高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案 新人教A版选修1-2
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念创新应用学案新人教A版选修1-2
时，一定要关注在哪个数集上．
(3) 对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为
a＋bi 的形式，更要注意这里 a， b 均为实数时，才能
确定复数的实、虚部．
练一练
1．下列命题中：
①若 a∈ R，则 ( a＋ 1)i 是纯虚数；
②复数 z＝ 0 的实部和虚部均为 0； ③ 若 ( x2－1) ＋ ( x2＋ 3x＋ 2)i 是纯虚数，则实数 x＝ ±１；
I ， R， M 三个集合之间
的关系如图所示．
所以应有 ：M∪ R I ，( ?I M) ∪ R＝?I M， M∩（?I R) ≠ ?，故 A， B， D三项均错，只有 C项正确．
2．以－ 5＋ 2i 的虚部为实部，以 5i ＋ 2i 2 的实部为虚部的复数是 (
)
A． 2－ 2i
B
． 2＋ 2i
C．－ 5＋ 5i
2 解析：选 C 7i ， (1 － 3 )i 是纯虚数， 2＋ 7， 0,0.618 是实数， 8＋ 5i 是虚数．
6．若复数 z＝ m2－ 1＋ ( m2－ m－2)i 为实数，则实数 m的值为 (
)
A．－ 1 B ． 2 C ． 1 D ．－ 1 或 2
解析：选 D ∵ 复数 z＝ m2－ 1＋ ( m2－ m－ 2)i 为实数， ∴ m2－ m－ 2＝ 0，解得 m＝－ 1 或 m＝ 2.
练一练 3．已知复数 z＝ x＋yi( x， y∈R)，且 x， y 满足 2x＋y ＋xi ＝ 8＋ (1 ＋ y)i ，求复数 z.
解： ∵ 2x＋y＋ xi ＝8＋ (1 ＋y)i ，且 x， y∈ R， 2x＋ y＝8，
∴ x＝1＋y， x＋ y＝3，
即 x－ y＝1， x＝2，
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修1
内蒙古开鲁县高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（内蒙古开鲁县高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3。
1.1数系的扩充与复数的概念吗？ 二、新课讲解： ①定义复数：形如a bi +的数叫做复数,通常记为z a bi =+(复数的代数形式)，其中i 叫虚数单位,a 叫实部,b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1:下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+-- 规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论:复数的代数形式中规定,a b R ∈,,a b 取何值时,它为实数?数集与实数集有何关系？ ③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数,,(0)bi b ≠叫做纯虚让学生理解引入i 后,所带来的变化，让学生讨论：aa+i ai Ia+bi 是否都符合复数的一般代数形式？ 让学生学会利用复数的一般代数形式，判断复数的实部与虚部 强调:两复数不能比较大小，只有等与不等。
找到对应的a 与b 的值理解复数的一般代数形式完成答题，体会实部与虚部区分实数，虚数,纯虚数的条件理解复数集实数集的联系数。
选修2-2第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念导学案
【学习目标】
1.了解把实数系扩充到复数系的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
2.理解复数的基本概念，以及复数相等的充要条件.
【学习重点、难点】
重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念；
难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难；由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数概念的理解也有一定的困难.
或 1或
2.以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的新复数是( )
3. , , , , ,那么 的补集是（）
A．.RD.Q
4.设 ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5．求适合下列方程的 和 （ 的值；
（1） ；（2）
4．复数相等的充要条件：
（1）在复数集C＝ 中，任取两个数 我们规定： 相等的充要条件是，记作 ，特殊的 .
（2）一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.也就是说，当两个复数都是实数时，则可以比较大小；否则，不能比较大小.
5、你能用图来表示复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系吗？
【典型例题】
【例1】说出下列复数的实部和虚部，并说明哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩ .
实数：虚数：
纯虚数：
【例2】实数 取什么值时，复数 ，求 .
