三角形高中线与角平分线ppt优秀课件
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高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
培优提能5
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
第3课时三角形的中线角平分线课件北师大版数学七年级下册
解析：因为 CE 是△ACD 的中线， 所以 S△AEC = S△EDC = 12S△ADC， 即 S△ADC = 6 cm2. 又因为 AD 是△ABC 的中线，
A E
所以 S△ABD = S△ADC = 12S△ABC，
B
D
C
即 S△ABC = 12 cm2.
2 三角形的角平分线
三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的
E
C
边上的中线.
BE = EC
让我们先看看三角形的中线有什么特点.
议一议 (1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.
你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系?
三条中线，相交于一点
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位 置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.
重
∠C = 60°，求∠BAE 和∠AEB 的度数. C
解：因为 AE 是△ABC 的角平分线，
所以∠CAE
=∠BAE
=
1 2
∠BAC.
E
因为∠BAC +∠B +∠C = 180°，
A
B
所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.
所以∠BAE = 37.5°.
因为∠B +∠BAE +∠AEB = 180°， 所以∠AEB = 180°－45°－37.5° = 97.5°.
角平分线与它的对边相交，这
A 12
个角的顶点与交点之间的线段 B
叫做三角形的角平分线.
D
C
∠1 =∠2
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
做一做
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸 片各一个.
第10套人教初中数学八上 11.1.2 三角形的高、中线和角平线课件 【通用,最新经典教案】
11.1.2三角形的高.中线与角平分线
回顾思考 回顾 思考 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 画法
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
0 1 2 0 3 1 4 20 531 42 35 4 5
线吗?
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂
A
01 23 4 5 6 78 9 10
A
D I
C
E B
• 三角形的一条中线是否将这个三角形分成面积相等的两个三角形?为什么?
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
学前温故
新课早知
1.由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次 相接所组成的图形 叫做三角形. 2.从一个角的顶点出发,把这个角分成 相等 的两个角的 射线 ,叫做这 个角的平分线.
关闭
首先要明确什么样的线段才是高,再逐一判断.A 选项中,△ABC 的边 BC 上的高 是 AC,正确;B 选项中,△BCD 的边 BC 上的高是 DE,正确;C 选项中,在△ABE 中, 边 BE 上的高为 AC,而不是 DE,错误;D 选项中,△ACD 的边 CD 上的高是 AD,正 确.所以这四个选项中只有 C 选项错误,故选 C.
锐角三角形的三条高
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗?
(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高 都在三角形的内部。
使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合
直角三角形的三条高
做一做
在纸上画出一个直角三角形。
三角形内部
•直角三角形 1 相交 相交
回顾思考 回顾 思考 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 画法
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
0 1 2 0 3 1 4 20 531 42 35 4 5
线吗?
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂
A
01 23 4 5 6 78 9 10
A
D I
C
E B
• 三角形的一条中线是否将这个三角形分成面积相等的两个三角形?为什么?
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
学前温故
新课早知
1.由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次 相接所组成的图形 叫做三角形. 2.从一个角的顶点出发,把这个角分成 相等 的两个角的 射线 ,叫做这 个角的平分线.
关闭
首先要明确什么样的线段才是高,再逐一判断.A 选项中,△ABC 的边 BC 上的高 是 AC,正确;B 选项中,△BCD 的边 BC 上的高是 DE,正确;C 选项中,在△ABE 中, 边 BE 上的高为 AC,而不是 DE,错误;D 选项中,△ACD 的边 CD 上的高是 AD,正 确.所以这四个选项中只有 C 选项错误,故选 C.
锐角三角形的三条高
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗?
(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高 都在三角形的内部。
使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合
直角三角形的三条高
做一做
在纸上画出一个直角三角形。
三角形内部
•直角三角形 1 相交 相交
八年级数学三角形的高-中线与角平分线省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
A
D
C
3、下图作三角形中旳高正确旳是（ ）
A A
A
E
F
B
C
（1）
C B
（2）
B （3）
C （D4）
做一做
三角形旳角平分线
在一张薄纸上任意画一种
A
三角形，你能设法画出它旳一
种内角旳平分线吗?
