山东省临沂市郯城县2018-2019年最新中考数学一模试卷(含答案)

山东省临沂市郯城县2019届中考数学一模试卷（解析版）一、选择题（本大题共14小题,每小题3分,共42分）1、实数﹣2015的绝对值是（）A、2015B、﹣2015C、±2015D、【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解、第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号、【解答】解：|﹣2015|=2015,故选：A、【点评】本题考查了绝对值,解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0、2、移动互联网已经全面进入人们的日常生活、截至2015年3月,全国4G用户总数达到1.62亿,其中1.62亿用科学记数法表示为（）A、1.62×104B、1.62×106C、1.62×108D、0.162×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数、确定n的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同、当原数绝对值＞1时,n是正数；当原数的绝对值＜1时,n是负数、【解答】解：将1.62亿用科学记数法表示为1.62×108、故选C、【点评】此题考查科学记数法的表示方法、科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值、3、下列式子中正确的是（）A、（）﹣2=﹣9B、（﹣2）3=﹣6C、=﹣2D、（﹣3）0=1【分析】根据二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂逐一运算,判断即可、【解答】解：A、=9,故本项错误；B、（﹣2）3=﹣8,故本项错误；C、,故本项错误；D、（﹣3）0=1,故本项正确,故选：D、【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂,熟练掌握运算法则是解题的关键、4、将直尺和直角三角板按如图方式摆放,已知∠1=30°,则∠2的大小是（）A、30°B、45°C、60°D、65°【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数,再由平行线的性质即可得出结论、【解答】解：∵∠1+∠3=90°,∠1=30°,∴∠3=60°、∵直尺的两边互相平行,∴∠2=∠3=60°、故选C、【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为：两直线平行,内错角相等、5、已知x=,y=,则x2+xy+y2的值为（）A、2B、4C、5D、7【分析】先把x、y的值代入原式,再根据二次根式的性质把原式进行化简即可、【解答】解：原式=（x+y）2﹣xy=（+）2﹣×=（）2﹣=5﹣1=4、故选B、【点评】本题考查的是二次根式的化简求值,熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键、6、不等式组的整数解的个数是（）A、3B、5C、7D、无数个【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后求其整数解即可、【解答】解：,解①得：x＞﹣2,解②得：x≤3、则不等式组的解集是：﹣2＜x≤3、则整数解是：﹣1,0,1,2,3共5个、故选B、【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定、求不等式组的解集,应遵循以下原则：同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了、7、化简的结果是（）A、x+1B、C、x﹣1D、【分析】原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果、【解答】解：原式=﹣===x+1、故选A【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键、8、若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240°的扇形,则这个圆锥的底面半径长是（）A、6cmB、9cmC、12cmD、18cm【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长,除以2π即为圆锥的底面半径、【解答】解：圆锥的弧长为：=24π,∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12,故选C、【点评】考查了圆锥的计算,用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；9、如图,已知点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段、在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为的线段的概率为（）A、B、C、D、【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长,进而利用概率公式求出即可、【解答】解：连接AF,EF,AE,过点F作FN⊥AE于点N,∵点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点,∴AF=EF=1,∠AFE=120°,∴∠FAE=30°,∴AN=,∴AE=,同理可得：AC=,故从任意一点,连接两点所得的所有线段一共有15种,任取一条线段,取到长度为的线段有6种情况,则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为的线段的概率为：、故选：B、【点评】此题主要考查了正多边形和圆,正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键、10、如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE：S△CDE=1：3,则S△DOE：S△AOC的值为（）A、B、C、D、【分析】证明BE：EC=1：3,进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC,得到=,借助相似三角形的性质即可解决问题、【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3,∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC,∴△DOE∽△AOC,∴=,∴S△DOE：S△AOC==,故选D、【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答、11、如图,正方形ABCD位于第一象限,边长为3,点A在直线y=x上,点A的横坐标为1,正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴、若双曲线y=与正方形ABCD有公共点,则k的取值范围为（）A、1＜k＜9B、2≤k≤34C、1≤k≤16D、4≤k＜16【分析】根据题意求出点A的坐标,根据正方形的性质求出点C的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可、【解答】解：∵点A在直线y=x上,横坐标为1,∴点A的坐标为（1,1）,∵正方形ABCD的边长为3,∴点C的坐标为（4,4）,当双曲线y=经过点A时,k=1×1=1,当双曲线y=经过点C时,k=4×4=16,∴双曲线y=与正方形ABCD公共点,则k的取值范围是1≤k≤16,故选C、【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题以及正方形的性质,掌握反比例函数图象上点的坐标特征、以及正方形的性质是解题的关键、12、如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=40°,则∠A的度数为（）A 、80°B 、100°C 、110°D 、130°【分析】连接OC,然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°,然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°,然后根据周角的定义可求：∠1=260°,然后根据圆周角定理即可求出∠A 的度数、【解答】解：连接OC,如图所示,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=40°,∴∠BOC=100°,∵∠1+∠BOC=360°,∴∠1=260°,∵∠A=∠1,∴∠A=130°、故选：D 、【点评】此题考查了圆周角定理、此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是：熟记在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半、13、如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F,则线段B′F 的长为（ ）A 、B 、C 、D 、【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF ,CE ⊥AB,然后求得△ECF 是等腰直角三角形,进而求得∠B′FD=90°,CE=EF=,ED=AE ,从而求得B′D=1,DF=,在Rt △B′DF 中,由勾股定理即可求得B′F 的长、【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF ,CE ⊥AB,∴B ′D=4﹣3=1,∠DCE +∠B′CF=∠ACE +∠BCF,∵∠ACB=90°,∴∠ECF=45°,∴△ECF 是等腰直角三角形,∴EF=CE,∠EFC=45°,∴∠BFC=∠B′FC=135°,∴∠B′FD=90°,∵S△ABC=AC•BC=AB•CE,∴AC•BC=AB•CE,∵根据勾股定理求得AB=5,∴CE=,∴EF=,ED=AE==,∴DF=EF﹣ED=,∴B′F==、故选：B、【点评】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用等,根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键、14、如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分,抛物线的顶点坐标A（1,3）,与x轴的一个交点B（4,0）,直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A,B两点,下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1,0）；⑤当1＜x＜4时,有y2＜y1,其中正确的是（）A、①②③B、①③④C、①③⑤D、②④⑤【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0,由对称轴位置可得b＞0,由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0,于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时,一次函数图象在抛物线下方,则可对⑤进行判断、【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1,3）,∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴2a+b=0,所以①正确；∵抛物线开口向下,∴a＜0,∴b=﹣2a＞0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c＞0,∴abc＜0,所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1,3）,∴x=1时,二次函数有最大值,∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4,0）而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2,0）,所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1,3）,B点（4,0）∴当1＜x＜4时,y2＜y1,所以⑤正确、故选：C、【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y 