历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(4)

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)题31 Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of Mis .(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .解 在椭圆18922=+y x 中，8,922==b a ，则1,12==c c ，所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率31==a c e ，右准线9:2==ca x l ，显然点P （6，2）在椭圆18922=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有184920=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M 的坐标是（223±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.拓展 将此题引伸拓广，可得定理 M 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点.1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca -2；当F 是左焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca +2. 2、 若点P 在椭圆E 外，则F 是右焦点，且0≤m≤c a 2，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a -2. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是c a m 2-.F 是左焦点，且c a 2-≤m≤0，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a +2. F 是左焦点，且m≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是ca m 2--.简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=e1|MF|. ∴e 1|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e 1|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m ca +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.2、 如图3，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca -2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.m图1图2如图4，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2-，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.如图5，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca +2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.如图6，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2--，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.题32 已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于（ ）A 、32 B 、34 C 、45 D 54 （第十五届高二培训题第19题）解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-22上任意一点，点P 关于直线x-y=1的对称点为图3 图4图5图6P’（x,y ）,则12200=+-+y y x x ①，又10-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得 0011x y y x =+⎧⎨=-⎩③.∵P 点在双曲线k y x =-22上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得01232=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=34，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值.拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++⋅++⋅)()(022********x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m 对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.题33 21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是____________-.（第四届高二第二试第15题）解 双曲线3322=-y x ,即1322=-y x ，如图，B A ,在双曲线右支上，3221=-AF AF ,3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2F 的准线，l BD l AC ⊥⊥,,垂足为D C ,，则由双曲线定义可知BD e BF AC e AF ==22,，而MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当21F F AB ⊥时，MN取最小值21232=-，这时，22BF AF +取得最小值322=MN e ,从而11BF AF +取最小值33143234=+. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB ⊥时MN最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.拓展 将本题中的双曲线一般化，便得定理 1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则B F A F 11+的最小值是ab a 224+.仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为3314312342=⨯+⋅. 题34 方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是( )A 、直线B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题）解法1 由()()|3|2222+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则()()()()012102=--++--+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=---+-v v u u ，即()()9322222-=+--v u ，故已知方程表示双曲线，选C.解法2 已知方程就是()()2|3|22222+-⋅=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，可知动点P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为12>，所以选C.评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化，我们有下面的定理 若()()||22C By Ax b y a x ++=-+-（b a C B A 、、、、为常数，且BA 、不全为零），则（1）当1022<+<B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的椭圆.（2）当122>+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的双曲线.（3）当122=+B A 且0=++c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线0=++C By Ax 垂直的直线.