镜像电荷的依据是电位满足的方程和边界条件
镜像法的理论依据
镜像法的理论依据
镜像法解题的理论依据是唯一性定理。
其实电像法的目的就是要凑出若干个点电荷代替在分界面的感应电荷描述源所在空间的电势或电场分布，这符合唯一性定理。
根据唯一性定理，镜像电荷的确定应遵循以下两条原则：
1.所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中；
2.镜像电荷的个数位置及电荷量的大小由满足场域边界上的边界条件来确定。
给定几何形状的导体，就是要凑出若干个点电荷使得分界面等势。
2.8 镜像法
第二章 2.8
2.8
Z
0
q
P( x y z)
导体
h
z 0 平面为导体平面，其参考电位为零。
点电荷 q 与导体平面之间的电位满足：
电位 给定
z ＞0
2 0
q所在点除外
4
z0
2014-6-14
0
第二章 2.8
镜像电荷 q 的设置： 将无限大导体平面去 h 掉，整个空间充满介 电常数为 0 的介质， 在 q的镜像位置上置 一电荷 q ，则
2
q
2
第二章 2.8
三、球面导体与点电荷：
1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外 ?
a
o
q
P 1
r2
a
P
d1
镜像电荷 ：
0 d 2 q
P2
r 1
q
P1
d1
1
q P2 点
2014-6-14
P点在导体球面上
23
第二章 2.8
26
r2
边界条件： 方法一：
球面： r 如图 1
边界
像电荷
2014-6-14 2
第二章 2.8
镜像法最后将求解有限区域 的边值问题转换为无边界的无限 大均匀媒质中的求解问题。
原电荷
像电荷
镜
如何求镜 像电荷
3
镜像法在静电场边值问题中的应用
0, h ) 点, 电位函数 5 满足的是以 ∆ 函数表示的泊松方程:
2
Υ= -
Ε 0
q
∆( x , y , z - h ) , 这也没有变化 ],
这就保证了条件 ( 2) 。 于是原问题中 Z > 0 空间的点的电位可表示为: Υ=
q 1 ( 4Π Ε 0 r1 q
1
r2
) ( 3)
1 1 = { 2 2 2 2 2 1 2} (z - h ) 2 ]1 2 4Π Ε x + y + (z + h ) ] 0 [x + y +
图1
图 1, 无限大导体平面附近点电荷 + q 的镜像法取直角坐标系, z = 0 的平面与导体平面重合, 并设 此面为 O 电位面, 亦即导体平面接地, 因此点电荷 + q 与导体平面之间的电位必须满足下列条件: ( 1) Z = 0 处 ( 1) 5 = 0 ( 2) Z > 0 的空间里, 除点电荷+ q 所在的点外, 处处满足
r1 = a + d 2 2 2
4Π Ε 0 r1
q
+
4Π Ε 0 r2
q′
= 0
( 5)
2d 1 acosΗ , r2 2 = a 2 + d 2 2 - 2d 1 acosΗ
代入 ( 5) 式并整理得到
2 2 2 ( d 1 2 + a 2 ) ] + 2a ( q ′ [ q2 (d 2 2 + a 2 ) - q ′ d 1 - q d 2 ) cosΗ= 0
2
Υ=
4Π Ε 0
q
[
2
(
1
r1
关于静电场中镜像法的一些讨论
2009 年6 月黔西南民族师范高等专科学校学报June 2009第2 期Jonrnal of Southwest Guizhou Teachers’ College for Nationalities No.2关于静电场中镜像法的一些讨论蔡静李川（黔西南民族职业技术学院，贵州兴义562400；兴义民族师范学院，贵州兴义562400）摘要：强调了镜像法在学习静电场唯一性定理中的重要作用，证明了导体拐角与点电荷镜像数量的关系，并就源电荷与镜像电荷的电量关系进行了讨论。
关键词：镜像法；唯一性定理；镜像电荷文章编号：1009—0673（2009）02—0119—03 中图分类号：O441.1 文献标识码：B除了一些具有对称性的带电体其电场可用叠加原理或高斯定理进行简单的求解外，一般而言，静电场的求解需要解满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程，在空间电场未确定之前，边界表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的，甚至是不可能的。
但对于有一类特殊的情况，可以采用一种巧妙的方法求出，这个方法就是镜像法。
