×+×=. 【小问2详解】总体中的红球比例13，设样本中红球的比例为f ，设B =“样本中有红球”，且17130.133030C f f =−≤=≤≤ ，若B 不发生，则0f =，此时C =∅，所以()0P BC =，若B 发生，则1f X =，此时711330303030137BC X X =≤≤=≤≤，所以()()()482034278181P BC P X P X =+===+=，所以，()()()2081P C P BC P BC =+=. 18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长为()()1,2,0,2,02M N −.（1）求椭圆E 的方程；（2）过()4,0P 作一条斜率存在且不为0的直线l 交E 于,A B 两点. （i ）证明：直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数；（ii ）若直线AM 与直线BN 交于点Q ，求Q 的轨迹方程. 【答案】（1）22186x y +（2）（i ）证明见解析；（ii）()212,02x x y −=≠≠【解析】【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程组，利用韦达定理证明；（ii ）设直线，直线()()22:22BM x y y x +=+，联立方程组得204x x =，0202y y x =，采用代入法可得Q 的轨迹方程. 【小问1详解】根据题意，2a =，因为椭圆离心率为12，所以12c ea ==，所以c =6b =，所以椭圆的方程为22186x y +；【小问2详解】（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()()40y k x k =−≠，联立方程()224186y k x x y =− += ，消去y 得：()2222343264240k x k x k +−+−=，则()2Δ96340k=−>，即k <由韦达定理得，212232=34k x x k++，2122642434k x x k −⋅=+，当k =Δ0=，122x x ==，不合题意，故122,2x x ≠≠，所以直线AM 和直线BM 的斜率均存在，1212,22B A M M y y k k x x =−−=，所以()()()()()()122112121242422222AM BM k x x k x x y yk k x x x x −−+−−+=+=−−−− ()()222121212122616024k x x x x x x x x ⋅−++ =⋅−++，即直线AM 和直线BM 的斜率均存在且互为相反数；（ii ）由（i ）知22x ≠，且222BM AM y k k x ==−−，可设直线()()22:22AM x y y x −=−，直线()()22:22BM x y y x +=+，设()00,Q x y ，则()()()()202020202222x y y x x y y x −=−− +=+ ，整理得20202022x y y y y x = = ①，由题意知20y ≠，由①知000,0y x ≠≠，所以由①知，204x x =，0202y y x =②，将②代入2222186x y +=得2022002213y x x +=，化简得0022123x y −=，又因为22x ≠，所以02x ≠，所以Q 的轨迹方程为()2212,023x y x y −=≠≠..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式；（5）代入韦达定理求解.19. 拟合（Fittiong ）和插值（Imorterpolation ）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到1cos 2的近似值，我们对函数()πcos 2f x x=进行多项式插值.设一次函数()1L x ax b =+满足()()()()11001110L f L f == == ，可得()f x 在[]0,1上的一次插值多项式()11L x x =−+，由此可计算出1cos 2的“近似值”11111cos10.6822πππf L=≈=−≈，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite ）插值多项式.已知函数()πcos 2f x x = 在[]0,1上的二次埃尔米特插值多项式()2H x ax bx c ++满足()()()()()()001100H f H f H f =′=′ =（1）求()H x ，并证明当[]0,1x ∈时，()()f x H x ；（2）若当[]0,1x ∈时，()()2f x H x x λ− ，求实数λ的取值范围；（3）利用()H x 计算1cos 2的近似值，并证明其误差不超过140. （参考数据：2110.318,0.101ππ≈≈；结果精确到0.001）【答案】（1）()21H x x =−+，证明见解析；（2）2π1,8−+∞（3）1cos 0.8992≈，证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列方程组求出,,a b c ，得()H x ；通过构造函数，利用导数求最值证明()()f x H x ≤；（2）令()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，问题转化为()0G x ≤在[]0,1x ∈时恒成立，利用导数求函数单调性和最值，得条件满足时实数λ的取值范围；（3）由111cos 2ππf H =≈，代入求值即可，由误差2211π11ππ8πe f H =−≤− ，可证得结论.【小问1详解】()πcos 2f x x = ，()10f =，()01f =，()ππsin 22f x x′=−，()0 0f ′=，()2H x ax bx c ++，()2H x ax b ′=+，由()()()()()()001100H f H f H f =′=′=得100c a b c b = ++== ，解得101a b c =− = = ，因此()21H x x =−+. 设()()()2πcos 12F x f x H x x x =−=+−，[]0,1x ∈，()ππsin 222F x x x ′=−+ ，令()()1F x F x ′=，则()21ππcos 242F x x′=−+ ，因为()1F x ′在[0,1]上单调递增，且()21π0204F ′=−+<，()1120F ′=>，故存在()10,1x ∈使()110F x ′=，且()F x ′在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增，又()00F ′=，()()100F x F ′′<=，()π120 2F ′=−+>，所以()F x ′在()0,1上存在唯一的零点()21,1x x ∈，使得()20F x ′=，且()F x 在()20,x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增，又()()010F F ==，所以()0F x ≤，即()()f x H x ≤.【小问2详解】由（1）知()()2f x H x x λ−≤等价于()()2H x f x x λ−≤，且0λ≥，设()()()()22π1cos 12G x H x f x x x x λλ=−−=−+−+，[]0,1x ∈，则()0G x ≤， ()()ππ21sin 22G x x x λ′=−++，令()()1G x G x ′=，则())21ππ21cos 42G x x λ′=−++，令()()21G x G x ′=，则()32ππsin 082G x x′=−≤，所以1()G x ′在[]0,1上单调递减，若2π18λ≥−，则()()()211π02104G x G λ′′≤=−++≤，所以()G x ′在[]0,1上单调递减，所以()()00G x G ′′≤=，所以()G x 在[]0,1上单调递减，所以()(0)0G x G ≤=；若2π018λ≤<−，则()21π(0)2104G λ′=−++>，而1(1)2(1)0G λ′=−+<，故存在()00,1x ∈，使10()0G x ′=，从而()00,x 上，1()0G x ′>，()G x ′单调递增，()()00G x G ′′>=，在于是()G x 单调递增，()()00G x G >=不符合题意. 综上所述，λ的取值范围为2π1,8 −+∞. 【小问3详解】21111cos10.8992πππf H=≈=−+≈. 由（2）知，()()22π18f x H x x −≤−，所以，误差22211π1111111ππ8π8π81040e f H =−≤−=−<−=. 【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 不等式证明或不等式恒成立问题常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.。

