重点高中提前自主招生数学培训材料
初升高自招常见题型培训讲义30页(有答案)
【2013·华师一附】 【题目】某仓储系统有 20 条输入传送带，20 条输出传送带。某日，控制室的电脑显示，
每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(a)，每条输出传送带每小时出库的
货物流量如图(b)，而该日仓库中原有货物 8 吨，在 0 时至 5 时，仓库中货物存 量变化情况如图(c)，则在 0 时至 2 时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？ 在 4 时至 5 时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？
四个供选择单选项中选出一个你认为最合理的一项，来填补其中的空缺项，使
之符合原数列的排列规律．
A. 48
B. 96
【解析】1,2,3,4,5 ， 24 5 120
C.120
D.144
【题型】【巧算】
【2013·上海中学】
【题目】计算 1 1 1 2 2 3
1
____________
2012 2013
【解析】 2(1 x) 2(1 x)2 8
【题型】【一次函数、反比例函数的性质】
【2013·华师一附】
【题目】已知 a,b,c 为正实数，且满足 b c a b a c 的图象一定经过（ ）
A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限
B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限
即 y2 y2 2 y y y2 y ，2 y2 2 y y2 y ，
即 3y2
y，
y3
3，
y
3
3
1
33
，
x
y 2
3
2 3
，
显然 x y 1 是方程的一组解，综上所述：方程有两组解
【2013·上海中学】
x2 1 y z2
【题目】解方程组
y
重点高中自主招生数学试题
重点高中自主招生数学试题1.引言1.1 介绍重点高中自主招生的背景和重要性重点高中自主招生是指高中阶段对学生进行选拔的一种途径，通常在学生初中阶段进行选拔。
自主招生的背景是为了解决传统招生方式对学生综合能力的评价不足的问题，更能全面挖掘学生的潜能和特长。
重点高中的自主招生考试作为学生选拔的一个重要环节，具有深远的意义。
自主招生能够更全面地评价学生的能力和潜力，不仅仅局限于学生的考试成绩。
自主招生能够激发学生的学习动力和创造力，为学生提供更广阔的成长空间。
自主招生还有利于选拔优秀学生，并为他们提供更多的学习资源和成长机会。
重点高中自主招生在学生选拔中具有重要的意义和价值。
数学作为自主招生考试的一个重要科目，在学生选拔中扮演着关键的角色。
数学能够有效地检验学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力，是重点高中自主招生考试中不可或缺的一部分。
学生需要加强数学知识的学习和掌握，提高数学解题能力，以在自主招生考试中取得更好的成绩和更多的机会。
本文旨在通过对数学试题的讲解和分析，帮助学生更好地应对重点高中自主招生考试，加强对数学的学习和理解，提高自己的竞争力。
接下来，我们将从数列与数学归纳法、不等式与绝对值、函数与方程、数学推理与证明等几个方面展开讨论，为学生提供更多的学习参考和指导。
1.2 强调数学在学生选拔中的重要性数学在学生选拔中的重要性无法低估。
重点高中自主招生考试对学生的数学能力有着严格的要求，而数学成绩往往被视为选拔学生的重要指标之一。
数学是一门需要逻辑思维和分析能力的学科，它不仅考察学生的计算能力，更重要的是培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
在现代社会，数学在各个领域都有着广泛的应用，学生掌握了扎实的数学知识，将更有利于他们未来的学习和发展。
数学在学生选拔中的重要性还体现在其对学生综合能力的考察。
数学题目往往融合了逻辑推理、分析判断、计算能力等多个方面的能力要求，通过解题过程可以全面地考察学生的综合能力。
省级重点高中自主招生数学真题8套(含答案)
省重点高中自主招生数学真题8套（含答案）第1套一、选择题（每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。
）1、已知实数a 、b 、c 满足0254=-+-+++a b c b a ，那么bc ab +的值为（ ） A 、0B 、16C 、－16D 、－32 2、设βα、是方程02322=--x x 的两个实数根，则βααβ+的值是（ ）A 、－1B 、1C 、32-D 、32 3、a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，下列结论成立的是（ ） A 、AB AC 2= B 、AB AC 2< C 、AB AC 2> D 、AC 与AB 2大小关系不确定5、已知关于x 的不等式7<a x 的解也是不等式12572->-aa x 的解，则a 的取值范围 是（ ）A 、910-≥aB 、910->a C 、0910<≤-a D 、0910<<-a 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（ ） A 、32B 、2C 、3D 、4 第6题图二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知质数x 、y 、z 满足5719=-yz x ，则z y x ++= 。
2、已知点A （1，3），B （4，－1），在x 轴上找一点P ，使得AP －BP 最大，那么P 点的坐标是 。
3、已知AB 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，则当△ACD 为等腰三解形时，∠ACD 的度数为 。
高中数学自主招生基础知识补充
大学自主招生数学知识补充一、三角函数 1、半角公式2cos 12sinαα-±= 积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin2、和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-3、万能公式ααα2tan 1tan 22sin += 三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 ()()αααα+-= 60tan tan 60tan 3tan4、三角恒等式（换成余弦也成立）0)34sin()32sin(sin =++++πθπθθ 23)34(sin )32(sin sin 222=++++πθπθθ 89)34(sin )32(sin sin 444=++++πθπθθ 5、正弦平方差公式)sin()sin(sin sin 22βαβαβα-+=- )cos()cos(cos cos 22βαβαβα-+=-6、三角形中的结论(注意前提条件)C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++ 1cot cot cot cot cot cot =++A C C B B A2cos 12cos αα+±=αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±=ααα22tan 1tan 12cos +-=ααα2tan 1tan 22tan -=2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cotC