在电磁场理论中，最重要的定理是唯一性定理，在教学中，它既是教学的重点，又是教学的难点，但仅通过对唯一性定理的证明，学生很难真正理解唯一性定理，而镜像法就是唯一性定理的具体运用，如果对镜像法进行适当的深入的研究，将有助于对唯一性定理的掌握和理解，镜像法本身也是一种很有用的方法。
但遗憾的是许多相关教材对镜像法的讨论大都篇幅过少，讨论不深入，不利于教学的需要。
故从几个方面对镜像法作一些讨论。
一、镜像法与唯一性定理镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。
这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题，但这样得到的解是否就是唯一的正确的解，方法本身无法保证。
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
电动力学 镜像法
电动力学镜像法
电动力学中的镜像法是一种常用的解决电荷分布问题的方法。
它利用电荷在电场中的性质，通过引入电荷的镜像来简化问题的求解过程。
在使用镜像法时，我们假设存在一个虚拟的电荷分布，并在实际电荷分布的对称位置放置这个虚拟电荷。
通过选择合适的虚拟电荷和位置，可以使得问题的边界条件得到满足，从而简化计算。
具体来说，镜像法主要包括两种情况：镜像电荷和镜像面。
镜像电荷是指通过放置一个与实际电荷相等但符号相反的虚拟电荷，使得电荷分布在一个导体表面上的电势为零。
这样一来，我们可以将原问题转化为只有真实电荷与虚拟电荷之间的相互作用的问题。
而镜像面是指通过选择一个合适的带电面或者无限大导体板作为镜像面，使得问题的边界条件得到满足。
这样可以简化问题的求解。
镜像法在电动力学中有着广泛的应用。
例如，在求解导体球外部的电场分布时，可以利用球面的镜像电荷来简化计算。
在求解导体平板附近的电场分布时，可以利用无限大导体板的镜像面进行计算。
镜像法不仅可以简化问题的求解过程，还可以帮助我们更好地理解电荷在电场中的行为。
需要注意的是，镜像法只适用于求解满足一定边界条件的问题，并且要根据具体情况选择合适的镜像方式。
在实际
应用中，我们需要结合具体问题的特点和对称性来确定使用哪种镜像法及如何设置虚拟电荷或镜像面。
《电磁场与电磁波第四版》考试试题及答案
1．如果一个矢量场的旋度等于零，则称此矢量场为。
2．电磁波的相速就是传播的速度。
3．实际上就是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。
4．在导电媒质中，电磁波的传播随频率变化的现象称为色散。
5．一个标量场的性质，完全可以由它的来表征。
6．由恒定电流所产生的磁场称为。
7．若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是圆，则波称为。
（2）求两种媒质中的磁感应强度 。
五、综合题（10分）
21．设沿 方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，入射波电场的表达式为
（1）试画出入射波磁场的方向
（2）求出反射波电场表达式。
《电磁场与电磁波》试题（5）
一、填空题（每小题1分，共10分）
1．静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为。
四、应用题（每小题10分，共30分）
18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点 处产生的电场强度表达式为
（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。
19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求
（1）画出镜像电荷所在的位置
（2）直角劈内任意一点 处的电位表达式
20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：
14．已知麦克斯韦第三方程为 ，试说明其物理意义，并写出其微分形式。
三、计算题（每小题10分，共30分）
15．已知矢量 ，
（1）求出其散度
（2）求出其旋度
16．矢量 ， ，
（1）分别求出矢量 和 的大小
（2）
17．给定矢量函数 ，试
（1）求矢量场 的散度。
（2）在点 处计算该矢量 的大小。
《电动力学第三版》chapter2_4镜像法
感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替， Q 称为Q的
镜像电荷.