浙江四校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题及答案

2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学徐德荣校对人：浦江中学于杭君考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A BxA ==，则()AA B ∩= （）A.{}2,3,5 B.{}3,4,9 C.{}1,4,9 D.{}1,2,32.如图，已知全集U =R ，集合{}{}1,2,3,4,5,12A B xx ==−≤≤∣，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.3B.4C.7D.83.已知,x y ∈R ，则“0xy =”是“220x y +=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知0,0a b a +><，那么,,,a b a b −−的大小关系是（）A.b a b a >−>−>B.a b a b >−>−>C.b a a b>−>>− D.a b a b>>−>−5.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（）A.230,x x x ∀>>B.230,x x x ∀>≤C.230,x x x ∀≤≤D.230,x x x ∃>≤6.若命题“[]21,3,20x x x a ∃∈−−−≤”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（）A.1− B.0 C.1 D.37.已知关于x 不等式()()20x ax b x c−+≥−的解集为(](],21,2∞−−∪，则（）A.2c =B.点(),a b 在第二象限C.22y ax bx a +−的最大值为3aD.关于x 的不等式20ax ax b +−≥的解集为[]2,1−8.若数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥ 具有性质P ：对任意的,(1),i j i j i j n a a ≤<≤与j ia a 中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则（）A.“权集”中一定有1B.{}1,2,3,6为“权集”C.{}1,2,3,4,6,12为“权集”D.{}1,3,4为“权集”二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二.五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知{}*32,A xx n n ==+∈N ∣，{}{}**53,,72,B xx n n C xx n n ==+∈==+∈N N ∣∣，若()x A B C ∈∩∩，则下列选项中符合题意的整数x 为（）A.23B.133C.233D.33310.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.B.购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.C.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率等于2a b+.D.金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g 黄金，店员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.记顾客实际购得的黄金为g x ，则20x >.11.若正实数,x y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A.xy 有最大值为18B.14x y+有最小值为6+C.224x y +有最小值为12D.()1x y +有最大值为12三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，借助韦恩图，可知同时参加田赛和径赛的有__________人.13.甲､乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度x （千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是__________千米/时. 14.若一个三角形的三边长分别为,,a b c ，记()12p a b c =++，则此三角形面积S ，这是著名的海伦公式.已知ABC 的周长为9,2c =，则ABC 的面积的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60 ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.16.（本题满分15分）已知集合{}215A xx =−≤−≤∣､集合{}()121B x m x m m =+≤≤−∈R ∣.（1）若4m =，求()A B ∪R ；（2）设命题:p x A ∈；命题:q x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围17.（本题满分15分）如图，ABDC 为梯形，其中,AB a CD b ==，设O 为对角线的交点.GH 表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL 表示平行于两底且使梯形ABLK 与梯形KLDC 相似的线段，EF 表示平行于两底且过点O 的线段，MN 表示平行于两底且将梯形ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段,,,GH KL EF MN与代数式2112a b a b++之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？18.（本题满分17分）已知二次函数22y ax x c=++（1）若0y >的解集为{23}xx −<<∣，解关于x 的不等式220x ax c +−<；（2）若a c >且1ac =，求22a ca c+−的最小值；（3）若2a <，且对任意x ∈R ，不等式0y ≥恒成立，求442a c a++−的最小值.19.（本题满分17分）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈∣，{|,,}T x x a b a b A ==−∈（实数,a b 可以相同）（1）若集合{}2,5A =，直接写出集合S T ､；（2）若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+；（3）若集合{}02021,,A x x x S T ⊆≤≤∈∩=∅N ，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 ADBCBADB二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.12.4 13.5014.由海伦公式及基本不等式求解即：9,22pc AB ===，则a b +=周长927c −=−=，故()()()2972;p a p b p a b S −+−=−+=−=99222a b−+− ==≤=等号成立时，9922a b −=−，即72a b ==15.设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F，则,2aBE AE DF ===，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=，所以()2300a b a +=，则30022ab a =−，所用篱笆长为300300322302222a a l a b a a a ++−+≥，当且仅当300322aa =，即()()10m ,10m ab =时取等号.所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m . 16.（1）由题意可知{}{}21516A xx x x =−≤−≤=−≤≤∣∣，若{}()4,57,{1,7}m B xx A B x x x ==≤≤∪=<−>R ∣∣ .（2）命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A .真子集，当B =∅时，121m m +>−，解得2m <，当B ≠∅时，12111216m m m m +≤−+≥− −≤（等号不能同时成立），解得722m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为7,2∞ −17.因为GH 是梯形ABDC 的中位线，所以22AB CD a bGH++==；因为梯形ABLK 与梯形KLDC 相似，所以AB KL KL CD=，所以KL；因为,AEO ACD DOF DAB ∽∽，所以,OE OA OF OD b DA a AD ==，所以1OE OF b a+=，所以111OE OF a b==+，所以211EF a b=+，设梯形,MNDC ABNMABDC 的面积分别为12,,S S S ，高分别为12,,h h h ，则()()()121211,22S S S a b h b MN h a MN h ==+=+=+，所以()()1122a b h a b h h a MN b MN+++=++，所以()11112a b a MN b MN ++= ++ ，所以MN =由图可知，EF KL GH MN <<<，即2112a b a b+<<<+证明：显然2112a ba b +><+因为222a b ab +>，所以()2222()a b ab +>+<，所以2112a b a b+<<<+18.（1）由已知220ax x c ++>的解集为{23}x x −<<∣，且0a <，所以2,3−是方程220ax x c ++=的解，所以()223,23ca a−+=−−×=，所以2,12a c =−=，所以不等式220x ax c +−<可化为24120x x −−<，所以26x −<<，故不等式220x ax c +−<的解集为{26}xx −<<∣（2）因为1ac =，所以()222()22a c a c ac a c a c a c a c+−+==−+−−−因为a c >，所以0a c −>，由基本不等式可得()222a c a c a c a c+=−+≥−−当且仅当1a cac −=时等号成立，即当且仅当ac 所以22a c a c+−的最小值为；（3）因为对任意x ∈R ，不等式220ax x c ++≥恒成立，所以0,440a ac >−≤，所以2444411440,1,22211c a c a a a a a ac a a a++++++>≥=≥−−−，令21t a =−，则20,1t t a >=+，所以()2(1)211444482t t a c t a t t++++++≥=++≥−，当且仅当23,1ac a==时等号成立，即当且仅当23,32a c ==时等号成立，所以442a c a ++−的最小值为8.19.（1）因为集合{}{}2,5,,,,{|,,}A S x x a b a b A T x x a b a b A ===+∈==−∈∣，所以由224,257,5510+=+=+=，可得{}4,7,10S =，220,550,253−=−=−=，可得{}0,3T =.（2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，则T 集合的元素在2131413242430,,,,,,x x x x x x x x x x x x −−−−−−中，且2131414342410,x x x x x x x x x x x x <−<−<−−<−<−，而A T =，故A 中最大元素4x 必在T 中，而41x x −为7个元素中的最大者，故441x x x =−即10x =，故{}2340,,,A x x x =，故T 中的4个元素为2340,,,x x x ，且324243,,x x x x x x −−−与234,,x x x 重复，而3230x x x <−<，故322x x x −=即322x x =，而4340x x x <−<，故4340x x x <−<，故432x x x −=或433x x x −=，若43224x x x ==，则{}2222220,,2,4,43A x x x x x x T =−=∉，与题设矛盾；故432x x x −=即4132x x x x +=+（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a −<+<+<<+<+<+<<+< ，112131121,,k S k a a a a a a a a T k∴≥−−<−<−<<−∴≥ S T ∩=∅ ，由容斥原理31,S T S T k S T ∪=+≥−∪中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，()21,312140431,k k S T a k a k k ∪≤+∴−≤+≤≥∈N ，即314043,1348k k −≤∴≤.实际上当{}674,675,676,2021A = 时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2021,A m m m m =++∈N ，则{}2,21,22,,4042S m m m =++ ，{}0,1,2,,2021Tm − ，依题意有20212m m −<，即2673,3m >故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2021A = 时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1348.。

浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试题含答案

浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试题（自编供学生使用）（考试时间：120分钟试卷总分：150分）（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知集合{2},{1}A x x B x x =>=<∣∣，则()()A B ⋂=R R 痧（）A．∅B．{12}xx <<∣C．{}12xx ≤≤∣D．R2．已知集合{|(38)(2)0}A x x x =-+<{|13}B x x =∈-Z ≤≤，则集合A B ⋂中的元素个数为A．2B．3C．4D．53．命题“,sin 0R αα∃∈=”的否定是（）A．,sin 0R αα∃∈≠B．,sin 0R αα∀∈≠C．,sin 0R αα∀∈<D．,sin 0R αα∀∈>4．已知,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是A．若a b >,则a c b c ->-B．若a b >，则a b c c>C．若ac bc <，则a b<D．若a b >，则22ac bc >5．命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（）A．)(222⎡⎤∞⋃-∞⎣⎦，+，B．2⎡⎣-22，C．)2⎡∞⎣，D．(2-∞，6．关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且2115x x -=，则a 的值为（）A．152B．152±C．52D．52±7．已知2(0,0)a b ab a b +=>>，下列说法正确的是（）A．ab 的最大值为8B．1212a b +--的最小值为2C．a b +有最小值32D．2224a a b b -+-有最大值48．给定集合A ，若对于任意a 、b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{}4,2,0,2,4A =--为闭集合；②集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合；③若集合1A 、2A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、多选题（本大题共3小题，共18分）9．下列命题中为真命题的是（）A．若0xy =，则0x y +=B．若a b >，则a c b c +>+C．菱形的对角线互相垂直D．若,a b 是无理数，则a b +是无理数10．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．B．在b 克盐水中含有a 克盐(0)b a >>，再加入n 克盐，全部溶解，则盐水变咸了．C．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率为2a b+．D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第二种方式购买一定更实惠．11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（）A．函数()f x 满足：()()f x f x -=B．函数()f x 的值域是[]0,1C．对于任意的x ∈R ，都有()()1f f x =D．在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．命题“π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x ≥”的否定为．13．学校举办秋季运动会时，高一（1）班共有26名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的有人；同时参加田赛和径赛的有人．14．甲、乙两地相距240km，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为16400v 3元.为使全程运输成本最小，汽车应以km/h 的速度行驶.四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．用一段长为16m 的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长度大于16m ），矩形的长宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值？16．已知2:280p x x --≤，()22:200q x mx m m +-≤>，.（1）当1m =时，若命题“p q ∧”为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.17．某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为S 平方米，其中:1:2a b =.(1)试用x 表示S ，并标明x 的取值范围；(2)求S 的最大值，并求出S 取最大值时x 的值.18．已知函数()f x =的定义域为集合A ，{}B xx a =<∣．(1)求集合A ；(2)若全集{|4}U x x =≤，1a =-，求()U A B ð；(3)若A B A = ，求a 的取值范围．19．已知函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ）有最小值4-，且()0f x <的解集为{}13x x -<<．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若对于任意的()1,x ∈+∞，不等式()6f x mx m >--恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案：题号12345678910答案C CBABDBBBCABD题号11答案AC1．C【分析】求出集合,A B 的补集，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】由于{2},{1}A x x B x x =>=<∣∣，故{|2},{|1}A x x B x x =≤=≥R R 痧,所以()()A B ⋂=R R 痧{}12xx ≤≤∣，故选：C 2．C【详解】依题意，()(){}8|3820|23A x x x x x ⎧⎫=-+<=-<<⎨⎬⎩⎭，{|13}B x Z x =∈-≤≤{}1,0,1,2,3=-，A B ⋂{}1,0,1,2=-,有4个元素，故选C.3．B【分析】原命题为存在性量词命题，按规则可写出其否定.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠，故选：B.4．A【分析】由不等式的性质可判断A；取特值0c =，可判断BD；取0c <，结合不等式的性质判断C.【详解】对于A，利用不等式的性质可判断A 正确；对于BD，取0c =时，可知B 和D 均错误；对于C，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故C 错误．故选：A 5．B【解析】特称命题为假命题，等价于其否定为真命题,利用判别式，即可确定实数a 的取值范围.【详解】“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，等价于“2,2390x R x ax ∀∈-+≥”为真命题,所以()2=3890a ∆-⨯≤所以a ⎡∈⎣，则实数a 的取值范围为⎡⎣.故选：B.6．D【分析】根据22112122(())4x x x x x x -=+-以及韦达定理即可求解.【详解】因为关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,,x x 12,x x ∴是方程22280x ax a --=的两个不同的实数根，且224320a a ∆=+>，212122,8x x a x x a ∴+==-，2115x x -= ，()22221212154432x x x x a a ∴=+-=+，221536a =，解得52a =±故选：D.7．B【分析】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知8ab ≥，所以A 错误；将原式化成()()122a b --=，即可得()12112121a ab a +=+-≥---，即B 正确；不等式变形可得211ba+=，利用基本不等式中“1”的妙用可知3a b +≥+，C 错误；将式子配方可得222224(1)(2)5a a b b a b -+-=-+--，再利用基本不等式可得其有最小值1-，无最大值，D 错误.【详解】对于A 选项，2ab a b =+≥≥8ab ≥，当且仅当2,4a b ==时等号成立，故ab 的最小值为8，A 错误；对于B 选项，原式化为()()2122,01a ab b a --==>-，故10a ->；02ba b =>-，故20b ->；所以()12112121a ab a +=+-≥---，当且仅当2,4a b ==时等号成立，B 正确；对于C 选项，原式化为211ba +=，故()212123a a b a b b a ba b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当1,2a b =+=+C 错误；对于D 选项，()()222224(1)(2)521251a a b b a b a b -+-=-+--≥---=-，当且仅当12a b ==+1-，D 错误．故选：B 8．B【解析】取2a =，4b =-，利用闭集合的定义可判断①的正误；利用闭集合的定义可判断②的正误；取{}13,A n n k k Z ==∈，{}22,A m m t t Z ==∈，利用特殊值法可判断③的正误.由此可得出合适的选项.【详解】对于命题①，取2a =，4b =-，则6a b A -=∉，则集合{}4,2,0,2,4A =--不是闭集合，①错误；对于命题②，任取1n 、2n A ∈，则存在1k 、2k Z ∈，使得113n k =，223n k =，且12k k Z +∈，12k k Z -∈，所以，()12123n n k k A +=+∈，()12123n n k k A -=-∈，所以，集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合，②正确；对于命题③，若集合1A 、2A 为闭集合，取{}13,A n n k k Z ==∈，{}22,A m m t t Z ==∈，则{123A A x x k ⋃==或}2,x k k Z =∈，取13A ∈，22A ∈，则()12325A A +=∉⋃，()12321A A -=∉⋃，所以，集合12A A ⋃不是闭集合，③错误.因此，正确的结论个数为1.故选：B.9．BC【分析】对于A，由0xy =得0x =或0y =即可判断；对于B，由不等式性质即可判断；对于C，由菱形性质即可判断；对于D，举反例如a b ==【详解】对于A，若0xy =，则0x =或0y =，故x y +不一定为0，故A 错误；对于B，若a b >，则由不等式性质a c b c +>+，故B 正确；对于C，由菱形性质可知菱形的对角线互相垂直，故C 正确；对于D，若,a b 是无理数，则a b +不一定是无理数，如a b ==0a b +=是有理数，故D 错误.故选：BC.10．ABD【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A：设周长为0l >，则圆的面积为22π2π4πl l S ⎛⎫== ⎪⎝⎭圆，正方形的面积为22416l l S ⎛⎫==⎪⎝⎭正方形，因为211,04π16l >>，可得224π16l l >，即S S >圆正方形，故A 正确；对于选项B：原盐水的浓度为a b ，加入0n >克盐，盐水的浓度为a n b n++，则()()n b a a n a b n b b b n -+-=++，因为0,0b a n >>>，可得0,0b a b n ->+>，所以()()0n b a a n a b n b b b n -+-=>++，即a n ab n b+>+，故B 正确；对于选项C：设这两年的平均增长率为x ，则()()()2111A a b A x ++=+，可得1x ，因为()()111122a b a bx ++++=≤=+，即2a b x +≤，当且仅当11a b +=+，即a b =时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于2a b+，故C 错误；对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p 元/kg，购kg n ，第二次购物时的价格为2p 元/kg，购kg n ，两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=；若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1kg mp 物品，第二次仍花m 元钱，能购2kg m p 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++.比较两次购的平均价格：()()()()22121212121212121212124220112222p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +--++-=-==≥++++，当且仅当12p p =时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故D 正确；故选：ABD.11．AC【分析】利用R 1,Q ()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A，B 和C的正误，选项D，通过取特殊点()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.【详解】由于R 1,Q()0,Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x f f x f ===，当Q x ∈R ð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D，取()0,1,,0,33A B C ⎫⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时AB AC BC ===ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC．12．π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得答案.【详解】命题“π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎣⎦，sin 0x ≥”为全称命题，它的否定为特称命题，即π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <；故答案为：π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <13．62【详解】设只参加游泳比赛有x 人，则12336x -=+=，得6x =．不参加游泳的人为261214-=，参加田赛未参加游泳的人为936-=人，参加径赛未参加游泳的人为13310-=人，则同时参加田赛和径赛的人为106142+-=人．14．80【分析】根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为316400v 元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值．【详解】解：设全程运输成本为y 元，由题意，得3224011601(160)240()64006400y v v v v =+=，0v >，21602240()6400y v v '=-+．令0y '=，得80v =．当80v >时，0'>y ；当080v <<时，0'<y ．所以函数3224011601(160)240()64006400y v v v =+=+在()0,80上递减，在()80,+∞上递增，所以80v =km/h 时，720min y =．故答案为：80.15．长为8宽为4时，菜地面积最大，最大值为32【解析】设菜地长为x ，得162x S x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合基本不等式可求最值【详解】如图，设菜地长为x ，()016x ∈,，则()1611622x S x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，结合基本不等式可知，0160x x >->,，则()()21616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8x =时，取到最大值，故()116322S x x =-≤，此时长为8，宽为16842-=，菜地面积最大值为3216．（1）21x -≤≤；（2）4≥m .【解析】（1）求出两个命题为真命题时的解集，然后利用p q ∧为真，求解x 的取值范围．（2）依题意可得p q q ⇒，推不出p ，即可得到不等式组224m m -≤⎧⎨≥⎩，解得即可【详解】解：∵2:280P x x --≤，∴24x -≤≤∵22:20q x mx m +-≤，0m >，∴2m x m -≤≤（1）当1m =时，:21q x -≤≤∵p q ∧为真命题，∴p 真且q 真即2421x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，∴21x -≤≤（2）设集合{}|24A x x =-≤≤，{}2|m x m B x -=≤≤若p 是q 的充分不必要条件，则AB∴只需满足224m m -≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立得4≥m 17．(1)()4800180833600S x x x=--<<；(2)S 的最大值为1568，此时40x =.【分析】（1）先由题意得1800,2,333xy b a y a b a ===++=+且3,3x y >>，再结合图形即可求解所求S ；（2）由（1）结合基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意可得1800,2,333xy b a y a b a ===++=+且3,3x y >>，所以33y a -=，18003600y x x=>⇒<，所以由图()()()()()3322223383823x y S a b a a a x x x x x --=+⨯⨯=+⋅==⋅-----()()()180034800600180831383836003x x x x x x x -⎛⎫=⋅=⋅=-----<<⎪⎝⎭.（2）由（1）()4800180833600S x x x=--<<，所以4800180818082180824015683S x x ⎛⎫=-≤--=+ ⎪⎝⎭，当且仅当48003x x=即40x =时等号成立，所以S 的最大值为1568，此时40x =.18．(1)(2,3]-；(2)[1,3]-；(3)(3,)+∞﹒【分析】(1)求出使f (x )有意义的x 的范围即可；(2)先计算U B ð，再按交集的运算法则计算即可；(3)A B A A B ⋂=⇒⊆，据此即可求解a 的范围﹒【详解】（1）3020x x -≥⎧⎨+>⎩32x x ≤⎧⎨>-⎩，23x ∴-<≤，(2,3]A ∴=-；（2）当1a =-时，()B =-∞，-1，[1,4]U B ∴=-ð，()[1,3]U A B ∴⋂=-ð；（3）A B A =Q I ，A B ∴⊆，3a ∴>，∴a 的求值范围是(3,)+∞．19．(1)2()23f x x x =--(2)m <【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可；（2）分离参数得()2122111x m x x x -+∴<=-+--，1x >，利用基本不等式求出右边最值即可.【详解】（1）令()0f x =，则1,2-为方程20ax bx c ++=的两根，则0a ≠，则由题有244423ac b a b a c a ⎧-=-⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，2()23f x x x ∴=--.（2）由（1）得对()1,x ∀∈+∞，2236x x mx m -->--，即()2231x x m x -+>-，1x >Q ，10x ∴->，()2122111x m x x x -+∴<=-+--，令()211h x x x =-+-，1x >，则()211h x x x =-+≥=-当且仅当211x x-=-，即1x =+时等号成立，故()minh x =m <.。

广东省四校2024届高三第一次联考化学试题(含解析)

广东省四校2024届高三第一次联考化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________应：HNO3+3HCl=NOCl+Cl2↑+2H2O。

设N A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是A．100 mL8 mol·L-1 HNO3溶液中含有的氧原子数目为2. 4N AB．20 g 3H 37Cl中含有的中子数目为11 N AC．11.2 L Cl2中含有的共价键数目为0. 5 N AD．每生成65. 5 g NOCl，转移的电子数为N A8．下面甲、乙、丙、丁四个实验，实验现象和结论均正确的是A．装置甲中红布条均褪色，说明氯气具有漂白性B．装置乙中分别滴入酚酞，碳酸钠溶液呈红色，碳酸氢钠溶液呈浅红色，说明碳酸钠的水解程度大于碳酸氢钠C．装置丙用Cu与浓硫酸反应制取SO2，紫色石蕊、品红、酸性高锰酸钾均褪色，说明SO2具有酸性、漂白性和还原性D．装置丁中导管红墨水下降，说明铁丝发生吸氧腐蚀9．近日，科学家利用交叉偶联合成无保护的碳芳苷化合物，在药物合成中有广泛应用。