B A C B A =++ 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A)(22c b b a B A +=⇒=S a c b A 4cot 222-+=S b c a B 4cot 222-+=Sc a b C 4cot 222-+=7、某些特殊角的三角函数值二、数列1给递推式求通项公式(1)常见形式即一般求解方法 ①q pa a n n +=+1若p=1，则显然是以a 1为首项，q 为公差的等差数列， 若p ≠1，则两边同时加上1-p q ，变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-++111p q a p p q a n n 显然是以11-+p qa 为首项，p 为公比的等比数列 ②()n f pa a n n +=+1，其中f(n)不是常数若p=1，则显然a n =a 1+()∑-=11n i i f ，n ≥2若p ≠1，则两边同时除以p n+1，变形为()111++++=n n n n n pn f p a p a 利用叠加法易得()∑-=++=1111n i i n n p i f p a p a ，从而()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=-1111n i i n n p i f a p a(2)不动点法当f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
重点高中自主招生数学试题
重点高中自主招生数学试题一、选择题1.若函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$, 当$x$趋近于无穷大时，$f(x)$的值趋近于A. 2B. -2C. 1D. -12.已知函数$f(x)$的定义域为$x \in (-\infty, 2)$, 那么函数$g(x)=f(e^{2x})$的定义域是A. $x \in (-\infty, \ln4)$B. $x \in (-\infty, 2)$C. $x \in (-\infty, \ln2)$D. $x \in (-\infty, \ln\frac{1}{4})$3.已知函数$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$，则$f(x+1)$等于A. $f(x)$B. $f(x)+1$C. $f(x-1)$D. $\frac{1}{f(x)}$二、填空题1.设$a$为正整数，若$a^3-4a^2+5a-2=0$有一个正整数解，则$a$的值是\anst{2}。
2.设等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=5$，$a_9=29$，则$a_{15}$的值是\anst{47}。
3.已知$\frac{3^x+3^{-x}}{3^x-3^{-x}}=7$，则$x$的值是\anst{1}。
三、解答题1.解方程：$\log_3(x^2+2x)-2\log_3(x+1)=\log_3(x+2)-2$解答：首先，我们可以利用对数的性质进行简化。
将题目中的等式两边都取对数底为3，得到：$\log_3(x^2+2x)-\log_3(x+1)^2=\log_3(x+2)-1$然后，利用对数的运算相关规律合并右侧表达式：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\right)=\log_3(x+2)-1$进一步简化为：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}\right)=\log_3(x+2)-1$由于等式两边底数相同，因此可以去掉对数符号：$\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}=x+2$接下来，我们将方程进行整理化简为二次方程：$x^2+2x=(x^2+2x+1)(x+2)$展开并合并同类项：$x^2+2x=x^3+4x^2+5x+2$整理得到：$x^3+3x^2+3x+2=0$通过观察，我们可以发现当$x=-1$时，方程成立。
初升高自主招生——数与式（含答案）
初升⾼⾃主招⽣——数与式（含答案）初升⾼⾃主招⽣研讨——数与式（答案）【涉及知识点】1、数列（1）求和：基础、裂项、错位、倒序（2）其他：找规律、累加累乘等2、⼆重根式直接法、乘2除2法、解⽅程组、字母变形、平⽅法3、乘法公式（1）基础公式（7+3）（2）拓展公式4、因式分解（1）多项式的因数定理与余数定理（2）多项式除以多项式（综合除法）（3）⼀猜（有理根）⼆添、⼆拆、⼆除、⼆待（3）猜不中（⽆理根）⼆待、⼆凑（4次⽅凑平⽅和+平⽅差）5、代数式恒等变形（重中之重）6、其他（1）简单计数与数论（2）三个⾮负数、两次有理化、【涉及⽅法】1、猜、凑2、配⽅法3、待定系数法4、换元法【涉及思想】1、消元与降次思想2、构造思想3、整体与讨论思想4、定义域与化简优先【题型⼀】基础题（指数计算、三个⾮负数等）【题型⼆】分式（化简、求值、求和）【题型三】⼆次根式（化简、求值、求和、⼆重根式）【题型四】整式（多项式、因式分解、乘法公式、化简、求值）【题型五】数列（找规律、简单计数、求和、新定义）【题型⼀】基础题（指数计算、三个⾮负数等）1、若()6255252=xxx，则x=________________。
【参考答案】2或-12、已知: 23a =，32b =，则1111a b +=++______________.【参考答案】13、已知()21240x y x y --+++=则32x y -=（）-1A 、 -2B 、 2C 、 1D 、【参考答案】Ｄ4、已知实数a 满⾜2008a -a ，那么a －22008值是（）（A ）2009 （B ） 2008 （C ） 2007 （D ） 2006【参考答案】A【参考答案】-15、()1015323π-??-+---=( ).A ．4-B ．12C ．4D ．2【参考答案】Ｃ7、有理数a ，b 在数轴上的位置如图所⽰，则a b +的值是( ).A ．0⼩于B ．0⼤于C ．a ⼩于D ．b ⼤于【参考答案】Ｂ8、若,,a b c三个数在数轴上对应点的位置如图所⽰，化简：。
省级重点高中自主招生数学真题8套(含答案)
省重点高中自主招生数学真题8套（含答案）第1套一、选择题（每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。
）1、已知实数a 、b 、c 满足0254=-+-+++a b c b a ，那么bc ab +的值为（ ） A 、0B 、16C 、－16D 、－32 2、设βα、是方程02322=--x x 的两个实数根，则βααβ+的值是（ ）A 、－1B 、1C 、32-D 、32 3、a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，下列结论成立的是（ ） A 、AB AC 2= B 、AB AC 2< C 、AB AC 2> D 、AC 与AB 2大小关系不确定5、已知关于x 的不等式7<a x 的解也是不等式12572->-aa x 的解，则a 的取值范围 是（ ）A 、910-≥aB 、910->a C 、0910<≤-a D 、0910<<-a 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（ ） A 、32B 、2C 、3D 、4 第6题图二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知质数x 、y 、z 满足5719=-yz x ，则z y x ++= 。