注意 ! 用圆规画最简便
B
C
你能经过折纸旳措施得到它吗?
C
在一张纸上画出一种一种
D
三角形并剪下，将它旳一种
角对折，使其两边重叠 A
在三角形中，连接一种顶点与 它对边中点旳线段，叫做这个三角 形旳中线
三角形旳三条高所在直线交于一点， 三条角平分线交于一点，三条中线交 于一点
盖房子时，在窗框未安装好之前， 木工师傅经常先在窗框上斜钉一 根木条，为何这么做呢？
电线杆
自行车
三角形不变形，具有稳定性
你还能发觉类似旳例子吗？
与三角形有关旳线段
1. 这一节课你学到了什么？ 2. 说说你最喜欢旳是什么？ 3. 你最大旳收获是什么？
作业
1. P8-9，
3，4，5，8，9,
2.阅读P10旳信息 技术应用《画图找 规律》
思索题(选做)：
王大爷有一块三角形旳菜
A
地,目前要将它们平均分给四
个儿子,在菜地旳一角A处有一
口池塘,为了使分开后旳四块
菜地都就近取水,王大爷为此
做一做
p124
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形 纸片各一种。 (1) 分别画出这三个三角形旳三条角平分线吗?
(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样 旳位置关系?
三角形旳三条角平分线交于同一点.
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
三角形的角平分线、中线和高-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
1 如图.AD，AE，AF 分别是 △ABC 的中线、角平分线和高.
请你指出图中相等的角及相等 的线段.
解：相等的角有∠BAE＝∠EAC，∠AFB＝∠AFC；相等的线段 有BD＝DC.
2 分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平 分线、三条中线和三条高.
解：(1)锐角三角形(如图所示)．
2
想一想，一个三角形有几条中线？请同学们画出. 它们有什么特点？
①三角形的中线是一条线段. ②任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部交于一点.
例2 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准 备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子 要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提 出一种平分的方案．
导引：要知道DO 是不是△DEF 的角平 分线，只需要知道∠EDO 与 ∠FDO 是否相等．若相等，根
据三角形的角平分线的定义即 可判定．
解：DO 是△DEF 的角平分线．理由如下： 因为AD是△ABC 的角平分线， 所以∠DAB＝∠DAC (角平分线定义)． 因为DE∥AC，DF∥AB， 所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF (两直线平行， 内错角相等)，所以∠ADE＝∠ADF (等量代换)， 所以DO 是△DEF 的角平分线．
－31°－28°＝121°.
5 如图，在△ABC 中，AD 是高，BE 是角平分线，AD，BE 交于点F，∠C= 30°， ∠BFD=70°.求∠BAC 的度数.