现有两种碳芳苷化合物的结构如图所示(Me代表甲基，Et代表乙基)。

下列说法正确的是A．甲、乙中含氧官能团完全相同B．甲分子中含3个手性碳原子NaHCO溶液反应C．乙在酸性或碱性介质中都能发生水解反应D．甲、乙都能与3 CO产生210．下列叙述正确的是A．NaCl、NaI固体分别与浓硫酸反应生成HCl、HIB ．Fe 和Al 分别在氯气中燃烧得到3FeCl 和3AlClC ．将NO 通入NaOH 溶液进行尾气处理D ．工业上电解熔融NaCl 、3AlCl 制单质Na 、Al11．化合物[()()44222YX W TZ 6X Z ⋅]是分析化学中重要的基准物质，其中X 、Y 、Z 、T 分别位于三个短周期，原子序数依次增加；T 与Z 同主族；常温下2YZ 为气体，其分子的总电子数为奇数；W 为常见的金属元素，在该化合物中W 离子的价层电子排布式为63d 。

2024届福建省四校联考高三下学期返校考数学试题及答案

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考考试科目：数学满分： 150分考试时间：120分钟第Ι卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.1.已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =( )A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,42.若复数a +3i2+i是纯虚数，则实数a =( )A.-23B.23C.-32D.323.在△ABC 中，D 是线段BC 上一点，满足BD =2DC ,M 是线段AD 的中点，设BM=xAB +yAC ，则( )A.x -y =-12B.x +y =-12C.x -y =12D.x +y =124.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L =L 0D GG 0，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为( )(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.11B.22C.227D.4815.已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点为F 1、F 2,P 为椭圆C 上一点，∠PF 1F 2=π3，则△PF 1F 2的面积为( )A.3B.1C.3D.236.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C =2A ，a ，b ，c 成等差数列，则cosC =( )．A.18B.34C.-12D.457.已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右顶点为A 、B ，点P 、Q 均在C 上，且关于x 轴对称.若直线AP 、BQ 的斜率之积为-14，则该双曲线的离心率为( )A.72B.62C.52D.28.已知正数a ,b ,c 满足e a =b =lnc ,e 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是( )A.a +c <2bB.a +c >2bC.ac <b 2D.ac >b 2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知A ，B 是直线y =32与函数f x =sin ωx +π6ω>0 图象的两个相邻交点，若|AB |=π6，则ω的值可能是( )A.2B.4C.8D.1010.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，则( )A.存在唯一点P ，使得D 1P ⊥B 1CB.存在唯一点P ，使得直线D 1P 与平面ABCD 所成的角取到最小值C.若DP =12DB ，则三棱锥P -BB 1C 外接球的表面积为8πD.若异面直线D 1P 与A 1B 所成的角为π4，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分11.学校食堂每天中午都会提供A ，B 两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A 套餐的概率为23，选择B 套餐的概率为13.而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为12，选择B 套餐的概率也是12，如此反复.记某同学第n 天选择A 套餐的概率为A n ，选择B 套餐的概率为B n .一个月(30天)后，记甲､乙､丙三位同学选择B 套餐的人数为X ，则下列说法中正确的是( )A.A n +B n =1 B.数列A n -25是等比数列C.E X =1.5D.P X =1 ≈36125第ΙΙ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡的相应位置.12.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b,圆上恰好有两个点到直线l的距离等于1.则符合条件的实数b可以为.（只需写出一个满足条件的实数即可）13.梯形ABCD中，AD⎳BC，AB⊥AD，AD=AB=1，BC=2，分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为.14.若过点(1,0)可以作曲线y=ln(x+a)的两条切线，则实数a的取值范围为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD满足：AB⊥AD，AD∥BC．(1)要经过平面CC1D1D内的一点P和棱BB1将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？(借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明)(2)若AD=AB=2，BC=AA1=1，当点P在点C处时，求直线AP与平面CC1D1D所成角的正弦值．16.（15分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为X．(1)若该质点共移动2次，位于原点O的概率.(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字X的分布列和数学期望．17.（15分）有n 2n ≥4 个正数，排成n 行n 列的数表：a 11a 12a 13a 14...a 1n a 21a 22a 23a 24...a 2n a 31a 32a 33a 34...a 3n a 41a 42a 43a 44...a 4n ..................a n1a n2a n3a n4...a nn,其中a ij 表示位于第i 行，第j 列的数.数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等.已知a 24=1，a 42=18，a 43=316.(1)求公比.(2)求a 11+a 22+⋅⋅⋅+a nn .18.（17分）已知抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点P (4,4).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程.(2)设O 为原点，直线y =kx +2与抛物线C 交于M ,N （异于P )两点,过点M 垂直于x轴的直线交直线OP 于点T ，点H 满足MT =TH.证明:直线HN 过定点.19.（17分）已知函数f (x )=exlnx ，g (x )=x -1e2-1．(1)证明：对任意的x ∈(0，1)，都有f (x )≥g (x )．(2)若关于x 的方程f (x )=m 有两个不等实根x 1，x 2，证明：1+m <|x 2-x 1|<21+m ．安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考数学参考答案题号123456答案A C BDAA题号7891011答案CBAD BCDABD1.答案:A解析：由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .2.答案：C解析：a +3i 2+i =(a +3i )(2-i )5=2a +3+(6-a )i 5，则2a +3=0，有a =-32.3.答案：B解析：因为D 是线段BC 上一点，满足BD =2DC ，所以AD =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，又M 是线段AD 的中点，所以AM =12AD =16AB +13AC，所以BM =BA +AM =-AB +16AB +13AC =-56AB +13AC，所以x =-56,y =13，故x +y =-12.4.答案：D解析：由于L =L 0D G G 0，所以L =0.5×D G 22，依题意0.45=0.5×D 2222⇒D =910，则L =0.5×910G22，由L =0.5×910 G 22<0.05得910 G 22<110，lg 910 G 22<lg 110,G 22lg 910<-1，G ⋅lg9-lg10 <-22，G ⋅lg10-lg9 >22,G >22lg10-lg9，G >221-2lg3=221-2×0.4771=220.0458≈480.35，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.5.答案：A解析：P 为短轴上的顶点.6.答案：A解析：因为C =2A ，所以B =π-3A ．又因为a ，b ，c 成等差数列，则2b =a +c ．根据正弦定理可得：2sinB =sinA +sinC ，即2sin 3A =sinA +sinC ，展开得：2sin2AcosA +2cos2AsinA =sinA +sinC ，进一步得：sin2A 2cosA -1 =sinA 1-2cos2A ，因为sinA ≠0，可得8cos 2A -2cosA -3=0，又易知A 为锐角，所以cosA =34，则cosC =2×34 2-1=18，故A 正确.7.答案：C解析：设P (x 1,y 1),Q (x 1,-y 1),则y 1x 1+a ∙-y 1x 1-a =-14,-y 12x 12-a 2=-14,b 2a 2=14,e =52.8.答案：B解析：由题设a >0，则b >1，且a =lnb ,c =e b ，则a +c =lnb +e b ，令f (x )=lnx +e x -2x 且x >1，故f (x )=1x+e x -2，令g (x )=1x +e x -2，则g (x )=e x -1x2在(1,+∞)上递增，故g (x )>g (1)=e -1>0，所以g (x )=f (x )在(1,+∞)上递增，故f (x )>f (1)=e -1>0，所以f (x )在(1,+∞)上递增，故f (x )>f (1)=e -2>0，即lnx +e x >2x 在(1,+∞)上恒成立，故a +c >2b ，A 错，B 对；对于ac ,b 2的大小关系，令h (x )=e x lnx -x 2且x >1，而h (1)=-1<0，h (e )=e e -e 2>0，显然h (x )在(1,+∞)上函数符号有正有负，故e x lnx ,x 2的大小在x ∈(1,+∞)上不确定，即ac ,b 2的大小在b ∈(1,+∞)上不确定，所以C 、D 错.9.答案：AD解析：设函数f (x )的最小正周期为T,则AB =16T 或者AB =56T ，即2π6ω=π6或10π6ω=π6，解得ω=2或ω=10，10.答案：BCD解析：对于A 选项：正方形BCC 1B 1中，有BC 1⊥B 1C ，正方体中有AB ⊥平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，AB ⊥B 1C ，又BC 1∩AB =B ，BC 1,AB ⊂平面ABC 1D 1，B 1C ⊥平面ABC 1D 1，只要D 1P ⊂平面ABC 1D 1，就有D 1P ⊥B 1C ，P 在线段AB 上，有无数个点，A 选项错误；对于B 选项：D 1D ⊥平面ABCD ，直线D 1P 与平面ABCD 所成的角为∠D 1PD ，D 1D =2，∠D 1PD 取到最小值时，PD 最大，此时点P 与点B 重合，B 选项正确；对于C 选项：若DP =12DB，则P 为DB 中点，△PBC 为等腰直角三角形，外接圆半径为12BC =1，三棱锥P -BB 1C 外接球的球心到平面PBC 的距离为12BB 1=1，则外接球的半径为2，所以三棱锥P -BB 1C 外接球的表面积为8π，C 选项正确；对于D 选项：以D 为原点，DA ,DC ,DD 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 10,0,2 ，A 12,0,2 ，B 2,2,0 ，P x ,y ,0 0≤x ≤2,0≤y ≤2 ，则有D 1P =x ,y ,-2 ，A 1B =0,2,-2 ，有cosD 1P ,A 1B =D 1P ⋅A 1BD 1P ⋅A 1B=2y +4x 2+y 2+4⋅8=cosπ4=22，化简得x 2=4y ，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，D 选项正确.11.答案：ABD解析：由于每人每次只能选择A ，B 两种套餐中的一种，所以A n +B n =1，所以A 正确，依题意，A n +1=A n ×14+1-A n ×12，则A n +1-25=-14A n -25 n ≥1,n ∈N ，又n =1时，A 1-25=23-25=415，所以数列A n -25 是以415为首项，以-14为公比的等比数列，所以A n -25=415×-14 n -1,A n =25-1615×-14 n ,B n =1-A n =35+1615×-14 n ，当n >30时，B n ≈35，所以X ∼B 3,35,P X =1 =C 13×35×25 2=36125,E X =95，12.答案：符合2<b <32即可13.答案：7π3解析：如下图所示：由题意可知，四边形ABCD 是直角梯形，且AB 为直角腰，AB =AD =1，BC =2.①若以AB 为轴旋转一周，则形成的几何体为圆台，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为1，几何体的体积为V 1=13π+4π+π⋅4π ⋅1=73π；②若以BC 为轴旋转一周，则形成的几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体，且圆柱、圆锥的底面半径均为1，高均为1，几何体的体积为V 2=π×12×1+13×π×12×1=43π；③若以AD 为轴旋转一周，则形成的几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥所形成的几何体，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径与高均为1，几何体的体积为V 3=π×12×2-13×π×12×1=53π.因为V 1>V 3>V 2，因此，分别以AB 、BC 、AD 为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为7π3.14.答案：-1<a <0解析：曲线y =ln (x +a )有渐近线x =-a ，且与x 轴交于点A (1-a ,0).结合图像可知，点(1,0)应位于A 与渐近线之间，故有-a <1<1-a ，解得：-1<a <0.15.解析：(1)过点P 作直线EF ⎳CC 1，分别交CD 、C 1D 1于E 、F ，连接BE 、B 1F.(2)以AA 1、AB 、AD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz.则A 0,0,0 ，D 0，0,2 ，D 11,0,2 ，C 0,2,1 ∴P 0,2,1AP =(0,2,1),CD =(0,-2,1),DD 1=(1,0,0).设平面CC 1D 1D 的法向量为n=x ，y ，z ，则n ⋅CD=-2y +z =0n ⋅DD 1=x =0 ，取n=0，1，2 .设直线AP 与平面CC 1D 1D 所成角为θ,sinθ=cos n ,AP =n ⋅AP n AP=45，所以直线AP 与平面CC 1D 1D 所成角的正弦值为45.16.解析：(1)质点移动2次，可能结果共有2×2=4种，若质点位于原点O ，则质点需要向左、右各移动一次，共有C 12=2种，故质点位于原点O 的概率P =24=12.(2)质点每次移动向左或向右，设事件A 为“向右”，则A为“向左”.故P (A )=P (A )=12,设Y 表示6次移动中向左移动的次数，则Y ∼B 6,12，质点到达的数字X =6-2Y,所以P (X =6)=P (Y =0)=C 06126=164,P (X =4)=P (Y =1)=C 1612 6=332，P (X =2)=P (Y =2)=C 2612 6=1564，P (X =0)=P (Y =3)=C 3612 6=516，P (X =-2)=P (Y =4)=C 4612 6=1564，P (X =-4)=P (Y =5)=C 5612 6=332，P (X =-6)=P (Y =6)=C 6612 6=164，所以X 的分布列为：X -6-4-20246P16433215645161564332164E (X )=E (6-2Y )=-2E (Y )+6=-2×6×12+6=0.17.解析：(1)第4行公差为d =a 43-a 42=116，a 44=a 43+116=14.由已知：a 24⋅q 2=14,所以q =±12.又每个数都是正数，所以q =12.(2)因为a 41=116，所以a 4k 是首项为116，公差为116的等差数列.故a 4k =k16.因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以a nk =a 4k ∙12 n -4=12n⋅k.故a nn =12n⋅n ，设a nn 的前n 项和为S n ,S n =a 11+a 22+⋅⋅⋅+a nn =1×12 1+2×12 2+3×12 2+⋅⋅⋅+n ×12n①,12S n =1×12 2+2×12 3+3×12 4+⋅⋅⋅+n ×12n +1②,①-②得12S n =12 1+12 2+12 3+⋅⋅⋅+12 n -n ×12n +1=121-12n 1-12-n ×12 n +1=1-12n -n 2n +1.所以S n =2-n +22n.18.解析：(1)由已知，16=8p ，所以p =2.抛物线C :y 2=4x ，准线方程为x =-1.(2)由y 2=4x y =kx +2 ，消去x ，得ky 2-4y +8=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则k ≠0，Δ>0，且y 1+y 2=4k ，y 1y 2=8k.直线OP 方程为：y =x .所以T (x 1,x 1).又MT =TH ，则T 为MH 中点，所以H (x 1,2x 1-y 1).所以HN :y -y 22x 1-y 1-y 2=x -x 2x 1-x 2.令y =0,则x =x 2-y 2(x 1-x 2)2x 1-y 1-y 2=x 2(2x 1-y 1-y 2)-y 2(x 1-x 2)2x 1-y 1-y 2=x 2(2x 1-y 1)-y 2x 12x 1-y 1-y 2.又x 1y 2-x 2(2x 1-y 1)=y 21y 24-y 224y 212-y 1=y 1y 24y 1+y 2-y 1y 22 =y 1y 244k -4k=0.所以直线HN 过定点O.19.解析：(1)令h (x )=f (x )-g (x )=exlnx -x -1e2+1，x ∈(0，1)．则h (x )=e (lnx +1)-2x -1e =elnx -2x +e +2e ，h 1e =0．又当x ∈(0，1)时，h (x )=ex-2>e -2>0，所以h (x )在(0，1)上单调递增．所以当x ∈0，1e 时，h (x )<h 1e =0，当x ∈1e ，1 时，h (x )>h 1e =0．所以h (x )≥h 1e=0．故对任意的x ∈(0，1)，都有f (x )≥g (x )．(2)f (x )=e (lnx +1)，当x ∈0，1e时f (x )<0，f (x )单调递减，当x ∈1e ，+∞ 时f (x )>0，f (x )单调递增．又f 1e=-1，lim x →0f (x )=0，f (1)=0，所以-1<m <0．设函数g (x )的图象与直线y =m 的交点的横坐标分别为x 1和x 2.不妨设x 1<x 2，x 1<x 2，则x 1 <x 1<x 2<x 2，所以|x 2-x 1|<|x 2-x 1|．又方程m =x -1e 2-1可化为x 2-2e x +1e 2-1-m =0,其两根为x 1和x 2，所以x 1+x 2=2e ，x 1x 2=1e2-1-m ．所以|x 2-x 1|=(x 1'+x 2')2-4x 1'x 2'=21+m ．故|x 2-x 1|<21+m ．当x ∈0，1e 时，f (x )=exlnx <-ex ,函数f (x )图像在直线y =-ex 的下方.当x ∈1e ，+∞ 时，令k (x )=(e -1)lnx +1x-1,则k (x )=e -1x -1x 2=(e -1)x -1x 2.所以k(x)在(1e,1e-1)上递减，在(1e-1,1)上递增.又k(1e)=k(1)=0.所以当x∈1e，+∞时，k(x)=(e-1)lnx+1x-1<0.故f(x)=exlnx<ee-1(x-1),函数f(x)图像在直线y=ee-1(x-1)的下方.直线y=m与直线y=-ex的交点横坐标分别为x3，与直线y=ee-1(x-1)交点的横坐标为x4,则x3=-me,x4=m-me+1.所以|x2-x1|>x4-x3=m+1.综上，1+m<|x2-x1|<21+m．·7·。

浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题含答案

2024学年第一学期高二年级10月四校联考数学学科试题卷（答案在最后）命题人：考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.直线310y --=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．【详解】因为该直线的斜率为33，所以它的倾斜角为30︒．故选：A ．2.若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（）A.B. C.π3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆锥表面积公式求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得.【详解】圆锥底面圆半径r ，母线l ，高h ，由圆锥的表面积为12π，得π2+πr =12π，而2r =，解得4l =，因此h ==所以该圆锥的体积=13π2ℎ=13π×22×23=.故选：C3.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线1l ：ax ＋2y －1＝0与直线2l ：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】∵当a =1时，直线1l ：x +2y ﹣1=0与直线2l ：x +2y +4=0，两条直线的斜率都是12-，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到21114a a -=≠+，解得a =﹣2，a =1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．4.在四面体OABC 中，记OA a = ，OB b =，OC c = ，若点M 、N 分别为棱OA 、BC 的中点，则MN = （）A.111222a b c ++B.111222a b c -++C.111222a b c -+ D.111222a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：B.5.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是（）A.[]2,6 B.[]4,8 C. D.⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】先求出,A B 两点坐标得到||AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线AB 距离的范围，由三角形的面积公式计算即可.【详解】因为线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，所以(2,0),(0,2)A B --，所以||AB ==由()2222x y -+=，可得圆的圆心为(2,0)因为点P 在圆()2222x y -+=上，所以圆心到直线AB 的距离为d ==故P 到直线AB 的距离1d 的范围为，则111||[2,6]2ABP S AB d ==∈ .故选：A.6.已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A.0x y +=B.0x y -=C.2210x y -+=D.2210x y ++=【答案】A 【解析】【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出·PC AB 最小时，直线l 与直线PC 垂直，结合图象求得直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而PA =，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A7.设函数()()2ln f x x ax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（）A.2-B.1- C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>，要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >，所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =--，则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+-+=-++，且开口向上，所以，只需(1)0101a a a -+≤⇒+≥⇒≥-，故a 的最小值为1-.故选：B8.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为A.254+B.4+C.272+D.252【答案】A 【解析】【分析】由题意画出图形，设球O 得半径为R，AB=x，AC=y，由球O 的表面积为29π，可得x 2+y 2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值．【详解】设球O 得半径为R，AB=x，AC=y，由4πR 2=29π，得4R 2=29．又x 2+y 2+22=（2R）2，得x 2+y 2=25．三棱锥A-BCD 的侧面积：S=S △ABD +S △ACD +S △ABC =11122222x y xy ⋅+⋅+由x 2+y 2≥2xy，得xy≤252当且仅当x=y=2时取等号，由（x+y）2=x 2+2xy+y 2≤2（x 2+y 2），得,当且仅当x=y=2时取等号，∴+12522⨯=254+当且仅当x=y=522时取等号.∴三棱锥A-BCD 的侧面积的最大值为254+.故选A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知圆()22:24C x y ++=，直线()():1210R l m x y m m ++-+=∈，则（）A.直线l 恒过定点()1,1-B.直线l 与圆C 有两个交点C.当1m =时，圆C 上恰有四个点到直线l 的距离等于1D.圆C 与圆222880x y x y +-++=恰有三条公切线【答案】ABD 【解析】【分析】求出直线l 过的定点判断A ；判断定点与圆的位置关系判断B ；求出圆心到直线距离判断C ；判断圆与圆的位置关系判断D.【详解】对于A ，直线l 的方程为(1)210x m x y +++-=，由10210x x y +=⎧⎨+-=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩，直线l 过定点(1,1)-，A 正确；对于B ，()2212124-++=<，即定点(1,1)-在圆C 内，则直线l 与圆C 相交且有两个交点，B 正确；对于C ，当1m =时，直线:0l x y +=，圆心(2,0)C -到直线l 的距离为d ==，而圆C 半径为2，因此只有2个点到直线l 的距离等于1，C 错误；对于D ，圆222880x y x y +-++=的方程化为22(1)(4)9x y -++=，其圆心为(1,4)-，半径为3，两圆圆心距为532d '===+，两圆外切，因此它们有三条公切线，D 正确.故选：ABD.10.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()21f x f x f +-=，则（）A.()10f = B.()()110f x f x -++=C.()()1212f x f x +=- D.201()10i f i ==∑【答案】AC 【解析】【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A ；根据已知条件得(2)()0f x f x +--=、(1)(1)0f x f x +--=判断B 、C ；根据函数的性质，举反例()0f x =判断D.【详解】由()()()21f x f x f +-=，令1x =-，则()()()0111(1)f f f f ⇒--==-，又()f x 为偶函数，则(1)(1)0f f =-=，A 对；由上，得()()0(2)()02f x f f x f x x ⇒=---+=+①，在①式，将1x -代换x ，得(1)(1)0f x f x +--=②，B 错；在②式，将2x 代换x ，得(21)(12)0(21)(12)f x f x f x f x +--=⇒+=-，C 对；由()()2f x f x +=且(1)(1)f x f x +=-，即()f x 周期为2且关于1x =对称，显然()0f x =是满足题设的一个函数，此时201()0i f i ==∑，D 错.故选：AC11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆,b c O O 的劣弧,AC AB 的弧长分别记为,b c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC V 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC -．设,,BOC AOC AOB αβ∠=∠=∠=γ，则下列结论正确的是（）A.若平面ABC V 是面积为24R 的等边三角形，则a b c R ===B.若222a b c +=，则222αβγ+=C.若π3a b c R ===，则球面O ABC -的体积312V R >D.若平面ABC V 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +=【答案】BC 【解析】【分析】对于B ，利用,,a R b R c R αβγ===代入易得；对于C ，先求得三棱锥O ABC -的体积312O ABC V R -=，由球面O ABC -的体积O ABC V V ->即得；对于A ，由条件知ABC V 三边为R ，推得π3a b c R ===排除A ，对于D ，由余弦定理和题设可得cos cos cos 1αβγ+-=，取特殊值即可排除D.【详解】对于A ，因等边三角形ABC V 的面积为24R ，则AB BC AC R ===，又OA OB OC R ===，故αβγ==π,3=则π3a b c R ===，故A 错误；对于B ，由222a b c +=可得222()()()R R R αβγ+=，故222αβγ+=，即B 正确；对于C ，由π3a b c R ===可得，π,3αβγ===故AB BC AC R ===.由正弦定理，ABC V的外接圆半径为1π23sin 3R =，点O 到平面ABC的距离3h R ==，则三棱锥O ABC -的体积2311334312O ABC ABC V S h R R R -=⋅=⨯⨯= ,而球面O ABC -的体积312O ABC V V R ->=，故C 正确；对于D ，由余弦定理可知22222222222cos ,22cos ,22cos ,BC R R AC R R AB R R αβγ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩由π2C =可得，222BC AC AB +=，即2222242cos 2cos 22cos R R R R R αβγ--=-，化简得，cos cos cos 1αβγ+-=．取ππ,32αβγ===，则ππ,32a b R c R ===，则2222222ππ94a b R R +=<2c =，故D 错误．故选：BC三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若圆()22121C x y -+=：与圆222:460C x y x y m ++++=有且仅有一条公切线，m =______.【答案】23-【解析】【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可.【详解】由()()22222:4602313C x y x y m x y m ++++=⇒+++=-，显然()()1213,2,0,2,3m C C >--，又12,C C 只有一条公切线，所以12,C C 相内切，将2C 点坐标代入圆1C 方程知()()222231--+->，即2C 在圆1C 外部，所以圆1C 内切于圆2C ，则有1251C C ==，解之得23m =-.故答案为：23-13.已知函数()π2sin 0,02y x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭的图象经过点(，且在y 轴右侧的第一个零点为π4，当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与()2sin y x ωϕ=+的交点有__________个，【答案】6【解析】【分析】根据题意，求得函数的解析式为π2sin 34y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，画出sin y x =与π2sin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的图象，结合图象，即可求解.【详解】因为函数()2sin y x ωϕ=+的图象经过点(，可得2sin ϕ=，即sin 2ϕ=，又因为π02ϕ≤≤，所以π4ϕ=，因为π2sin (0)4y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个零点为π,4所以πππ44ω+=，解得3ω=，所以π2sin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出sin y x =与π2sin 34y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的图象，如图所示，由图可知曲线sin y x =与π2sin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的交点有6个.故答案为：6.14.如图，在长方形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点.现将AFD △沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是_______.