2、已知点A （1，3），B （4，－1），在x 轴上找一点P ，使得AP －BP 最大，那么P 点的坐标是 。
3、已知AB 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，则当△ACD 为等腰三解形时，∠ACD 的度数为 。
全国各地重点高中自主招生数学试题精选精练(二)试题及参考答案详解
中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB 于点 F．若
△AB′F 为直角三角形，则 AE 的长为
．
第 2页（共 18页）
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17．（10 分）先化简，再求值
，其中
．
18．（12 分）（2013•黄冈中学自主招生试题）已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+（3a﹣1）x+2a2 ﹣1＝0 的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80．求实数 a 的所有可能值．
第 3页（共 18页）
19．（12 分）（2018•枣庄二中自主招生试题）如图，半圆 O 中，将一块含 60°的直角三角板的 60°角顶点 与圆心 O 重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于 C，D 两点（点 C 在∠AOD 内部），AD 与 BC 交于 点 E，AD 与 OC 交于点 F． （1）求∠CED 的度数； （2）若 C 是弧 的中点，求 AF：ED 的值； （3）若 AF＝2，DE＝4，求 EF 的长．
全国各地重点高中提前自主招生精选精练（二）
时间：100 分钟 满分 120 分
2019 年 3 月
一、选择题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分） 1．（2017•奉化中学自主招生试题）实数 a，b，c 满足 2a＝5，2b＝10，2c＝80，则代数式 2006a﹣3344b+1338c
的值为（ ）
﹣x）2 的最大值是（ ）
A．12
B．20
C．28
D．36
4．（2016•雅礼中学自主招生试题）如图，已知直线 l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是 1， 如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 sinα＝（ ）
重点高中自主招生考试必备【数学】
目录页码1. 2010徽合肥168中学宏志班招生试题 (2)2. 2010安徽蚌埠重点高中自主招生试题及答案 (6)3.2010长郡中学理科实验班招生数学试题及答案 (14)4. 2011年北京市四中自主招生数学试题及答案 (19)5. 2011黄冈中学自主招生数学试题及答案 (24)6.2011湖北襄阳市高中优录数学试题及答案 (30)7.2011某师大附中自主招生数学试题及答案 (35)【1】2010安徽合肥168中学宏志班自主招生数学试题【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。
得分评卷人一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、计算28= .2、分解因式：)1()1(y y x x =.3、函数114x xy中，自变量x 的取值范围是.4、已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为1，则数据10x 1＋5，10x 2＋5，…，10x n ＋5的方差为.5、函数x xy 322的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等于.6、在同一平面上，⊙1O 、⊙2O 的半径分别为2和1，1O 2O ＝5，则半径为9且与⊙1O 、⊙2O 都相切的圆有个．7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm 和4 cm ，则斜边长为cm .8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：题号一二总分得分则第10个图案中有白色地面砖块.9、将函数2x y的图像平移，使平移后的图像过C （0，-2），交x 轴于A 、B 两点，并且△ABC的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是.10、如图，平行四边形ABCD 中，P 点是形内一点，且△PAB 的面积等于8 cm 2，△PAD 的面积等于7 cm 2，，△PCB 的面积等于12 cm 2，则△PCD 的面积是cm 2.（第10题图）（第11题图）11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是.12、正△ABC 内接于⊙O ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长DE 交⊙O 与F, 连接BF 交AC 于点P,则PAPC .得分评卷人二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）13、已知（a+b ）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9求：①a ∶b ∶c②bccab a 2214、一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上同时同向行驶,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车之间，走了1分钟,小轿车追上了货车;又走了6分钟,小轿车追上了客车.再过8分钟,货车追上了客车.设出发时客车与货车的距离为a ，货车与小轿车的距离为b,求a : b 的值15、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40xm x m 的两根，⑴求a 和b 的值；⑵△A'B'C'与△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，将△A'B 'C'以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动.ⅰ)设x 秒时△A 'B 'C'与△ABC 的重叠部分的面积为y 平方厘米（y ＞0），求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围；ⅱ)几秒时重叠部分的面积等于38平方厘米？16、已知A （5，0），点B 在第一象限内，并且AB 与直线l :x y43平行，AB 长为8.（1）求点B 的坐标. （2）点P 是直线l:x y43上的动点，求△PAB 内切圆的最大面积. ABCM A'B'C'A(5,0)BxOyl:xy 4317、已知半径为r 的⊙1O 与半径为R 的⊙2O 外离，直线DE 经过1O 切⊙2O 于点E 并交⊙1O 于点A 和点D , 直线CF 经过2O 切⊙1O 于点F 并交⊙2O 于点B 和点C, 连接AB 、CD, （1）[以下ⅰ）、ⅱ）两小题任选一题]ⅰ) 求四边形ABCD 的面积ⅱ) 求证：A 、B 、E 、F 四点在同一个圆上（2）求证：AB //DCF EBADO 2CO 1【2】2010安徽蚌埠是重点高中自主招生（数学）测试题◆注意事项：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分。