（4）当122=+B A 且0≠++c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线0=++C By Ax 为准线的抛物线.读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 35 已知1≥x ，则动点A ⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x 1,1与点B（1，0）的距离的最小值是_________-.（第七届高二第一试第23题）解法1 由已知得2222111101AB x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦214x x ⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2111723222x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦将此式看作以xx 1+为自变量的二次函数，111,22x x x x x≥∴+≥=,这表明该二次函数的定义域是[)+∞,2. 该函数在[)2,+∞上是增函数，∴当21=+xx 时，1,1272122m i n 22mi n=∴=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AB .解法 2 令24,tan πθπθ<≤=x ，则112tan 2csc 22tan sin 2x x θθθθ+=+==≥ 112,x x x ⎛⎫≥⇒+≥ ⎪⎝⎭112tan 2cot 2.tan tan 2x x θθθθ--=-==-AB ∴=== ∴当12csc =θ，即4πθ=时，12741182min=-⎪⎭⎫⎝⎛-=AB .解法 3 设11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 1≥）,两式平方并相减，得),0,2(422≥≥=-y x y x 即动点A 的轨迹是双曲线422=-y x 的右半支在x 轴上方的部分（含点（2，0）），由图知|AB|min =1.评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0，通过平方，先求2min ||AB ，再求|AB|min =2min ||AB ，并将xx 1+看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前.题36 抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）解法1 设抛物线2x y =上的点的坐标是()2,xx ，则它到直线02=++y x 的距离是271()24x d ++==，当12x =-时d 最小，此时14y =.故所求点的坐标是()11,24-. 解法 2 如图，将直线02=++y x 平移至与抛物线2x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=，代入2x y =，得02=-+k x x .由o =∆，即041=+k ，得14k =-.解214y x y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩得1214x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.故所求点的坐标是()11,24-.解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为02y y x x +=，故120-=x ，012x =-.20014y x ∴==. 故所求点的坐标为()11,24-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点，设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.解法3则设切点为P ()00,y x ，直接写出过二次曲线()0,=y x f 上一点P ()0,0y x 的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：定理 过抛物线c bx ax y ++=2上一点P ()00,y x 的切线方程是00022y y x x ax x b c ++=++. 证明 设过点P ()00,y x 的抛物线c bx ax y ++=2的切线的方程为()00x x k y y -=-①. b ax y +=2/，b ax y k x x +===0/20，代入①得()()0002x x b ax y y -+=-，()()000022222ax b x x y y y +-+=+，200000022y y x x ax x b y ax bx ++=++--②. 点()00,y x 在抛物线c bx ax y ++=2上，c bx ax y ++=∴0200，c bx ax y =--0200，代入②，得切线方程为000y y x x ax x b c ++=++. 拓展 观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的22,y x 分别换成x x 0，y y 0，把y x ,分别换成00,22x x y y++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理. 定理 过二次曲线022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 上一点Ρ()00,y x 的该曲线的切线方程是0000000222x y xy x x y yAx x BCy y D E F ++++++++=. 运用该定理必须注意点Ρ()00,y x 在曲线上.例 求过点()3,2的曲线2223448300x xy y x y ++---=的切线的方程.解 经验证，点()3,2在曲线2223448300x xy y x y ++---=上，根据上面的定理，所求切线方程为23322234348300222y x yx x y +++⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-=，即0922213=-+y x .题37 在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,则k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)解法1 设两点B ()11,y x 、C ()22,y x 关于直线3+=kx y 对称，直线BC 的方程为m ky x +-=，将其代入抛物线方程x y 42=，得0442=-+m ky y .若设BC 的中点为M ()00,y x ，则k y y y 22210-=+=.因为M 在直线3+=kx y 上，所以 ()3222++=-m k k k .kk k k k k m 32223232++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点，所以016162>+=∆m k .再将m 的式子代入，经化简得0323<++kk k ，即 ()()0312<+-+kk k k ，因为032>+-k k ，所以01<<-k .解法2 由解法1，得k y y 421-=+，k k k m y y 12884321++=-=.因为212212y y y y >⎪⎭⎫ ⎝⎛+，所以k k k k 1288432++>，解得01<<-k . 解法3 设B ()11,y x 、C ()22,y x 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点，且BC 中点为M ()00,y x .因为2221214,4x y x y ==，所以()1221224x x y y -=-，即()4211212=+⋅--y y x x y y ，所以k y y k 2,42100-==⋅-.又300+=kx y ,所以k k x 320+-=,因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，解得01<<-k .解法4 设B 、C 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点， M 是BC 中点.设M()00,y x ，B()y x ,，C()y y x x --002,2,则xy 42=①，()()x x y y -=-020242②.①-②，得0220200=-+-x y y y x ③.因为点M ()00,x y 在直线3+=kx y 上，003y kx ∴=+④.④代入③得直线BC的方程为()()023320200=-+++-x kx y kx x ，故直线BC 的方向向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32,000kx x x ，同理得直线3+=kx y 的方向向量()00,kx x v =.