轴右、（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点、二、填空题（本大题共5小题,每小题3分,共15分）15、分解因式：5x3﹣10x2+5x=5x（x﹣1）2、【分析】先提取公因式5x,再根据完全平方公式进行二次分解、【解答】解：5x3﹣10x2+5x=5x（x2﹣2x+1）=5x（x﹣1）2、故答案为：5x（x﹣1）2、【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分解要彻底、16、分式方程的解为x=4、【分析】原式变形后,去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解、【解答】解：去分母得：1﹣x=﹣1﹣2x+6,解得：x=4,经检验x=4是分式方程的解、【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解、解分式方程一定注意要验根、17、如图,以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF,则下列结论：：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC,∠BAC=120°时,四边形AEFD是正方形、其中正确的结论是①②、（请写出正确结论的序号）、【分析】利用SAS得到△EBF与△DFC全等,利用全等三角形对应边相等得到EF=AC,再由△ADC为等边三角形得到三边相等,等量代换得到EF=AD,AE=DF,利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形,若AB=AC,∠BAC=120°,只能得到AEFD为菱形,不能为正方形,即可得到正确的选项、【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形,∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°,∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF,即∠CBA=∠FBE,在△ABC和△EBF中,,∴△ABC≌△EBF（SAS）,∴EF=AC,又∵△ADC为等边三角形,∴CD=AD=AC,∴EF=AD=DC,同理可得△ABC≌△DFC,∴DF=AB=AE=DF,∴四边形AEFD是平行四边形,选项②正确；∴∠FEA=∠ADF,∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC,即∠FEB=∠CDF,在△FEB和△CDF中,、∴△FEB≌△CDF（SAS）,选项①正确；若AB=AC,∠BAC=120°,则有AE=AD,∠EAD=120°,此时AEFD为菱形,选项③错误,故答案为：①②、【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行四边形的判定,以及正方形的判定,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键、18、如图,一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为、【分析】将正方体展开,右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上,此时AB最短,根据三角形MCB与三角形ACN相似,由相似得比例得到MC=2NC,求出CN的长,利用勾股定理求出AC的长即可、【解答】解：将正方体展开,右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短,∵△BCM∽△ACN,∴=,即==2,即MC=2NC,∴CN=MN=,在Rt△ACN中,根据勾股定理得：AC==,故答案为：、【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题,涉及的知识有：相似三角形的判定与性质,勾股定理,熟练求出CN 的长是解本题的关键、19、读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于式子比较长,书写不方便,为了简便起见,我们将其表示为,这里“∑”是求和符号,通过对以上材料的阅读,计算=、【分析】根据求和公式写出分数的和的形式,根据分数的性质计算即可、【解答】解：由题意得,=+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=,故答案为：、【点评】本题考查的是数字的变化类问题,根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键、三、解答题（本大题共7小题,共63分）20、（7分）计算：﹣32÷×+|﹣3|【分析】分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可、【解答】解：﹣32÷×+|﹣3|=﹣9××+3﹣=﹣、【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识,正确化简各数是解题关键、21、（7分）亚健康是时下社会热门话题,进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式,为了解某市初中学生每天,根据调查结果得到如图所示的统计图表、（1）a=35；（2）补全条形统计图；（3）据了解该市大约有30万名初中学生,请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数、【分析】（1）用样本总数100减去A、B、D、E类的人数即可求出a的值；（2）由（1）中所求a的值得到C类别的人数,即可补全条形统计图；（3）用30万乘以样本中每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数所占的百分比即可、【解答】解：（1）a=100﹣5﹣20﹣30﹣10=35；（2）补全条形统计图如图所示：（3）30×=22.5（万人）、答：估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万人、故答案为：（1）35、【点评】本题考查的是条形统计图和频数分布表的综合运用、读懂统计图表,从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键、条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据、也考查了中位数的定义以及利用样本估计总体、22、（7分）如图,在▱ABCD中,E、F分别是AB、DC边上的点,且AE=CF,（1）求证：△ADE≌△CBF、（2）若∠DEB=90°,求证：四边形DEBF是矩形、【分析】（1）由在▱ABCD中,AE=CF,可利用SAS判定△ADE≌△CBF、（2）由在▱ABCD中,且AE=CF,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证得四边形DEBF是平行四边形,又由∠DEB=90°,可证得四边形DEBF是矩形、【