湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)含答案
2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题 1．复数31ii++等于（ ） A ．12i + B ．12i -C ．2i -D ．2i +【答案】C【解析】试题分析：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-，故选C ． 【考点】复数的运算．2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C【解析】根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据， 故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.3．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252．4．二项式5的展开式中常数项为（ ） A ．5 B ．10C ．40D ．﹣40【答案】C【解析】由二项式定理得到二项展开式通项，令x 幂指数等于零可确定r 取值，代入得到常数项. 【详解】5展开式通项：()105561552rrrr rr r T C C x--+⎛=⋅=- ⎝当1050r -=，即2r =时，常数项为()225240C -=故选：C 【点睛】本题考查二项展开式指定项系数的求解问题，关键是能够熟练掌握二项展开式通项的形式.5．下图给出的是计算111124610+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A ．5i >B ．5i <C ．6i >D ．6i <【答案】A【解析】模拟程序运行，观察程序运行结果，得出循环条件． 【详解】程序运行循环时，变量值变化如下：1,22S i ==；11,324S i =+=；111,4246S i =++=；1111,52468S i =+++=；11111,6246810S i =++++=，此时应是输出的结果，条件应是5i >． 故选：A ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可以模拟程序运行，观察变量值的变化，得出结论．6．设ABC V 是等腰三角形，120ABC ∠=︒，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．21B 13+ C ．12D ．13【答案】B【解析】根据题设条件可知2c AB BC ==，由正弦定理可得AC ，再由双曲线的定义可得2a ，最后由离心率公式进行计算即可得解. 【详解】双曲线的焦点为A ，B ，则2AB c =，Q ABC V 是等腰三角形，120ABC ∠=︒，∴2BC c =，30ACB ∠=︒，由正弦定理sin sin =∠∠AC AB ABCACB即2sin120sin 30AC c=︒︒，解得AC =， 双曲线过点C，由双曲线的定义可得||||22AC BC c a -=-=，解得离心率12c e a +===故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由下面两个方面着手：（1）根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值； （2）已知条件构造出a ，b ，c 的等式或不等式，结合222c a b =+化出关于a ，c 的式子，再利用ce a=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围. 7．若不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ） A ．4π B ．8π C ．5π D ．10π 【答案】D【解析】作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 【详解】作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域Ω，不等式222210x y x y +--+≤化为()()22111x y -+-≤它表示的区域为T ，如图所示；则区域Ω表示ABC V ，由240 230x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得点()12B -，； 又()20A -，，30B （，），∴()132252ABC S =⨯+⨯=V ， 又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，在ABC V 内的面积为21 122ππ⨯=；∴所求的概率为2510P ππ==，故选D ．【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.8．下图是正态分布()0,1N 的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（ ）.注：()()a P X a Φ=≤①()12a -Φ-②()1a Φ-③()12a Φ- A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据正态分布曲线的性质判断． 【详解】∵()()a P X a Φ-=≤-，∴图中阴影部分面积()()1122P X a a -≤-=-Φ-，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积()()1122P X a a ≤-=Φ-，故正确的个数为①③两个， 故选：C. 【点睛】本题考查了正态分布的性质，熟练掌握正态分布的性质是解决此类问题的关键，属基础题．9．由“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则()|P A B =（ ） A ．12B ．13C ．14D ．18【答案】B【解析】由条件概率计算公式计算，()()()|n AB P A B n B =，计算出()n AB 和()n B 后即可得． 【详解】()()()31|333n AB P A B n B ===⨯.故选：B. 【点睛】本题考查条件概率，求条件概率可通过公式()(|)()P AB P A B P B =计算，也可通过求出样本空间B Ω中基本事件的个数()n B ，以及样本空间B Ω中含有样本点A 的基本事件的个数()n AB ，由公式()(|)()n AB P A B n B =计算． 10．设为定义在上的可导函数，为自然对数的底数．若，则 A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此判断出，化简后可得出正确选项.【详解】令F(x)=，则>0成立，所以函数F(x)在(0，+上单调递增．因为e>2，所以>，即因为所以故选B ． 【点睛】本小题主要考查利用构造函数法判断函数的单调性，并由此比较数值的大小.属于中档题.11．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B【解析】取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解． 【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r．12．设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ ） A ．92ln 21,10+⎛⎫⎪⎝⎭B ．92ln 21,10+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．92ln 21,10+⎛⎤⎥⎝⎦D ．192ln 210,⎡⎤⎢⎥⎣⎦+【答案】C【解析】先利用导数确定()f x 在1[,)2+∞是单调递增的，然后问题转化为()(2)f x k x =+在1[,)2+∞上有两个不等的实根，再转化为研究新函数的单调性与极值． 【详解】由已知()2ln 1f x x x '=--，设()2ln 1g x x x =--，则1()2g x x '=-，当12x ≥时，()0g x '≥，()g x 单调递增，∴11()()ln ln 2022g x g ≥=-=>，即()0f x '>，∴()f x 在1[,)2+∞上单调递增．则题意若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，即为()(2)f x k x =+在1[,)2+∞上至少有两个不等实根．∴2ln 22x x x k x -+=+．设2ln 2()2x x x h x x -+=+（12x ≥），则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+（12x ≥）， 设2()32ln 4H x x x x =+--（12x ≥）， 则2(21)(2)()230x x H x x x x -+'=+-=≥，∴()H x 在1[,)2+∞上单调递增， 又1()0,(1)02H H <=，当1)[1,2x ∈时，()0H x <，∴()0h x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0H x >，∴()0h x '>，∴()h x 在1[,1)2上递减，在(1,)+∞上递增，注意到x →+∞时，2ln 2()2x x x h x x -+=→+∞+，∴1(1)()2h k h <≤，即92ln 2110k +<≤． 故选：C ． 【点睛】本题考查导函数与单调性的关系，解题关键是函数值域问题转化为方程根的分布问题，再转化为用导数确定函数的单调性．本题考查了学生分析问题解决问题的能力，属于难题．二、填空题13．已知45015(2)(1)(1)(1)x x a a x a x +-=+++++L ，则135a a a ++=____________．【答案】1【解析】令0x =以及令2x =-，即可求得结果. 【详解】由()()()()450152111x x a a x a x +-=+++++L ， 令x =0可得：2=a 0+a 1+L +a 5； 令x =−2可得：0=a 0−a 1+a 2+L −a 5. 相减可得：2(a 1+a 3+a 5)=2， 则a 1+a 3+a 5=1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查通过赋值法求系数和，属基础题. 14．随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 【答案】25【解析】设1ξ=时的概率为p ，则()110121155E p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯--= ⎪⎝⎭，解得35p =，故()()()()22213120111215555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯= 【考点】方差.15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x ，y ）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x ，y ）的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m ＝56，那么可以估计π≈__________．（用分数表示） 【答案】7825【解析】由题意,200对都小于l 的正实数对(x ,y )，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ,y ),满足x 2+y 2<1且x ,y 都小于1,x +y >1,面积为π142-， 因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对(x ,y ) 的个数m =56，所以56200=π142-,所以π=7825.故答案为7825. 16．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于 A B ，两点，','A B 分别为 A B ，在l 上的射影，M 为''A B 的中点，给出下列命题：①''A F B F ⊥；②AM BM ⊥；③'A F //BM ； ④'A F 与AM 的交点在y 轴上；⑤'AB 与'A B 交于原点. 其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③④⑤【解析】根据题意，结合抛物线定义和性质，即可对选项进行逐一分析判断. 