单输入单输出控制系统的分析

第3章 单输入单输出控制系统的分析建立系统数学模型的主要目的是为了对系统性能进行分析与设计。

对控制系统的分析有稳态性能和动态性能分析，如系统的稳定性，稳态误差，动态响应性能参数等。

其分析方法主要有时域法和频域法两种。

时域分析法是直接在时间域内计算系统的时间响应、分析系统的稳定性、能控和能观性、动态性能等，这种分析方法的结果比较直观。

频域分析法是在系统受到频率为ω的正弦信号激励时，分析系统输出幅值和相位与输入激励之间的关系，进而得到系统的性能特性。

MATLAB 控制系统工具箱（Control System Toolbox ）对控制系统，尤其是对线性时不变（Linear Time Invariant,简称LTI ）系统的建模、分析和设计提供了一个完整的解决方案，也避免了繁杂的编程工作，是线性控制系统分析和设计的高效率的工具。

3.1单输入单输出（SISO ）控制系统的模型及其转换在得到控制系统各个环节的MATLAB 表达之后，通常需要进行串联、并联、反馈连接等处理方式，将比较复杂的系统化成简单的系统，再进行分析和设计。

在控制系统工具箱中提供了一些函数来支持系统的连接。

3.1.1环节的串联连接：在控制系统中，几个环节按照信号传递的方向串联在一起，这几个环节可以等效地转换成一个环节。

如图3.1.1所示。

图3.1.1(a)所示的串联框图可以等效成图3.1.1（b ），串联后总的传递函数为每个串联环节的传递函数的乘积:G(s)=G 1(s) G 2(s)… G n (s)= ∏=n i 1G i (s) （3.1.1）若所有的环节用MATLAB 的TF 传递函数模型和num ，den 多项式的形式来表达，即G1(s)：sys1；或num1，den1；G2(s)：sys2；或num2，den2；…，Gn(s)：sysn ；或numn ，denn 。

系统串联实现的格式:sys=sys1*sys2*…*sysn或： sys=series(sys1,sys2); sys=series(sys,sys3);…;sys=series(sys,sysn) 或： [num,den]=series(num1,den1,num2,den2);[num,den]=series(num,den,num3,den3);…;[num,den]=series(num,den,numn,denn)例3.1.1 设有3个LTI 控制环节，其传递函数分别为：sys1：()112+++s s s s ；sys2：()2132++s s ；sys3：(6s+5)/(2s+3)求sys1、sys2和sys3串联连接后的传递函数模型。

解：num1=[1,1];den1=conv([1,0],[1,1,1]);sys1=tf(num1,den1);%sys1的MATLAB 表达num2=[2,3];den2=conv([1,1],[1,1]);sys2=tf(num2,den2); %sys2的MATLAB 表达 num3=[6,5];den3=[2,3];sys3=tf(num3,den3); %sys3的MATLAB 表达 sys=sys1*sys2*sys3 %系统串联传递函数 运行结果为：Transfer function:12 s^3 + 40 s^2 + 43 s + 15-----------------------------------------------2 s^6 + 9 s^5 + 17 s^4 + 18 s^3 + 11 s^2 + 3 s实际上，所得的sys 传递函数结果中，分子、分母的公共因子（s+1）和(2s+3)没有被约去。

3.1.2 环节的并联连接：几个环节并联在一起时，同一个信号输入到各个环节，并转换成相同物理量的信号相加成为输出信号。

如图3.1.2(a)所示。

图3.1.2(a)所示的并联环节，可以等效成图3.1.2(b)所示的环节。

并联后总的传递函数等于各个环节传递函数之和:G(s)=G 1(s) +G 2(s)+… +G n (s) （3.1.2）若所有的环节用MATLAB 的tf 传递函数模型和num ，den 多项式的形式来表达，即G1(s)：sys1，num1，den1；G2(s)：sys2，num2，den2；…，Gn(s)：sysn ，numn ，denn 。

系统并联实现的格式： sys=sys1+sys2+…+sysn或:sys=parallel(sys1,sys2);sys=parallel(sys,sys3);…;sys=parallel(sys,sysn)或：[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2);[num,den]=parallel(num,den,num3,den3);…;[num,den]=parallel(num,den,numn,denn);sys=tf(num,den)例3.1.2 有3个LTI 控制环节，其传递函数分别为：sys1：()112+++s s s s ；sys2：()2132++s s ；sys3=(s+1)/(2s+3)求sys1、sys2和sys3并联连接后的传递函数模型。

