圆锥曲线光学性质几何证明法
圆锥曲线的光学性质探究
点， 作直线 ｖ Ｆ ｌ ， Ⅳ Ｆ ２ ， 分别交左 右准线 于点Ｑ， Ｒ， 则 Ｑ， Ｐ ， Ｒ
三点共线．
双 曲线的光学性质知直线 Ｐ Ⅳ 为
的外角平分线．
高 中 版 中。 ？ 擞－ ？ 篱
教 教
案例 点评
２ ０ １ ３年 ４月
向量暗藏玄机 方 向掌控 自如
外 一个焦 点．
点的 坐 标为ｆ ， Ｙ ｏ １ ， 即 Ｑ 、 Ｐ 、 Ｒ 三 点 共 线 ．
现在研究定理２ 的逆定理 ： 定理３ ： 已知椭 圆 ＋ ＝ １ （ ６ ＞ ０ ） （ 如图２ ） 的左 右焦
矿 Ｄ ‘
抛物线的光学性质 ： 从抛 物线的焦点出发的光 线 ， 经 过 抛物线壁反射后 ， 反射光线 平行 于抛物线 的对称 轴．
ｎ
现在将 定理３ 类 比到双曲线 和抛物线 ：
定理４ ： 已知双 曲线 一
旷 ｂ。
＼矿
／
一
‰
，
＝
差＝ ｃ ｔ ＋ ｅ Ｘ ｏ ＝ ， 所
矿 ｂ‘
～
＝ １（ 如 图３ ） ， ， 是 其左 右 焦
点， Ｚ ， Ｚ 。 是其左 右准线 ， Ｐ 是双 曲
（ ＋ 。 ） ， 左准 线 ２ ： ： 一 ， 得 Ｑ 点 坐 标为ｆ 一 ， Ｙ ｏ １ ， 同 理， Ｒ
Ｃ 、 Ｃ ／
过椭圆壁的反射后 ， 反射光线过另外 一个 焦点．
双 曲线 的光学性质 ：从 双 曲线的一个焦 点出发 的光
线， 经过双曲线壁的反射后 ， 反射光线 的反 向延 长线 过另
２ ０ １ ３年 ４月
案例 点评
材 法
圆锥曲线光学性质解析证明
a2k2b2m20
x0为方程的解 ,由韦达定理
2x0
2a2mk b2 a2k2
a2mk a2mka2k x0b2a2k2m 2 m
y0
k x0
m
k(a2k ) m
m
ห้องสมุดไป่ตู้
a2k 2 m2 b2
在给出证明之前，先说明一下物理上的反射 规律
1 入射光线射到曲面上与射到曲面在此点的 切线反射光线相同；
2 反射光线的反向延长线，会经过光源关于 反射面的对称点；
因此，要证明圆锤曲线焦点F发出的光线，在 点E(x0, y0)经过圆锤曲线处反射后的反射光线 的性质，我们可以先求出点 E(x0, y0)处的切 线方程，然后求出F点关于切线的对称点H,在 研究HE直线的性质。
HG HE
x0 2a2bb42xx020 (ya0c4y02b2)
( B 2 A 2 ) q x ( B 2 A 2 ) p x 2 A ( A x B p y C p )
qxpxB 22 A A 2(Ax pByp C ) B②A①得 ABxqB2qy (ABxqA2qy) 2BCB2py ABxp(ABxpA2py) B 2 q y A 2 q y 2 B B C 2 p y 2 Ax B A 2 p y p ( B 2 A 2 ) q y 2 B 2 B C 2 p y 2 A x B A 2 p y B p 2 p y qypyB 22 B A 2(Ax pByp C )
b4x0 2a4y0 2
E(x0, y0) 设直 G与 线 Ex轴交 H(h于 ,0)
H (G c h2 b 4x0(x0 c a 2),2 a 2 b 2y0(x0 c a 2)) b 4x0 2 a 4y0 2 b 4x0 2 a 4y0 2
圆锥曲线光学性质的几何证明
任 意关 于原 点对 称 的 非空 数 集 ， 就 是 说 ， 也 既是 奇 函数 又 是 偶
函数 的函数 有无 穷多个 ， 们 的解析 式相 同 ， 是定 义域 不 同． 它 但
三、 函数 奇 偶 性 的判 定 方 法
１ ．判 断函数 奇偶 性 的步骤 ： 先求 函数 的定 义域 ， 断定 首 判
一
・ ． ．
Ａ Ｃ的 方 程 为 ｙ—ｙ 。：
（ 一 ） 。 ．
，
／ ２ ４ （ｘ ＋ ｘ Ｆ — － Ｃ Ａ— Ｄ ＋ ） Ｅ ￣
２ Ａｘ —Ｄ
令 ｙ
得 ：
２ ｃ
ｎ
：
．
± Ｅ 一４ Ａ ＋Ｄ Ｃ（ ｘ ｘ＋Ｆ）
‘ ． ．
（ 。 Ｙ ） 的切 线 方 程 为 ，。 处
２Ｃ
一
等． 线Ｂ方为０Ｙ ｌ理 ， ・ Ａ 程 ＋Ｏ ＇ ，１ ． 的 Ｘ ＿整 得＝ 直 Ｅ ：Ｙ
ｂ ２
’ ‘ 。
６ ‰ ２
¨
ａＹ ２
ｏ
± ／一４ Ｃ 一４ Ｄ Ａ Ｃ ＋Ｅ 一４ ＣＦ
２Ｃ
，
’
一
１ ２Ｃ
Ｘ
—８ ＡＣｘ 一４ＣＤ ±２
义域 内的 每一 个 ， 有 ＿ 一 都 厂 ）＝ 一 （ 或 ＿ 一 （ 厂 ＿ ） 厂 ）： （ ， （ ＿ ） 才 厂 能 说 函数 ＿ ） 奇 函数 或 偶 函数 ． 此 ， 义 域 关 于 原 点 对 厂 是 （ 因 定 称是 函数 具备 奇 偶 性 的前 提 条 件． 果 一 个 函数 的定 义 域 不 如 关 于原 点 对称 ， 个 函数必 定 既 不 是 奇 函数 也 不 是偶 函数 ． 这 二、 函数 奇 偶 性 的分 类