【详解】根据题意，作图如下：因为A B ，在抛物线22y px =上，由抛物线的定义，得,AA AF BB BF ''==，又''A B ，分别为A B ，在l 上的射影， 所以''A F B F ⊥，即①正确； 取AB 的中点N ，则11()22MN AF BF AB =+=， 所以AM BM ⊥，即②正确；由②得AM 平分A AF ∠'，所以A F AM '⊥，又因为BM AM ⊥， 所以'A F //BM ，即③正确；取AB x ⊥轴，则四边形AFMA '为矩形，则'A F 与AM 的交点在y 轴上， 且'AB 与'A B 交于原点，即④⑤正确； 故答案为：①②③④⑤. 【点睛】要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取AB x ⊥轴）.三、解答题17．在()1nx +的展开式中，已知第三项与第五项的二项式系数相等. （1）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项；（2）求()22nx x +-展开式中含2x 项的系数【答案】（1）320x -为展开式中的系数最小的项；615x ，15为展开式中的系数最大的项（2）48【解析】（1）由二项式系数性质求出n ，写出展开式通项公式，由组合数性质可得系数最大的项和系数最小的项；（2）根据多项式乘法法则确定2x 项的系数． 【详解】由已知得246n n C C n =⇒=，（1）621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项261231661()()(1)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-，当3r =时，展开式中的系数最小，即3520T x =-为展开式中的系数最小的项；当2r =或4时，展开式中的系数最大，即6315T x =，515T =为展开式中的系数最大的项.（2）()622x x +-展开式中含2x 项的系数为1522466(2)1(2)48C C ⨯-+⨯⨯-=.【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数性质，解题关键是掌握二项式展开式通项公式． 18．一项研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2000株，株长均介于185mm-235mm ，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图 （1）求样本平均株长x 和样本方差2S （同一组数据用该区间的中点值代替）； （2）假设幼苗的株长X 服从正态分布()2,N μσ,其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2S ，试估计2000株幼苗的株长位于区间（201,219）的株数；（3）在第（2）问的条件下，选取株长在区间（201，219）内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为34，开花后结穗的概率为23，设最终结穗的幼苗株数为ξ，求ξ的数学期望.附：839≈；若X ：()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=；(22)0.954P X μσμσ-<<+=；(33)0.997P X μσμσ-<<+=【答案】(1) 210x =， 283S = (2)1366(3)683【解析】（1）使用加权平均数公式求x ，再由方差公式求方差；（2）求出μ及σ的值，得到(201219)P X <<，乘以2000得答案；（3）求出每株幼苗最终结穗的概率，再由正态分布的期望公式求期望． 【详解】解(1) 1900.022000.3152100.352200.2752300.04210x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222200.02100.315100.275200.0483S =⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由(I)知, 210,9x μσ===≈,∴(201219)(21092109)0.683P X P X <<=-<<+= 2000×0.683=1366∴2000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数大约是1366. (3)由题意,进入育种试验阶段的幼苗数1366,每株幼苗最终结穗的概率12P =, 则11366,2B ξ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 所以113666832E ξ=⨯= 【点睛】本题考查了频率分布直方图，服从正态分布随机变量的期望，属于中档题．本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差、正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量与方差的公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力.解答中正确、准确的计算是解答本题的关键. 19．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.P(K2≥k)0.050.01 k 3.841 6.635【答案】(1)无关；(2) 34，916.【解析】【详解】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55合计75 25 100将22列联表中的数据代入公式计算，得.因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为X 0 1 2 3PE(X)＝np＝34＝.D(X)＝np(1－p)＝91620．如图，在四棱锥M ABCD-中，平面ABCD⊥平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且AF MC⊥．(Ⅰ)证明：MC⊥平面ADM；(Ⅱ)若2AB =，DM MC =，且直线AF 与平面MBC所成的角的余弦值为3，试确定点F 的位置．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）F 是DM 的中点．【解析】(Ⅰ)推导出AD ⊥平面MCD ，AD MC ⊥，再由AF MC ⊥，能证明MC ⊥平面ADM ．(Ⅱ)由MC ⊥平面ADM ，知MC MD ⊥，从而MC MD ==过M 作MO CD ⊥，交CD 于O ，则MO ⊥平面ABCD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F 是DM 的中点． 【详解】(Ⅰ)平面ABCD ⊥平面MCD ，平面ABCD ⋂平面MCD CD =，AD CD ⊥，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面MCD ，MC ⊂Q 平面MCD ，AD MC ∴⊥，又AF MC ⊥，AD AF A ⋂=，由线面垂直的判定定理可得MC ⊥平面ADM ．(Ⅱ)由MC ⊥平面ADM ，知MC MD ⊥，所以MC MD ==，过M 作MO CD ⊥，交CD 于O ，因为平面ABCD ⊥平面MCD ，所以MO ⊥平面ABCD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(0,0，0)，M(0,1，1)， 设DF λDM u u u r u u u u r=，(λ0)>，则()F 0,λ,λ，()AF 2,λ,λ∴=-u u u r ，BC (2,=-u u u r0，0)，()BM 2,1,1=--u u u u r ，设平面MBC 的一个法向量n (x,=ry ，z)，则由BC n 0BM n 0u u u r ru u u u r r ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得{2x 02x y z 0-=--+=，取y 1=，得n (0,=r 1，1)， 设直线AF 与平面MBC 所成的角为θ，则cos θ=，所以22AF n 2λ1sin θ3AF n 24λλ⋅===⋅⋅++u u u r r u u u r r ，(λ0)> 解得1λ2=，即F 是DM 的中点．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成角的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.21．已知椭圆C 的焦点是(10,3F -，(23F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l ：220x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B . （i ）求使PAB △的面积为12的点P 的个数； （ii ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u r u u u r，求22λμ+的值.【答案】（1）2214y x +=（2）（i ）符合条件的点P 有2个（ii ）221λμ+= 【解析】（1）根据椭圆的定义求得,a c ，再求得b ，得椭圆方程；（2）（i ）把直线l 方程代入椭圆方程，求得,A B 两点坐标，得AB ，从而求得使PAB △的面积为12的P 点到直线AB 5，求出椭圆中心（原点）到直线l 的距离5>l 之间有一条直线与直线l 5，它与椭圆的两个交点满足题意，再确定与椭圆相切且与l 平行的直线与直线l 的距离55<l 与原点不同侧的一侧无满足题意的点．（ii ）设(,)M x y ，用,x y 表示出,λμ，计算后可得． 【详解】（1）∵12124PF PF F F +=>， 故24a =，c =∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=.（2）（i ）∵直线l ：220x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ，由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=-⎩． ∴()1,0A -，()0,2B -，AB =， 若1122PAB S AB d ==△，∴d =∵原点O 到直线l ：220x y ++=55=>， ∴在直线l ：220x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点，设直线'l ：20x y n ++=与椭圆相切，则222014x y n y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一个解，∴228440x nx n ++-=有且只有一个解， 由0∆=解得n = 此时，'l 与l<， ∴在直线l ：220x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点， ∴符合条件的点P 有2个.（ii ）设(),M x y ，则x ，y 满足方程：2214yx +=，∵ (,)OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u r u u u r，∴(,)(1,0)(0,2)(,2)x y λμλμ=-+-=--，即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2xy λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴222214y x λμ+=+=.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式、向量线性运算的坐标表示．考查学生的运算求解能力，分析推理能力，有一定的难度． 22．已知函数2()(1)e 2xa f x x x =--，其中R a ∈． （Ⅰ）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由； （Ⅱ）求最大的整数a ，使得对任意12R,(0,)x x ∈∈+∞，不等式12122()()2f x x f x x x +-->-恒成立．【答案】（1）不能（2）3 【解析】试题分析：（Ⅰ）假设函数()f x 的图象能与x 轴相切．设切点为(,0)t ，根据导数的几何意义得到关于t 的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为()()()()12121212f x x x x f x x x x +++>-+-,设()()g x f x x =+，则问题等价于()()1212g x x g x x +>-对任意()12,0,x R x ∈∈+∞恒成立，故只需函数()()212x a g x x e x x =--+在R 上单调递增，因此()10x g x xe ax =-+≥'在R 上恒成立即可，由(1)10g e a -+'=≥可得1a e ≤+，即为()0g x '≥成立的必要条件，然后再证3a =时，310x xe x -+≥即可得到结论． 试题解析：（Ⅰ）∵()()21e 2xa f x x x =--， ∴．假设函数的图象与轴相切于点，则有， 即．显然，将代入方程中可得．∵，∴方程无解．故无论a 取何值，函数的图象都不能与轴相切．（Ⅱ）由题意可得原不等式可化为，故不等式在R 上恒成立．设，则上式等价于， 要使对任意恒成立，只需函数在上单调递增，∴在上恒成立．则，解得，∴在上恒成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．设，则，当时，，()h x 单调递减；当时，，()h x 单调递增．∴，即．则当时，，；当时，，．第 21 页 共 21 页 ∴恒成立． 所以实数的最大整数值为3．点睛： （1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．（2）解答本题的关键是构造函数()g x ，将问题转化为函数()g x 单调递增的问题处理，然后转化为()0g x '≥恒成立，可求得实数a 的值．。