第二讲 方程2021年上海市高中名校自主招生初升高衔接数学讲义
第二讲 方程知识要点一、代数方程分类：①整式方程；②分式方程；③无理方程. 二、解方程的基本思想： ①化分式方程为整式方程；②化高次方程为一次或二次方程； ③化多元为一元；④化无理方程为有理方程.总之，最后转化为一元一次方程或一元二次方程. 三、解方程的基本方法：①解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法.②解分式方程：一般采用去分母，换元法，重组法，两边夹等方法.③解无理方程：一般采用两边平方，根式的定义、性质、换元，几何构造，构造三角函数. 四、二次方程中的韦达定理：我们一般在初二的时候学习韦达定理，利用韦达定理可以解决很多根与系数方面的问题，韦达定理（根与系数的关系）若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=. 各位同学，还记得推导过程吗？ 证法一：（求根公式推导）一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是x =.则12b x x a +=-，12c x x a=. 证法二：（待定系数法）若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，那么方程可以表示为()()120a x x x x --=系数一一对应，就可以得到12b x x a +=-，12cx x a=. 例题精讲1. 已知关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无穷多个解，那么a 、b 值应分别为__________.2. 方程2121x x x -+-=+的实数解的个数是__________.3. 求方程()()323223247615180x x x xx x x x -+---++-+=全部相异实根.4. 解方程组11121113111.4x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩，，5. 设1x 、2x 为方程()()222350x k x k k --+++=的两个实根，求2212x x +的最大值与最小值.6. 若k 为正整数，且关于x 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值.7. 关于x 的二次方程()()2222682644k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.8. 关于x 的方程4324520x x mx nx -+++=的四根成等差数列，求方程的解.9. 若222222222222222222222222222222222222222222222222121232527141434547161636567181838587x y z u xy z u x y z u x y z u ⎧+++=⎪----⎪⎪+++=⎪⎪----⎨⎪+++=⎪----⎪⎪+++=⎪----⎩，，，，那么，2222x y z u +++的值为__________.10. 设a 、b 、c 分别为ABC ∆的三边，求证：关于x 的二次方程()2222220b x b c a x c ++-+=无实根.11.1=. 习题巩固12. 方程22320060x xy x y --++=的正整数解()x y ，共有多少对？13. 解方程组：2222,2,2.x yz x y zx z z xy y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩14. 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根.15. 是否存在质数p 、q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？ 16. 求所有有理数r ，使得方程()()2110rx r x r +++-=的所有根为整数.17. 设方程2310x x -+=的根α、β也是方程620x px q -+=的根，试求整数p 、q 的值.18. 设a 与b 为方程210x px ++=的两个实根，c 与d 为方程210x qx ++=的两个实根.求证：()()()()22a c b c a d b d q p --++=-.19. 设r 、s 、t 是方程38100120160x x ++=的三个根，求()()()333r s s t t r +++++的值.20. 已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值.21. 已知方程()()810x a x ---=有两个整数根，求a 的值.22. 已知关于x 的二次方程()22320ax a x a --+-=至少有一个整数根，求负整数a 的值. 自招链接23. 若方程()()2214x x k --=有4个非零实数根，且它们的数轴上对应的4个点等距离排列，求k 的值.24. 解方程组()()()222222123x y z y x z z x y ⎧=+-⎪⎪=+-⎨⎪=+-⎪⎩，，.参考答案例题精讲1. 因为关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-，即()328237a b x a b +-=+-有无穷多个解.所以33802370a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，，可得21a b =⎧⎨=⎩，.2. 当1x ≤-时，原方程化为()()()2121x x x ----=-+，解得2x =（舍去），所以方程无解； 当112x -<≤时，原方程化为()()2121x x x ----=+，解得12x =，所以12x =； 当122x <≤时，原方程化为()()2121x x x ---=+，解得x 为任意实数，所以122x <≤； 当2x >时，原方程化为()()2121x x x -+-=+，解得2x =（舍去），所以方程无解.综上所述，原方程的解为122x <≤；那么实数解的个数是无数个. 3. 设3235222x x x A --+=，25922x x B -+=则原方程化为 ()()690A B A B B -++-=，则 22690A B B -+-=，即()2230A B --=，即 ()()330A B A B -++-=，可得30A B -+=或30A B +-=.因此有32235592302222x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或32235592302222x x x x x ⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则32440x x x --+=或32310x x x -++=.因此 ()()2140x x --=或()()21210x x x ---=，可得1x =或2x =±或1x =±所以，原方程的根为121x x ==，32x =，42x =-，51x =，61x =.4. 