【答案】4,23⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】设DF x =，求得x 关于t 的表达式，根据x 的取值范围结合AK AD <求得t 的取值范围.【详解】如图，在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥，垂足为H ，连接HK ．过点F 作//FP BC ，交AB 于点P ．设FAB θ∠=，5,2AE AC ===，所以3cos ,135θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．设DF x =，则332x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =，DK AB ⊥，DK ⊂平面ABD ，所以DK ⊥平面ABC ，又AF ⊂平面ABC ，所以DK AF ⊥．又因为DH AF ⊥，DK DH D = ，DK ，DH ⊂平面DKH ，所以AF ⊥平面DKH ，所以AF HK ⊥，即AHHK ⊥．在Rt ADF 中，AF =，DH =因为ADF △和APF 都是直角三角形，PF AD =，所以Rt Rt ADF FPA ≌△△，AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△，,2AHDH AH AH AD DF ===所以cos ,AH APAK AFθ===4x t=．因为332x <<，所以3432t<<，所以4833t <<．又AK AD <，即2t <，故423t <<.故答案为：4,23⎛⎫⎪⎝⎭四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间[]30,90内.现将100个样本数据按[)30,40，40,50，50,60，60,70，[)70,80，[]80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；（2）学校决定表彰成绩排名前30％的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.【答案】（1）样本数据的平均值为68.5，中位数为71.7；（2）学生甲不能得到表彰，理由见解析.【解析】【分析】（1）用每组数据中点值乘以该组数据的频率相加求和可得平均值，先估算中位数的范围，再列方程求中位数；（2）估算排名在70%的成绩，和76比较，得到结论.【小问1详解】样本数据的平均值为()350.005450.010550.010650.020750.030850.0251068.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=因为从左至右的前4组数据的频率为0.050.10.10.20.45+++=，从左至右的前5组数据的频率为0.050.10.10.20.300.75++++=，所以样本数据的中位数位于区间[)70,80内，设中位数为x ，则()0.45700.0300.5x +-⨯=，所以21571.73x =≈，【小问2详解】成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.75，则被表彰的最低成绩为0.70.45701078.3333760.30-+⨯=>，所以估计学生甲不能得到表彰.16.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足PA =（1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）若直线l 过点()1,2Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）222220x y x y +++-=；（2）1x =或512190x y -+=.【解析】【分析】（1）设(),P x y ，根据动点P 满足PA =，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l 的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【小问1详解】设(),P x y ，由||||PA PO =，得=，化简得222220x y x y +++-=，所以P 点的轨迹C 的方程为222220x y x y +++-=.【小问2详解】由（1）知，轨迹C ：22(1)(1)4x y +++=表示圆心为(1,1)C --，半径为2的圆，当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，圆心(1,1)C --到直线l 的距离为2，l 与C 相切；当直线l 的斜率存在时，设():21l y k x -=-，即20kx y k -+-=，2=，解得512k=，因此直线l的方程为51901212x y-+=，即512190x y-+=，所以直线l的方程为1x=或512190x y-+=.17.已知函数()2xxb af x xa-=-（0a>且1a≠b∈R）是定义在R上的奇函数，且()512f=-；（1）求a，b的值；（2）解不等式()()21570f x f x-+-<．【答案】（1）1,b=2a=，（2）{}23x x<<【解析】【分析】（1）根据()00f=和()512f=-即可联立求解，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可求解.【小问1详解】由题意可知：()00f=和()512f=-，故()01000bfa-=-=且()25112b afa-=-=-，故1,b=2a=，12a=-（舍去）【小问2详解】()2121222xxx xf x x x-=-=--，由于函数1,2,2xxy y y x==-=-均为单调递减函数，故()f x为单调递减，故()()()()221570175f x f x f x f x-+-<⇒-<-，即2175x x ->-，解得23x <<，故不等式的解为{}23x x <<18.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线BD 和BF 上移动，且BM 和BN 的长度保持相等，记(0BM BN a a ==<<．（1）证明：//MN 平面BCE ；（2）当2a =时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）由已知可证明//MN DF ，可得//MN CE ，由线面平行的判定定理得//MN 平面BCE ；（2）由题意，M ，N 分别BD 和BF 的中点，O 为MN 中点，连接,AO BO ，余弦定理求cos BOA ∠，可得平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.【小问1详解】连接,DF CE ，ABCD ，ABEF 的边长都是正方形，则有BD BF ==又(0BM BN a a ==<<，则BDF V 中，BM BNBD BF=，所以//MN DF ，由////DC AB FE ，DC AB FE ==，则四边形CDFE 为平行四边形，有//DF CE ，所以//MN CE ，MN ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以//MN 平面BCE.【小问2详解】当22a =时，M ，N 分别BD 和BF 的中点，连接,AM AN ，则22BM BN AM AN ====，平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD AB ⊥，则AD ⊥平面ABEF ，AF ⊂平面ABEF ，则AD AF ⊥，1AD AF ==，得2DF =，1222MN DF ==，O 为MN 中点，连接,AO BO ，则AO MN ⊥，BO MN ⊥，64AO BO ==，AOB V 中，由余弦定理，2221cos 23AO BO AB BOA AO BO +-∠==-⋅，所以平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值为13.【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，利用余弦定理求解；也可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC V 的三个内角均小于120︒时，使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若tan tan cos()cos tan tan 1A CA CB AC -+=-.①求B ；②若ABC V 的面积为3P 为ABC V 的费马点，求PA PC ⋅的取值范围；（2）若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，且PB 平分ABC ∠，试问是否存在常实数t ，使得2b tac =，若存在，求出常数t ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①π3B =；②2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（2）存在，1t =【解析】【分析】（1）①根据三角形内角和定理结合两角和差的余弦公式化简即可得解；②在PAB ，PBC 中，分别利用正弦定理求出,PA PC ，再根据数量积的定义结合三角恒等变换化一，再根据三角函数的性质即可得解；（2）根据ABC PAB PBC PAC S S S S =++求出三角形ABC 面积的表达式，再在PAB ，PBC ，PAC 中，分别由余弦定理求出cos θ与,,a b c 的关系，再结合1sin 22ABC S ac θ= 化简即可得出结论.【小问1详解】①因为tan tan cos()cos tan tan 1A CA CB AC -+=-，且πA B C ++=，所以tan tan cos()cos()tan tan 1A CA C A C A C --+=-，所以sin sin cos cos sin sin (cos cos sin sin )sin sin cos cos A CA C A C A C A C A C A C+--=-，即sin sin 2sin sin cos()A CA C A C =-+，因为(0,π)A ∈，(0,π)C ∈，所以sin 0A ≠，sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =；②因为π3ABC ∠=，所以ABC V 的内角均小于2π3，所以点P 在ABC V 的内部，且2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，由1sin 2ABC S ac B == 4ac =，设ABP θ∠=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3CPB θ∠=-，在PAB 中，由正弦定理得sin sin PA cAPB θ=∠，即sin ,PA θ=在PBC 中，由正弦定理得πsin sin 3PC aCPB θ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，即πsin 3PC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2ππ1cos sin sin 332PA PC PA PC θθ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2π8πsin sin sin sin 3333ac θθθθ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭81811cos 2sin cos sin sin 23223422θθθθθ⎛⎫⎛⎫-=--=--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8114π2sin 2cos 2sin 23444363θθθ⎛⎫⎛⎫=-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162θ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以PA PC ⋅的取值范围为2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；【小问2详解】因为111sin sin sin 222ABC PAB PBC PAC S S S S c AP a BP b CP θθθ=++=⋅+⋅+⋅ ，即1sin ()2ABC S c AP a BP b CP θ=⋅+⋅+⋅ ，所以2sin ABCS c AP a BP b CP θ⋅+⋅+⋅= ，在PAB ，PBC ，PAC 中，分别由余弦定理得：2222cos BP c AP c AP θ=+-⋅，2222cos CP a BP a BP θ=+-⋅，2222cos AP b CP b CP θ=+-⋅，三式相加整理得2222cos ()c AP a BP b CP a b c θ⋅+⋅+⋅=++，2222cos ()a b c c AP a BP b CP θ++=⋅+⋅+⋅，将2sin ABCS c AP a BP b CP θ⋅+⋅+⋅=代入得：22222cos sin ABCS a b c θθ++=⋅，因为PB 平分ABC ∠，所以2ABC θ∠=，1sin 22ABC S ac θ=，所以22222sin 22cos 2cos 4cos sin sin ABC S ac a b c ac θθθθθθ++=⋅=⋅= ，③又由余弦定理可得：()2222222cos 22cos sin a c b ac b ac θθθ+=+=+-，④由③-④得：()22222sin cos b b ac θθ=-++，所以()222sin cos b ac θθ=+，即2b ac =，所以常数1t =，使得2b ac =.【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”；（2）利用余弦定理实现“角化边”.求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.。