【当堂达标】
1. ， ，则实数 的值为( )
【知识链接】
写出以下集合符号并思考它们是怎样扩充的？
人教版高中数学全套教案导学案3.1.1数系的扩充与复数的概念
3.1.1数系的扩充与复数的概念课前预习学案课前预习：（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定3)对复数的初步认识及复数概念的理解（3）提出疑惑：通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法学习过程一、自主学习问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、探究以下问题1、如何解决-1的开平方问题，即一个什么数它的平方等于-12、虚数单位i有怎样的性质3、复数的代数形式4、复数集C和实数集R之间有什么关系?5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?三、精讲点拨、有效训练见教案反思总结1、你对复数的概念有了比较清醒的认识了吗？2、对复数a+bi(a,b∈R)的正确分类3、复数相等的概念的理解及应用当堂检测1. m ∈R ，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i ，则z 为纯虚数的充要条件是m 的值为 ( )A.2或5B.5C.2或-5D.-52、设a ∈R.复数a 2-a-6+(a 2-3a-10)i 是纯虚数,则a 的取值为 ( )(A)5或-2 (B)3或-2 (C)-2 (D)33、如果（2 x- y)+(x+3)i=0(x ，y ∈R)则x+y 的值是（ ）A 18BC 3D 9． ． ． ．12-4、x y R (3x +2y)+(x y)i =i [ ]A 5B 5CD ，，且，则的值是 ． ． ． ．∈-+---x yx y 15153.1.1数系的扩充与复数的概念【教学目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法【教学重难点】重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解【教学过程】一、创设情景、提出问题问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、学生活动1.复数的概念：⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．(4)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;2.学生分组讨论⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？3.练习：(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,5 i +8, 3-9 i(2)、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数三、归纳总结、提升拓展例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：归纳总结：确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）由此容易出：a+bi=0 _______________________例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．四、反馈训练、巩固落实1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i求x与y.2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义导学案 新人教A版选修1-2(
河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修1-2的全部内容。
复数的几何意义学习目标:1。
能知道复平面、实轴、虚轴等概念．2．能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．3．能知道复数模的概念，会求复数的模．重点：重点:1.理解并掌握复数的几何意义，并能适当应用．2．复数的模．难点：复数的几何意义．方法:合作探究一新知导学1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__________，y轴叫做__________，实轴上的点都表示实数，除了__________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1）每一个复数都由它的__________和__________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__________关系．(2)若复数z＝a＋bi（a、b∈R),则其对应的点的坐标是_______，不是（a,bi）．(3)复数与复平面内____________的向量也可以建立一一对应关系．如图:在复平面内复数z＝a＋bi（a、b∈R)可以用点___ 课堂随笔：或向量表示复数z＝a＋bi（a、b∈R）与点Z(a,b）和向量的一一对应关系如右上图:牛刀小试1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi,－a－bi的两个点的位置关系是( )A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称2．复数z＝－1－2i（i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧,则（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R 3．复数的模复数z＝a＋bi（a、b∈R)对应的向量为O，则O 的模叫做复数z的模，记作｜z｜且|z｜＝错误!当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值．4．复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z（a，b）到原点（0,0）的__________．由向量的几何意义知，｜z1－z2｜表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的__________．牛刀小试4．（2014·武汉市调研）复数z＝m（3＋i）－(2＋i）（m∈R，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于( ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．复数i＋i2的模等于__________. 6．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________。
高中数学 第3章 系数的扩充与复数的引入 精品导学案 新人教A版选修1-2
【三维设计】2015-2016学年高中数学第三章系数的扩充与复数的引入学案新人教A版选修1-2_3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的概念复数的概念及代数表示[提出问题]问题1：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有．问题2：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗．提示：有解(x＝±i)，但不在实数范围内．[导入新知]1．复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．2．复数的表示复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．3．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个复数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定a ＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.[化解疑难]对复数概念的理解(1)对复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非b i.(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.复数的分类[提出问题]问题1：复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？ 提示：b ＝0.问题2：如何用集合关系表示实数集R 和复数集C? 提示：RC[导入新知] 复数的分类(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0当a ＝0时为纯虚数(2)集合表示：[化解疑难] 1．0的特殊性0是实数，因此也是复数，写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式为0＋0i ，即其实部和虚部都是0.2．a ＝0是复数z ＝a ＋b i 为纯虚数的充分条件吗因为当a ＝0且b ≠0时，z ＝a ＋b i 才是纯虚数，所以a ＝0是复数z ＝a ＋b i 为纯虚数的必要不充分条件．复数相等的充要条件[例1] (1)若(2)已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，i 为虚数单位．求实数x ，y 的值． [解析] (1)由复数相等的充要条件可知x ＝－12，y ＝5. [答案] －12 5(2)[解] 根据复数相等的充要条件，由(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.即x ＝52，y ＝4.[类题通法]解决复数相等问题的步骤(1)等号两侧都写成复数的代数形式；(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)； (3)解方程(组)． [活学活用]已知x 2＋y 2－6＋(x －y －2)i ＝0求实数x ，y 的值．解：由复数相等的条件得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6＝0，①x －y －2＝0.②由②得x ＝y ＋2，代入①得y 2＋2y －1＝0.解得y 1＝－1＋2，y 2＝－1－ 2.所以x 1＝y 1＋2＝1＋2，x 2＝y 2＋2＝1－ 2.即⎩⎨⎧x ＝1＋2，y ＝－1＋2或⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝－1－ 2.复数的分类[例2] 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？ [解] (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.[类题通法]利用复数的分类求参数的方法及注意事项利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.[活学活用]设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？解：(1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＞0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．3.对纯虚数的概念把握不准[典例] (上海高考)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.