两种灰色GM(1,1)残差修正方法在工程造价中的对比

两种灰色GM(1,1)残差修正方法在工程造价中的对比李丹莹金华正达工程造价咨询有限公司，浙江省金华市，321000摘要：为了更准确地预测工程材料价格走势，本文介绍并比较了两种灰色GM(1,1)残差修正方法，并应用在了圆钢综合、螺纹钢综合及水泥价格的模拟和预测上，结果证明圆钢综合价格模拟仅能采取残差方法一，而残差方法二可以大大提升螺纹钢综合和水泥价格模拟精度。

关键词：工程造价；灰色预测；GM(1,1)模型；残差修正一、概述灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授在1982年率先提出的。

近年来，不少学者已经将主要的灰色系统预测模型应用在了工程造价领域[1-3]，并取得了一定的成果，但是灰色残差修正模型在工程造价方面的研究还不多。

灰色残差修正模型是在灰色GM(1,1)模型的基础上，对其模拟值的残差再进行GM(1,1)建模，并将其叠加到原模型上，从而形成一个新的、精度更高的模型。

尤其对于摆动或震荡的数据序列，残差修正模型的模拟精度明显优于GM(1,1)模型。

在工程造价预测领域，材料价格走势的预测是一大研究方向。

由于某些工程材料价格的波动较大，而影响工程材料价格波动的因素又较复杂，经典灰色GM(1,1)模型的模拟精度常常无法达到要求，故本文引入并介绍了两种常用的灰色残差修正模型。

在给出这两种计算方法的基础上，利用取得的工程材料历史价格数据，具体比较、分析了这两种方法建模的优劣和适用性。

二、灰色模型的建立（一）灰色GM(1,1)模型的建立设有变量X (0)＝{X (0)(k), k=1,2,…,n}={X (0)(1), X (0)(2), …, X (0)(n)}为某一预测对象的非负单调原始数据序列。

为建立灰色预测模型，首先对X (0)进行一次累加(1-AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：X (1)＝{X (1)(k ), k ＝1,2,…,n}={X (1)(1), X (1)(2), …, X (1)(n)}其中 X (1)(k +1)＝X (1)(k )+ X (0)(k +1) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：dtdX )1(十)1(aX ＝u (2) 即GM(1,1)模型。

上述白化微分方程的解为 Xˆ(1)(k +1)＝(X (0)(1)－a u )ak e ＋au (3) 式中：k 为时间序列。

记参数序列为aˆ,a ˆ＝[a,u]T , a ˆ可用下式求解:aˆ＝(B T B)-1B T Y n (4) 式中:B ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++- 1 (n))X 1)-(n (X 21 ... 1 (3))X (2)X (211(2))X (1)X (21(1)1(1)(1)(1)(1)）（－－ (5) Y n ＝[X (0)(2), X (0)(3),…, X (0)(n)]T (6)预测值的还原:Xˆ(0)(k +1)＝Xˆ(1)(k +1)－Xˆ(1)(k )=(1-a e )(X (0)(1)－au)ak e - (7)（二）残差方法一[4-6]定义残差序列为)}(ˆ)({)()0()0()0(k xk x k e -=，k = 1,2,…，n 。

对)()0(k e 取部分序列重新排列：)()0(k e '={)1()0('e ,)2()0('e ,…,)()0(n e '}。

若)()0(k e '存在负数，则应对其进行正化处理：)()0(1k e '=)()0(k e '+)(min 2)0(1k e n k ''≤'≤，则)()0(1k e '={)1()0(1'e ,)2()0(1'e ,…, )()0(1n e '}。

然后对)()0(1k e '进行GM(1,1)建模，得到：)1(ˆ)0(+'k e= (1-e ae )[)1()0(1'e -ee a u ]k a e e '--)(min 2)0(1k e n k ''≤'≤ (8)把)1(ˆ)0(+'k e作为X ˆ(0)(k +1)的修正模型可得：)1(ˆ)0(+k X = (1-a e )()1()0(X －au )ak e -+ )(i k -δ{(1-e ae )[)1()0(1'e -ee a u ]k a e e '--)(min 2)0(1k e n k ''≤'≤} (9)其中：⎩⎨⎧<≥=-i k ik i k ,0,1)(δ 且 n n i '-=（三）残差方法二[7-9]定义残差序列为)}(ˆ)({)()0()0()0(k xk x k e -=，k = 1,2,…，n 。

对)()0(k e 取部分序列重新由小到大排列（注意此处区别于方法一，方法二是由小到大排列；方法一不需要由小到大排列）：)()0(k e '={)1()0('e ,)2()0('e ,…,)()0(n e '}。

)()0(k e '建模型的要求：(1)数列中的数均为正，直接建立GM(1,1)模型。

(2)数列中的数均为负，不考虑符号，建GM(1,1)模型，求完后再加上负号。

(3)数列中的数有正有负时，要先做非负处理：即都加上最小负数的绝对值（方法一要加上两倍的绝对值，方法二仅加上一倍的绝对值）。

而后再建立GM(1,1)模型，求出反馈之后再减去最小负数的绝对值即可。

对)()0(k e '建立GM(1,1)模型，得到：)1(ˆ)0(+'k e=(1-e ae )[)1()0('e -ee a u ]k a e e '- (10) 修正的灰色预测模型为：)1(ˆ)0(+k X=(1-a e )()1()0(X －au )ak e -+ )(i k -δ(1-e a e )[)1()0('e -e e a u ]k a e e '- (11)其中：⎩⎨⎧<≥=-i k ik i k ,0,1)(δ 且 n n i '-=三、灰色模型的检验 （一）残差检验预测值：)1(ˆ)(ˆ)(ˆ)1()1()0(--=t X t X t X绝对误差：)(ˆ)()()0()0()0(t Xt X t -=∆相对误差：)()()()0()0(t X t t ∆=ε，其中 t = 1, 2,…, n 分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值，计算出平均相对误差判断精度是否理想。

