勾股定理9种证明(有图)

勾股定理9种证明(有图)

P

H G F E D C a b c a b c a b c a b c 勾股定理的9种证明（有图）

【证法1】（邹元治证明）

以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.

∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.

∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2

b a +. ∴ ()22214

c ab b a +⨯=+. ∴ 2

22c b a =+.

【证法2】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，

∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a. D G A E a b c a b c a b c a b c b a c G D A B F E H

∴ 矩形ADLM 的面积 =2

a .

同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .

∵ 正方形ADEB 的面积

= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积

∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.

【证法5】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a. ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.

∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .

∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA .

又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，

∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.

∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .

∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为

543212S S S S S c ++++= ① ∵ ()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =

ab b 212-， 985S S S +=，

∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②

把②代入①，得

98812212S S S S b S S c ++--++=

= 922S S b ++ = 22a b +.

∴ 222c b a =+.

987654321P Q R H G D C a b c a c c c

【证法6】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT ―HT = b ―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB ―ED = b ―a ，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 27S S =.

过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE

= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌

Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.

由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，

∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即64S S =.

∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，

又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，

∴

8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++

=2c ，

即 222c b a =+.

【证法7】（利用多列米定理证明）

在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

BD AC BC AD DC AB •+•=•，

M T

G F E D C B A c b a 87654321