第一章_集合与函数的概念_复习资料
人教版高中数学必修1课件：第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有两相等
实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0，方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c＝0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1＋x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x＝
－b－ 2a
Δ >0 (a>0)
⇔－f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合，∴A∩B 是方程组yy＝ ＝xx2 的解为坐 标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}， 若B A，则实数p的取值范围是________．
当 a≠0 时，应有 a＝1a，∴a＝±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1．解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) ＝ x2＋4x 的 单 调 增 区 间 为 ________．
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u ＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为 [0，＋∞)．
第一章集合与函数概念(复习课件)
2011年11月11日星期五 2011年11月11日星期五
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学习目标 1. 进一步理解函数的概念及其性质 进一步理解函数的概念及其性质 函数的概念及其 2. 熟练掌握函数的表示方法及单调性、奇偶性的判断 熟练掌握函数的表示方法 单调性、奇偶性的判断 函数的表示方法及 的判断.
⇒ a 2 − 3a < 0 ⇒ 0 < a < 3
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练习
1.下面四组中的函数f ( x )与g ( x ), 表示同一个函数的是(C ) B . f ( x ) = x , g( x ) = x 2 A. f ( x ) = x , g ( x ) = ( x )2
C . f ( x ) = x , g( x ) =
3
x3
D. f ( x ) =| x 2 − 1 |, g ( x ) =| x − 1 |
2.求函数y = ax + 1在[0,2]上的最值. [0,2]上
当a > 0时, y的最大值为2a + 1, 最小值为1;当a < 0时, y的最大值为1, 最小值为2a + 1 : 当a = 0时, y = 1
练习
7.(1)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},B={2,3,4}, U={0,1,2,3,4},集 A={0,1,2,3},B={2,3,4}, 则(C U A) ∪ (C U B ) = ____ {0,1, 4}
(2)设集合M = { x | 0 ≤ x < 2}, E = { x | x 2 − 2 x − 3 < 0}, 则M ∩ E = [0, 2) ___ . 8.已知f ( x + 1)是偶函数, 且x ≤ 1时, f ( x ) = x 2 + x , 求x > 1时, f ( x )的解析式. f ( x) = x2 − 5 x + 6 x 9.已知f ( x )是定义在(0, +∞ )上的增函数, 且f ( ) = f ( x ) − f ( y ), f (2) = 1 y 1 ) ≤ 2. (3, 4] 解 不等式f ( x ) − f ( x−3 7 x2 + 2x + a 1 10.已知函数f ( x ) = , x ∈ [1, +∞ ), 求a = 时, 函数f ( x )的最小值. 2 x 2 11.已知集合A = { x | x 2 − 3 x − 10 ≤ 0}, B = { x | m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1}, 若A ∪ B = A,
01第一章：集合与函数概念知识点总结
01第⼀章：集合与函数概念知识点总结第⼀章：集合与函数概念本章知识结构图：本章知识点梳理：1、集合①空集：不含有任何元素的集合，记作Φ（1）集合的分类⑤有限集：含有有限个元素的集合；⽆限集：含有⽆穷多个元素的集合（2）集合元素的特性②有：确定性、互异性、⽆序性。
（3）常⽤数集的专⽤符号⑥：⾃然数集：N ，正整数集：N +或N*，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：R 。
（4）集合的表⽰⽅法④：①列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法；②描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。
2、⼦集、交集、并集、补集（1）⼦集⑧定义：设集合A 与B ，如果集合A 中的任何⼀个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的⼦集记作B A ?（或A B ）；如果A 是B 的⼦集，并且B 中⾄少有⼀个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真⼦集，记作B A≠（或A B ≠）（2）交集○14定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的交集，记作B A （如右图），即A x xB A ∈=|{ 且}B x ∈（3）并集○13定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ，即A a B A ∈={ 或}B a ∈（4）补集○15定义：设I 是⼀个集合，A 是I 的⼀个⼦集，由I 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I 中⼦集A 的补集（或余集），记作A C I ，即I x x A C I ∈=|{，且}A x ?如右图所⽰。