原方程组化为()()()234.xy xz x y z yz yx x y z zz zx x y z +=++⎧⎪+=++⎨⎪+=++⎩，，令x y z k ++=，则234xy xz k yz yx k zx zy k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，①，②，③()2++÷①②③，得92xy yz zx k ++=，④由④分别减去①、②、③得125232xy k yz k zx k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，⑤，⑥，⑦4xyz =⑧由⑧分别除以⑤、⑥、⑦得6x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩所以x y z k ++===，解得52930k =. 所以原方程组的解为231023623.2x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，，5. 因为关于x 的一元二次方程()()222+350x k x k k --++=有两个实根，所以()()2224135k k k ∆=---⨯⨯++⎡⎤⎣⎦()231616k k =-++()()43+40k k =-+≥，可得443k -≤≤-. 由韦达定理，得()12221k x x k --+=-=-，221235351k k x x k k ++==++所以 ()2221212122x x x x x x +=+-()()222235k k k =--++()22106519k k k =---=-++.当4k =-时，()()22212max51918x x k +=-++=；当43k =-时，()()22212min 505199x x k +=-++=.6. 原方程变形、因式分解为()()()211631720k k x k x +---+=，()()112160k x k x +---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.即1121x k =+，261x k =-. 由121k +为正整数得k =1，2，3，5，11；由为正整数得k =2，3，4，7. 所以k =2，3使得1x 、2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符，所以只有2k =为所求.7. 一元二次方程的整数解的典型难题，由根为整数无法得知实数k 是否为整数，解题的基本思路是消去实数k ，得到关于整数解1x 、2x 的典型方程. 由()()2222682644k k x k k x k -++--+=可知，()()()()42220k x k k x k -+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故124k x k -=--，222k x k +=--.（由题意可知，26802k k k -+≠⇒≠且4k ≠） 因为122144k x k k -⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，224142k x k k +⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，于是有1241k x -=-+，2421k x -=-+，两式相减可得，2142211x x =-+++，则121320x x x ++=.故()1232x x +=-，从而可知，12132x x =⎧⎨+=-⎩，；或12132x x =-⎧⎨+=⎩，；或12231x x =⎧⎨+=-⎩，；或12231x x =-⎧⎨+=⎩，； 又11x ≠-且21x ≠-，故1215x x =⎧⎨=-⎩，；或1224x x =⎧⎨=-⎩，；或1222x x =-⎧⎨=-⎩，. 故6k =，3，103. 注：得出122144k x k k -⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，后224122k x k k +⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，直接有41k -=±，2±；21k -=±，2±，4±，由于上述两个等式是同时成立的，故这样的k 只能取6k =，3.此法不严密，如果是整数，此法可用，如果不是，就不能用.8. 首先我们推导一下四次方程的韦达定理.设4个根分别为：1x 、2x 、3x 、4x ，则有()()()()12340x x x x x x x x ----=，展开：()()22121234340x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-++-++=⎣⎦⎣⎦，()()()22321234123413142324x x xx x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++，()13423412312412340x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++=，根据韦达定理（根与系数的关系）有：()1234x x x x -+++为3x 项的系数；123413142324x x x x x x x x x x x x +++++为2x 项的系数；()134234123124x x x x x x x x x x x x -+++为x 项的系数；1234x x x x 为常数项.下面我们来解答这道试题.根据题意，设根为3a b -，a b -，a b +，()30a b b +>，那么根据推导的韦达定理有：()()()()334a b a b a b a b -+-++++=；（3x 项根与系数的关系） ()()()()3352a b a b a b a b --++=；（常数项根与系数的关系）上面两个式子化简，得44a =，即1a =，代入第二个式子得()()()()13131152b b b b -+-+=，则()()2219152bb --=，即42910510bb --=，可知23b =或2179b =-（舍）.又0b >，所以b =1a =，b =故原方程的解为11x =-21x =，31x =，41x =+. 注：有兴趣的同学可以尝试求出m 、()2456n m n =-=，. 9. 已知条件的结构特征，可构造一个关于t 的方程2222222211357x y z u t t t t +++=----， 则22、24、26、28是关于t 的方程2222222211357x y z u t t t t +++=----的根. 将2222222211357x y z u t t t t +++=----化为整式方程，得 ()4222232234840t x y z u t a t a t a -+++++++=.由一元次方程的根与系数的关系，得22222222246884x y z u +++=++++.所以222236x y z u +++=.10. 关于x 的二次方程()2222220b x b c ax c++-+=的判别式为()222224b c a b c ∆=+--⨯⨯()()22222222b c abc bc a bc ⎡⎤⎡⎤=+--+-+⎣⎦⎣⎦ ()()2222b c a b c a ⎡⎤⎡⎤=+---⎣⎦⎣⎦()()()()b c a b c a b c a b c a =+++--+-- ()()()()a b c b c a a b c c a b =-+++-+-+-.