广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)

2024届高三级11月四校联考数学试题佛山市第一中学、广州市第六中学汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=，所以{|01}A B x x =< ≤=A ，故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数，根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ．故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥，因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==，又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增，又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−，可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<，注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ，可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ，所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=，则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<，所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ，即4652S S S +=，故C 错误；对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确；故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确；故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误；且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误；由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =，令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ，令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立，可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=，所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−，由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−，是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −，则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <，故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−，则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确；对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −，则112247−=f f f ，因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ，即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解．【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△，所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=．所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=，若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++，对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−，因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <，即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增，所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈．故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值．【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式．（2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值．【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象，因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ，因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=，所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解；（2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−，的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =，此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=，又201e e F =− <，()2e e 1F =，作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<，所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围；（2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2）【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明；【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥，当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ，当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增，当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ，可知()g x ′在π0,2内单调递增，因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =，当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>；所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减；综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−，又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ，因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥，则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=，即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立，即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ，当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立；当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ，即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ，相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ，为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ；综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

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2018-2019学年度第一学七年级语文学科【2018-2019四校联考七年级上期中】期中四校联考试卷2018-10班级姓名学号一、基础运用（每小题2分，共12分）字1.下列各组词语中加点字字音字形完全正确的一项是（）A. 嘹．亮（liáo）酝酿．（niàng）贮．藏（chǔ）窠．巢（kē）B. 诀．别（jué）静谧．（mì）瘫．痪（tān）一霎．（chà）C. 黄晕．（yùn）抖擞．（sǒu）莅．临（lì）着．落（zhuó）D. 澄．清（chéng）分歧．（qí）粗犷．（kuàng）企．盼（qǐ）【参考答案】C2.下列各句中,加词语使用有误的一项是（）A.这个地方真荒凉,人迹罕至．．．．,寸草不生。

B.素质教育就是让学生各得其所．．．．,各展所长。

C.同学们听到秋游的消息,一个个喜出望外．．．．,高兴地蹦了起来。

D.她上课认真听讲,遇到不明白的问题,课下一定找老师解决,真是对知识不求甚解．．．．啊！【参考答案】D3.下列汉字笔顺判断错误的一项是（）A.“义”字的第三笔是：B.“长”字的第二笔是：一C.“及”字的第一笔是：D.“万”字的第三笔是：丿【参考答案】C句——语句表达4.下面句子中,语言表述得体的一项是（）A.一位年轻人回答电视台记者采访时说:“我家家风很严,令尊常告诚我们,做人要诚实。