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。
设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：。
（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。
该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为。
1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
如图1中。
事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，所以又焦半径所以，从而得即当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。
所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。
2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。
如图2中证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。
椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。
3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。
仍可利用到角公式获证。
这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。
二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。
圆锥曲线的光学性质
圆锥曲线光学性质的证明及应用初探一、 圆锥曲线的光学性质 1．1椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在1F 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F 处，对2F 处的物体加热。
电影放映机的反光镜也是这个原理。
证明：由导数可得切线l 的斜率02020x x b x k y a y =-'==，而1PF 的斜率010y k x c =+，2PF 的斜率020y k x c =- ∴l 到1PF 所成的角α'满足()()2002222220000012222001000200tan 11y b x x c a y a y b x b cx k kb x y kk a b x y a cy xc a y α++++-'===+-+-+，()00,P x y 在椭圆上，∴20tan b cy α'=，同理，2PF 到l 所成的角β'满足2220tan 1k k b kk cy β-'==+， ∴tan tan αβ''=，而,0,2παβ⎛⎫''∈ ⎪⎝⎭，∴αβ''=1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．图1.3图1.2图1.1要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。
探究数学中圆锥曲线的光学性质
椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点顾名思义，就是光线的聚焦点，这说明圆锥曲线具有丰富的光学性质.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用这个原理设计的.反之，也成立.太阳灶设计就是按照这个原理.如图1.虽然课本上给出了性质，但没有任何证明.讲课时可以借助GeoGebra软件的作图和轻松设置变量为滚动条功能来直观显示，并用几何方法和学生进行简单论证.如图2，对于抛物线y2=2px上任意一点A(y022p,y0)处切线称为镜面，A点不是原点（0，0）时切线镜面直线M″M′有斜率k(k≠0)，过A垂直镜面直线M″M′的直线N″N′称为法线.AF″垂直于准线x=-p2.F″(-p2，y0)，F(p2，0)，则k F″F=y0-0-p2-p2=y0-p，过A的切线方程为y-y0=k(x-y022p)，切线与抛物线联立方程ìíîïïy-y0=k(x-y022p)y2=2px,把x=y22p带入直线y-y0=k(x-y022p)，则y-y0=k(y22p-y022p)的Δ=0，得到k=py0.k M″M′∙k N″N′=-1，k∙k F″F= -1.