2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期年度过关考试(理)数学试题
参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B 8．A 9．B 10．C 11．D 12．A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2114．b a c << 15．7 16．③ 三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （1）3π； （2）1479.【分析】（1）根据同角三角函数关系得到2（1﹣cos 2A ）-3cosA=0，解出角A 的余弦值，进而得到角A ；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到a=21，再结合正弦定理得到最终结果.【详解】（1）∵在ABC △中，()0cos 3sin 22=++C B A ，∴()0cos 3cos 122=--A A ，解得21cos =A ，或2cos -=A （舍去）， ∵π<<A 0，∴3π=A ；（2）∵ABC △的面积3543sin 21===bc A bc S ，∴20=bc ， 再由4=c 可得5=b ，故9=+c b ，由余弦定理可得：()213cos 22222=-+=-+=bc c b A bc c b a ，∴21=a ，∴()92123sin sin sin sin sin ⨯=+=+=+c b a Aa A c a Ab C B ∴C B sin sin +的值是1479. 18．（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ，D CBAPO因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=， 所以AD =AB BD =．因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥．………………………………1分 在△APD 中，90APD ∠=， O 为AD 的中点， 所以12PO AD AO ==． 设2AD PB a ==，则3OB a =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥．……………………2分 【2分段另证：在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在△BOP 和△BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以△BOP≅△BOA ． 所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．】因为OPAD O =，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ．………………………………………………………………3分 因为OB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．……………………………………………………4分（2）解法1：因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B =，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB ． 所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直．……………………5分以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．………………………………………………………6分z yxO PA BCD设2AD =，则(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，()0,3,0B ，()0,0,1P ，……………7分 所以()1,0,1PD =--，()0,3,1PB =-，(2,0,0)BC AD ==-，……………8分 设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =n ，则11110,30,PD x z PB y z ⎧∙=--=⎪⎨∙=-=⎪⎩n n 令11y =，则13x =-，13z =， 所以()3,1,3=-n ．………………………………………………………………9分 设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ，则22220,30,BC x PB y z ⎧∙=-=⎪⎨∙=-=⎪⎩m m 令21y =，则20x =，23z =， 所以()0,1,3=m ．…………………………………………………………………10分 设二面角D PB C --为θ，由于θ为锐角， 所以cos cos ,θ=<>=m nm n m n…………………………………………………11分 427727==⨯． 所以二面角D PB C --的余弦值为277．…………………………………………12分 解法2：因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B =，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．………………………………………………………………………5分 所以PO a =，2PD a =．过点D 作DHPB ⊥，H 为垂足，过点H 作//HG BC 交PC 于点G ，连接DG ，……6分因为AD PB ⊥，//BC AD ， 所以BC PB ⊥，即HG PB ⊥．所以DHG ∠为二面角D PB C --的平面角．………7分H GDCBAP O在等腰△BDP 中，2BD BP a ==，2PD a =，根据等面积法可以求得72DH a =．………………………………………………8分 进而可以求得12PH a =， 所以12HG a =，22PG a =．……………………………………………………9分在△PDC 中，2PD a =，2DC a =，22PC a =，所以2223cos 24PD PC DC DPC PD PC +-∠==⨯． 在△PDG 中，2PD a =，22PG a =，3cos 4DPC ∠=， 所以22222cos DG PD PG PD PG DPG a =+-⨯⨯∠=，即DG a =．……10分 在△DHG 中，72DH a =，12HG a =，DG a =， 所以222cos 2DH HG DG DHG DH HG+-∠=⨯…………………………………………11分277=． 所以二面角D PB C --的余弦值为277．……………………………………12分 19.（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）032112=+-y x ，或032112=-+y x . 试题分析：（Ⅰ）由题意，根据离心率定义得到a 与c 的关系式，再由点B A ,求出直线AB 的方程，根据点到直线距离公式，得到a 与b 的关系式，再结合222c b a +=，从而得出椭圆方程；（Ⅱ）根据题意，可将直线l 斜率存在与否进行分类讨论，由“线段MN 为直径”，得0=⋅ON OM ，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.试题解析：（Ⅰ）由已知得，23==a c e 因为过椭圆的上顶点A 和右顶点B 的直线与原点的距离为552，所以55222=+ba ab ，解得2=a ，1=b ，3=c ， 故所求椭圆E 的方程:1422=+y x ； ……………………………………5分 （Ⅱ）椭圆E 左焦点()0,3-，①当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆E 交于⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3，⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3两点，显然不存在满足条件的直线. ……………………………………6分 ②当直线l 斜率存在时，设直线l ：k kx y 3+=故.23. 【解析】试题分析: （Ⅰ）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式()10f x ≤的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．试题解析：（Ⅰ） ()26,0,6,06,26, 6.x x f x x x x -+≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩当0x ≤时，由2610x -+≤，解得20x -≤≤； 当06x <≤时，因为610<，所以06x <≤； 当6x >时，由2610x -≤，解得68x <≤ 综上可知，不等式()10f x ≤的解集为[]2,8-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()f x 的最小值为6，即6m =.（或者6x x +-≥()66x x --=），所以6a b c ++=， 由柯西不等式可得()()123a b c ++++=()()()222abc⎛⎫++⎪⎝⎭()()()222123⎛⎫++⎪⎝⎭()223a b c≥++因此23a b c ++ 6m ≤=.。
衡阳市八中高二下期期中考试(理)答案
衡阳市八中高二下期期中考试数学试题（理）考生注意：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分。
第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-6页，共6页。
全卷共100分。
考试用时120分钟。
（2）考生务必把第Ⅰ卷（选择题和填空题）的答案填在第Ⅱ卷的相应位置处。
