《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》
2.4.2平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅= .2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b的夹角，则①a b a b ⊥⇔⋅=；②a = ；③cos θ= . （二）自主探究：（预习教材P106—P108） 探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅ 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a = ________________或a ________________。
（２）若()11,A x y ，()22,B x y ，=___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________二、合作探究1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
2、已知()()1,3,3,1==，求a 与b的夹角θ.变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、交流展示1、若()4,3a =- ，()5,6b = ，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a =-- ，()4,b k =- ，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +- 与平行吗？它们是同向还是反向？四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知()3,4a =- ，()5,2b =，则a b ⋅ 等于（ ） A.23 B.7 C.23- D.7-2. 若()3,4a =- ，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（ ）A.6365 B.3365 C.3365- D.6365- 3. ()2,3a = ，()2,4b =-，则()()a b a b +⋅- = ，4.已知向量()1,2OA =- ，()3,OB m =，若OA AB ⊥ ，则m = 。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt
小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17； （3）17.
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 （新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c
复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 Ｄ、等边三角形
平面向量数量积的坐标表示教学反思.doc范文
平面向量数量积的坐标表示教学反思.doc范文第一篇：平面向量数量积的坐标表示教学反思.doc范文《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教学反思1、本节课先是通过对相关知识的回顾，然后引进与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，进一步探索两个向量数量积的坐标表示。
最后通过几个例题加强学生对两个向量数量积的坐标表示的理解及其灵活应用。
课堂结构清晰完整流畅。
在教学中，知识的回顾，题目的设计都围绕数量积坐标表示展开。
数量积公式得出后，启发学生自己动手推导出模、夹角的坐标表示，回顾了公式的同时又培养了学生的推导能力、自主学习能力。
在与学生的课堂交流中能倾听学生的想法，及时纠正偏差，激发了学生自主探究的欲望，较好的提升了学生的思维能力，对于学生在探究过程中出现的问题都能认真加以点评，适时指出不足与优点，对于学生的发现与总结都能给于很好的评价与赞扬，让学生收到激励，保持学习的热情。
2、教学设计结构严谨，过渡自然，时间分配合理。
知识回顾部分把上节课的数量积、夹角、模、垂直、平行的有关知识进行回顾，每一条知识点的回顾都是本堂课的新课内容。
3、新课引入部分问题设计合理，但提问的字句还需斟酌，要语简意赅，如22思考2中：对于上述向量i,j，则i,j,i.j分别等于什么？这样的问法觉的还是太繁琐，是否可以改为计算i2,j2,i.j？这样可能更直接一点。
4、公式的得出，在应用之前或者应用之后都应该对公式的结构特征进行归纳总结。
学生因为接受新知识，对公式肯定不是很了解，应该要引导学生分析公式特征及应用的注意点。
5、一节课的知识与技能是否落实，难点是否得到突破，是教学者最为关心的话题。
课堂习题正是检验教学效果的工具。
在习题设置上，除了覆盖重难点外，还应做到由简入深。
同时，在教学过程中，通过旧知生成新知的过程，采用问题串的形式引导学生一步步完成自主探究得到生成，是比较有效的教学方式。
6、通过本次公开订，学到了很多东西，争取下一次做得更好，另外还需改进语言表达能力，希望课堂气氛可愉更加活跃。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计
“引导－探究式”教学法”。
课堂基调：
自主探索，民主开放。 合作交流，师生对话。
借助：
“多媒体”教学
课堂流程
提供材料 设计问题
复习思考 提出问题
类比化归 解决问题
反思建构 操作练习
教学过程
选择恰当的实例。
新
课
从复习向量加减法的坐标运算开始。
导
开门见山，直奔主题。
入 提供材料，让学生发现问题。
夹角等知识进行简单的计算和证明 。
能力目标：
领悟数形结合的思想方法，培养学生自主学习， 提出问题、分析问题、解决问题的能力。
情感目标：
体验探索的乐趣，认识世间万物之间的联系与转化。 让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
重、难点分析
重点：
数量积坐标表示的推导过程。
难点：
公式的建立与应用。
教法分析
可设计：
向量的两个要素：模、夹角随之确定。
求
a
?
b
?∠AOB＝？等。
设计意图： 渗透数形结合意识，突出向量的两个要素。
结论
1.
数量积的定义：
a
b
a
b
cos
2． 数量积的性质：
（1）
a
b
ab
0
（2）当
a与b同向时，a
b
a
b.
可解。
ab
关键:是如何用坐标表示
a
b
?
