2018年考研数学三真题与解析

2018年考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x =().B f x x =().?C f x cos x =().D f x =答案:() D 解析:方法一: ()()()00sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim limx x x x f x f x x→→→--==不存在()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x x x=在 0x =处可导对()():x x C f cos =在 0x =处可导.2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()100,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D 【解析】 将函数()f x 在12处展开可得 ()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()1011.0.22f x dx f f ⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。

3.设()(2222222211,,11x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰,则 A .? .M N K >> B ..M K N >> C..K M N >> D..K N M >>解析:()2222222221211,11x x M dx dx dx x x ππππππ---+⎛⎫==+= ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰ 221x x N dx eππ-+=⎰,因为1xe x >+所以11x x e +<(221,1 1.K dx ππ-=+>⎰即111xxe +<<所以由定积分的比较性质 K M N >>,应选()C .4.设某产品的成本函数()C Q 可导,其中Q 为产量,若产量为0Q 时平均成本最小,则()A ()0'0C Q =B ()()00'C Q C Q = C .()()000'C Q Q C Q =D .()()000'Q C Q C Q =答案 D【解析】平均成本()()()()()2',C Q dC Q C Q Q C QC Q QdQQ-==,由于()C Q 在0Q Q =处取最小值,可知()00'0.Q C Q =故选(D).5.下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的为 111.011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 101.011001B -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 111.010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 101.010001D -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析:令110010001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则1110010001P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1110111110010011010001001001120110110011010011001001001P AP ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q∴选项为A6.设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩,()XY 表示分块矩阵,则()().?Ar A AB r A = ()().?B r ABA r A =()()(){}.? ,C r AB max r A r B = ()().? T T D r AB r A B =答案:()A解析:易知选项C 错 对于选项B 举反例:取11001112A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1 则()001100,,331133BA A BA ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7. 设随机变量X 的概率密度()f x 满足()()11+=-f x f x ，且()200.6=⎰f x dx ，则{}0______<=P X ．(A)0.2； (B) 0.3； (C) 0.4； (D) 0.6． 解 由()()11+=-f x f x 知，概率密度()f x 关于1=x 对称，故{}{}02<=>P X P X ，且{}{}{}00221<+≤≤+>=P X P X P X ，由于{}()20020.6≤≤==⎰P X f x dx ，所以{}200.4<=P X ，即{}00.2<=P X ，故选项A 正确．8. 设()12,,,n X X X K 为取自于总体()2,X N μσ:的简单随机样本，令∑==ni iX n X 11，1S =2S =，则下列选项正确的是______．(A) )()X t n Sμ-:；(B) )()1X t n Sμ--:；(C))()*X t n Sμ-:；(D))()*1X t n S μ--:．解由于()~0,1N ，)1(~)()1(221222--=-∑=n X XSn ni iχσσ，且与22(1)n S σ-相互独立，由t 分布的定义，得)~(1)X t n Sμ-=-，故选项B 正确． 二、 填空题9.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程为__。

答案43y x =-【解析】函数()f x 的定义域为()232240,,'2,''2,'''y x y y xx x +∞=+=-=。

令''=0y ,解得x=1,而()'''10,y ≠故点(1,1)为曲线唯一的拐点。

曲线在该点处切线的斜率()'14,y =故切线方程为43y x =-。

10.__.x e =⎰arcsin ,=tan x x x e C t t Ce C====⎰⎰答案【解析】令t=e 则原式11.差分方程25∆-=x x y y 的通解______. 【答案】125x x y c +=⋅-()()2+1+2+1+1+2+1+2+1+1+111111==22=5,2525,2,-2=5,=-52x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y c y c c c c y c *+∆∆∆∆-∆=∆-∆-∆-∆=∆-∆+∆-∆-=-==⋅==⋅-【解析】由于，故原差分方程可化为即。

设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为其通解为。

设原差方程的特解代入原方程得即。

所以原差分方程的通解为5,c 为任意常数。

12.函数()x ϕ满足()()()()()20,x x x x x x x x ϕϕϕο+∆-=∆+∆∆→且()02ϕ=,则()1__.ϕ=答案 ()12.e ϕ=【解析】()()()()()()2,,'=2x x x x x x x x x ϕϕοϕϕϕ=∆+∆由可知可微且。

这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为()2;x x ce ϕ=再由()02ϕ=,可得2c =。

故()()22,12x x e e ϕϕ==。

13.设A 为3阶矩阵,123,,ααα为线性无关的向量组,若112322332322,A A A αααααααααα=++=+=-+，,可得 ()()123123200,,,,111121A αααααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

由于123,,ααα线性无关,故200111121A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦:=B ，从而有相同的特征值。

因()()2200111223,121E Bλλλλλλλ--=--=--+---故A 的实特征值为2。

14.设随机事件,,A B C 相互独立，且1()()()2===P A P B P C ， 则()______⋃=P AC A B ．解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得()()()()()()()()()()()()()11122.111132222⋃⎡⎤⎣⎦⋃=⋃=+-⋅=+-⋅⋅==+-⋅P AC A B P AC A B P A B P AC P A P B P AB P A P C P A P B P A P B 三、 解答题15.已知实数,a b ,满足()1lim 2,x x ax b e x →+∞⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦求a,b 。

答案 1,1a b ==【解析】()011,lim2,t t a bt e t x t+→+-=令 =可得 ()0000111lim lim lim lim t t t tt t t t a bt e ae ae be bttt++++→→→→+---=+=+其中可知0011lim 2,lim ,1t t t t ae ae b a t t++→→--=-=而要使得存在必须有。

01,lim =1=2, 1.,1,1t t ae b b ta b +→--===此时有故综上。

16.设平面区域D 由曲线y =y =及y 轴围成。

计算二重积分2D x dy ⎰⎰。

答案)2.32π-【解析】)22I x dy x dx ==()3022240,,sin ,cos sin 2288432xx dx x x t t tdt td t ππ=-===⋅=其中对于令可化为而)340112416x dx x π==-=-，综上。