∴F″F⊥M″M′.由抛物线定义，||AF″= ||AF.∠F″AM″=∠M″AF=∠M′AF′’，∴∠F″AM″和∠M′AF′为对顶角，F″、A、F′三点共线.AF″垂直于准线x=-p2.∴反射光线AF′平行x轴.当过A的直线无斜率时（即点A（0，0）时），结论显然成立.探究数学中圆锥曲线的光学性质河北省三河市第二中学张振富065201摘要：椭圆、双曲线、抛物线都有焦点，焦点使这些圆锥曲线有丰富的光学性质.生活中很多物品设计中利用了这些性质.数学教学中利用建模思想，从实物中抽象出数学问题，利用这些性质解决问题.关键词：光学性质；圆锥曲线；光学性质图1··30椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同.从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样.依次如图3、4.胶片电影放映机的聚光灯内安装的椭球反射镜就是应用了这个原理.如图5.例1椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点是光线的聚集点，当一束光照到镜面时，光线依入射角等于反射角的规律反射．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后通过椭圆的另一个焦点（如图6所示）．已知F 1，F 2是椭圆x 24+y 23=1的焦点，过椭圆上的点P (1,32)做椭圆的切线l ,M ,N 分别是F 1，F 2在该切线上的射影，则||F 1M ⋅||F 2N 的值为().A.2B.3C.4D .5解析：入射光线F 1P ，反射光线PF 2，过P 点椭圆x 24+y 23=1的切线方程为直线MN :1∙x 4+32∙y3=1（镜面），F 1M ⊥MN ，F 2N ⊥MN ，PE ⊥MN 交x 轴与E ，直线PE 方程y -32=2(x -1)（法线），E (14,0)，入射角∠F 1PE =反射角∠EPF 2=θ，sin∠F 1PM =||MF 1||PF 1=cos θ，sin∠F 2PN =||NF 2||PF 2=cos θ；||MF 1=||PF 1cos θ，||NF 2=||PF 2cos θ，椭圆x 24+y 23=1中c =1，点P (1,32)，∴PF 2⊥F 1F 2，||PF 2=32，||PF 1=52，cos ∠F 1PF 2=cos2θ=2(cos θ)2-1=||PF 2||PF 1=3252=35，||MF 1∙||NF 2=||PF 1⋅cos θ||PF 2∙cos θ=||PF 1||PF 2(cosθ)2=32∙52∙45=3,所以选B.引申：任意椭圆x 2a 2+y 2b2=1，一般性规律||MF 1∙||MF 2=b 2，cos∠F 1PF 2=cos2θ=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(||PF 1+||PF 2)2-2||PF 1||PF 2-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(2a )2-2||PF 1||PF 2-(2c )22||PF 1||PF 2=4b 2-2||PF 1||PF 22||PF 1||PF 2=4b 22||PF 1||PF 2-1=2(cos θ)2-1，∴(cos θ)2=b 2||PF 1||PF 2，||MF 1∙||NF 2=||PF 1cos θ⋅||PF 2·cos θ=||PF 1||PF 2(cos θ)2=||PF 1||PF 2∙b 2||PF 1||PF 2=b 2.拓展：求梯形面积S MF 1F 2N 的取值范围1510-5-10-15-510152025303540N ″M ′法线′’A28.02°64.98°28.02°M 镜面N ′’p =3.828.02°xy图2F F F F F F C A B影片门图3图4图5MN2F 1F 2E -2-101231-1-2θ=26.57图6··31.解：S MF 1F 2N =12(||MF 1+||NF 2)∙||MN =12(||PF 1∙cos θ+||PF 2cos θ)∙(||PF 1sin θ+||PF 2sin θ)=12(2a )cos θ⋅(2a )sin θ=a 2sin(2θ)，若b c ，∃P ，使∠F 1PF 2 π2，∴∠F 1PF 2=π2时，S MF 1F 2N最大值=a 2.