因为在三角形中两边之和大于第三边，即a b c +>，b c a +>，c a b +>，所以0a b c +->，0b c a +->，0c a b +->.因为0a b c ++>，所以()()()()0a b c b c a a b c c a b ∆=-+++-+-+-<. 所以关于x 的二次方程()2222220b x b c ax c++-+=无实根.11.（法一）设a =b =，原方程化为1a b +=，因为3361a b +=，又因为()()()()233223a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦，所以20ab =-.所以a 、b 是二次方程2200y y --=的两个根，而()()540y y -+=，5y =或4y =-；所以54a b ⎧==⎪⎨==-⎪⎩，，或45a b ⎧==-⎪⎨==⎪⎩，，所以80x =或109x =-.经检验，180x =，2109x =-是原方程的根.0=.a =b =c =所以原方程化为0a b c ++=. 因为()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---，所以3333a b c abc ++=，即()()()451613x x ++-+-=，20=2+2987200x x -=，()()801090x x -+=，解得80x =或109x =-；经检验，180x =，2109x =-是原方程的根.习题巩固12. 本题利用因式分解比较复杂，不易得出，注意到y 的最高次数是一次，用x 来表示y ，题目迎刃而解.223200620052111x x y x x x -+==-+--.由x 、y 均为正整数，可得，5，401，2005.所以方程共有四对正整数解.13. 222222.x yz x y zx z xy y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，，z①+②+③得222222x y z xy yz zx x y z +++++=++，即()2x y z x y z ++=++，()()10x y z x y z ++++-=，0x y z ++=或1x y z ++=.（1）当0x y z ++=时，()x y z =-+，代入②和③，得2222y z z yz =++， 2222z y y yz =++，由④－⑤得()223y zz y -=-，()()3310y z y z -++=，解得y z =或13y z +=-. 若y z =，代入④，得230y y +=，()310y y +=，0y =或13y =-. 所以009x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，，或231313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，，，，若13y z ==-，则13x =代入①，得19yz =，无实数解. （2）当1x y z ++=时，1x y z =--，代入②和③，得2222y z z yz +=+，2222z y y yz +=+.由⑥－⑦得()223y zy z -=-，()()3310y z y z -+-=，解得y z =或13y z +=. 若y z =，代入⑥，得230y y -=，()310y y -=，0y =或13y =. 所以100x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，或131313x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，，. 14. a =16，18，2515. 本题虽然形式上是有理数根的问题，但是因为p 、q 都是整数，则∆也为整数，要求方程有有理数根，那么∆为平方数 ，和例题3、例题4的本质相同.令2224q p n ∆=-=，其中n 是一个非负整数，则()()24q n q n p -+=.由于1q n q n ≤-≤+，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数.因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，，24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，，4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，，22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，，24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩，消去n ，解得21q p =+，222p q =+，52p q =，2q p =，222pq =+. 对于第1、3种情形，2p =，从而5q =，对于第2、5种情形，2p =，从而4q =（不合题意，舍去），对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）. 又当2p =，5q =时，方程为22520x x -+=，它的根为112x =，22x =，它们都是有理数.综上所述，存在满足题设的质数.16. 首先对0r =和0r ≠进行讨论.时.0r =原方程是关于x 的一次方程，0r ≠时，原方程是关于x 的二次方程，由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或判别式来做，均不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r 消去. 当0r =时，原方程为10x -=，所以1x =.当0r ≠时，原方程是关于x 的一元二次方程，设它的两个整数根为1x 、2x ，且12x x ≥，12121111x x r x x r ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，则消去r 得()()1121212213211311x x x x x x x x -=⎧--=⇔--=⇔⎨-=⎩，，或121113x x -=-⎧⎨-=-⎩，.即1242x x =⎧⎨=⎩，，或1202x x =⎧⎨=-⎩，，所以121117r x x ==--或1. 综上所述，当17r =-，0，1时，方程的所有根都是整数. 17. 因为α、β是方程2310x x -+=的两个根，()2341150∆=--⨯⨯=>，所以由韦达定理，得3αβ+=，1αβ=，αβ≠，从而()222223217αβαβαβ+=+-=-⨯=， ()()22442222272147αβαβαβ+=+-=-⨯=因为α、β是方程620x px q -+=的根，所以626200.p q p q ααββ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 因为αβ≠，所以()()66442222244222222.11p q αβαβαβαβαβαβαβαβ⎧-=⎪-⎪⎪⎨-=+⨯⎪⎪-⎪⎩=++=47+1=48，==17=7 18. 