3、（1）函数的概念○16①设A 、B 是两个⾮空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的⼀个函数，记作:f A B →．②函数的三要素○17:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同⼀函数．（2）区间的概念○19及表⽰法①设,a b 是两个实数，且a b <，满⾜a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满⾜a x b<<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满⾜a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满⾜,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以⼤于或等于b ，⽽后者必须a b <．（3）函数的表⽰⽅法○20表⽰函数的⽅法，常⽤的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是⽤数学表达式表⽰两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表⽰两个变量之间的对应关系．图象法：就是⽤图象表⽰两个变量之间的对应关系．（4）映射的概念○23①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个元素，在集合B 中都有唯⼀的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定⼀个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 4、函数的基本性质（1）函数的单调性○25函数为增函数，减函数减去⼀个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数的最⼤（⼩）值定义○26①⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最⼤值，记作m ax ()f x M =．②⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最⼩值，记作m a x ()f x m=．（3）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，⼀个偶函数与⼀个奇函数的积（或商）是奇函数． 5、函数的图象的作法（1）利⽤描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．（2）利⽤基本函数图象的变换作图：要准确记忆⼀次函数、⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k><=→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =→=-轴()()y y f x y f x =→=-轴()()y f x y f x =→=--原点 1()()y xy f x y f x -==→=直线()(||)y y y y f x y f x =→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =→=保留轴上⽅图象将轴下⽅图象翻折上去知识点1：集合与元素知识点2：集合中元素的三个特性知识点3：元素与集合的两种关系知识点4：集合的三种表⽰法知识点5：有限集和⽆限集知识点6：特定集合的表⽰知识点7：Venn 图与数轴法表⽰集合知识点8：⼦集知识点9：集合相等知识点10：真⼦集知识点11：空集知识点12：集合的⼦集的数⽬知识点13：并集知识点14：交集知识点15：补集知识点16：函数的概念知识点17：函数的两个要素知识点18：函数的值域及其求法知识点19：区间的概念知识点20：函数的三种表达⽅法知识点21：函数图象知识点22、分段函数知识点23：映射的定义知识点24：增函数与减函数的定义知识点25：单调性与单调区间知识点26：函数的最⼤（⼩）值知识点27：奇函数与偶函数的概念知识点28：利⽤定义判断函数奇偶性的⼀般步骤知识点29：奇偶函数的图象的性质知识点30：奇偶函数的单调性部分知识点详细解释：知识点1：集合与元素1、元素：⼀般地，我们把研究对象统称为元素（element ），元素常⽤⼩写字母 c b a ,,表⽰。
高中数学必修一集合与函数的概念知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分集合与函数的概念知识点整理第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆（或B⊇Ａ）注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/ B或B⊇/A（2）.“包含”关系（2）—真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
高一数学必修一知识点梳理与总结
高一数学必修一知识点梳理与总结鹏博教育高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念集合是由一些元素组成的整体。
元素具有确定性、互异性和无序性。
例如，{a,b,c}和{a,c,b}表示同一集合。
集合可以用列举法和描述法表示。
例如，集合A可以表示为A={我校的篮球队员}，或者用描述法表示为A={x R|x-3>2}。
常用的数集有非负整数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q和实数集R。
二、集合间的基本关系集合间有包含关系和相等关系。
如果集合A包含于集合B，则称A为B的子集，记作A B。
如果A与B是同一集合，则记作A=B。
空集是不含任何元素的集合，记为Φ。
空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算集合的运算有交集、并集和补集。
交集是由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，记作A B。
并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A B。
补集是由S中所有不属于A的元素组成的集合，记作A的补集。
1.定义集合B为由集合A和集合B'中的元素组成的集合，即B={x|x∈A或x∈B'}。
如图1所示。
2.定义集合CSA为由集合S中属于A的元素和不属于A但属于S的元素组成的集合，即CSA={x|x∈S且(x∈A或x∉A)}。
如图2所示。
3.关于集合A的性质：A与自身的交集等于A本身，即A∩A=A。
A与空集的交集等于空集，即A∩Φ=Φ。
A与集合B的交集包含于A和B中元素共有的部分，即A∩B⊆A且A∩B⊆B。
A与集合B的并集包含于A和B中所有元素的集合，即A∪B包含于A和B的并集。
A与集合B的并集等于A和B中所有元素的集合加上A和B中共有的元素的集合，即A∪B=(A∖B)∪(B∖A)∪(A∩B)。
A与集合B的并集等于集合B与A的补集的补集的并集，即A∪B=(CuA')∩(CuB')。
4.选择题答案：A。
5.集合{a,b,c}的真子集共有7个。
【精华】人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--
【精华】人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念一、集合的概念集合是数学中最基本的概念之一，它是某些指定对象的总体。
这些对象被称为集合的元素。
集合可以是有序的，也可以是无序的。
例如，自然数集合{1, 2, 3, }是无序的，而有序对集合{(1, 2), (2, 3), }是有序的。
集合的表示方法有两种：列举法和描述法。
列举法是将集合中的所有元素一一列出，用花括号{}括起来。
例如，集合{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。
描述法是使用文字描述集合中元素的特征，例如，自然数集合可以表示为{所有大于0的整数}。
集合的基本运算包括交集、并集、差集、补集等。
交集是指两个集合共同拥有的元素组成的集合；并集是指两个集合所有元素组成的集合；差集是指一个集合中有而另一个集合中没有的元素组成的集合；补集是指一个集合中所有不属于另一个集合的元素组成的集合。