若b ＞c ，∀P ，∠F 1PF 2<π2，当P 在椭圆短轴端点时∠F 1PF 2最大，此时sin(2θ)=2sin θcos θ=2∙c a ∙b a =2bca 2，故S MF 1F 2N 最大值=a 2∙2bc a 2=2bc .例2双曲线的光学性质为：如图7，从双曲线右焦点F 2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F 1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质，某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图8，其方程为x 2a 2-y 2b2=1，F 1、F 2为其左、右焦点，若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后，满足∠BAD =90°，tan∠ABC =-34，则该双曲线的离心率为（）.A. B.5C.D .10解析：若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射，入射光线F 2A ,反射光线AD ，反向延长AD 过F 1，入射光线F 2B ，反射光线BC ，反向延长BC 过F 1，∠BAD =90°，∠BAF 1=90°.tan∠ABC =-34,tan∠ABF 1=34，cos∠ABF 1=45.令||AF 1=3k ，则||AB =4k ，||BF 1=5k .令||AF 2=x ，||BF 2=4k -x .由双曲线定义||AF 1-||AF 2=3k -x =2a =||BF 1-||BF 2=5k -(4k -x ).∴x =k ，2a =||AF 1-||AF 2=3k -x =2k .Rt△F 2AF 1中，||F 1F 22=||AF 12+||AF 22=(3k22=10k 2，∴|F 1F 2|=10k =2c ，则e =2c 2a =所以选C.应用：抛物线具有如下光学性质，从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点（4,23)，则||FM =().A .2B .3C .4D .5解析：如图9，由抛物线光学性质，从F发出的光线经抛物线上的点M 反射后经过点P (4,23)，入射光线FM ，反射光线MP .∴MP 平行x 轴.则由M (x M ,23)在抛物线上得x M =3.由抛物线定义||FM =x M +p2=3+1=4.所以选C.高中数学教学中，应重视课本，在大量教辅资料面前回归教材.在教学中教师若能用灵活的教学方法，充分发挥课本的功能，就可以事半功倍，提高课堂教学效果.F 1F 2Oy x图742-2-4-6-4-2246FA DCBF 2图8yx4321-1-2-1123456M ″M P M ′FC ′(4,23)图9y x··32。
圆锥曲线光学性质的证明与应用
圆锥曲线光学性质的证明与应用圆锥曲线光学性质是从小学到研究生乃至博士研究生涉及到的一个重要光学中的重要分支，在物理学家和光学科学家的眼中，它是实验及理论上的一个难题，探究其特定的形式及性质是比较重要的一个研究内容。
圆锥曲线光学性质又称为非球型曲线光学性质，它是指圆锥曲线光学特征下产生的未经处理或未经任何折射及反射的光学性质，其特点是光线在进入圆锥曲线（折射介质）以后，根据入射角和折射指数的不同，发生不同的折射及反射现象，这种现象是其他曲线光学特征（折射平面镜及球面镜）下所不具备的特性。
圆锥曲线的光学特性不仅仅表现在入射角的变化上，它也具有折射指数的变化，也就是说，当折射现象发生时，光线不仅仅受到入射角的作用，而且还受到折射指数的作用，这会导致光线在所经过的介质中会发生折射，从而导致圆锥曲线光学特征的变化。
圆锥曲线经过折射以后，光线会发生变换，从而产生一些新的特性，比如入射角发生了变化，折射指数也发生了变化，而且圆锥曲线即使经过折射以后，仍然能够以正确的方向折射出去，这是和球面镜最大的不同之处。
圆锥曲线光学特征的应用很广泛。
在医学领域，它可以用来检测小的病变，例如圆锥曲线的折射指数变大，能够帮助检测出细胞变化；在光照学领域，它可以应用于把光照射到某个特定的区域，从而达到良好的光照效果；在望远镜上，使用圆锥曲线也能够快速准确的聚焦；在日晷中也有对圆锥曲线的应用，以有效的观测太阳方位。
圆锥曲线光学性质的研究也被科学家普遍认为是一项重要的研究工作，它也有着丰富多彩的应用，从而推动了现代科学的发展。
目前，学者们已经出现了数学模型的提出，以此证明圆锥曲线光学性质的正确性，并且他们还建立了精密的参数模型，用来描述圆锥曲线光学特性，从而准确高效地预测光线在折射介质中会出现的折射和反射现象，这是光学研究的一项重大创新。