解：因为AD 是△ABC 的高， 所以∠ADB＝90°，所以在△BFD 中，∠FBD＝180° －∠FDB－∠BFD＝180°－90°－70°＝20°.又因为 BE 是△ABC 的角平分线，所以∠ABF＝∠FBD＝20°， 所以∠ABC＝40°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C
三角形的高中线和角平分线课件人教版八年级数学上册
第十一章 三角形
11.1.2 三角形的高、中 线与角平分线
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
平分线( B )
A. AD
B. AE
C. AF
D. AC
2. 如图，在△ABC中，BC边上的高为( D )
A. BF
B. CF
C. BD
D. AE
课堂练习
3. 下列说法错误的是（ C ） A．锐角三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线三角形外部 C．直角三角形只有一条高 D．任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
布置作业
书面作业：完成相关书本作业
数学活动 任意画一个三角形并分别画出的高、中线、角平分线
再见
前言
学习目标
1、通过画图与观察的实践过程，认识三角形的高、中线与角平分线。 2、会画出任意三角形的角平分线、高、中线，通过画图了解三角形三条角 平分线、三条中线、三条高交汇于一点。
重点难点
重点：会画出任意三角形的角平分线、高、中线。 难点：理解三角形的角平分线、高、中线的概念。
问题 还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？ 如何画线段的中点，怎样画∠ABC 的角平分线？
A C
请同学将自己准备好的三角形纸片ABC 拿出来，把内角∠BAC对折一次，使AB 与AC重合，得到一条折痕为AD。
B 把三角形纸片展开、铺平，AD一定平 分∠BAC吗？
11.1.2 三角形的高、中 线与角平分线
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
平分线( B )
A. AD
B. AE
C. AF
D. AC
2. 如图，在△ABC中，BC边上的高为( D )
A. BF
B. CF
C. BD
D. AE
课堂练习
3. 下列说法错误的是（ C ） A．锐角三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线三角形外部 C．直角三角形只有一条高 D．任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
布置作业
书面作业：完成相关书本作业
数学活动 任意画一个三角形并分别画出的高、中线、角平分线
再见
前言
学习目标
1、通过画图与观察的实践过程，认识三角形的高、中线与角平分线。 2、会画出任意三角形的角平分线、高、中线，通过画图了解三角形三条角 平分线、三条中线、三条高交汇于一点。
重点难点
重点：会画出任意三角形的角平分线、高、中线。 难点：理解三角形的角平分线、高、中线的概念。
问题 还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？ 如何画线段的中点，怎样画∠ABC 的角平分线？
A C
请同学将自己准备好的三角形纸片ABC 拿出来，把内角∠BAC对折一次，使AB 与AC重合，得到一条折痕为AD。
B 把三角形纸片展开、铺平，AD一定平 分∠BAC吗？
三角形的中线、角平分线（课件）
4.1.3 三角形的中线、角平分线
北师大版 七年级下
新知导入
1.有 两边 相等的三角形叫等腰三角形。 有三边都相等的三角形是 等边 三角形，也叫正三角形。 2. 三角形 两边之和大于第三边。
三角形两边之差小于第三边。 第三边大于两边之 差 ,小于两边之 和 。
新知导入
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定 这个点的位置吗？
课堂练习
4.下列说法中正确的是( A ) A．三角形的角平分线和中线都是线段 B．三角形的角平分线和中线都是射线 C．三角形的角平分线是射线，而中线是线段 D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线
课堂练习
5.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，若∠A＝ 52°，则∠1＋∠2的度数为__6__4_°___．
2
反之：
∵BE＝CE (BE＝ 1 BC)
2
∴AE 是△ABC的中线
思考：已知E 是BC 的中点， △ABD与 △ACD的面积相等吗？
SABE SACE
新知讲解
【议一议】 （1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎 样的位置关系？与同伴进行交流．
锐角三角形的三条中线交于一点.
新知讲解
新知讲解
【画一画】 在纸上画出一个锐角三角形 连接一个顶点与它对边的中点
这条线段叫什么？
新知讲解
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形
三的角中形线的。中线还 如有图什，么A特E 点是呢△A？BC 的 BC 边上的中线．
A
B
E
C
BE=EC
符号语言：
∵AE 是△ABC的中线 ∴BE ＝CE ＝ 1 BC
北师大版 七年级下
新知导入
1.有 两边 相等的三角形叫等腰三角形。 有三边都相等的三角形是 等边 三角形，也叫正三角形。 2. 三角形 两边之和大于第三边。
三角形两边之差小于第三边。 第三边大于两边之 差 ,小于两边之 和 。
新知导入
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定 这个点的位置吗？
课堂练习
4.下列说法中正确的是( A ) A．三角形的角平分线和中线都是线段 B．三角形的角平分线和中线都是射线 C．三角形的角平分线是射线，而中线是线段 D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线
课堂练习
5.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，若∠A＝ 52°，则∠1＋∠2的度数为__6__4_°___．
2
反之：
∵BE＝CE (BE＝ 1 BC)
2
∴AE 是△ABC的中线
思考：已知E 是BC 的中点， △ABD与 △ACD的面积相等吗？
SABE SACE
新知讲解
【议一议】 （1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎 样的位置关系？与同伴进行交流．
锐角三角形的三条中线交于一点.
