分数指数幂的运算
分数指数幂的同底数运算教案二：灵活应用同底数运算规则求解
亲爱的同学们，大家好！今天，我们将进一步讨论分数指数幂的同底数运算，希望通过今天的学习，能够让大家掌握这个知识点，并且能够熟练运用同底数运算规则求解。
我们来复习一下分数指数幂的定义。
分数指数幂，就是指数为分数的幂，例如2的1/2次方，2的2/3次方等等。
在这种情况下，我们需要首先理解分数指数幂的含义，我们以2的1/2次方为例，这个式子可以写成根号2，也就是2的平方根。
因此，我们也可以推广到其他的分数指数幂中，例如2的2/3次方，可以写成2的3次方根号2。
接下来，我们将讨论同底数运算的规则。
同底数运算的规则非常简单，就是将同一底数的指数相加，例如2的3次方乘以2的5次方，可以写成2的8次方。
用公式表示，就是a的m 次方乘以a的n次方，等于a的m+n次方。
在进行同底数运算的时候，有时候我们需要进行一些化简，例如对于3的1/2次方乘以9的3/2次方，我们可以先将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。
除了同底数运算，我们还需要学习同底数约分的方法。
同底数约分的方法非常简单，就是对于同一底数，将指数相减即可。
例如2的5次方除以2的3次方，可以写成2的（5-3）次方，也就是2的2次方。
在进行同底数约分的时候，有时候我们需要注意，即需要将分数指数幂的平方根或者三次方根化成分数形式，例如8的1/6次方可以写成（2的3次方）的1/6次方，然后化成分数形式，变成（2的1次方）的1/3次方，这样就可以进行同底数运算了。
让我们来看几个例子，来加深理解。
例子1：计算2的2/3次方乘以2的5/3次方。
答案：这个时候我们需要将指数相加，得到2的7/3次方。
例子2：计算3的1/2次方乘以9的3/2次方。
答案：这个时候我们需要进行一些化简，将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。
分数指数幂运算
分数指数幂运算
分数指数幂运算是将一个分数作为底数，另一个分数作为指数进行计算的运算。
如果分数指数是正数，可以按照分数的定义进行计算。
例如，计算2^1/3，可以先计算2的立方根，再将结果与自身相乘，即2^1/3 = (∛2)^3 = 2。
如果分数指数是负数，可以使用倒数的概念进行计算。
例如，计算2^(-1/3)，可以先计算2的立方根的倒数，再将结果与自身相乘，即2^(-1/3) = 1/(∛2)。
如果分数指数是分数形式，可以使用乘法的性质进行计算。
例如，计算2^(2/3)，可以将指数分解为2×(1/3)，然后先计算2的立方根，再将结果平方，即2^(2/3) = (∛2)^2 = 2^(1/3) ×
2^(1/3) = (∛2) × (∛2)。
需要注意的是，分数指数运算可能会得到无理数的结果，因此可能需要进行近似运算或使用特定的表达式表示结果。
根式指数和分数指数幂的运算及答案
(m - n )4 p 6⋅ q 5a a a 3 6a 9 6 3a 9 4 a3 1 3x 3 x -23、⎛ 3 6 a 9 ⎫ ⎛ 6 3 a 9 ⎫ ⎪ 根式与分数指数幂的运算（1）一、根式与指数转化1、用分数指数幂表达下列各式：(1) 3 x 2 =（2） 4 (a + b )3 （ a + b > 0 ） =（3）3 (m - n )2 =（4） （ m > n ）=m 3（5） （ｐ＞０）=（6） =m（7）（9）4 (- a )2（式中a > 0 ）= （8）3 ab 2（10）（11） =（12）( )4⋅ ()4=32、将52 写为根式44⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭等于（ C ）A 、a 16B 、a 8C 、a 4D 、a 24、已知x 5 = -2009 ，则x =（用根式表达）⎛ 8 - 6 ⎫ - 1 25、 a 5 b 5 ⎪ ⎝ ⎭⋅ 5 a 4 ÷ 5 b 3 (a ≠ 0, b ≠ 0)⎛ ⎫46、已知a ≥0，化简3 ⎪ = a7 (3 6⎝a 9 )4 ⋅ (6 3 ⎭a 9 )44、将表达成指数幂形式，其成果为 a- 8 ⎛ ⎫58、 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭4 化成分数指数幂为 ________ 159、将(3 6 a 9 )4 ⋅ (6 3 a 9 )4 ( a >0)表达成指数幂形式，其成果为 a 4 .x 3 x 2 4 x 31 1a a(-2)4481⨯ 392 6 12 227 9 ⎭ ⎛ 6 ⎫ 7 3 二、求值1 求值：3 - 64 =； = ； 4 (3 -π)4 =3 42、 +3、22 ⨯ 23 =3 42216 - 34、(22 ) 3 =35、23⨯ 23=236 36、求值：( ) 814 =7、(1) 252 =（２） 27 3 =（３）( ) 2 =49（4）( 25)- 24=（5） =（6） 2 ⨯ ⨯ =[(- )2 ]-1-8、22 等于（）A ． B ．C D ． 2 2- 1 ⎛ 1 ⎫-23( )9、计算：0.0273- - ⎪ ⎝ ⎭+ 2564 - 3-1 + - 1 = 。
数学分数指数幂