圆锥曲线光学性质的证明与应用的发展为光学理论的发展搭建了一个坚实的基础，而它在日常生活中也有着丰富多彩的应用，无论是在医学、通讯、航空宇航、观测等领域，圆锥曲线光学性质已经发挥着极其重要的作用。
高中数学——圆锥曲线的光学模型
关于圆锥曲线的光学模型及应用一、圆锥曲线的光学性质1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F 1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F 2处，对F 2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．∙图1.3F 2∙∙F 1图1.2∙∙AF 1F 2D O图1.1B要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。
二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。
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利用反证法证明圆锥曲线的
光学性质
迤山中学数学组
贾浩
2014.1.1
利用反证法证明圆锥曲线的光学性质
反证法又称归谬法，是高中数学证明中常用的一种方法。
利用反证法证明问题的思路为：首先在原命题的条件下，假设结论的反面成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而说明假设不成立，则原命题得证。
在光的折射定律中，从点P 发出的光经过直线l 折射后，反射光线的反向延长线经过点P 关于直线l 的对称点。
下面结合光的折射定律，利用反证法证明圆锥曲线的光学性质。
一、椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点上。
该命题证明如下：
已知椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上的一个点，过点P 作椭圆的切线l ，2F 关于切线l 的对称点为'2F ，证明：1F 、P 、'2F 三点共线。
证明 假设'2F 不在1F 、P 所在的直线上，连接1F 、'2F ，交椭圆于M 。
则''1212F F MF MF =+，
''1212F F PF PF <+
由122PF PF a +=，'22PF PF =得
'122PF PF a +=，则'122F F a <
又由122MF MF a +=，
'22MF MF < 得 '122MF MF a +>，则
'122F F a <。
这与上式矛盾。
因此，1F 、P 、'2F 三点共线。
二、双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。
该命题证明如下：
已知双曲线的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线右支上的一个点，过点P 作双曲线的切线l ，2F 关于切线l 的对称点为'2F ，证明：1F 、P 、'2F 三点共线。
证明 假设'2F 不在1F 、P 所在的直线上，连接1F 、'2F ，交椭圆于M 。
则''1212F F MF MF =-，
''1212F F PF PF >-
由'122PF PF a -=得
'122F F a >。
又由122MF MF a -=，'22MF MF < 得 '122MF MF a -<，则'122F F a <。
这与上式矛盾。
因此，1F 、P 、'2F 三点共线。
三、抛物线的光学性质
从抛物线的焦点出发的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴。
该命题证明如下：
已知抛物线焦点分别为F ，直线m 为抛物线的准线，P 为抛物线上的一个点，过点P 作直线m 的垂线，垂足为'P 。
过点P 作抛物线的切线l ，F 关于切线l 的对称点为'F ，证明：'F 、P 、'P 三点共线。
证明 假设'F 、P 、'P 三点不共线，由
'PF PF =，'PF PP =得''PF PP =。
又因为直线'PP m ⊥，故'F 在直线m 右侧。
过'F 作直线m 的垂线，交抛物线于点
M ，交直线m 于N ，则'MN MF >，由抛物线的定义得MN MF =，则'MF MF >
由M 在切线l 右侧得'MF MF <，这与上式矛盾。
因此，'F 、P 、'P 三点共线。
在上述的证明过程中，没有利用圆锥曲线的方程，只利用了教材中圆锥曲线的定义，这样就避免了大量的代数计算。
借助于反证法，大大的简化了证明的过程。