”B.我们很荣幸地邀请到著名作家杨笑天先生来针对我们大作中存在的问题进行具体指导。

C.公交车进站时售票员提醒道:“各位乘客请注意,雪天路滑,请您下车时注意脚下安全。

”D.“抱歉打扰您了!我想跟您垂询一下如何解压,尽快消除心理阴影的问题。

”——记小王采访心理学家张教授。

【参考答案】C5.对下列句子的修辞方法分析有误的一项是（）A.雨是最寻常的,一下就是三两天,可别恼。

看,像牛毛,像花针,像细丝,密密地斜织着,人家屋顶上全笼着一层薄烟。

分析:使用了比喻的修辞,把雨比作牛毛、花针、细丝,一连串的比喻形象生动地体现了春雨细密缠绵的特点,表达了作者对春雨的喜爱之情。

B.但我和妻子都是慢慢地、稳稳地,走得很仔细,好像我背上同她背上的加起来,就是整个世界。

分析:这里运用了拟人的修辞。

把整个世界比作我们背上的母亲和儿子,意思是夫妻共同面对一初,同甘共苦,不离不弃，就能扛起世界。

C.水唤醒了我的灵魂,并给予我光明、希望、快乐和自由。

分析：这句话将水拟人化，写出了水唤起了“我”对世界万物认识的一种愿望，使“我”的生命旅程充满了全新的希望。

D.油蛉在这里低唱,蟋蟀们在这里弹琴。

分析：这里运用了拟人的修辞，赋予油蛉和蟋蟀人的行为，写出了油蛉和蟋蟀鸣唱的声音悦耳动听，表达作者对油蛉和蟋蟀的喜爱之情。

【参考答案】B文学常识6.下列有关文学常识的表述，不正确的一项是（）A.《论语》,儒家经典著作,是记录孔子及其弟子言行的一部书。

孔子,名丘,字仲尼，战国时期思想家、政治家、教育家。

B.老舍,原名舒庆春。

字舍予,北京人,满族,作家,作品有小说集《骆驼祥子》《四世同堂》,话剧《茶馆》等。

C.曹操是东汉末年杰出的政治家、军事家、诗人,著有《龟虽寿》《短歌行》。

D.《秋天的怀念》的作者是史铁生,生于北京,作家,代表作有小说《遥远的清平湾》《命若琴弦》等,他的散文《我与地坛》激励了无数人。

【参考答案】A古诗默写二、古诗文阅读(共18分)7.古诗默写(共5分,每空1分）（1），应傍战场开。

（2），闻道龙标过五溪。

（3）水何澹澹, 。

（4）《夜上受降城闻笛》一诗中运用比喻的修辞手法来表现边塞荒寒凄冷的诗句是：，。

(1)遥怜故园菊(2)杨花落尽子规啼(3)山岛竦峙(4)回乐烽前沙似雪,受降城外月如霜古诗阅读8.古诗阅读（共3分）阅读下面的古诗,完成(1)-(2)题。

次北固山下客路青山外,行舟绿水前。

潮平两岸阔,风正一帆悬。

海日生残夜,江春入旧年。

乡书何处达?归雁洛阳边。

(1)下列对诗句理解分析不正确的一项是( )(1分)A.诗题“次北固山下”中的“次”是游览的意思,表明诗人写诗的地点。

B.首联先写“客路”后写“行舟”,神驰故里的漂泊羁旅之情,流露于字里行间。

C.这是一首五言律诗,诗的颔联颈联对仗工整,这是律诗的一个重要特征。

D.尾联的“乡书”“归雁”让人感受到一种淡淡的思乡愁绪。

(2)阅读画线诗句,观察下面两幅图画,简要说明哪一幅能够表现这一联诗句所描绘的景象。

（2分）答：【参考答案】8.（1）A（1分）(2)参考答案示例:图一(1分)。

图一画面中潮水上涨,湖面与两岸齐平,正对应“潮平两岸阔”(0.5分)；一只航船正鼓帆远行,正对应“风正一帆悬”。

(0.5分)文言文9.阅读下面文言文,完成(1)-(4)题。

(共10分）【甲】陈太丘与友期行，期日中。

过中不至，太丘舍去，去后乃至。

元方时年七岁，门外戏。

客问元方：“尊君在不？”答曰：“待君久不至，已去。

”友人便怒：“非人哉！与人期行，相委而去。

”元方曰：“君与家君期日中。

日中不至，则是无信；对子骂父，则是无礼。

”友人惭，下车引之。

元方入门不顾。

——《陈太丘与友期行》【乙】昔吴起①出，遇故人而止之食②。

故人曰：“诺，期返而食。

”起曰：“待公而食。

”故人至暮不来，起不食待之。

明日早，令人求故人，故人来，方与之食。

起之不食以俟③者，恐其自食其言也。

其为信若此，宜其能服三军欤④？欲服三军，非信不可也。

——《龙门子凝道记》【注释】①吴起:战国时著名的军事家。

②止之食:留他吃饭。

③俟：等待。

④欤：yú，句末语气词。

(1)根据语句意思,下列句子朗读停顿正确的一项是()(1分)A.期日/中B.对/子骂父C.下车/引之D.故人至/暮不来(2)解释下列句子中加点的字词(2分)①相委．而去②下车引．之③故人来,方．与之食④恐．其自食其言也(3)将下列句子翻译成现代汉语(4分)①过中不至,太丘舍去,去后乃至。

②故人至暮不来,起不食待之。

(4)【甲】【乙】两文在为人处世方面共同说明了什么道理?请结合文段内容和生活实际谈的看法。

(3分)答：【参考答案】(1)C(1分)(2)①舍弃②拉,牵拉③才④害怕,担心 (2分,各0.5分)(3)(4分,各2分)①正午已过(朋友)还没来,太丘不再等候,自已先走了,太丘走后那个朋友才来。

②老友到了傍晚还没有来,吴起不吃饭而等候他。

(4)答题要点：共同道理1分,结合文段内容1分,联系生活实际1分,共3分。

参考答案示例:两文共同说明了为人要守信。

(1分)乙文中吴起是守信之人,正是这种诚信的品质令他使三军信服;甲文中的友人是不守信之人,则连七岁小儿都瞧不起他，(1分)在我们生活中与人交往也要信守承诺。

(1分)名著三、名著阅读（共7分）10.童年是生命的底色,鲁迅先生的散文集《朝花夕拉》中,许多篇章都表现出儿童的天性,《从百草园到三味书屋》中拔何首乌,折腊梅花等情节，表现出①；《狗·猫·鼠》追忆童年时救养一只可爱②的经历，流露出儿童对弱小者的同情；《③》中记述儿时盼望观看迎神赛会，却被父亲强迫背诵《鉴略》的痛苦。

抒发了儿童对自由成长的渴望。

（共3分，每空1分）1.沙僧助八戒救公主被擒，唐僧也被变成老虎。

在白龙马劝说2.见面后，孙悟空问：“我临走时一再嘱咐你，倘师父被妖怪捉3.八戒灵机一动，使用了激将法，他说：“你不知道，我一提4.孙悟空闻言大怒，随八戒赶去救人，大战黄袍怪。

妖怪敌他不5.孙悟空救出了被妖怪变成老虎的师父，并施法帮他恢复了原6.唐僧挽留悟空，请他一同去西天取经，师徒二人尽释前嫌。

(1)第6幅图中说“师徒二人尽释前嫌”,“前嫌”指的是什么事?(2分)答：（2）西游记中,师四人组成了取经团队,一个团队需要团队成员互相关心,互相帮助，互相包容和互相协作,团队精神是团队成员共同认可的一种集体意识,能推动团队运作和发展。

请结合连环画中的相关情节,谈谈你对“团队精神”的理解。

(2分)答：【参考答案】10.儿童对大自然的亲近;限鼠;五猖会。

(每空1分,共3分)11.(1)孙悟空因三打白骨精被逐回花果山。

(2分)(2)答题要点:(情节1分,理解1分,共2分)参考答案示例一：唐僧在宝象国被黄袍怪变成了老虎,八戒、白龙马等人斗不过黄袍怪。

然后八戒到花果山,通过激将法将被唐僧贬走的悟空请来,打败了黄袍怪救了唐僧,师徒和好。

(1分)说明了任何一个人的力量都是渺小的,只有融入团队,与团队一起奋斗,才能实现个人价值的最大化,获得最终的成功。

(1分）参考答案示例二：唐僧误会孙悟空将其赶走、但情空走后仍然关心唐僧,并且得知唐僧有难后立刻赶来救唐僧,两人最后冰释前嫌,继续一同去西天取经。

(1分)可见,“团队精神”就是团队成员之间的互相关心、包容、帮助,才能推动团队的运作和发展。

（1分）非连续文本四、现代文阅读(共23分)12.阅读以下三则材料,完成(1)-(4)题。

(共10分)【材料一】烟草的烟雾中至少含有三种对人体有危害的化学物质:焦油、尼古丁和一氧化碳。

焦油是由好几种物质混合成的物质,在肺中会滚缩成一种黏性物质。

尼古丁是一种会使人成瘾的药物，由肺部吸收,主要是对神经系统产生影响。

一氧化碳能削弱红细胞将氧输送到全身的能力。

一个每天吸15到20支的人,其患肺癌、口腔癌或喉癌致死的概年,要比不吸烟的人大14倍；其患食道癌致死的概率比不吸烟的人大4倍；死于膀胱癌的概率要大2倍;死于心脏病的概率也要大2倍。

吸烟是导致慢性支气管炎和肺气肿的主要原国,而慢性肺部疾病本身,也增加了得肺炎及心脏病的危险,并且吸烟也增加了高血压的危险。

【材料二】我国烟民约占世界三分之一据《2006年中国“吸烟与健康”报告》调查结果显示【材料三】1987年11月,世界卫生组织建议将每年的4月7日定为“世界无烟日”,并于1988开始执行。

但因4月7日是世界卫生组织成立的纪念日，每年的这一天，世界卫生组织都要提出一项保健要求的主题。

为了不干扰其卫生主题的提出，世界卫生组织决定从1989年起将每年的5月31日定为世界无烟日，中国也将该日作为中国的无烟日。

（1）烟草的烟雾中含有哪些危害身体健康的化学物质,它们分别会对人体造成哪些危害?(3分）答：（2）阅读【材料二】,你能获取很多信息,请将你读取的内容进行概括。

(4分)答：（3）下列内容表述不正确的一项是( )(2分)A.吸烟有害健康,害人害己,我们要积极参与控烟活动,广泛宣传吸烟的危害。

B.吸烟的人死于癌症的概率远远大于不吸烟的人,而且吸烟还会诱发其他疾病。

C.世界卫生组织和中国的无烟纪念日都是每年的4月7日。

D.控烟宣传,创建无烟家庭、无烟校园、无烟生活环境,人人有责。

（4）经学校同意,学生会准备把学校那些冷冰冰的“禁止吸烟”标志,换成富有人情味和启发性的宣传标语。