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠A=∠C,在△ADE和△CBF中,,∴△ADE≌△CBF（SAS）、（2）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∵AE=CF,∴BE=DF,∴四边形DEBF是平行四边形,∵∠DEB=90°,∴四边形DEBF是矩形、【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质、注意有一个角是直角的平行四边形是矩形,首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键、23、（9分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D、以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D、（1）判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若AC=3,∠B=30°、①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积、（结果保留根号和π）【分析】（1）连接OD,根据平行线判定推出OD∥AC,推出OD⊥BC,根据切线的判定推出即可；（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r,AB=2AC=3r,从而求得半径r的值；②根据S阴影=S△BOD ﹣S扇形DOE求得即可、【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,∴∠CAD=∠OAD,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,即OD⊥BC、又∵直线BC过半径OD的外端,∴直线BC与⊙O相切、（2）设OA=OD=r,在Rt△BDO中,∠B=30°,∴OB=2r,在Rt△ACB中,∠B=30°,∴AB=2AC=6,∴3r=6,解得r=2、（3）在Rt△ACB中,∠B=30°,∴∠BOD=60°、∴、∵∠B=30°,OD⊥BC,∴OB=2OD,∴AB=3OD,∵AB=2AC=6,∴OD=2,BD=2S△BOD=×OD•BD=2,∴所求图形面积为、【点评】本题考查了切线的判定,含有30°角的直角三角形的性质,扇形的面积等知识点的应用,主要考查学生的推理能力、24、（9分）我市某风景区门票价格如图所示,黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队,计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩、两团队游客人数之和为120人,乙团队人数不超过50人,设甲团队人数为x人、如果甲、乙两团队分别购买门票,两团队门票款之和为W元、（1）求W关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人,请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；（3）“五一”小黄金周之后,该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时,门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时,每张门票降价a元；人数超过100人时,每张门票降价2a元,在（2）的条件下,若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩,甲乙两团队联合购票比分别购票最多节约3400元,求a的值、【分析】（1）根据甲团队人数为x人,乙团队人数不超过50人,得到x≥70,分两种情况：①当70≤x≤100时,W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600,②当100＜x＜120时,W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600,即可解答；（2）根据甲团队人数不超过100人,所以x≤100,由W=﹣10x+9600,根据70≤x≤100,利用一次函数的性质,当x=70时,W最大=8900（元）,两团联合购票需120×60=7200（元）,即可解答；（3）根据每张门票降价a元,可得W=（70﹣a）x+80（120﹣x）=﹣（a+10）x+9600,利用一次函数的性质,x=70时,W最大=﹣70a+8900（元）,而两团联合购票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元）,所以﹣70a+8900﹣（7200﹣240a）=3400,即可解答、【解答】解：（1）∵甲团队人数为x人,乙团队人数不超过50人,∴120﹣x≤50,∴x≥70,①当70≤x≤100时,W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600,②当100＜x＜120时,W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600,综上所述,W=（2）∵甲团队人数不超过100人,∴x≤100,∴W=﹣10x+9600,∵70≤x≤100,∴x=70时,W最大=8900（元）,两团联合购票需120×60=7200（元）,∴最多可节约8900﹣7200=1700（元）、（3）∵x≤100,∴W=（70﹣a）x+80（120﹣x）=﹣（a+10）x+9600,∴x=70时,W最大=﹣70a+8900（元）,两团联合购票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元）,∵﹣70a+8900﹣（7200﹣240a）=3400,解得：a=10、【点评】本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是根据题意,列出函数解析式,利用一次函数的性质求得最大值、注意确定x的取值范围、25、（11分）在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A1B1C、（1）如图①,当点B1在线段BA延长线上时、①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；（2）如图②,点E是BC边的中点,点F为线段AB上的动点,在△ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,求线段EF1长度的最大值与最小值的差、【分析】（