思源个性化学习讲义【知识精要】1．分数指数幂的意义： 一般地,我们规定 n m nm a a = ()1,0>≥n n m a 为正整数，、 ,这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 规定nm n maa-=1()1,0>>n n m a 为正整数，、其中的nm nm a a -、叫做分数指数幂，a 是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.注：（1）0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. （2）若无特殊说明，底数中的字母均为正数。
2. 当a >0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s ,均有下面的运算性质：设q p b a 、,0,0>>为有理数（1）q p q p qp q p a a a a a a -+=÷=⋅，（2）()pq qpa a =（3）()p p pp p pb a b a b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛=，【热身练习】1. 把下列方根化为分数指数幂的形式（1）310 （2）32101（3）3100 （4）41002. 求值(1)21169 (2)3264 (3) 239- (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43256（ ）A.3B.3-C.3±D.81 4．当a _________时，式子23a 有意义 5. 若0>a ，则43a 和53-a 用根式形式表示分别为 和6.56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和【精解名题】 1. （1）23425-⎪⎭⎫⎝⎛= ；（2） 63125.132⨯⨯= ________2. 计算：631010⨯=__________________3.3151写成幂的形式______________4.化为分数指数幂的形式为 ___________________5. 583221)22(--化为分数指数幂得 _________________________6.式子 （ ）7. 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。
函数奇偶性与分数指数幂的运算
课 题 函数奇偶性与分数指数幂的运算教学目标 理解函数奇偶性的判断方法和判断要点，会使用函数的奇偶性来解答相关问题；梳理清楚分数指数幂的运算性质和计算方法，明白在解答时具体的运用和思路。
重点、难点 重点：掌握函数奇偶性、分数指数幂的重点性质和计算方法。
难点：和所学知识糅合使用，将初中知识牵扯如高中的使用中。
考点及考试要求理解并掌握函数奇偶性在解答形象问题和抽象问题时的运用办法，能够把奇偶性等问题掌握；明白分数指数幂的计算，学会分数指数幂的计算要领和方法。
教学内容知识点一：函数奇偶性1.函数奇偶性的定义函数奇偶性：（1）奇函数⎪⎩⎪⎨⎧==+--=-0)0(03)2(0)()()()()1(f x x f x f x f x f ，则可以为）若（图象关于原点对称或（2）偶函数⎩⎨⎧=--=-轴对称图象关于或y x f x f x f x f )2(0)()()()()1(例题讲解11 .若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？2 定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)2()6(a f a f <-，则a 的取值范围是如何？注意：用定义判断函数奇偶性的步骤是[来源学科网ZXXK](1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论.2 函数按是否有奇偶性可分为四类：n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)针对性练习一、填空题1.整数指数幂：0);1(0);(0,).n n a a a a n N a a a a n N *-*⋅⋅⋅⋅=∈=≠=≠∈个（2.整数指数幂的运算性质：（1）(,)m n a a m n Z ⋅=∈；（2）()(,)m n a m n Z =∈；（3）(,,0)mn a m n Z a a=∈≠；（4）()()m ab m Z =∈.[来源:Z#xx#]3.根式的运算性质：（1）当n 为任意正整数时，()nna =.（2）当n 为奇数时，nna =；当n为偶数时，.nna ==（3）根式的基本性质：(0).npmp a a =≥例题讲解1 化简：41233332233382()42a a b b aa b ab a--÷-⨯++a ·3a 25a ·3a(式原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ ＝51116333111336(2)2a a a a b a ba-⨯⨯-＝12233.a a a a ⨯⨯=课堂练习1 ：已知102m =，则m 等于 （ ）10.2A10.2B -10.2C10.2D ±2.