第Ⅰ卷（选择填空题 共45分）一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知直线l α⊥平面，直线m β⊂平面，给出下列命题：①α∥l m β=⊥ ②l αβ⊥⇒∥m③l ∥m αβ⇒⊥ ④l m α⊥⇒∥β其中真命题的是___D_____.A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③2、一个正四棱锥的底面面积为Q ，则它的中截面(过各侧棱的中点的截面)的边长是___A______.A ．2Q B ．4Q C ．Q D ．4Q3、α表示一个平面，l 表示一条直线，则α内至少有一条直线与直线l __D___.A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直4、某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告，要求最后播放的必须是奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有___A___.A ．36种B ．48种C ． 120种D ．20种 5、长方体的对角线长为2，则其全面积的最大值为____D______.A ．2B ．22C ．4D ．86、若直线l 与平面α所成角为3π，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与 直线a 所成的角的取值范围是___C______. A ．2[0,]3πB ．2[,)33ππC ．[,]32ππD ． 2[,]33ππ7、已知球的两个平行截面面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，则球半径为_____B___.A . 4B ．3 C. 2 D. 58、10名学生计划“五一”这天去郊游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不 去”，则这10名学生“五一”这天去郊游的情况共有___D_____.A .210C 种 B .210A 种 C .102种 D .210种9、已知北纬450圈上有A 、B 两地，且A 地在东经300线上，B 地在西经600线上，设地球半径为R ，则A 、B 两地的球面距离是____B_____A 、R π61B 、R π31C 、R π21D 、R π10、如图，在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是___ C __ .A .12πB .32πC .36πD .48π二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11、如图正方形OABC 的边长为1cm的直观图，则原图形的周长是____8______cm.12、三棱锥O-ABC 中OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，则异面直线AB 与OC 的距离为13、表面积为4π的球O 与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，三角形OAB 的面积25S =，则球心到二面角的棱的距离为 .14、正六棱锥S-ABCD 的底面边长为6，侧棱长为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小为__o30_____.15、组织一支10人球队,由七所学校的学生组成,每所学校至少有一人,名额分配方案 的种数为 84 。
湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文科)试卷(解析版)
2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下列语句中哪个是命题（）A. 张三是“霸中”学生啊！B. 张三在八中学习快乐吗？C. 张三可以考上清华大学D. 张三高考数学成绩不超过 150 分【答案】D【解析】【分析】根据命题的定义可以得到正确答案.【详解】命题是可以判断真假的语句，一般惊叹句，疑问句，祈使句都不是命题，所以选D. 【点睛】本题主要考查了命题的概念，属于容易题.2.“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】“”即为“”。
所以当“”时“”成立，反之不一定成立。
因此“”是“”的充分不必要条件。
选B。
3.已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A. ∀x∉R，2x=5B. ∀x∈R，2x≠5C. ∃x0∈R，2=5D. ∃x0∈R，2≠5【答案】D【解析】试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．解：∵命题是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，故选：D．考点：全称命题；命题的否定．4.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于，所以到另一个焦点的距离为.考点：椭圆定义．5.函数f（x）=﹣x2+在x=1处的切线的斜率为（）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义可知，求导后计算即可.【详解】因为,所以，故选B.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于容易题.6.已知双曲线的一条渐近线与直线x﹣y+2=0垂直，则它的离心率为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程知渐近线方程为，其中一条与直线x﹣y+2=0垂直，可知，即可计算离心率.【详解】由双曲线可知渐近线方程为，且一条渐近线与直线x﹣y+2=0垂直，所以，，即.故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线，离心率，属于中档题.7.过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条【答案】D【解析】【分析】过点（0，1）作直线，可以有两条抛物线的切线有一个公共点，也可以过（0，1）作与抛物线对称轴平行的直线，也仅有一个公共点.【详解】因为（0，1）在抛物线外部，可以过该点作抛物线的两条切线，符合题意，过（0，1）作抛物线对称轴的平行线，也符合题意，因此，过（0，1有3条直线与抛物线仅有一个公共点.故选D.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.8.已知函数，的导函数为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选9.P是椭P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为()A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设中点坐标为，则，因在椭圆上，故而可求的关系式即中点的方程.详解：中点坐标为，则，因在椭圆上，故，故选B.点睛：求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.10.设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A. B. C. 6 D. 10【答案】C【解析】根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.11.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则（）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】设，根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再根据，判断点是重心，进而求的值，最后根据抛物线的定义求得答案.【详解】设,抛物线焦点坐标，准线方程因为所以点是重心，故，而.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，重心的性质，属于中档题.12.P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A. 直线PA1与PA2的斜率之和为定值B. 直线PA1与PA2的斜率之和为定值2C. 直线PA1与PA2的斜率之积为定值D. 直线PA1与PA2的斜率之积为定值2【答案】C【解析】【分析】验证直线PA1与PA2的斜率之积为定值即可.【详解】设则即，，故选C.【点睛】本题主要考查了类比的思想，双曲线的简单性质，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“若a＞2，则a2＞4”的逆否命题可表述为：_____．【答案】“若a2≤4，则a≤2”．【解析】【分析】根据逆否命题的定义即可写出.【详解】因为原命题为“若a＞2，则a2＞4”，所以逆否命题为“若a2≤4，则a≤2”.【点睛】本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题.14.已经抛物线方程y2=4x，则其准线方程为_____．【答案】x=﹣1【解析】【分析】根据抛物线的标准方程可知，写出其准线即可.【详解】由抛物线方程可知，所以准线方程为，故填.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的简单性质，属于中档题.15.函数f（x）=ax3+x+1在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，则a=_____．【答案】1【解析】【分析】由题意知，f（x）在x=1处的切线的斜率为4，根据导数的几何意义即可求解.【详解】因为f（x）在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，所以f（x）在x=1处的切线的斜率为4又，所以，解得，故填1.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.16.已知椭圆C:的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________【答案】【解析】连接,由为中位线，可得 ,,圆，可得且，由椭圆的定义可得，可得，又，可得，即有，即为，化为，即，，即有，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知含有量词的两个命题p和q，其中命题p：任何实数的平方都大于零；命题q：二元一次方程2x+y=3有整数解．（Ⅰ）用符号“∀”与“∃”分别表示命题p和q；（Ⅱ）判断命题“（￢p）∧q”的真假，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）（￢p）∧q”为真.【解析】【分析】（1）根据命题可知p是全称命题，q是存在性命题，即可用符号写出命题（2）p为假命题，￢p真，q是真命题，故可判定（￢p）∧q”为真.【详解】（Ⅰ）命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃x0，y0∈Z，2x0+y0=3；（Ⅱ）p为假，则￢p为真，又q为真，∴“（￢p）∧q”为真．【点睛】本题主要考查了含有量词的命题，复合命题真假的判定，属于中档题.18.已知函数（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图像在处的切线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用函数乘积的求导法则求导即可；（2）先求得在1处的导数值得切线斜率，进而得切线方程.试题解析：（1）;（2）切线斜率，所以切线方程.19.设命题：对任意实数，不等式恒成立；命题:方程表示焦点在轴上的双曲线. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由不等式恒成，可得立，从而可得命题为真命题的的取值范围；（2）结合（1）所求的的取值范围，根据双曲线的定义求出为真时满足当，由是的充分条件，等价于，解不等式即可得结果.试题解析：（1）不等式恒成立，当时，为真命题.（2）因为方程表示焦点在轴上的双曲线.，得；当时，为真命题.是的充分条件，综上，的取值范围是.20.已知点A（﹣，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．（1）求点C的轨迹方程；（2）点C的轨迹与经过点（2，0）且斜率为1的直线交于D、E两点，求线段DE的长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，先判断轨迹，再写出方程（2）根据直线与双曲线相交，利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）∵点A（﹣，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．|AB|=2＞2，∴C的轨迹方程是以A（﹣，0）和B（，0）为焦点的双曲线，且a=1，c=，∴C的轨迹方程是（2）∵C的轨迹方程是2x2﹣y2=2，经过点（2，0）且斜率为1的直线方程为y=x﹣2．∴联立，得x2+4x﹣6=0，设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1+x2=﹣4，x1x2=﹣6，∴|DE|=．故线段DE的长为．【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，弦长公式，属于中档题21.抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，准线与圆相切.（1）求抛物线的方程；（2）已知直线和抛物线交于点，命题:“若直线过定点，则”，请判断命题的真假，并证明.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为：x2=2py，p＞0，由已知条件得圆心（0，0）到直线l的距离，由此能求出抛物线线C的方程；（Ⅱ）设直线m：y=kx+1，交点A，B联立抛物线C的方程，得x2-4kx-4=0，△=16k2+16＞0恒成立，由此利用韦达定理能证明命题P为真命题试题解析：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：，其准线的方程为：∵准线圆相切∴解得p=4故抛物线线C的方程为：………….…5分（Ⅱ）命题p为真命题……………………………………６分直线m和抛物线C交于A，B且过定点（0，1），故所以直线m的斜率k一定存在，………………………7分设直线m：，交点，，联立抛物线C的方程，得，恒成立，………8分由韦达定理得………………………………………9分=∴命题P为真命题.………………………………………12分.考点：直线与圆锥曲线的综合问题22.已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线的斜率为定值。