设计意图：
突出重点，为后面建立模、夹角公式做铺垫，使 学生产生学习数量积坐标表示的积极心理倾向。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
A、B两点间的距离公式:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ,
2 2
cos （1）
x1 x2 y1 y2 x1 y1
3.解：
(a b) a 2a b b 49
cos 1 13 74
a 2 b 1,2a 13, b 2 74
证明： AB (2 1,3 2) (1,1)
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3) AB AC 1 (3) 1 3 0
△ABC是直角三角形
思考：还有 其他证明方 法吗？
提示：尝试用勾股定理来证明
2.解
a b 2 (-2) 3 4 8
(a b) (a - b) a 2 b2 (22 32 ) [(2)2 42 ] 7
a (b c) a b a c
2 ( 2) 3 4 2 ( 1) 3 ( 2) 0
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
（2） a // b x1y2 x2 y1 0 （3） a b x1 x2 y1 y2 0
例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,试判断 △ABC的形状，并给出证明。
解：如图在平面直角坐标系中标出A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5） 三点，我们以现△ABC是直角三角形，下面证明：
例3：设a=(5, － 7) ， b=(－ 6 , － 4) ，求a· b 及a、b间的夹角（精确到1°）
平面向量数量积的坐标表示,模,夹角评课稿
平面向量数量积的坐标表示，模，夹角评课稿
评《平面向量数量积的坐标表示，模，夹角》
应老师这一堂组内公开课《任意角》，其课堂的师生互动、思维碰撞，令听课的老师耳目一新。
下面是笔者对这节课的几点体会。
一、教学设计
1.结构清晰
课堂中先是通过初中对向量数量积及其变形以及相关知识的回顾，然后通过引进与x轴、y轴方向相同的两个单位向量通过知识基础向量的坐标表示，进一步探索两个向量数量积的坐标表示。
最后通过几个习题加强学生对两个向量数量积的坐标表示的理解及其灵活应用。
课堂结构清晰完整流畅。
2.环环相扣
针对学生的思维特点，在教学环节涉及上做到由浅入深环环相扣。
例如在复习回顾的过程中引导学生回顾两个向量数量积的几何角度和坐标角度的相关公式，然后在探究新制过程中给出：已知是分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量的条件后，提问对于上述向量，则,分别等于什幺？在旧知的基础上，学生较易得到结论。
紧接着引进，提问：能表示出来向量、的坐标吗？与已有知识再次融合，同时成为生成新知的知识基础。
最后提问：我们能将用坐标表示吗？如果能，如何表示？使学生顺利完成整堂课的核心内容。
3.习题有效
在新知识内容探究结束以后，给出两个例题。
第一个例题从两个已知向量出发的三个计算题，涵盖数量积，向量的模。
简单基础，学生解决较为容易，在激发信心的同时也能进一步巩固本堂课的基础内容。
第二个例题结合。
高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
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课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
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温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ， 则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
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思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
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命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题． 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完 全代数化，并将数与形紧密结合起来． 主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
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新课引入
第二章
2.4 2.4.2
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向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画 卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问 题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量 的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你 能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起 进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
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三、课堂小结
1.向量的坐标运算沟通了向量与解析 几何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用 向量方法来解决. 2 . a∥ b a⊥ b
x1 y2 x2 y1 0
x1 x2 y1 y2 0
二者有着本质区别.
4、平面向量的坐标运算：
向量 a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y2 ), 有： a b ( x1 x 2 , y1 y2 ) a b ( x1 x 2 , y1 y2 ) a (x1 , y1 )
二、新知探究
( 3) a b a b 0 即 x1 x2 y1 y2 0
ab (4) cos ab
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x y
2 2
2 2
例题精析:
【例1】已知A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5) （1）试求∠ABC的余弦值； （2）试判断△ABC的形状，并证明。
x1 x2 y1 y2
1. 推导坐标公式： a x1i y1 j , b x2 i y2 j , a b ( x1i y1 j )( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j y1 x2 j i y1 y2 j
二、新知探究
【探究】 已知两个非零向量 a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y2 ), 怎样用a与b 的坐标表示a b 呢？
1. 推导坐标公式：
1. 推导坐标公式： a x1i y1 j , b x2 i y2 j , a b ( x1i y1 j )( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j y1 x2 j i y1 y2 j
一、温故知新
1. 向量的数量积的定义是什么?
2. 向量数量积a b 的几何意义是什么 ?
3、平面向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数， 则： (1) a b b a; ( 2) ( a ) b (a b ) a ( b ); ( 3) ( a b ) c a c b c 但(a b )c a (b c )
【例2】已知b (1, 1), a b 3, | a b | 2, 求|a |.
【练习】 已知a与b 的夹角为60, a ( 2, 0) b 1，则 a 2b ( A. 3 B. 2 3 ) C. 4 D. 2
【例4】 已知向量a=(λ,－2)，b=(－3，5)， 若向量a 与b的夹角为钝角，求λ的取值范围.
x1 x2 y1 y2
从而 a b x1 x2 y1 y2
2. 长度、角度、垂直的坐标表示：
2 2 2 (1) a ( x , y ) a x y 或 a x2 y2
2. 长度、角度、垂直的坐标表示：
2 2 2 (1) a ( x , y ) a x y 或 a x2 y2
(2) 若表示向量a的有向线段的起点和终 点 的坐标分别为 A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则 2 2 | a || AB | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
y2 0
10 6 6 ( , ) ( , ) 3 5 5
【思考】 设m 、n是两个单位向量 , 其夹角为60, 试求向量 a 2m n与b 2n 3m 的夹角.
【练习】在ABC中, AB (2, 3), AC (1, k ), 且ABC的一个内角为直角 ,求 k 的值.