解：num1=[1,1];den1=conv([1,0],[1,1,1]);sys1=tf(num1,den1);num2=[2,3];den2=conv([1,1],[1,1]);sys2=tf(num2,den2);num3=[1,1];den3=[2,3];sys3=tf(num3,den3);sys=sys1+sys2+sys3 %系统并联传递函数运行结果为：Transfer function:s^6 + 8 s^5 + 25 s^4 + 41 s^3 + 40 s^2 + 21 s + 3-------------------------------------------------2 s^6 + 9 s^5 + 17 s^4 + 18 s^3 + 11 s^2 + 3 s 所得的sys 传递函数结果中，和环节串连一样分子、分母的公共因子没有被约去。

3.1.3 反馈连接：在自动控制系统中，反馈 连接的系统框图如图 3.1.3所示。

图3.1.3(a)所示的反馈控制系统可以等效为图3.1.3(b)所示的控制环节，图3.1.3(b)中，若特征方程取)()(1s H s G -，表示系统为正反馈，在图3.1.3(a)中，)(s H 输出的符号应取+号。

在负反馈连接方式下： )()(0s X s X i =)()(1)(s H s G s G + （3.1.3） 在正反馈连接方式下： )()(0s X s X i =)()(1)(s H s G s G - (3.1.4) 式中：)(s G ——前向(正向)通道的传递函数； )(s H ——反馈通道的传递函数；)()(s H s G ——系统的开环传递函数。

若用sys 表示系统闭环传递函数；sys1表示)(s G ；sys2表示)(s H 。

系统反馈实现的格式为：sys=feedback(sys1,sys2,sign) % sign 为系统正负反馈符号sys=feedback(sys1,sys2,-1) %sign ＝-1表示负反馈sys=feedback(sys1,sys2) %省略sign 默认为负反馈sys=feedback(sys1,sys2,1) %sign ＝1表示正反馈例3.1.3设一负反馈控制系统如图3.1.1(a)所示，其传递函数分别为：()11)(2+++=s s s s s G ；()2132)(++=s s s H求系统的闭环传递函数模型。

解：num1=[1,1];den1=conv([1,0],[1,1,1]);sys1=tf(num1,den1);num2=[2,3];den2=conv([1,1],[1,1]);sys2=tf(num2,den2);sys=feedback(sys1,sys2) %系统闭环传递函数程序执行结果为：Transfer function:s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1--------------------------------------------s^5 + 3 s^4 + 4 s^3 + 5 s^2 + 6 s + 3例3.1.4 负反馈控制系统如图3.1.3(a)所示，其传递函数分别为：sys1：233222++++s s s s sys2：()345++s s 求系统的闭环传递函数模型。

解：sys1=tf([1,2,3],[3,1,2]);sys2=zpk(-4,-3,5);sys=feedback(sys1,sys2,-1)程序执行结果为：Zero/pole/gain:0.125 (s+3) (s^2 + 2s + 3)-------------------------------------(s+3.54) (s^2 + 1.46s + 2.331)注意：在本例中，sys1是TF 模型，sys2是ZPK 模型，所得的最终结果sys 是ZPK 模型。

这是因为ZPK 模型的优先级高于TF 模型。

在这里介绍一些关于LTI 模型优先级的知识。

在同时对多个LTI 模型进行运算（如加法运算等）和函数处理（如反馈）时，如果这些LTI 模型是用不同类型的LTI 模型描述的，假设第一个模型是用TF 模型描述的，第二个模型是用SS 模型(状态空间)描述的，那么所得的结果应该是用什么模型描述的呢？是用TF 模型描述呢？还是用SS 模型描述？这种LTI 模型的不同类型的冲突，可以用优先级来解决。

TF 、ZPK 、SS 、FRD(频率模型)四种模型的优先级如下：FRD>SS>ZPK>TF即ZPK 的优先级高于TF ，SS 的优先级高于ZPK 和TF 。

再换句话讲，在两个或两个以上的LTI 模型的运算当中：要使得结果是SS 模型，那么在LTI 模型中，应该没有FRD 模型，而且至少有一个是SS 模型；要使得结果是ZPK 模型，那么在LTI 模型中，应该没有FRD 、SS 模型，而且至少有一个是ZPK 模型；要使得结果是TF 模型，那么在运算中，应该使所有的LTI 模型都是TF 模型。

在对不同类型的LTI 模型进行运算时，最终结果的类型由优先级决定，在运算之前，所有不是这种类型的模型都由MA TLAB 先转换成这种类型。

实际上，要得到希望类型的LTI 模型，也可以通过函数tf()将最终结果的类型转换成TF 模型；通过函数zpk( )将最终结果的类型转换成ZPK 模型；通过函数ss( )将最终结果的类型转换成SS( )模型。