[解析] 复数m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－2，m ≠±1，即m ＝－2.故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数． [答案] －2 [易错防范]1．若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m ＝1或－2的错误结论．2．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是纯虚数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，二者缺一不可．[成功破障]若z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：选A 因为z 为纯虚数，所以(x 2－1)2＝0，又x －1≠0，所以x ＝－1.[随堂即时演练]1．在2＋7，27i,0,8＋5i ，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i 是虚数．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－5＋5iD.5＋5i解析：选A －5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R)是纯虚数，则x ＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．解析：当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．答案：③4．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝________，y ＝________. 解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝32.答案：94 325．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，即a ≠±1且a ≠6.∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．[课时达标检测]一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4解析：选C 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.3．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D ∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m＝2.4．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1解析：选B 根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2.5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 对①由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋y i 的实部和虚部，故①是假命题；对②由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0. 二、填空题6．设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.解析：因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5，所以x ＋y ＝1.答案：17．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.解析：因为log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2m 2－3m －3＝0，log 2m －2≠0，所以m ＝4.答案：48．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________．解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0. 答案：0 三、解答题9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.3．1.2 复数的几何意义复数的几何意义[提出问题]平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应．问题1：复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？提示：一一对应．问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应．问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？提示：由问题1,2可知能一一对应．[导入新知]1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)；(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)一一对应平面向量OZ＝(a，b)．3．复数的模复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋b i|，且|z|＝a2＋b2.[化解疑难]探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋b i、复平面内的点Z(a，b)和平面向量OZ之间的关系可用下图表示：复数与复平面内点的一一对应[例1] 15)i 的点Z (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． [自主解答] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．[类题通法]探究复数z 对应复平面内的点的位置如果Z 是复平面内表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的点，则(1)当a ＞0，b ＞0时，点Z 位于第一象限；当a ＜0，b ＞0时，点Z 位于第二象限；当a ＜0，b ＜0时，点Z 位于第三象限；当a ＞0，b ＜0时，点Z 位于第四象限．(2)当a ＝0时，点Z 在虚轴上；当b ＝0时，点Z 在实轴上．(3)当b ＞0时，点Z 位于实轴上面的半平面内；当b ＜0时，点Z 位于实轴下面的半平面内．[活学活用]实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 的点 (1)位于x 轴上方； (2)位于直线y ＝x 上．解：(1)由m 2－2m －15＞0，得m ＜－3或m ＞5，此时z 在复平面内对应的点位于x 轴上方．(2)由m 2＋5m ＋6＝m 2－2m －15，得m ＝－3，此时z 在复平面内对应的点位于直线y ＝x 上.复数与平面向量的一一对应[例2] (1)已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA 对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量AB，AC，BC对应的复数；②判定△ABC的形状．(1)[解析] 向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量OA＝(2，－3)，OB＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA＝OA－OB＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5－5i.[答案] B(2)[解] ①由复数的几何意义知：OA＝(1,0)，OB＝(2,1)，OC＝(－1,2)，∴AB＝OB－OA＝(1,1)，AC＝OC－OA＝(－2,2)，BC＝OC－OB＝(－3,1)，∴AB，AC，BC对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.②∵|AB|＝2，|AC|＝22，|BC|＝10，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形．[类题通法]复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[活学活用](湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.解析：由复数的几何意义知，z1，z2的实部、虚部均互为相反数，故z2＝－2＋3i.答案：－2＋3i复数模的计算－2i的模，并比较它们的模的大小．[例3] 求复数z1＝6＋8i及z2＝－2[自主解答] ∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝－122＋－22＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.[类题通法]复数模的计算方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[活学活用]已知复数z ＝3＋a i ，且|z |＜4，求实数a 的取值范围． 解：∵z ＝3＋a i(a ∈R)，|z |＝32＋a 2， 由已知得 32＋a 2＜4，∴a 2＜7，即－7＜a ＜7，∴a ∈(－7，7)．2.复数模的几何意义及其应用[典例] 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ (1)|z |＝2； (2)2＜|z |＜3.[解] (1)因为|z |＝2，即|OZ |＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图①.(2)不等式2＜|z |＜3可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |＞2，|z |＜3，不等式|z |＞2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z |＜3的解集是圆|z |＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2＜|z |＜3的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图②.[多维探究]解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题．1．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是________． 解析：由已知得|z －i|＝5，令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则|x ＋(y －1)i|＝5.∴x 2＋(y －1)2＝25. ∴复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆． 答案：圆2．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．解析：|z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.答案：22＋1[随堂即时演练]1．