湖南省衡阳市八中2018_2019学年高二数学下学期期期末考试试题理(含解析)
湖南省衡阳市八中2018-2019学年高二数学下学期期期末考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,2,3B =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）．A. {}4B. {}2,4C. {}4,5D. {}1,3,4【答案】A 【解析】【详解】图中阴影部分所表示的集合A 中的元素除去集合B 中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是A u C B ⋂={}4，故选A.2.已知双曲线C 与椭圆E ：221925+=x y 有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线C 的标准方程为（ ） A. 221124x y -=B. 221412x y -=C. 221412y x -=D.221124y x -= 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =，则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ， ∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=． 设双曲线的实半轴长为m ，则42m=，得2m =，则虚半轴长n =∴双曲线的方程是221412y x -=．故选：C ．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．3.在复平面内，复数11iz =+，则z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 化简复数11iz =+，计算z ，再计算对应点的象限. 【详解】复数11-1111+1(1)(1-)2222i z i z i i i i ===-⇒=++ 对应点为：11(,)22故答案选A【点睛】本题考查了复数的计算，共轭复数，复数对应点象限，意在考查学生的计算能力.4.已知点F 为抛物线 C ：24y x = 的焦点. 若过点F 的直线 l 交抛物线 C 于A ， B 两点， 交该抛物线的准线于点M ，且1MA AF λ=，2MB BF λ=，则12λλ+=（ ）A. 12-B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案. 【详解】易知：焦点F 坐标为(1,0)，设直线方程为：(1)y k x =- 1122(,),(,)A x y B x y22222124(44)01(1)y xk x k x k x x y k x ⎧=⇒-++=⇒=⎨=-⎩ 如图利用AFGANQ ∆∆和FBP FHM ∆∆ 相似得到：111111x MAMA AF AF x λλ+=⇒=-=--， 222211x MB MB BF BF x λλ+=⇒==-12121212121122011(1)(1)x x x x x x x x λλ++-+=-+==---- 【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为 5，则a =（ ）A. 4B. 3C. 2D. -1【答案】D 【解析】 【分析】将化简为：55(1)(1)x ax x +++分别计算2 x 的系数，相加为5解得a .【详解】555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++5(1)x +中2 x 的系数为：2510C = 5(1)ax x +2 x 的系数为：155aC a =2 x 的系数为：10551a a +=⇒=-故答案选D【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算.6.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹. 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把 各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示， 十位、千位、十万位用横式表示， 以此类推．例如 8455用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意直接判断即可.【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有C 符合，故选C. 【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型.7.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ） A. 5sin(2)()12y x x R π=+∈ B. 5sin()()212x y x R π=+∈C. sin()()212x y x R π=-∈ D. 5sin()()224x y x R π=+∈ 【答案】B 【解析】试题分析：函数sin()6y x π=+，()x R ∈的图象上所有点向左平移4π个单位长度得si n()46y x ππ=++，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得5sin()212x y π=+，选B.考点：三角函数图像变换8.函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】取特殊值排除选项得到答案. 【详解】取ln 22,(2)02x f ==>，排除C 取1ln112,()0222x f ==<，排除BD 故答案选A【点睛】本题考查了函数的图像，通过特殊值排除可以简化计算.9.某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（ ）A.4π B.12C. 1D. 2【答案】B【解析】 【分析】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小111113322V =⨯⨯⨯⨯=故答案选B【点睛】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.10.已知函数()(ln )xe f x k x x x=--，若()f x 只有一个极值点，则实数k 的取值范围是A. (,)e -+∞B. (,)e -∞C. (,]e -∞D. 1(,]e-∞【答案】C 【解析】 【分析】由2()()(1),(0,)x kx e f x x x x -∈'=-+∞，令()0f x '=，解得1x =或x ek x=，令()xe g x x =，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.详解】221(1)()()(1)(1),(0,)x x e x kx e f x k x x x x x--=--=-∈+∞'， 令()0f x '=，解得1x =或xek x=，令()x e g x x =，可得2(1)()x e x g x x'-=， 当1x =时，函数()g x 取得极小值，(1)g e =，所以当k e <时，令()0f x '=，解得1x =，此时函数()f x 只有一个极值点， 当k e =时，此时函数()f x 只有一个极值点1，满足题意，当k e >时不满足条件，舍去.综上可得实数k 的取值范围是(,]e -∞，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.11.已知高为 H的正三棱锥 P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P AB C --的正切值为 4 ，则RH=（ ） A.37B.35C.59D.58【答案】D 【解析】 【分析】过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .证明面角 P AB C --的平面角为PDC ∠,计算得到2HCM =,通过勾股定理计算得到答案. 【详解】如图：正三棱锥 P ABC -，过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .易知：,M CD O PM ∈∈D 为AB 中点,PD AB CD AB ⇒⊥⊥⇒二面角P AB C --的平面角为PDC ∠ 正切值为442H HDM CM ⇒=⇒=在Rt OMC ∆中，根据勾股定理：2225()()28H R R H R H =-+⇒= 故答案选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A.73B.53【答案】A 【解析】【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数yt x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()23C ，处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即312t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．题中的不等式即：()2222224a x y x xy y +≤++，则：22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立，原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值，整理函数的解析式有：()22211112424221211131224112122t t t f t t t t t ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪++- ⎪ ⎪=⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭-++⎪ ⎪-⎝⎭，令12m t =-，则112m ≤≤，令()34g m m m=+，则()g m 在区间12⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间1⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， 且()172124g g ⎛⎫==⎪⎝⎭，，据此可得，当112m t ==，时，函数()g m 取得最大值，则此时函数()f t 取得最小值，最小值为：()2241211712113f ⨯+⨯+==⨯+．综上可得，实数a 的最大值为73．本题选择A 选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 把答案填在答题卡中的横线上） 13.已知向量(2,1)a =-，(,1)b λ=，若a b a b +=- ，则λ= ______． 【答案】12【解析】 【分析】由a b a b +=-得到0a b ⋅=，计算得到答案.【详解】已知向量(2,1)a =-，(,1)b λ=，若a b a b +=-2222022a b b a b b a a b b a b a a +=⋅+=⋅+⇒⋅=-⇒+-12102a b λλ⋅=-=⇒=所以答案为：12【点睛】本题考查了向量的计算，将条件转化为0a b ⋅=是解题的关键.14.