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电
荷Q 共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r 表 示象电荷Q 到P的距离, P点的电势为
(P) 1 4π0
QQ r r'
U inR R 0 ou R tR 0
in 0
▲顺便计算导体对点电荷Q的作用力：
FQE
E n ouetnRaR ouetxRa
F
1
4π 0
Q(q
R0 a
a2
Q)
Q2 ( R0 a
(a R02 a
) )2
ex
1
4π 0
Q a2
q
QR03(2a2 a(a2 R02
(1)球面为等势面(电势待定);
(2)从球面发出的总电场强度通量为Q0 /0. 由上例可知, 若在球外有电荷Q而在球内放置假想电荷Q , 其
位置和大小如前, 则球面上电势为零. 若在球心处再放一个假想电
荷Q0Q ,则导体球所带总电荷为Q0,同时球面仍为等势面. 因此,
条件(1)和(2)都满足.
球外任一点P的电势为
点电荷Q的镜像
Q
Q ++
++
代换没有改变电荷分布 泊松方程不变
代换满足边界条件
假想电荷代替 感应电荷分布
问题解决
注意：
(1) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布 所满足的泊松方程或拉普拉斯方程. 因此，在所研究 的场域内不可放置镜像电荷，也就是说，镜像电荷 必须放在研究的场域外.
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电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就
是第一类边界。
已知
S n
可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。
因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。
因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位 的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的 静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性 定理。
电磁场与电Leabharlann 波第三章 静电场的边值问题
2. 镜像法 实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，
将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此 称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原 来的边界条件。
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电 荷分布才有可能确定其镜像电荷。
镜像法所得结果仅适用于原电荷所在的区域，称为 有效区域。对于镜像电荷所在的区域，所得结果是不 适用的，该区域称为无效区域。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
（1）点电荷与无限大的导体平面
第三章 静电场的边值问题
第三章 静电场的边值问题
主要内容 电位微分方程、镜像法、分离变量法。
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
1. 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 的关系为
/3
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求 出其镜像电荷。 为什么？ 镜像电荷的依据是电位满足的方程和边界条件，为了不改变电 位所满足的方程，镜像电荷不能放在所求电位的区域（或称为 有效区）内。
电位所满足的方程 2 q (rr rr)
已知分布在V 中的电荷 在(r无) 限大的自由空间
产生的电位为
(r) 1
(r) dV
4π V | r r |
上式为泊松方程在自由空间的特解。 利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的
通解。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分 完全相同。
z
电场线
等位线
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
* 根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等 于导体表面上感应电荷的总电荷量。（怎么去证明）
（1）点电荷与无限大的导体平面
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变
成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位
由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4π r 4π r
q q
无限大导体平面的电位为零
* 上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因 为在上半空间中，源及边界条件未变。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜 像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须 引入几个镜像电荷。
例如，夹角为 π的导电劈需引入 5 个镜像电荷。
3
q /3
q
E
对上式两边取散度，得
E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的
散度为
E
那么，电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
2
对于无源区， ，0 上式变为
2 0
拉普拉斯方程
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
解的存在、稳定及惟一性问题。 存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的 解是否变化很大。 惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是 惟一的。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在 确信无疑。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经 得到证明。 可以证明电位微分方程解具有惟一性。
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变
成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位
由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4π r 4π r
q q
无限大导体平面的电位为零
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
定解条件
初始条件
边界条件
静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及
拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。
根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静
电场的边值问题。
此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于 前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
边界条件有三种类型： 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边 值问题又称为狄里赫利问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值， 这种边值问题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另 一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又 称为混合边界条件。
电磁场与电磁波
第三章 静电场的边值问题
对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满
足泊松方程方程
2
在无源区，电位满足拉普拉斯方程
2 0 静电场的边值问题 —— 根据给定的边界条件求解
静电场的电位分布。
利用格林函数，可以求解泊松方程。
利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。
求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。