由韦达定理，得a b p +=-，1ab =，c d q +=-，1cd =因为()()()221a c b c c a b c ab c pc --=-++=++， ()()()221a d b d d a b d ab d pd ++=+++=-+，又因为c 与d 为方程210x qx ++=的两个实根，所以210c qc ++=，210d qd ++=即21c qc +=-，21d dq +=-所以()()()21a c b c c pc c q p --=++=--，()()()21a d b d d pd d q p -+=-+=-+，所以()()()()()()22a cbc ad b d c q p d q p q p --++=---+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.19. 因为三次方程没有2x 项，所以它的所有根之和为0，即.0s r t ++=.故()()()()()()()333333333r s t s r t t s r r s t +++++=-+-+-=-++.由于r 为方程的根，故38100120160r r ++=. 对s 和t 也有同样的式子，所以()()33381001320160r s t s r t ++++++⨯=.故()3331001320163201675688s r t r s t +++⨯⨯++===---.因此()()()()333333756r s t s r t r s t+++++=-++=.20. 典型的方程整数解问题，注意充分利用p 是质数这个条件. 由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以()()224451451p p p p ∆=---=+是完全平方数，从而51p +是完全平方数.令251p n +=，n 是整数，则()()511p n n =-+.所以，()()511n n -+，即51n -或51n +.若51n -，令15n k -=，则()52p k k =+，由于p 是质数，故1k =，7p =，此时方程为214130x x -+=，11x =，213x =满足条件.若51n +，令15n k +=，则()52p k k =-，故1k =，3p =此时方程为2670x x --=，11x =-，27x =满足条件.综上所述，所求的质数p 为3或7.21. 原方程整理为()28810x a x a -++-=.设1x 、2x 为方程的两个整数根，由韦达定理，128x x a +=+，所以128a x x =+-，a 为整数.所以x a -、8x -均为整数，所以81x a x -=-=±，所以8a =. 22. 4a =-或10-. 自招链接23. （法一）令2x t =，则原方程为()()14t t k --=，整理的2540t t k -+-=，则由求根公式和题意得1,20t =>，所以四个非零实数根分别为1x =2x =3x =4x =由题意它们在数轴上对应的点等距离排列，所以得到=，化简得74k =. （法二）由题意，4个非零实数根在数轴上对应的4个等距点中有两对关于原点对称，则可令()()()()()()221433xx k x a x a x a x a ---=++--，即42422454109x x k x a x a -+-=-+，于是有2410594a a k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，，解得74k =.24. 原方程组变为()()()222222123.x y z y x z z x y ⎧--=⎪⎪--=⎨⎪--=⎪⎩，，即()()()()()()123.x y z x z y x y z y z x x z y y z x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-+-=⎩，，⨯⨯①②③可得()()()2226x y z x z y y z x +-+-+-=，即()()()x y z x z y y z x +-+-+-=，当()()()x y z x z y y z x +-+-+-=时，原方程组变为y z x x z y x y z ⎧⎪+-=⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩解得123x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩同理，当()()()x y z x z y y z x +-+-+-=4x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩。
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3.重视对数学思想的考察，函数思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想是考察的重点。
三、重点专题培训 （一）代数式专题1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111 B. 1000C. 1001D. 11112、若2001119811198011⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________3、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元4、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为（ ） A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-25、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则bc ab ac +++的值（ ） A. 21B. 22C. 1D.2a6、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则ba ba -+的值为 （ ）A.3B.6C. 2D. 37、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 38、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式abc ca b bc a 222++的值是 （ ）A. 3B. 2C. 1D. 09、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿10、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________ 【答案与解析】1. 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。
故选C 方法二：代入法2. 解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022198019801221==⨯>S ，又1980、1981……2000均小于2001，所以22219022200120011221==⨯<S ，从而知S 的整数部分为90。
3. 解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m （1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m （1＋a%）b%元。
应选C4. 解：由已知，a ，b ，c 为两正一负或两负一正。