：（1）下列根式与分数指数幂的互化正确的是 （ ）12.()(0)A x x x -=-> 1623.(0)B y y y =< 43341.()(0)C xx x-=> 133.(0)D x x x -=-≠3. 若0,n m <<，则222222m mn n m mn n ++--+等于（ ）.2A m .2B n .2C m - .2D n-§X§K]4.若02522<+-x x ，则2441x x +-+2 | x －2|等于 （ ） （A ） 54-x （B ）3- （C ）3 （D ）x 45-5.函数210)2()5()(--+-=x x x f 的定义域是 （ ）（A ）}2,5 ,|{≠≠∈x x R x x 且 （B ）}2|{>x x （C ）}5|{>x x （D ）}5,52|{><<x x x 或6. 计算122[(2)]--的结果是 （ ）（A ）2 （B ）2- （C ）22（D ）22-7 把322-化成分数指数幂的形式是 （ ） （A ）122--（B ）122- （C ）132-（D ）562-求值1.：求值：（1）88(2)x -； （2）33322(12)-+-；3.()41-30-0.753370.064()-2+168-⎡⎤--+⎣⎦; 4. 3-2013+26+-1.03-423-2⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;化简（1）设33,x -<<求222169x x x x -+-++的值.（2）用分式指数幂的形式表示下列各式.1..(0)a a a >2. 42233.()(0)b b -->[来源:学+科+网Z+X+X+K]课后作业试 题批 阅。
近似数的精确度 分数指数幂及运算
近似数的精确度分数指数幂及运算
在数学中，我们经常会遇到需要进行近似数的计算，这时候我们需要考虑到近似数的精确度。
近似数的精确度是指我们所得到的近似数与真实值之间的误差大小。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。
在分数的运算中，我们需要注意分母的大小，因为分母越大，分数的精确度就越高。
例如，1/2和1/1000相比，1/2的精确度要高得多。
在进行分数的加减乘除运算时，我们需要先将分数化为相同的分母，然后再进行运算。
这样可以避免分母不同导致的误差。
指数幂是数学中常见的运算方式，它可以用来表示一个数的幂次方。
例如，2的3次方等于8，即2³=8。
在进行指数幂的计算时，我们需要注意底数和指数的大小关系。
如果底数比较大，指数比较小，那么我们可以直接计算出结果。
但如果底数比较小，指数比较大，那么我们需要使用科学计数法来表示结果，以保证精确度。
在运算中，我们还需要注意数值的精确度。
例如，当我们进行小数的加减乘除运算时，我们需要注意小数点后的位数，以保证计算结果的精确度。
如果小数点后的位数太多，我们可以使用四舍五入的方法来保留合适的位数。
在数学中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。
在分数、指数幂和运算中，我们需要注意数值
的大小关系和精确度，以避免误差的产生。
分数指数幂与根式(课堂PPT)
4ab0
4a
13
(2)(m4 n8 )8
(m
1 4
)8
(n
3 8
)3
m3 n3
m2 n3
33
题型四
根式运算，先把每个根式用分数 指数幂表示；题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意：结果可以用根式表示，也 可以用分数指数幂表示. 但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂，并且分母中不能含有负分 数指数幂．
40 9
26
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指 数幂的运算性质。
3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式 为根式的，再将结果化为根式。
27
题型一
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
1当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3要熟悉运算性质。
25 32
x5 11
25 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a ．
9
得出结论
22 4 32 9 24 16
x6 12
2 4 3 9
24 16
x 6 12
结论：当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们
互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a 表示；负的
n次方根用符号 n a 表示,它们可以合并写成 n a(a 0) 的形式．
负数没有偶次方根．
10
注意问题
特别注意：0的 n次方根等于0.