在复平面内，复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则a 的值为( ) A ．a ＝0或a ＝2 B ．a ＝0 C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2解析：选A ∵复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为π2＜2＜π，所以sin 2＞0，cos 2＜0.所以复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于第四象限．3．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________.解析：复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：54．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________． 解析：由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26， |x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20，∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|. 答案：|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|5．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量1OZ ，2OZ ，3OZ ，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则向量1OZ ，2OZ ，3OZ 如图所示．|z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．[课时达标检测]一、选择题1．设z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．b ＞0，a ∈RD ．a ＞0，b ∈R解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数． 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是( ) A ．z 1＞z 2 B ．z 1＜z 2 C ．|z 1|＞|z 2|D ．|z 1|＜|z 2|解析：选D ∵复数不能比较大小，∴A ，B 不正确， 又|z 1|＝52＋32＝34，|z 2|＝52＋42＝41， ∴|z 1|＜|z 2|，故C 不正确，D 正确．3．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选B 因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以OB 对应的复数为－2＋i.4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由23<m <1得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．5．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆解析：选C 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R.又a 2＋2a ＋2xy ＋(a＋x －y )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．二、填空题6．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________． 解析：由题意得z ＝a ＋i ，根据复数的模的定义可知|z |＝a 2＋1.因为0＜a ＜2，所以1＜a 2＋1＜5，故1＜a 2＋1＜ 5.答案：(1，5)7．在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，则实数m ＝________. 解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9.答案：98．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________. 解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ， 即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴z ＝i.法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ， 等式两边取模，得|z |＝|z |－12＋12.两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1. 把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i. 答案：i 三、解答题9．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点 (1)位于第二象限； (2)位于直线y ＝x 上．解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＜0，a 2－3a ＋2＞0，解得－2＜a ＜1.故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.10．已知复数z ＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1.所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．_3.2复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义复数的加减法[提出问题]已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示：满足．问题3：以交换律说明之．提示：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 2＋z 1＝(c ＋d i)＋(a ＋b i)＝(c ＋a )＋(d ＋b )i ，∴z 1＋z 2＝z 2＋z 1. [导入新知]1．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数加法的运算律 (1)交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[化解疑难]对复数加减法的理解1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.复数加、减法的几何意义[提出问题]如图1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应． 问题1：试写出1OZ 、2OZ 及1OZ ＋2OZ ，1OZ －2OZ 的坐标．提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ ＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ ＋2OZ ，1OZ －2OZ 对应的复数分别是什么？提示：向量1OZ ＋2OZ 对应的复数是a ＋c ＋(b ＋d )i ，也就是z 1＋z 2，向量1OZ －2OZ 对应的复数是a －c ＋(b －d )i ，也就是z 1－z 2.[导入新知]复数加、减法的几何意义如图：设在复平面内复数z 1，z 2对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，以OZ 1，OZ 2为邻边作平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ ，与z 1－z 2对应的向量是21Z Z .[化解疑难]对复数加减运算几何意义的认识复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则，由复数加减法的几何意义可得如下结论：||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|.复数的加、减运算[例1] 计算：(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R)．[解] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i. [类题通法]复数的加、减运算的技巧复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行． [活学活用] 计算下列各题．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)． 解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5－…－2 010＋2 011－2 012)i ＝1 006－1 007i.复数加、减运算的几何意义[例2] 5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC 、BD 的长．[解] 如图，因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点，所以有z M ＝z A ＋z C2＝z B ＋z D2，所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝1－7i ，因为AC ：z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC |＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD ：z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD |＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13. [类题通法]运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB 对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．[活学活用]复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解：复数z 1，z 2，z 3所对应的点分别为A ，B ，C ，设正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R)．因为AD ＝OD －OA ，所以AD 对应的复数为(x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，因为BC ＝OC －OB ，所以BC 对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为AD ＝BC ，所以它们对应的复数相等，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.综合应用[例3] 设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.[解] 法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2， ∴2ac ＋2bd ＝0.