设3a 0.2=，0.2b 3=，0.3c log 2=，则a ，b ，c 的大小关系用“<”连接为______． 【答案】c a b << 【解析】 【分析】分别判断出1a <，1b >，0c <，从而得到三者大小关系. 【详解】3000.20.21a <=<=，0.20331b =>=，0.30.3log 2log 10c =<=则,,a b c 的大小关系用“<”连接为c a b << 本题正确结果：c a b <<【点睛】本题考查指对数比较大小类的问题，解决此类问题的方法主要有两种：1.构造合适的函数模型，利用单调性判断；2.利用临界值进行区分.15.某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个. 【答案】7. 【解析】 【分析】设开始有细胞a 个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数898282222a a =----，根据条件列式求解.【详解】设最初有细胞a 个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以 经过1个小时细胞有1a =2(2)222a a -⋅=-，经过2个小时细胞有21(2)2a a =-⋅=2232[(22)2]2222a a --⋅=--， ······经过8个小时细胞有898282222a a =----，又8772a =，所以89822222772a ----=，8824(21)772a --=，7a =.故答案为7.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.16.如图所示，在三棱锥 D ABC -中，若AB CB =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)． ①平面 ABC ⊥平面ABD ； ②平面 ABC ⊥平面BCD ；③平面 ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ； ④平面 ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE .【答案】③ 【解析】 【分析】由AB=BC ，AD=CD ，说明对棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE ，且平面ADC⊥平面BDE ，即可得出结论．【详解】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC ⊥平面BDE ． 因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE ．又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，故答案为：③．【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60 分．17.已知在ABC △中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是a 、b 、c ，且22s i n 3c o s ()0A B C ++=．（1）求角 A 的大小；（2）若ABC △的面积，S = 4c =，求 sin sin B C +的值．【答案】（1）3π； （2【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到2（1﹣cos 2A ）﹣3cosA=0，解出角A 的余弦值，进而得到角A ；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理得到最终结果. 【详解】（1）∵在△ABC 中2sin 2A+3cos （B+C ）=0，∴2（1﹣cos 2A ）﹣3cosA=0，解得cosA=12，或cosA=﹣2（舍去）， ∵0＜A ＜π，∴A=3π；（2）∵△ABC 的面积S=12，∴bc=20， 再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=21 ，∴sinB+sinC ()sin sin sin 9b A c A A b c a a a =+=⨯+==∴sinB+sinC . 【点睛】这个题目考查了同角三角函数的化简求值，考查了三角形面积公式和正余弦定理的应用，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，90APD ︒∠=，且AD PB =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若AD PB ⊥，求二面角D PB C --的余弦值.【答案】（1）见解析； （2. 【解析】 【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ， 因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以AD = AB BD =． 因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥．在△APD 中，90APD ∠=， O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==．设2AD PB a ==,则OB =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥． 在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =， 所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．因为OP AD O ⋂=，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以OB ⊥平面PAD ．因为OB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B ⋂=，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直． 以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2AD =，则()1,0,0A ，()1,0,0D -，()B ，()0,0,1P ， 所以()1,0,1PD =--，()1PB =-，()2,0,0BC AD ==-， 设平面PBD 的法向量为()111,,n x y z =，则1111•0,•30,n PD x zn PB y z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩ 令11y =，则1x =1z =(n =． 设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =，则222•20,•30,m BC x m PB y z⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 令21y =，则20x =，2z (m =． 设二面角DPB C --为θ，由于θ为锐角， 所以cos cos ,m n θ===． 所以二面角D PB C --．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19.已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =A 和右顶点B的直线与原点O ， （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在直线l 经过椭圆左焦点与椭圆E 交于M ,N 两点，使得以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 方程；若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）20x -+=，或20x +-=. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到a 与c 的关系式，再由点,A B 求出直线AB 的方程，根据点到直线距离公式，得到a 与b 的关系式，再结合222a b c =+，从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将直线l 斜率存在与否进行分类讨论，由“线段MN 为直径”，得0OM ON ⋅=，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.试题解析：（1）由已知得，2c e a ==因为过椭圆的上顶点A 和右顶点B 的直线与原点的距离为5，所以=，解得2,1,a b c ===故所求椭圆E 的方程:2214x y +=（2）椭圆E左焦点()，①当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆E交于11,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点，显然不存在满足条件的直线.………6分②当直线l 斜率存在时，设直线:ly kx =+联立2214y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，()2222141240k x x k +++-=由于直线l 经过椭圆E 左焦点，所以直线l 必定与椭圆E 有两个交点，0∴∆>恒成立设()()1122,,,M x y N x y则212214x x k +=-+，212212414k x x k -=+若以MN 为直径的圆过O 点，则0OM ON ⋅=，即12120x x y y += (*)而()()()2221212121233y y kx kxk x x x x k =+=+++，代入(*)式得，()()2221212130k x xx x k +++=即()2222212413014k kk k -+⋅=+，解得2411k =，即11k =或11k =-．所以存在11k =或11k =-使得以线段MN 为直径的圆过原点O ．故所求的直线方程为20x +=，或20x +-=.20.已知函数()()21ln 12g x a x x b x =++-. （1）若()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为8230x y --=,求,a b 的值; （2）若121,,b a x x =+是函数()g x 的两个极值点,试比较4-与()()12g x g x +的大小. 【答案】（1）1,1a b ==-； （2）()()124g x g x +<-. 【解析】【分析】（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）将()g x 转化为只含有a 的式子.对函数()g x 求导，利用二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围并利用韦达定理写出12,x x 的关系式.化简()()12g x g x +的表达式，并利用构造函数法求得()()128ln212g x g x +<-.用差比较法比较出8ln212-与4-的大小关系.【详解】（1）根据题意可求得切点为51,2⎛⎫⎪⎝⎭,由题意可得,()()'1a g x x b x =++-, ∴()()512'14g g ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即15122114b a b ⎧+-=⎪⎨⎪++-=⎩,解得1,1a b ==-.（2）∵1b a =+,∴()21ln 2g x a x x ax =+-,则()'ag x x a x=+-. 根据题意可得20x ax a -+=在()0,∞+上有两个不同的根12,x x .即202400aa a a ⎧>⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩,解得4a >,且1212,x x a x x a +==. ∴()()()()()2221212121211ln ln 22g x g x a x x x x a x x a a a a +=++-+=--. 令()21ln (4)2f x x x x x x =-->,则()'ln 11ln f x x x x x =+--=-, 令()ln h x x x =-,则当4x >时,()1'10h x x=-<,∴()h x 在()4,∞+上为减函数,即()()()4ln440,'0h x h f x <=-<<即, ∴()f x 在()4,∞+上为减函数,即()()48ln212f x f <=-, ∴()()128ln212g x g x +<-,又∵()()228ln21248ln288ln218ln ,ln 0e e而---=-=-=<, ∴28ln0e<,即8ln2124-<-, ∴()()124g x g x +<-.