新知讲解
新知讲解
【画一画】 在纸上画出一个锐角三角形 连接一个顶点与它对边的中点
这条线段叫什么？
新知讲解
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形
三的角中形线的。中线还 如有图什，么A特E 点是呢△A？BC 的 BC 边上的中线．
A
B
E
C
BE=EC
符号语言：
∵AE 是△ABC的中线 ∴BE ＝CE ＝ 1 BC
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O
F
B
C
E
三角形的高的 表示法
A
B
D
C
∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
三角形的高：
A
A
G
F
B
E
CB
A
D
F
CB
CD E
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
高在三角形内部的数量 高之间是否相交
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2__∠__A_C_F=2__∠_B_C_F_ B
D
C
三角形的角平分线与角的平分线
有什么区别？
思
考
三角形的角平分线是一 条线段 , 角的平分线是 一条射线
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D)
C AD
D
BC B
B C
CA
11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形
的一个顶点，你能画出
它的对边的垂线吗?
A
0 1 2 0 3 1 4 205 31 42 53 4 5
B
C
三角形的高
从三角形的一个顶点
向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段
的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间
B
的线段
A ∵.AD是△ABC的∠BAC的
2 1 平分线
D C ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
高所在的直线是否相交
锐角三角形
3 相交 相交
直角三角形
1 相交 相交
钝角三角形
1 不相交
相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部 直角顶点 三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个 三角形这边的中线.
三角形中线的理解
∵AD是△ ABC的中线
三角形 的高线
顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之
B
间的线段
∵AD是△ABC的BC上的高
A 线.
D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线
三角形中,连结一
个顶点和它对边
中的
线段
B
A ∵ AD是△ABC的BC上的
中线.
D C ∴ BD=CD= ½ BC.
三角形一个内角
三角形的 角平分线
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
B
锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部?
A
F E
O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
在纸上画出一个直角三角形。
(1) 画出直角三角形的三条高,
它们有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流.
A
●
F
E O
∴BD=CD= 12BC
B
●
C
D
三角形的三条中线相交于一
点,交点在三角形的内部.
任意画一个 三角形, 然后利 用刻度尺画出 这个 三角形三条边的中线,你发现了什么?
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的角平分线
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE
A
D
B
E
C
知识小结
今天我们学了什么呀？
1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念 及它们的画法。
2. .三角形的高、中线、角平分线 几何表达及简单应用。
知识归纳
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
从三角形的一个
A
C
EDF
B
1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线 AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有 性质( ) D
A.是边BB′上的中线
C.是∠BAB′的角平分线
A
B.是边BB′上的高 D.以上三种性质合一
B
C
B'
2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点, 则下列说法不正确的是( ) D
角平分线，则∠1=
, ∠3= 1 ∠ABC ,
∠ACB=2 ∠4 。
2
A
A
F
E
F 12 E
B
D
C
图1
B
3 D
4
C
பைடு நூலகம்
图2
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分
线，AF是高。填空：
（1）BE= CE
1
=2
BC
；
（2）∠BAD= ∠CAD = 1 ∠BAC ；
2
（3）∠AFB= ∠AFC =90°；
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个
顶点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
3、填空：
中（线1，）则如A图B=（21）AF，，ABDD，=BEC，D,CAFE是= Δ12 AABCC的。三条
（2）如图（2）， A∠D2，BE，CF是ΔABC的三条
A D
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
●
B
C
直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
(1) 钝角三角形的
A
三条高交于一点吗？
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流. D
钝 角三角形的
三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
A ●
∴∠ BAD = ∠ CAD = ２１∠BAC
︶1 2
三角形的三条角B平分线D●相交于 C 一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
角平分线的理解：
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=_∠_C_B_E_= 1 _∠_A_B__C
叫做三角形这边的高，
简称三角形的高。
B
如图, 线段AD是BC边上的高.