∵|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二：作出z 1，z 2对应的向量1OZ ，2OZ ，使1OZ ＋2OZ ＝OZ ，∵|z 1|＝|z 2|＝1，又1OZ ，2OZ 不共线(若1OZ ，2OZ 共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾)，∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形． 又|z 1＋z 2|＝2，∴∠Z 1OZ 2＝90°，即四边形OZ 1ZZ 2为正方形， 故|z 1－z 2|＝ 2.[类题通法]与复数模有关的几个常见结论在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．[活学活用]已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解：法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1. ②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos 120°＝ 3.4.误将复数运算当作实数运算[典例] M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________.[解析] 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0,1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数．故z ＝0或z ＝－2.∴M ∩N ＝{0，－2}． [答案] {0，－2} [易错防范]1．本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误的将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误．2．在复数运算中，若z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2.要注意与实数运算中的绝对值运算的区别．[成功破障]已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部， 于是|z |＝2－|z |2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17. 代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i.[随堂即时演练]1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－i解析：选A 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i ＝－1＋i.2．在复平面内，AB ，AC 对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC 对应的复数为( )A ．－1－5iB ．－1＋5iC ．3－4iD ．3＋4i解析：选A BC ＝AC －AB ＝(－2－3i)－(－1＋2i) ＝－1－5i.3．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________． 解析：由题意得x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴xy ＝1. 答案：14．已知z 是复数，|z |＝3且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 是纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又∵|z |＝3，∴b ＝3，∴z ＝3i. 答案：3i5．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 又∵z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.[课时达标检测]一、选择题1．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．2．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A ．1－3i B ．－2＋11i C ．－2＋iD ．5＋5i解析：选D ∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ， ∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ， 又∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.3．在复平面内的平行四边形ABCD 中，AC 对应的复数是6＋8i ，BD 对应的复数是－4＋6i ，则DA 对应的复数是( )A ．2＋14iB ．1＋7iC ．2－14iD ．－1－7i解析：选D 依据向量的平行四边形法则可得DA ＋DC ＝DB ，DC －DA ＝AC ，由AC 对应的复数是6＋8i ，BD 对应的复数是－4＋6i ，依据复数加减法的几何意义可得DA 对应的复数是－1－7i.4．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2D ．16解析：选C 由|z －4i|＝|z ＋2|得 |x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|， ∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2， 即x ＋2y ＝3， ∴2x＋4y＝2x＋22y≥2 2x ＋2y＝223＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y取得最小值4 2.5．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心．二、填空题6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 解析：∵z 1＋z 2＝5－6i ， ∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.答案：－18．若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ，则|z |的最大值为________． 解析：∵z －1＝cos θ＋isin θ，∴z ＝(1＋cos θ)＋isin θ， ∴|z |＝ 1＋cos θ2＋sin 2θ＝21＋cos θ≤2×2＝2.答案：2 三、解答题9.如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO 对应的复数； (2)向量CA 对应的复数； (3)向量OB 对应的复数．解：(1)因为AO ＝－OA ，所以向量AO 对应的复数为－3－2i.(2)因为CA ＝OA －OC ，所以向量CA 对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB ＝OA ＋OC ，所以向量OB 对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 10．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB 对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解：(1)∵点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，∴点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)，∴AB ＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)．∴AB 对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12.又∵θ∈(0，π)∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.3．2.2 复数代数形式的乘除运算复数的乘法[导入新知]1．复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3[化解疑难]对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数.复数的除法[提出问题]问题1：复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(a，b∈R)有什么关系？提示：两复数实部相等，虚部互为相反数．问题2：试求z1＝a＋b i，z2＝a－b i(a，b∈R)的积．提示：z1z2＝a2＋b2，积为实数．问题3：如何规定两复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，c＋d i≠0)相除？提示：通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子和分母都乘c －d i ，化简后可得结果．即a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [导入新知] 1．共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z ，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．2．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．[化解疑难]辨析复数除法与实数除法的关系复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．复数的乘除运算[例1] 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i. [解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－2＋3i1＋2i ＝－2＋3i1－2i1＋2i1－2i＝－2＋6＋3＋4i 12＋22＝45＋75i. (4)法一：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i －3－2i 2－3i2－3i 2＋3i＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.法二：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i 2－3i 2－3i －－i 2＋3i2＋3i＝i ＋i ＝2i. [类题通法]复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．[活学活用](1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，求复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部；(2)已知z 是纯虚数，z －21＋i是实数，求z .解：(1)由题意得z 1－z 2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i －9i)＝－2－i ，则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i.