（二）关联度检验1. 定义关联系数()t η()()()()()()()()min max ()max 0000t t t t t ρη∆+∆=∆+∆，t = 1, 2,…, n其中： （1）()()0t ∆为第t 个点()0X 与()ˆ0X的绝对误差：)(ˆ)()()0()0()0(t Xt X t -=∆；（2）ρ称为分辨率，0<ρ<1，一般取ρ=0.5；（3）对单位不一、初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。

2. 定义关联度()11n t r t n η==∑，称为()()0X t 与()()ˆ0X t 的关联度。

根据上述方法算出()()ˆ0Xk 与原始序列()()0X k 的关联系数，然后计算出关联度。

当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满足检验标准。

（三）后验差检验原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为:[]nX t XS ∑-=2)0()0(1)(，[]nt S ∑∆-∆=2)0()0(2)(其中 )(ˆ)()()0()0()0(t Xt X t -=∆ 计算均方差比21S C S =，小误差概率()()(){}.00106745P P t S =∆-∆<。

灰色模型的检验精度等级见下表：表1 精度检验等级参考表[7]四、实例分析本文以浙江省金华市的圆钢综合、螺纹钢综合及水泥价格为例，比较、分析了GM(1,1)模型及两种残差修正模型的模拟结果。

历史数据来源于金华市建设工程造价管理协会主办的《造价信息》刊物。

（一）圆钢综合价格模拟 由表3可知，根据2016.2-2017.1圆钢综合的价格数据建立的GM(1,1)模型，平均相对模拟误差达到了三级，均方差比值C 和小误差概率P 都达到了二级精度，但是关联度未达到0.6，故总体不合格。

残差方法一的平均相对模拟误差较GM(1,1)稍大，但是因为关联度合格（大于0.6）且平均相对模拟误差达到了三级精度，而均方差比值C和小误差概率P都达到了二级精度，故总体精度为三级。

残差方法二的平均相对模拟误差、均方差比值C和小误差概率P都达到了一级精度，但是因为关联度不合格，故总体精度不合格。

由此可见，以2016.2-2017.1的圆钢综合价格建模模拟，只有残差方法一的精度合格，模型可行。

（二）螺纹钢综合、水泥价格模拟由表5可知，螺纹钢综合价格GM(1,1)和残差方法一模拟精度都达到了三级，而残差方法二的精度提升到了一级。

这说明残差方法二用于提升模型模拟精度，具有明显的优势。

另外，在《灰色GM(1,1)残差修正模型在工程造价中的应用》[10]一文中，本人利用32.5R水泥价格的模拟验证了残差方法二在精度提升方面的优势（十二维达到了二级精度，八维达到了一级精度），而经计算，GM(1,1)及残差方法一的模拟精度都不合格。

五、结论从圆钢综合、螺纹钢综合及水泥价格的GM(1,1)、残差方法一、残差方法二3种方法的对比可知，在圆钢综合的情况中，仅因关联度合格，残差方法二才被采纳，且精度等级也仅为三级。

而残差方法二的精度提升效果较理想，螺纹钢综合和水泥的价格模拟精度都得到了大大的提升。

表3 圆钢综合2016.2-2017.1价格模拟精度表表4 螺纹钢综合2016.2-2017.1价格GM(1,1)、残差方法一、残差方法二模拟数据表5 螺纹钢综合2016.2-2017.1价格模拟精度表参考文献[1]郭颖. 灰色预测在公路工程造价控制中的应用[J]. 东北林业大学学报. 2007, 35(6): 94-95[2]李玉林. 工程造价管理中工程材料价格的GM(1,1)预测研究[J]. 安徽建筑. 2011, 18(5): 207-208[3]谢玉梅. 基于灰色系统理论的桩基工程造价预测研究[J]. 工程建设与设计. 2011(12): 135-137[4]张艳芳. 基于GM(1,1)的残差修正模型及应用[J]. 水科学与工程技术. 2005(6): 51-53[5]唐安宁，王仙君. 基于灰色残差GM(1,1)模型的汽车货运量预测[J]. 交通科技与经济. 2009, 11(4): 18-19[6]杨建飞，刘俊民，陈琳. 基于灰色残差模型的灌区地下水最小埋深预测[J]. 人民黄河. 2011, 33(7): 101-102[7]孙薇，孟亚敏，李培栋. 残差灰色预测模型在电量预测中的应用[J]. 东北电力大学学报. 2005, 25(2): 68-71[8]刘树，王燕，胡凤阁. 对灰色预测模型残差问题的探讨[J]. 统计与决策. 2008(1): 9-11[9]陈志强，闫玉静. 基于残差灰色预测模型的用电量预测[J]. 工业技术经济. 2009, 28(5): 112-114[10]李丹莹. 灰色GM(1,1)残差修正模型在工程造价中的应用[J]. 建筑工程技术与设计. 2017年5月中，134：92-93。