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；②过A作AF⊥BC于F,过C作CE⊥AB于E,根据三角函数和三角形的面积公式解答；（2）过C作CF⊥AB于F,以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,得出最大和最小值解答即可、【解答】解：（1）①证明：∵AB=AC,B1C=BC,∴∠AB1C=∠B,∠B=∠ACB,∵∠AB1C=∠ACB（旋转角相等）,∴∠B1CA1=∠AB1C,∴BB1∥CA1；②过A作AF⊥BC于F,过C作CE⊥AB于E,如图①：∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF,∵cos∠ABC=,AB=5,∴BF=3,∴BC=6,∴B1C=BC=6,∵CE⊥AB,∴BE=B1E=,∴BB1=,CE=,∴AB1=,∴△AB1C的面积为：；（2）如图2,过C作CF⊥AB于F,以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,EF1有最小值,此时在Rt△BFC中,CF=,∴CF1=,∴EF1的最小值为；如图,以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,EF1有最大值；此时EF1=EC+CF1=3+6=9,∴线段EF1的最大值与最小值的差为、【点评】此题考查几何变换问题,关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答、26、（13分）已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,线段AB的两个端点A（0,2）,B（1,0）分别在y轴和x轴的正半轴上,点C为线段AB的中点,现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过点D、（1）如图1,若该抛物线经过原点O,且a=﹣、①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD,问：在抛物线上是否存在点P,使得∠POB与∠BCD互余？若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由；（2）如图2,若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1,1）,点Q在抛物线上,且满足∠QOB与∠BCD互余、若符合条件的Q点的个数是4个,请直接写出a的取值范围、【分析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F,先通过三角形全等求得D的坐标,把D的坐标和a=﹣,c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；②先证得CD∥x轴,进而求得要使得∠POB与∠BCD互余,则必须∠POB=∠BAO,设P的坐标为（x,﹣x2+x）,分两种情况讨论即可求得；（2）若符合条件的Q点的个数是4个,则当a＜0时,抛物线交于y轴的负半轴,当a＞0时,最小值得＜﹣1,解不等式即可求得、【解答】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F,如图1,∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,∴∠DBF=∠BAO,又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,在△AOB和△BFD中,,∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF=BO=1,BF=AO=2,∴D的坐标是（3,1）,根据题意,得a=﹣,c=0,且a×32+b×3+c=1,∴b=,∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+x；②∵点A（0,2）,B（1,0）,点C为线段AB的中点,∴C（,1）,∵C、D两点的纵坐标都为1,∴CD∥x轴,∴∠BCD=∠ABO,∴∠BAO与∠BCD互余,要使得∠POB 与∠BCD 互余,则必须∠POB=∠BAO,设P 的坐标为（x,﹣ x 2+x ）,（Ⅰ）当P 在x 轴的上方时,过P 作PG ⊥x 轴于点G,如图2,则tan ∠POB=tan ∠BAO,即=,∴=,解得x 1=0（舍去）,x 2=,∴﹣x 2+x=,∴P 点的坐标为（,）；（Ⅱ）当P 在x 轴的下方时,过P 作PG ⊥x 轴于点G,如图3则tan ∠POB=tan ∠BAO,即=,∴=,解得x 1=0（舍去）,x 2=,∴﹣x 2+x=﹣,∴P 点的坐标为（,﹣）；综上,在抛物线上是否存在点P （,）或（,﹣）,使得∠POB 与∠BCD 互余、（2）如图3,∵D （3,1）,E （1,1）,抛物线y=ax 2+bx +c 过点E 、D,代入可得,解得,所以y=ax 2﹣4ax +3a +1、分两种情况：①当抛物线y=ax 2+bx +c 开口向下时,若满足∠QOB 与∠BCD 互余且符合条件的Q 点的个数是4个,则点Q 在x 轴的上、下方各有两个、（i ）当点Q 在x 轴的下方时,直线OQ 与抛物线有两个交点,满足条件的Q 有2个；（ii ）当点Q 在x 轴的上方时,要使直线OQ 与抛物线y=ax 2+bx +c 有两个交点,抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的交点必须在x 轴的正半轴上,与y 轴的交点在y 轴的负半轴,所以3a +1＜0,解得a ＜﹣；②当抛物线y=ax 2+bx +c 开口向上时,点Q 在x 轴的上、下方各有两个,（i ）当点Q 在x 轴的上方时,直线OQ 与抛物线y=ax 2+bx +c 有两个交点,符合条件的点Q 有两个；（ii ）当点Q 在x 轴的下方时,要使直线OQ 与抛物线y=ax 2+bx +c 有两个交点,符合条件的点Q 才两个、根据（2）可知,要使得∠QOB 与∠BCD 互余,则必须∠QOB=∠BAO,∴tan ∠QOB=tan ∠BAO==,此时直线OQ 的斜率为﹣,则直线OQ 的解析式为y=﹣x,要使直线OQ 与抛物线y=ax 2+bx +c 有两个交点,所以方程ax 2﹣4ax +3a +1=﹣x 有两个不相等的实数根,所以△=（﹣4a +）2﹣4a （3a +1）＞0,即4a 2﹣8a +＞0,解得a ＞（a ＜舍去）综上所示,a的取值范围为a＜﹣或a＞、【点评】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,正切函数,最小值等,分类讨论的思想是本题的关键、。