二、函数的概念函数是数学中另一个基本的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在函数中，一个变量被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
函数的表示方法有三种：解析法、表格法和图像法。
解析法是使用数学公式来表示函数的方法，例如，y = x^2 表示一个二次函数。
表格法是使用表格来表示函数的方法，表格中的每一行都代表一个函数值。
图像法是使用图形来表示函数的方法，图形中的每个点都代表一个函数值。
函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的；奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值也取相反数；周期性是指函数在一定区间内重复出现。
三、集合与函数的关系集合与函数有着密切的关系。
集合可以用来表示函数的定义域和值域，而函数可以用来描述集合中元素之间的关系。
例如，一个函数可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，从而建立两个集合之间的对应关系。
在解决数学问题时，集合与函数的概念常常被结合起来使用。
例如，在求解函数的值域时，需要先确定函数的定义域，然后根据函数的性质来求解值域。
高中数学必修1复习 PPT课件 图文
(4)已知f(幂 2)8 ， 函求 数 f(x)函 的数 解析
函数单调性
y
f(x2)
f(x1)
在给定区间上任x取 1, x2,
x1 x2
f(1x)f(2x)
函数f (x)在给定区间
O
x1 x2 x
上为增函数。
注意
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。
y
在给定区间上任x取 1, x2,
真数 自变量
函数 y=logax 叫作指数函数
底数(a>0且a≠1) 常数
指数函数与对数函数
y
1
0
x
R
y
y
y
1
1
o
1
x
o
x
0
x
单调性
(0, ) 相同
(0, )
(0, 1)
在R上是增函数 在R上是减函数
R
(1, 0)
在( 0 , + ∞ )上是 在( 0 , + ∞ )上是
增函数
减函数
指数函数与对数函数
x3,2
5 4 3 2 1
0 1 3 -8 -6 -4 -2
2 4 6 810
-1
x=2
-2
-3
-4
-5
二、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法
例10 (1)已f知 (x)x24x3,求 f(x1)
(2)已f知 (x1)x22x,求 f(x)
x23 x0 (3)已知 f(x) 1 x0，求 f[f(4)]
(3) loaM g nnloaM g (n R ).
几个重要公式
(1)logabllooggccballggba
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必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
2．函数及其表示
(1)本节是函数部分的起始部分，以考查函数的概念 、三要素及表示法为主，同时考查实际问题中的建 模能力．
(2)以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低， 但很重要．特别是函数的表达式，对以后函数应用 起非常重要的作用．
必修1 第一章 集合与函数的概念
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的 子集．
②在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集 合的并集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定 子集的补集．
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1 或 x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：
1－x≥0， x≥0
⇔0≤x≤1.故选 D.
答案： D
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
3．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R 有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确 的是( )
当 x＜0 时，函数 f(x)＝(x＋1)2－2 的最小值为－2，
最大值为 f(－3)＝2.故函数 f(x)的值域为[－2,2]．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
1．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且
A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2
B．a＜1
C．a≤2
解析： 假设存在x，使得B∪(∁AB)＝A， 即B A.
①若x＋2＝3，则x＝1，此时A＝{1,3，－1}，B＝ {1,3}，符合题意．
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必修1第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
(1) 集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性
(2) 常用数集及其记法
N表示自然数集，N “或N .表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集
(3) 集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a • M，或者a M，两者必居其一.
(4) 集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
③描述法：｛x| x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素•
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合•
(5) 集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集•
②含有无限个元素的集合叫做无限集•
③不含有任何元素的集合叫做空集(、)•
【1.1.2】集合间的基本关系
(7)已知集合A有n(n 一1)个元素，则它有2n个子集，它有2n-1个真子集，它有2n-1个非空子集，它
有2n -2非空真子集
【1.1.3】集合的基本运算
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
【1.2.1】函数的概念
(1) 函数的概念
①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ,对于集合A中任何一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数
f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f )叫做集合A到B的一个函数，记作f :A》
B .
②函数的三要素：定义域、值域和对应法则.