于是复数(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2.(2)设纯虚数z ＝b i(b ∈R)， 则z －21＋i ＝b i －21＋i＝b i －21－i 1＋i 1－i ＝b －2＋b ＋2i2.由于z －21＋i是实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2，所以z ＝－2i.共轭复数[例2] (1)若z ＝1i ，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)(四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(3)复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．iD ．2i[解析] (1)z ＝1＋2i i ＝1＋2i －i －i 2＝2－i ，则复数z －＝2＋i. (2)因为x ＋y i 的共轭复数为x －y i ，故选B.(3)依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. [答案] (1)D (2)B (3)B [类题通法]共轭复数的求解与应用(1)若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z －，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求z －.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和z －的方程，而复数z 的代数形式未知，求z ，解此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．[活学活用]已知复数z ＝1＋i ，复数z 的共轭复数z －＝1－i ，求实数a 、b 使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解：∵z ＝1＋i ，z －＝1－i ，∴az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a 、b 都是实数，∴由az ＋2b z －＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4a ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.复数运算的综合应用[例3] 已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．[解] 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，所以z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i 1＋a 2＋b 2＝－ba ＋1i. 因为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数． [类题通法]解决双复数问题的方法解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，注意题目对a ，b 取值的限制，然后用a ，b 表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义．[活学活用]已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，求ω.解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由ω＝z2＋i，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0. ①。
人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(4)
3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1、了解数的发展史，理解实数系扩充复数系的必要性；2．在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联；3、初步理解复数、虚数、纯虚数等概念，掌握复数的代数形式与复数相等的充要条件.教学重点：对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念.教学难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉,对了解实数系扩充到复数系的过程有困难,由于理解复数是一对有序实数不习惯,对于复数概念理解也有一定困难.教学过程:(一)、情境引入：（二）、知识引入：我们已知知道：对于一元二次方程x2+1=0没有实数根．如何解决“在实数范围中开方运算不能实施的矛盾”？引入一个新数：i使得i2=-1引出课题：3.1.1数系的扩充和复数的概念数系的扩充：自然数、整数、有理数、实数、复数复习回顾用图形表示包含关系1、现在我们就引入这样一个数i ，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i2=-1；（2）实数可以与i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
2、形如a +bi (a,b ∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示 .3、复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即z=a+bi a,b 都属于R 其中a 为实部，b 为虚部；i 为虚数单位。
5、讨论：复数集C 和实数集R 之间有什么关系？复数a+bi思考：复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？（三）、练习巩固1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
()i i i i i 293,85,31,,72,0,618.0,722-+-+ 2、判断下列命题是否正确：（1）若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数（2）若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数（3）若a 为实数，则Z= a 一定不是虚数3.条例下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举例,若不存在,请说明理由.(1)实部为-2的虚数;(2)虚部为-2的虚数;(3)虚部为-2的纯虚数.例1 实数m 取什么值时，复数Z=m+1+(m-1)i 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？练习：实数m 取什么值时，复数是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数我们知道若a+bi=0,则a=0.b=05、思考：如何定义两个复数的相等？如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。
高中数学3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义教案新人教A版选修1-2(2021学年)
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高中数学 第三章数系的扩充与复数的概念教案 新人教A版选修1-2
第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充与复数的概念 教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1.提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：62P（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。
选修1-2复数导学案、课后作业及参考答案
3.1.1数系的扩充与复数的概念【学习要求】1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.【知识要点】1．复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________． （2）复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母____表示 2．复数的分类及包含关系（1）复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)（2）集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.【问题探究】探究点一 复数的概念 问题1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 问题2 如何理解虚数单位i?问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？ 问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． （1）实部为－2的虚数； （2）虚部为－2的虚数； （3）虚部为－2的纯虚数； （4）实部为－2的纯虚数．例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二 两个复数相等问题1 两个复数能否比较大小？问题2 两个复数相等的充要条件是什么？例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y . 跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．【当堂检测】1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( ) A ．2，1 B ．2，5 C ．±2，5D ．±2，12．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )A ．±1B ．±IC ．±2iD ．±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1 4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【课堂小结】1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．【课后作业】一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2． 下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3． 以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4． 若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15． 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6． 若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8． 给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 则其中正确命题的个数为________．