分数指数幂运算学案
§指数与指数幂的运算（2）1.理解分数指数幂的概念；2.掌握根式与分数指数幂的互化；3.掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备：（预习教材P 50~P 53，找出疑惑之处） 复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的，其中1n >,n *∈N .简记为：.的式子就叫做，具有如下运算性质：n =；=. 复习2：整数指数幂的运算性质：（1）=⋅n m a a ；（2）()m n a = ；（3）()n ab =.二、新课导学 ※学习探究：引例：a >01025a a ===；23a =，= .新知：规定分数指数幂如下：*(0,,,1)m na a m n N n =>∈>；*1(0,,,1)mnm naa m n N n a-==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：=；=；=(0,)a m N *>∈.（2）将下列分数指数幂写成根式形式：322=；255=；436-=；32-a= )0(≠a .反思：①0的正分数指数幂为 ； 0的负分数指数幂 .②分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（0,0,,a b r s Q >>∈）s r s r a a a +=；rs s r a a =)(；rr r b a ab =)(．※典型例题 例1求值：=328；=-2125；=-5)21(；=-43)8116(.例2用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >： （1）=•a a 3；（2）a 2•√a 23=；（3）=•3a a；例3计算（式中字母均正）：（1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-（2）88341)(-nm例4计算：（1）4325)12525(÷- （2）)0(322>•a aa a小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）②无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？三、总结提升 ※学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.1. 用分数指数幂表示下列各式：=32x)0(>x ；=+44)(b a；=-32)(n m)(n m >；=-4)(n m)(n m >.=56q p)0(>p ；=mm 3.2.计算下列各式=23)4936(；=-814121aa a ；=⨯⨯63125.132；=---)221(2323131x x x课后作业1.化简下列各式：=623b a a b；=a aa2121；=•••415643)(mm m m m2.计算下列各式（式中字母均正）：=1274331aa a ；=÷654332a a a；=-124331)(yx；(16s 2t −625r 4)−32= ； =-÷---)32(431313132a a ba；=----)4)(3)(2(324132213141y x y xyx；=-+--)32)(32(41214121yx y x；=-÷----)6()3(43221314141yxy x x；。
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分数指数幂的运算
2.1.1.2 分数指数幂的运算
一、内容及其解析
（一）内容：分数指数幂的运算。
（二）解析：本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算，理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。
学生已经学过了根式概念和运算性质，对于转化到分数指数幂的形式难度不大，本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。
由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。
教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式，在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式，所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。
二、目标及其解析
（一）教学目标
1．理解分数指数幂的概念；
2．掌握有理指数幂的运算性质；
（二）解析
1．理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整
数指数幂的概念和根式的概念，推导出分数指数幂的概念；
2．学会有理指数幂的运算性质，能够化简一般有理指数幂的算式。
三、问题诊断分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是分数指数幂的运算性质，产生这一问题的原因是：学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低，对于整数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的结合从特殊到一般的思想。
要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。
四、教学过程设计
1、导入新课
同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂
2、新知探究
提出问题
（1）整数指数幂的运算性质是什么？
（2）观察以下式子，并总结出规律：
①；
②；
③；
④ .
（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
，且n>1)
(4)你能用方根的意义解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
规定：正数的正分数指数幂的意义是 .
提出问题
（1）负整数指数幂的意义是怎么规定的？
（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？
（3）你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？
（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？
（5）分数指数幂的意义中，为什么规定，去掉这个规定会产生什么样的后果？
（6）既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，
那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？
活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明的必要性，教师及时作出评价.
讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：
对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：
①②③
三．概念的巩固和应用
例1 求值：
点评：本题主要考察幂值运算，要按规定解.要转化为指数运算而不是转化为根式.
例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质运算.对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.
变式训练
求值：（1）；（2）
拓展提升
已知探究下列各式的值的求法.
（1）
点评:：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值
五．小结
（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是，正数的负分数指数幂的意义是零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.
(2) 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
(3) 有理数指数幂的运算性质：
①②。