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数研究函数的极值点问题，难度较大.21.某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产. 如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划. 现公司 2013—2018 年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：注：=年库存积压件数年库存积压率年生产件数（1）从公司 2013—2018 年的相关数据中任意选取 2 年的数据，求该款饮料这 2 年中至少有 1 年畅销的概率.（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为9.909.30y x ∧=-.现公司计划 2019 年生产 11 千万件该款饮料，且预计 2019 年可获利 108 千万元. 但销售部 门发现，若用预计的 2019 年的数据与 2013—2018 年中畅销年份的数据重新建立回归方程， 再通过两个线性回归方程计算出来的 2019 年年销售利润误差不超过 4 千万元，该款饮料的 年库存积压率可低于千分之一. 如果你是决策者，你认为 2019 年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由. 【答案】（1）1415；（2）不需要调整. 【解析】 【分析】（1）计算出每年的年度库存积压率，可知13，15，17，18年畅销，14，16年不畅销；列举出所有年份中任取2年的取法共15种，其中2年均为不畅销的取法仅有1种，故根据古典型及对立事件的概率可求得结果；2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出2019年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的2019年的年销售利润预估值，可知两值相差3.66千万元，由此可得结论 【详解】（1）公司2013-2018年年度存积压率分别为：2.9130001000<， 5.8150001000>，3160001000<，9180001000>，7.5190001000<，81110001000<则该饮品在13，15，17，18年畅销记1A ，2A ，3A ，4A ，14，16年不畅销记为1B ，2B任取2年的取法有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31A B ，()32,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种.其中2年均不畅销的取法是()12,B B ，共1种 ∴该款饮料这年中至少有1年畅销的概率为：11411515P =-= （2）由题意得，2019年数据与2013，2015，2017，2018年数据重组如下表：经计算得8x =，72y = ∵513380i i i x y ==∑，521368i i x ==∑∴51252155i i i ii x y x y b x x∧==-⋅==-∑∑23380587212510.423685812-⨯⨯=≈-⨯7210.42811.36a y b x ∧∧=-⋅=-⨯=-∴10.4211.36y x ∧=-当11x =时，10.421111.36103.26y ∧=⨯-=，此时预估年销售利润为103.26千万元 将11x =代入9.909.30y x ∧=-中得，9.90119.3099.6y ∧=⨯-=，此时预估年销售利润为99.6千万元∵|103.26-99.6|=3.66<4，故认为2019年的生产和销售计划不需要调整.【点睛】本题考查了概率的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修 4－4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C：的参数方程是1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）. 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=. （1）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）若射线 l 的极坐标方程(0)3πθρ=≥，且 l 分别交曲线1C 、2 C 于 A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）1C :22cos 20ρρθ--=,2C :221x y +=;（2）1.【解析】试题分析：（1）首先写出1C 的直角坐标方程，再根据互化公式写出极坐标方程，和2C 的直角坐标方程,互化公式为cos ,sin ,x y ρθρθρ=== ；（2）根据图象分析出12AB ρρ=- .试题解析：（1）将1C 参数方程化为普通方程为()2213x y -+=，即22220x y x +--=， ∴1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=.将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=.（2）将=3πθ代入1:C 22cos 20ρρθ--=整理得220ρρ--=， 解得12ρ=，即12OA ρ==.∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆， ∴射线=3πθ ()0ρ≥与2C 相交，即21ρ=，即21OB ρ==. 故12211AB ρρ=-=-=.选修 4－5：不等式选讲23.已知函数()6f x x x =+-.（1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）记()f x 的最小值为 m ，若正实数a ， b ，c 满足a b c m ++=，求证：m ≤.【答案】（Ⅰ）[]2,8-;（Ⅱ）见解析.【解析】 试题分析: （Ⅰ）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f （x ）≤10的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．试题解析：（Ⅰ） ()26,0,6,06,26, 6.x x f x x x x -+≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩当0x ≤时，由2610x -+≤，解得20x -≤≤；当06x <≤时，因为610<，所以06x <≤；当6x >时，由2610x -≤，解得68x <≤综上可知，不等式()10f x ≤的解集为[]2,8-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()f x 的最小值为6，即6m =.（或者6x x +-≥ ()66x x --=），所以6a b c ++=， 由柯西不等式可得()()123a b c ++++=222⎛⎫++ ⎪⎝⎭222⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 2≥6m ≤=.。
2018-2019湖南省衡阳市高二下学期数学（理）试题
2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知随机变量满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据期望的性质，即可得出结果.【详解】因为随机变量满足，所以.故选D【点睛】本题主要考查随机变量的期望，熟记期望的性质即可，属于常考题型.2．不等式的解集为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】分，，三种情况，即可求出不等式的解集.【详解】当时，原不等式可化为，即，显然成立，所以；当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，即，显然不成立，所以舍去；综上，原不等式的解集为.故选C【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型. 3．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果.因为随机变量服从正态分布，，根据正态分布的特征，可得，解得.故选D 【点睛】本题主要考查正态分布的特征，熟记正态分布的特征即可，属于基础题型. 4．执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040 【答案】B【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B 5．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，··· ，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.由题意可得：成绩在内的频率为，又本次赛车中，共名参赛选手，所以，这名选手中获奖的人数为.故选A【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型. 6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种。
2019-2020学年湖南省衡阳八中2018级高二下学期期中考试数学试卷及答案
【解析】【分析】本题考点是基本不等式在最值问题中的应用,考查了利用基本不等式求最值,利用指数函数的单调性求最值,解题的关键是熟练掌握基本不等式及指数函数的单调性,是一般题．
由题意,可先由基本不等式求出m的最小值,再由指数函数的单调性求出n的最大值,再由中间量法比较即可得出两数的大小,选出正确选项．
9.已知 , ,则下列正的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 ,得到 的图像,则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像关于直线 对称
B. 在 上的值域为
C. 的图像关于点 对称
D. 的图像可由 的图像向右平移 个单位长度得到
11.给出下列命题,其中是错误命题的是（ ）
A.若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为 ；
B.函数 的单调递减区间是 ；
C.若定义在R上的函数 在区间 上是单调增函数,在区间 上也是单调增函数,则 在R上是单调增函数；
D. 是 定义域内的任意的两个值,且 ,若 ,则 是减函数．
12.如图,在棱长为1的正方体 中,E,F分别为 ,CD的中点,则以下选项正确的是（ ）
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ,求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
21.（本小题满分12分）已知函数 是偶函数,函数 是奇函数．
（1）求 的值；
2）设 ,若 对任意 恒成立,求实数 的取值范围．
22.（本小题满分12分）已知向量 , ,函数 的最小值为 ,
（1）当 时,求 的值；
（2）求 ；
（3）已知函数 为定义在R上的增函数,且对任意的 都满足 问：是否存在这样的实数m,使不等式 对所有 恒成立,若存在,求出m的取值范围；若不存在,说明理由．
18.（本小题满分12分）已知等差数列 的前n项和为 ．
湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二数学下学期年度过关考试试题 理(PDF)
A. 7
5
B．
C． 5
D． 6
3
3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 把答案填在答题卡中的横线上）
13．已知向量
a
(2,
1)
，
b
(
,1)
，若 |
a
b
||
a
b
|
，则
______．
14．设 a 0.23 ， b 30.2 ， c log0.3 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系用“ ”连接为______．
（2）若 b a 1， x1, x2 是函数 gx 的两个极值点，试比较 4 与 gx1 gx2 的大小.