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
(2) 区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数，且a ::: b，满足a^x乞b的实数x的集合叫做闭区间，记做［a,b］;满足a ■. x b 的实数x
的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a空x ：：：b ,或a : x <b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a,b ), (a,b］；满足x 一a, x • a, x乞b, x ：：：b的实数x的集合分别记做
［a, ：：),(a, ：：),(」：,b］,(」：,b).
注意：对于集合｛x|a ：：：x :: b｝与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a ：：：b .
(3) 求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①f(x)是整式时，定义域是全体实数.
② f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.
③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
④零次幕的底数不能为零.
⑤若f (x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的
定义域的交集.
⑥对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为［a,b］，其复合函数f［g(x)］的
定义域应由不等式a乞g(x)乞b解出.
⑦由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.
(4) 求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的•事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值•因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同•求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值；
②配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；
③换元法：对于形如y =ax • b • ex • d的函数，求值域常用换元法，令t =』cx • d，将原函数转
化为关于t的二次函数；
—ax + b
④分离常数法：对于形如y 的函数，常用分离常数法求值域；
ex +d
⑤函数的单调性法：结合函数的单调性求值域
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.
⑧判别式法：若函数y = f (x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程
2
a(y)x - b(y)x c(y)二0 ,则在a(y) = 0时，由于x, y为实数，故必须有
■=二b (y) -4a(y) c(y) 一0，从而确定函数的值域或最值.
【1.2.2】函数的表示法
(5) 函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系•图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
(6) 映射的概念
①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对
应，那么这样的对应(包括集合A , B以及A到B的对应法则f )叫做集合A到B 的映射，记作f : A—；B •
②给定一个集合A到集合B的映射，且代^ B •如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元
素a叫做元素b的原象.
(7) 求函数解析式的方法
①待定系数法：对于题目中有明确说明待求函数的类型，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，常用待定系数法；
②换元法：对于形如f洽x的式子)=解析式，常令t=含x的式子，注意t的取值范围，从中得到x与t
的关系，代入原式中得到关于 t 的函数关系式，即为所求函数解析式;
③ 构造方程组消去法：自变量互为倒数或互为相反数； ④ 利用函数的奇偶性法求分段函数
【131】单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性
①定义及判定方法
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数•
③对于复合函数y = f[g(x)]，令u=g(x)，若y = f(u)为增，u=g(x)为增，则y=f[g(x)]为增;
若y =f(u)为减，u =g(x)为减，则 y = f[g(x)]为增；若 y = f (u)为增，u =g(x)为减，则
y = f [g(x)]为减；若 y = f (u)为减，u = g(x)为增，则 y = f [g(x)]为减.
(2)最大(小)值定义
① 一般地，设函数 y 二f(x)的定义域为I ，如果存在实数 M 满足：(1)对于任意的 x ・I ，都有
f(x)乞M ； (2)存在x^ I ，使得f(x °)=M .那么，我们称 M 是函数f (x)的最大值，记作
f max
(X )=M
•
② 一般地，设函数
y = f (x)的定义域为I ，如果存在实数 m 满足：(1)对于任意的 I ，都有
f (x) - m ； (2)存在X o T ，使得f (X o ) =m .那么，我们称 m 是函数f (x)的最小值，记作
函数的 性质
定义
图象
判定方法
函数的 单调性
如果对于属于定义域I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值X I 、X 2,当X 1<
X 2 时，都有 f(X 1)<f(x 2), 那
么就说f(x)在这个区 间上是增函数•
y=f (x )
f(x )
(1) 利用定义
(2) 利用已知函数
的单调性
(3) 利用函数图象
(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数
如果对于属于定义域I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值X 1、X 2,当X 1<
X 2 时，都有 f (X 1)>f(X 2),
那么就说f(X )在这个区 间上是减函数•
(1) 利用定义
(2) 利用已知函数
的单调性
(3) 利用函数图象
(在某个区间图 象下降为减)
(4)利用复合函数
f max(x) -m .
【132】奇偶性
如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个
x ，都有
f( — x)=f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数.
②若函数f(x)为奇函数，且在 x =0处有定义，则f(0) = 0. ③ 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在
y 轴两侧相对称的区间增减性相反.
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ，两个偶函数(或
奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
(3)函数的奇偶性
①定义及判定方法 函数的 性质
定义
图象
判定方法 函数的 如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个
x ，都有
f( [X)=：f(X ).那么函数 f(x)叫做奇函数.
(1) 利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2) 利用图象(图 象关于原点对称)
奇偶性
(1) 利用定义(要 先判断定义域是否 关
于原点对称) (2) 利用图象(图 象关于y 轴对称)
f t-a)。