任意画一个
锐角△ABC,
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明
垂直的记号
和垂足的字母.
B
A
01 23 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 23 4 5
D
C
A
D
C
每个人画一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
F
B
C
E
三角形的高的 表示法
A
B
D
C
∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
三角形的高：
A
A
G
F
B
E
CB
A
D
F
CB
CD E
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
高在三角形内部的数量 高之间是否相交
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2__∠__A_C_F=2__∠_B_C_F_ B
D
C
三角形的角平分线与角的平分线
有什么区别？
思
考
三角形的角平分线是一 条线段 , 角的平分线是 一条射线
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D)
C AD
D
BC B
B C
CA
11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形
的一个顶点，你能画出
它的对边的垂线吗?
A
0 1 2 0 3 1 4 205 31 42 53 4 5
B
C
三角形的高
从三角形的一个顶点
向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段
的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间
B
的线段
A ∵.AD是△ABC的∠BAC的
2 1 平分线
D C ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
高所在的直线是否相交
锐角三角形
3 相交 相交
直角三角形
1 相交 相交
钝角三角形
1 不相交
相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部 直角顶点 三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个 三角形这边的中线.
三角形中线的理解
∵AD是△ ABC的中线
三角形 的高线
顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之
B
间的线段
∵AD是△ABC的BC上的高
A 线.
D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线
三角形中,连结一
个顶点和它对边
中的
线段
B
A ∵ AD是△ABC的BC上的
中线.
D C ∴ BD=CD= ½ BC.
三角形一个内角
三角形的 角平分线
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
B
锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部?
A
F E
O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
在纸上画出一个直角三角形。
(1) 画出直角三角形的三条高,
它们有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流.
A
●
F
E O
∴BD=CD= 12BC
B
●
C
D
三角形的三条中线相交于一
点,交点在三角形的内部.
任意画一个 三角形, 然后利 用刻度尺画出 这个 三角形三条边的中线,你发现了什么?
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的角平分线
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE
A
D
B
E
C
知识小结
今天我们学了什么呀？
1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念 及它们的画法。
2. .三角形的高、中线、角平分线 几何表达及简单应用。
知识归纳
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
从三角形的一个
A
C
EDF
B
1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线 AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有 性质( ) D
A.是边BB′上的中线
C.是∠BAB′的角平分线
A
B.是边BB′上的高 D.以上三种性质合一
B
C
B'
2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点, 则下列说法不正确的是( ) D
角平分线，则∠1=
, ∠3= 1 ∠ABC ,
∠ACB=2 ∠4 。
2
A
A
F
E
F 12 E
B
D
C
图1
B
3 D
4
C
பைடு நூலகம்
图2
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分
线，AF是高。填空：
（1）BE= CE
1
=2
BC
；
（2）∠BAD= ∠CAD = 1 ∠BAC ；
2
（3）∠AFB= ∠AFC =90°；
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个
顶点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
3、填空：
中（线1，）则如A图B=（21）AF，，ABDD，=BEC，D,CAFE是= Δ12 AABCC的。三条
（2）如图（2）， A∠D2，BE，CF是ΔABC的三条
A D
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
●
B
C
直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
(1) 钝角三角形的
A
三条高交于一点吗？
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流. D
钝 角三角形的
三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
A ●
∴∠ BAD = ∠ CAD = ２１∠BAC
︶1 2
三角形的三条角B平分线D●相交于 C 一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
角平分线的理解：
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=_∠_C_B_E_= 1 _∠_A_B__C
叫做三角形这边的高，
简称三角形的高。
B
如图, 线段AD是BC边上的高.
任意画一个
锐角△ABC,
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明
垂直的记号
和垂足的字母.
B
A
01 23 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 23 4 5
D
C
A
D
C
每个人画一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?