21. (本小题满分 12 分) 某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年
库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产. 如果年库存积压率
5
xi x yi y 500 ，
xi x 2 48 ，
i 1
i 1
5
5
xi yi 3380 ， xi2 368 .
i 1
i 1
理科数学试题
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（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．
22. (本小题满分 10 分) [选修 4－4：坐标系与参数方程]
n
n
xi x yi y
xi yi nx y
（参考公式： y^ b^ x a^ ， b^ i1 n xi x 2
i1
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2019年上期衡阳市八中高二期中考试试题
理科数学
考试范围：集合与逻辑，排列组合，二项式定理，概率与统计，空间向量与立体几何，
解析几何，函数与导数
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，0，1，2，，则
A. B. C. D. 1，2，
2.命题“，”的否定是
A.，
B. ，
C. ，
D. ，
3.记为等差数列的前n项和若，，则的
公差为
A.1
B. 2
C. 4
D. 8
4.执行如图所示的程序框图如果输入的，则输出y的值是
A. B. C. D.
5.设，则等于
A. B. C. D.
6.函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的x的取值范围
是
A. B. C. D.
7.在区间上随机取两个实数x，y，使得的概率为
A. B. C. D.
8.某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如右表：
根据上表可得回归方程，则m为
A.54
B. 53
C. 52
D. 51
9.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A. B. C. D.
10.把10名登山运动员，平均分为两组先后登山，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的安
排方法的种数是
A.30
B. 60
C. 120
D. 240
11.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成
角的余弦值为
A. B. C. D.
12.已知函数，若关于x的不等式
恒成立，则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知i是虚数单位，则______；
14.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______cm3；
15.已知随机变量，若，则______；
16.已知椭圆的一个焦点恰为抛物线的焦点，设
抛物线的准线与轴的交点为，过的直线与抛物线交于，两点，若以
线段为直径的圆过点，则______.
三、解答题：共70分。
解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（本小题满分12分）
在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，且ΔABC的面积为，求ΔABC的周长．
18.（本小题满分12分）
如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．求证：；
若平面ABCD，求二面角的大小.
19.（本小题满分12分）
某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．
求该学生没有考上大学的概率；
如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C:的一个焦点为，且离心率为．
求椭圆方程；
斜率为k的直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，P为直线上的一点，若为等边三角形，求直线l的方程．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，证明:．
（二）选考题：共10分。
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线在平面直角坐标系中的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线：
将的方程化为普通方程，并求出的平面直角坐标方程；
求曲线和两交点之间的距离．
23.【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
求不等式的解集；
若不等式的解集非空，求m的取值范围．
2019年上期衡阳市八中高二期中考试试题
理科数学
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、；14、π8；15、；16、.
由椭圆方程易知焦点坐标为，抛物线方程为，很明显直线AB的斜率存在且斜率不为0，设直线AB的斜率为，AB的方程为，其中，
联立直线方程与抛物线方程可得，解得：，则，设，，以线段为直径的圆过点，则，即：，结合
可得，据此有：，整理可得：，解得：(负根舍去)，结合弦长公式可得：.
四、解答题：共70分。
（二）必考题：共60分。
17、【答案】，，
，，，
，，；
的面积为，，，由，及，得，，又，．故周
长为6．
18、【答案】证明：Ⅰ在图1中，，
，
为平行四边形，，
，，
当沿AD折起时，，，
即，，
又，面面
平面PAB，
又平面PAB，．
解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD 则0，，0，，1，，0，，1，
1，，1，，0，，
设平面PBC的法向量为y，，
则，取，得0，，
设平面PCD的法向量b，，
则，取，得1，，
设二面角的大小为，可知为钝角，
则，．
19、【答案】解：记“该生没有考上大学”的事件为事件A根据题意可得：
()()()P A C =+=
1455
122112333243
由题意可得：参加测试次数X 的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
的数学期望为：
20、【答案】解： Ⅰ 椭圆
的一个焦点为 ，且离心率为
． ，
，
，解得
，
． 椭圆方程为
Ⅱ 直线l 的方程为 ．联立方程组
，消去y 并整理，得
．设 ， 故
，
．则
．设AB 的中点为 可得
，
．直线
MP 的斜率为
，又 ，所以
．
当 为正三角形时，
，
， 解得 ． 直线l 的方程为 ，或 ．
21、【答案】 解：因为 ， 求导
， ，
当 时，
恒成立，此时 在 上单调递增；
当 ，由于 ，所以 恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得：
．因为当
、当
，所以 在
上单调递增、在 上单调递减． 综上可知：当 时 在 上单调递增，
当 时， 在
上单调递增、在
上单调递减；
证明：由 可知：当 时 在
上单调递增、在
上单调递减，所以当
时函
数 取最大值 从而要证 ，即证
，即证
，即证
．
令
，则 ，问题转化为证明：
令
，则
，令 可知 ，则当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递增、在 上单调递减，即
，即 式成立，所以当 时，
成立． （二）必考题：共10分。
22、【答案】解： 曲线 在平面直角坐标系中的参数方程为
为参数 ，
消去参数t 可得普通方程： ．由曲线 ： ，即 ，
可得直角坐标方程： ．
法一： 化为 ．
可得圆心 ，半径 ． 曲线 和 两交点之间的距离
． 法二： 化为
，将直线方程代入得：
t t t t t ì
ïï+=-ï
+-=\íïï=-ïïî212123053
C C A B t t \=-=
12125
曲线和两交点的距离为：
23、【答案】解：
当 时， ，解得 ；当 时， 恒成立，故 ； 综上，不等式 的解集为 ．
原式等价于存在 使得 成立，即 ，设 ． 由 知，
当 时， ，其开口向下，对称轴方程
为
， ；当 时， ，其开口向下，对称轴方程为
，
；当 时， ，其开口向下，对称轴方程为
， ；综上，
， 的取值范围为。