因为直线BC 与直线3+=kx y 垂直，所以0=⋅，即()0,32,00000=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+kx x kx x x ，化简得 ()03320020=+++kx k kx x ，得0320=++k kx 或020=x （舍去）.显然0≠k ，解得k kx y kk x 23,32000-=+=+-=.因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，3223(1)(3)0,0,k k k k k k k +++-+<<又032>+-k k ，所以01<<-k .评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k 的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.练习 若抛物线12-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0D 、⎪⎭⎫⎝⎛-43,41 答案：B题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．（第十三届高二培训题第73题）解法1 设弦过点)0,(a M ，则弦所在的直线是)(a x k y -=，αtan =k ，︒≠90α，代入抛物线方程，消去x 得)4(2a y k y -=，即042=--ak y y k ． (弦长)2=)cot 1(2α+()222416161cot 16tan a a k αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22csc 16cot 16a αα=+ =α4csc 16，即2216cot 1616csc a αα+=21616cot α=+，由此得1=a ．当︒=90α时，弦所在直线方程为)0(>=a a x ，弦长为4．由⎩⎨⎧==x y ax 42，得⎩⎨⎧==a y a x 2或⎩⎨⎧-==ay ax 2．又由弦长44=a ，得1=a ． 综上，这些弦都经过点（1，0）．解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2πα=，则弦长为42csc42=π，此时弦所在直线方程为)0(>=a a x ，代入x y 42=，得a y 42=，a y 2±=．由题设，44=a ，即1=a ．所以2πα=时，弦所在直线方程为1=x ．再令4πα=，则弦长为84csc42=π，设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得b y x -+=1，代入x y 42=并整理，得04442=-+-b y y ，弦长⋅+=11212214)(y y y y -+8)44(4162=--⋅=b ，解得0=b ，所以4πα=时，弦所在直线方程为1-=x y ．解⎩⎨⎧-==11x y x ，得定点为（1，0）．评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若α确定，则以α为其倾斜角的弦的长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化，这样的弦都过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，根据弦长是α2csc 4，直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这是合情合理的常规思维．然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法2分别令2πα=与4πα=，得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2πα=与4πα=，而不令713πα=与325πα=，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．拓展 原题中弦长α2csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这 并非巧合，而是一个定理.定理 若抛物线)0(22>=p px y 的弦PQ 的倾斜角为θ，则θ2c s c 2p PQ =的充分必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2(pF ． 证明 先证必要性:由已知，可设PQ 的方程为)90,tan ()(︒≠=-=θθk a x k y ，代入px y 22=，得-22x k)(2222=++a k x p a k ①．由已知及弦长公式得[]21221224)()1(x x x x k PQ -+⋅+=②．将①的两根之和与积代入②，得()2242241c s c 2k p p a p k kθ+=+，从而得2442csc tan sec p θθθ=（222tan p ap θ+），解得2p a =，即知PQ 过焦点(,0)2p F ．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．再证充分性：由已知可设PQ 的方程为()(tan ,90)2py k x k θθ︒=-=≠，代入2y =2px ，得 22244(2)k x p k x -+22k p +0=③，将③的两根之和与积代入②得22csc PQ p θ=．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．应用该定理，可解决下面的问题：1．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦，若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年全国高中联赛题）3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4，求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）答案：1. 82. 3.30︒或150︒题39 长为)1(<l l 的线段AB 的两端在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 .（第13届高二第二试第20题）解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,），由对称性知B 的坐标为(),x y αβ--，于是有以下关系成立：22222()()()2y x y x l βαβααβ⎧+=+⎪⎪-=-⎨⎪⎪+=⎩ ①+②，得22α+=x y ④，-②，得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4)41)((222l x x y =+-，即2222221[(14)1]4(14)4(14)l l y x x x x =+=++-++，因为2(0,0),a u x a x x =+>>当x a =时, u 有最小值,当x a >时, u 是单调增加的.又214(1),x l l y +><关于2x 是单调增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值24l .评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性，设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x ，能否消去βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢？果然，可以消去βα、，得到①, ②, ③.222)41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2422164164xx x l y +++=，再令2x u =，得到 22416416l u u y u++=⇒+)0(04)164(1622≥=-+-+u y l u y u ⑦，则可由方程⑦有非负实数解求出y 的最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考虑到⑥式中的0412>+x ，故将⑥式变形为]1)41(41[41222-+++=x xl y ⑧，由于2241x l +与241x +的积是定值，故当2241xl +=241x +，即214x l +=时,有y 最小值..然而，因为1<l ，所以l x >+241，即214x +取不到l ，故由函数⑧为2x 的单调增函数，可知当时，0=x 42minl y =. 