9． 已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义【学习要求】1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2．掌握实轴、虚轴、模等概念.3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．【学法指导】通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．【知识要点】1．复数的几何意义 （1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． （2）复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量___________．2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝________【问题探究】探究点一 复数与复平面内的点问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 问题2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i （1）对应的点在x 轴上方；（2）对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 探究点二 复数与向量问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？ 问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．跟踪训练3 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ （1）|z |＝2；（2）|z |≤3.【当堂检测】1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为 ( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________【课堂小结】1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．【课后作业】一、基础过关1． 复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2． 当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4． 已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 二、能力提升7． 若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8． 复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限； （2）位于x 轴负半轴上； （3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义【学习要求】1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．【学法指导】复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，利用向量的加法来理解复数加法的几何意义，数形结合．【知识要点】1．复数加法与减法的运算法则（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝________________，z 1－z 2＝________________. （2）对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝__________. 2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是______,与z 1－z 2对应的向量是______．【问题探究】探究点一 复数加减法的运算我们规定，复数的加法法则如下：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. 提出问题：问题1 两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 问题2 当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致吗？ 问题3 它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？问题4 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明． 问题5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则． 例1 计算：（1）(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； （2）1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．跟踪训练1 （1）计算2i －[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]； （2）计算(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R).探究点二 复数加减法的几何意义问题1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 问题2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？ 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ， A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i.求： （1）AO →对应的复数； （2）对角线CA →对应的复数； （3）对角线OB →对应的复数．跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．探究点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.【当堂检测】1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0B ．32＋52IC ．52－52iD ．52－32i2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3C ．－1－iD ．－1－3i3．在复平面内，O 是原点，向量OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为 ( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在 ( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限【课堂小结】1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．【课后作业】一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____． 8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数； （2）判断△ABC 的形状； （3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算【学习要求】1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3．理解共轭复数的概念．【学法指导】复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，分母“实数化”.【知识要点】1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝__________________. 2．复数乘法的运算律对任意复数z3．共轭复数如果两个复数满足_____时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝_____. 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝____________________【问题探究】探究点一 复数乘除法的运算 问题1 怎样进行复数的乘法？问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？ 例1 计算：（1）(2＋i)(2－i)； （2）(1＋2i)2； （3）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i.跟踪训练1 （1）i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i 等于( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i（2）复数i 2＋i 3＋i 41－i 等于 ( )A ．－12－12iB ．－12＋12IC ．12－12iD ．12＋12i探究点二 共轭复数及其应用问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？例2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .跟踪训练2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．【当堂检测】1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于 ( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 2．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于 ( )A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．3 3．复数i －21＋2i等于 ( )A ．iB ．－IC ．－45－35iD ．－45＋35i4．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【课堂小结】1．复数代数形式的乘除运算（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，利用复数相等的充要条件转化．【课后作业】一、基础过关 1． 复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14． 在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346． 若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010；（2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课【学习要求】巩固复数的概念和几何意义；理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．【双基检测】1．以1＋2i 的虚部为实部，以3i －2的实部为虚部的新复数是 ( ) A ．2－2i B ．2＋I C ．3＋i D ．2＋3i2．