①当a ，b ，c 为两正一负时：0||||||||1||1||||||=+++-==++abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以，； ②当a ，b ，c 为两负一正时：0||||||||1||1||||||=+++=-=++abc abcc c b b a a abc abc c c b b a a 所以， 由①②知||||||||abc abcc c b b a a +++所有可能的值为0。
应选A5、解：过A 点作AD ⊥CD 于D ，在Rt △BDA 中，则于∠B ＝60°，所以DB ＝2C，AD ＝C 23。
在Rt △ADC 中，DC 2＝AC 2－AD 2，所以有（a －2C）2＝b 2－43C 2，整理得a 2＋c 2=b 2＋ac，从而有1))((22222=++++++=+++++=+++bbc ab ac bc ab c a b c b a ab a cb c b c a b a c 应选C6、解：因为(a+b)2=6ab ，(a-b)2=2ab ，由于a<b<0，得ab b a ab b a 26-=--=+，，故3=-+ba ba 。
应选A7、3]2)1()1[(21211])()()[(21222222222=+-+-=∴=--=--=--+-+-=---++原式 ，， 又，解：a c c b b a a c c b b a ca bc ab c b a8、3)()()()()()(=++=+-+-+-=⋅+-+⋅+-+⋅+-=c cb b a a bc a c c b a b c a b a ab cb a ac b c a bc a c b 解：原式9、解：设该商品的成本为a ，则有a(1+p%)(1-d%)=a ，解得p100p100d +=10、解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x ＋1)·y=z 2＋9，所以x ＋1，y 是t 2－6t ＋z 2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z 2＋9）＝－4z 2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。
所以x+2y+3z ＝8（二）方程专题1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A 与B ，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ，甲乙的速度之比（ ） A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶42、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R 等于（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 103、某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润为20%（利润＝-售价进价进价），若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为 （ ） A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5%4、某项工程，甲单独需a 天完成，在甲做了c （c<a ）天后，剩下工作由乙单独完成还需b 天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（ ）天 A.c a b+ B.ab a b c+- C. 2c b a -+D.cb a bc ++ 5、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a 小时，逆流航行这段路程需b 小时，那么一木块顺水漂流这段路需（ ）小时 A. b a ab -2 B. a b ab -2 C. b a ab - D. a b ab -6、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的43，然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品，乙厂仅有31的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31，则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为＿＿＿＿＿＿＿7、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客车每辆有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元，则租用该公司客车最少需用租金＿＿＿＿＿元。
8、时钟在四点与五点之间，在＿＿＿＿＿＿＿时刻（时针与分针）在同一条直线上？ 9、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按＿＿＿＿＿%的利率获得了利润（精确到一位小数）10、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二人相遇＿＿＿＿次。
【答案与解析】1、D 解：设甲的速度为1v 千米/时，乙的速度为2v 千米/时，根据题意知，从出发地点到A 的路程为1v 千米，到B 的路程为2v 千米，从而有方程：60352112=-v v v v ，化简得012)(7)(1221221=-+v v v v ，解得34(432121-==v v v v 不合题意舍去）。
应选D 。
2、C 解：第k 档次产品比最低档次产品提高了（k －1）个档次，所以每天利润为864)9(6)]1(28)][1(360[2+--=-+--=k k k y 所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。
3、C 解：若这商品原来进价为每件a 元，提价后的利润率为%x ， 则⎩⎨⎧⋅+=⋅=%%)251(%20x a m a m 解这个方程组，得16=x ，即提价后的利润率为16%。
4、B 解：设甲乙合作用x 天完成。
由题意：1)11(=-+x ba ca ，解得cb a abx -+=。
故选B 。
5、B 解：设小船自身在静水中的速度为v 千米/时，水流速度为x 千米/时，甲乙之间的距离为S 千米，于是有b S x v a S x v =-=+，求得ab S a b x 2)(-=所以ab abx S -=2。
6、2∶1。
解甲厂该产品的年产量为x ，乙厂该产品的年产量为y 。
则：31433121=++y x yx ，解得1:2:2=∴=y x y x 7、3520。
解：因为9辆甲种客车可以乘坐360人，故最多需要9辆客车；又因为7辆乙种客车只能乘坐350人，故最多需要8辆客车。
①当用9辆客车时，显然用9辆甲种客车需用租金最少，为400×9＝3600元；②当用8辆客车时，因为7辆甲种客车，1辆乙种客车只能乘坐40×7+50＝330人，而6辆甲种客车，2辆乙种客车只能乘坐40×6+50×2＝340人，5辆甲种客车，3辆乙种客车只能乘坐40×5+50×3＝350人，4辆甲种客车，4辆乙种客车只能乘坐40×4+50×4＝360人，所以用8辆客车时最少要用4辆乙种客车，显然用4辆甲种客车，4辆乙种客车时需用租金最少为400×4+480×4＝3520元。