注：形如)0()(2>+=a xa x x f 的函数，若0,x >则当x a =时, ()f x 取得最小值2a ；若(0)x ab b ≥+>,则()f x 单调递增, min ()()f x f a b =+；若0(0)x a b b a <≤-<<,则()f x单调递减，)()(min b a f x f -=.(请读者自己证明该结论)拓展 将此题推广，可得定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22>=p py x 上滑动，线段AB 的中点M 到x 轴的距离为d ，则（1） 当;8202minpl d p l =≤<时， （2） pl d p l d p l 8,222max min=-=>时，当. 证明 由题意，直线AB 的斜率k 存在.设),,(),2,(),2,(00222211y x M px x B p x x A 则22121222ABx x p pk x x -=- 0122x x x p p +==，所以直线AB 的方程为)(000x x p x y y -=-，由20002()x pyx y y x x p ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去y ，得22x -2000220x x x py +-=，因为点M 在抛物线的内部，即202x y p>，所以200420py x ∆=->（），又212012002,22x x x x x x py +==-，所以12|l x x =-=.于是,2)(82020220p x x p pl y d ++==对x 求导数，得2'2220001(1)()2282x pl d p x x x p -=-++2202220[1]4()x p l p p x =-+ 22002220[2()]4()x p x pl p p x =+++])(2[202pl x p -+. （1）若02l p <≤（抛物线的通径长），令0'0x d =，得00x =，易知00x =，是d的唯一极小值点，所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时，2min8l d p=； （2）若2l p >，令0'0x d =，得00x =或0x =，易知当00x =时，2ma x 8l d p=；当0x =2min p l d -=. 令定理中的21p =，由定理的结论（1）可知本赛题的答案为24l .此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强.这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡.此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：定理2 已知A 、B 两点在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22max 22)2(22b a l a a d a l a b --=≤≤时，当； （2）当bl b a d a b l 24222max 2-=<时，. 定理3 已知A 、B 两点同在双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右（或左）分支上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22min 22)2(2b a l a a d a b l ++=≥时，当； （2）当bl b a d a b l 24222min 2+=<时， . 为证定理2、3，可以先证引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 设圆锥曲线的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，其中e 表示圆锥曲线的离心率，p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦，且A ),(),,(21θπρθρ+B ，因为12,1cos 1cos()1cos ep ep epe e e ρρθπθθ===--++，所以12||AB ρρ=+1cos ep e θ=-+θcos 1e ep +=θ22cos 12e ep-.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时，ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短.下面运用引理证明定理2 .证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线ca x 2=的距离分别是,22121t t t t t t +=，则、、由椭圆的第二定义知：|AF|=1et ，|BF|=)(2a ce et =，|AF|+|BF|≥|AB|=l ，所以e l t 2≥.又过焦点的弦最小值为时，当ab l a b 222,2≥线段AB 可以过焦点F ，当AB 过焦点F 时，t 有最小值2l e ，因此222max 2)2(2)2(2ba l a a c l a a e l c a d --=-=-=. （2）时，当ab l 22<线段AB 不可能过焦点F ，但点M 总可以在过F 垂直于x 轴的椭圆的弦的右侧，如右图，在△AFM 中，设∠AMF=α，由余弦定理知222||||||2||||cos AF FM AM FM AM α=+-22211||cos 42FM l l α=+-，在△BFM 中，222211||||cos 42BF FM l l α=++，所以22221||||2||2AF BF FM l +=+，所以||FM =22||a b FM t c c c+≥-=，所以cb l BF AF t 2222||||221≥-++）（ ①，无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又222||||2l BF AF -+）（2221222)(||||l t t e l BF AF -+=-+≥）（,4222l t e -=故c b l t e t 222241≥-+ ②.解此不等式，得bl b a c a t 24222--≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时，不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 24222mi n --=，bl b a b l b a c a c a d 24)24(222222max-=---=. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述.题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题）解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图⑴～⑸：在情形⑴：A 在圆O 上，这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合，这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切，所以M 点的轨迹是以O 为圆心，以定圆O 的半径的一半为半径的圆.在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点，动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定点O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值），其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部，动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时R x x R MA MO =-+=-)(（定值）.可知M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为实轴长的双曲线的一支.在情形⑸：A 在定圆O 的外部，动圆M 与定圆O 内切，这时R R x x MO MA =--=-)(（定值）.可知M 点的轨迹也是以A O ,为焦点.R 为实轴长的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）.综上，可知选D.评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种，然后再分别求动圆中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程.应当指出，当点A 在圆O 上时，动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除,,,C B A 而选D ，这样就更快捷了.O。