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1 D ．x ＝－1，y ＝13．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i 4．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于 ( )A ．－1B ．1C ．2D ．35．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1等于( )【题型解法】题型一 复数的四则运算例1 （1）计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ； （2）已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．跟踪训练1 （1）已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i （2）i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1题型二 复数的几何意义例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C}，试求|z |的最小值和最大值．跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．题型三 两个复数相等例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．【课堂小结】1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．【课后作业】一、基础过关1． 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152． 复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3． 若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04． 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5． 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126． 复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于 ( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； （2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末复习课 【知识结构】【题型解法】题型一 分类讨论思想的应用例1 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)满足下列条件？ （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数．跟踪训练1 （1）若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则 ( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2（2）实数x 取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．题型二 数形结合思想的应用例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .跟踪训练2 已知复数z 1＝i(1－i)3. （1）求|z 1|；（2）若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．题型三 转化与化归思想的应用 例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围． 跟踪训练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有（1）i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z)； （2）(1±i)2＝±2i ； （3）设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)等；（4）(12±32i)3＝－1；（5）作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i ＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． 例4 计算：（1）(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；（2）－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 006.跟踪训练4 计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0111－i章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4． 已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158． 若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9． 已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________． 12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案3.1.1数系的扩充和复数的概念参考答案1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.3.1.2 复数的几何意义参考答案1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.13．解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3， 即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 33.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i.7．3＋I 8.115＋3I 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ， 故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.3.2.2 复数代数形式的乘除运算参考答案1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．习题课参考答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )． 由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0.所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0， 即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数． 15．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1， 所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i ) ＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0， 整理得2m 2＋3m －4＝0， 解得m ＝－3±414.18．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1， 所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ， 所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1. 19．(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i＝(a ＋a a 2＋b 2)＋(b －ba 2＋b 2)i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1， 还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12]．(2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i.。
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上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
二合作探究，展示，点评
例2.求适合下列方程的 的值
.
例3实数x取何值时，复数 （1）是实数
（2）是虚数（3）是纯虚数
三总结
四检测
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断①两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大( )
3.1.-1.2实数系与复数的引入
【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用
【学习目标】
1、知识与技能：实数系的总结，复数定义
（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，
2、过程与方法：小组合作探究；
3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.
② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数( )
3若 ，则 的值是________.
4．．知 是虚数单位，复数 ，当 取何实数时， 是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
5.已知复数 与 相等，且 的实部、虚部分别是方程 的两根，试求： 的值。（讨论 中，k取何值时是实数？
实数 与 相乘、相加的结果应如何？
4请对实数系进行分类
1.复数的概念：
①定义复数：复数代数形式
实部虚部虚数单位
复数集
例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
规定： ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定 ， 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？
③定义虚数： 叫做虚数， 叫做纯虚数。
。
一，自主学习
1.：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？
（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）
2 .判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与 的关系）：
（1） （2） （3） （4）
3.人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程 一个解 ，则这个解 要满足什么条件？ 是否在实数集中？