加减法交换律结合律
加减法的交换律和结合律概念
加减法的交换律和结合律概念我想跟大家聊聊数学里超级有趣的东西——加减法的交换律和结合律。
这可不是什么枯燥的东西哦，就像一场奇妙的数学魔法之旅。
先来说说加法交换律吧。
我有个好朋友小明，有一天他去买糖果。
他先买了3颗草莓味的糖果，又买了5颗柠檬味的糖果。
那他一共买了多少颗糖果呢？按照顺序就是3 + 5 = 8颗。
可要是他先买5颗柠檬味的，再买3颗草莓味的呢？那就是5 + 3，结果还是8颗呀。
这就像你走路，从A点走到B点，再走到C点，和先走到C点，再走到B点，只要是这几个点，总的路程是一样的。
这就是加法交换律，简单说就是两个数相加，交换加数的位置，和不变。
就像a + b = b + a一样。
嘿，你想想看，是不是很神奇？如果数学里没有这个规律，那计算起来得多麻烦呀，每次都得按照固定的顺序来加，那得多死板啊！再来说加法结合律。
还是小明这个小馋猫，他又去买糖果了。
这次呢，他买了2颗苹果味的、3颗香蕉味的和4颗葡萄味的。
如果按照顺序一个一个加，那就是(2 + 3)+ 4。
先算2 + 3 = 5，再加上4就是9颗。
可要是换个计算方法呢，2+(3 + 4)，先算3 + 4 = 7，再加上2也是9颗。
这就好比是一群小伙伴要去旅行，分成了几个小组。
不管是先把第一组和第二组集合起来再加上第三组，还是先把第二组和第三组集合起来再加上第一组，最后一起出发的总人数是不会变的。
加法结合律就是说，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示就是(a + b)+ c = a+(b + c)。
这就像搭积木一样，不管你是先搭哪两块，最后搭成的形状都是一样的。
哇塞，这多有趣啊！要是没有这个规律，我们计算那些复杂的加法可就费劲喽。
说完加法，咱们再聊聊减法。
减法可没有交换律哦。
我给你举个例子，5 - 3 = 2，那3 - 5呢？结果是 - 2，这可完全不一样了。
就像你有5元钱，花了3元，和你只有3元钱，却要拿出5元，这是完全不同的情况嘛。
分配律和结合律
.
精品 1、 交换律： 两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
这叫做加法交换律
两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。
这叫做乘法交换律
加法交换律：a b b a +=+ 7887+=+
乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 7887⨯=⨯
2、结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。
和不变，这叫做加法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘。
积不变，这叫做乘法结合律 加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ )1288(712)887(++=++ 乘法结合律：c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯)()( 7)425()47(25⨯⨯=⨯⨯
3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，得数不变，这叫做分配律
c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)( 10151215)1012(15⨯+⨯=+⨯
c a b a c b a ⨯-⨯=-⨯)( 10151215)1012(15⨯-⨯=-⨯
没有加法的分配律一说
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
小学简便运算复习
1
2
4
解：原式=
+1 ×4
2 5
)
)
(7) 5 ×7 ÷ 5× 7
8
6
8
6
解：原式=( 8 × 6 )÷( 8 ×6 ) 5 7 × =1 5 7
正解: 8 8 6 6 解：原式= 5 ÷ 5 × 7 × 7 8 8 6 6 =( 5 ÷ 5 )×( 7 × 7 ) 36 =1× 49 36 = 49
小试身手
(1) { [(10.3-2.8)× 3.7+8.4÷3] ÷5+3.89 }÷2
解：原式=[(7.5×3.7+2.8) ÷5+3.89] ÷2 = (30.55 ÷5+3.89) ÷2 =10 ÷2 =5
(2)14 ×25
(3)
4 3 9 ×[ 4
解：原式 =(3 × +× 2) ×25 解：原式= 解：原式 =(10 +4 4) 25 = =3 × 4 ×25+ 225 ×25 =10 × 25+ 4× = =3 ×+ (4100 ×25 ) + 2 ×25 =250 = =3 ×100 + 2 ×25 =350 = =300+50 =350
原方程可变形得：
1 4.21×4×2.5x=4(10x+1.5)+(
去括号得：42.1x=40x + 6 + 3 移项得：42.1x - 40x =6 +10 合并同类项得：2.1x=6.3 系数化为1得：x=3 ∴原方程的解为x=3
加减法的关系和加法运算律
课堂练习
1.判断下列各题运用了什么运算律。
47+75+25=47+（75+25） 加法结合律
11+25=25+11
加法交换律
218+685+182=685+(218+182) 加法交换律和结合律
课堂练习
2.用简便方法计算。
395+99 = 395+100-1 = 495-1 = 494
36+72+64 = 36+64+72 = 100+72 = 172
651-102 = 651-100-2 = 551-2 = 549
217+98 = 217+100-2 = 317-2 = 315
289+502 = 289+500+2 = 789+2 = 791
课堂练习
3.判断。 (1)108+（37+163）=108+37+163 (2)407-25+75=407-(25+75） (3)甲数+乙数=乙数+甲数 (4)+（+）=++ (5)85+67+32=85+（67+23）
586-99-101
= 586-（99+101） = 586-200 = 386
课堂练习
2.用简便方法计算。
284+175+116+25
=（284+116）+（175+25） = 400+200 = 600
375-128+25
= 375+25-128 = 400-128 = 272
数的加法交换律与结合律总结
数的加法交换律与结合律总结在数学中，加法是一种基本的运算方式。
数的加法交换律和结合律是加法运算中两个重要的性质。
本文将总结数的加法交换律与结合律的概念和应用。
一、加法交换律加法交换律是指两个数的和与它们的顺序无关，即改变加法中数的位置，其结果仍相同。
形式化表示为：a +b = b + a这里的 a 和 b 可以是任意实数、整数或分数。
加法交换律在日常生活中经常被使用，比如计算昨天收入了多少钱和今天收入了多少钱后，可以交换顺序，得出相同的结果。
无论先算昨天的收入再算今天的收入，或者先算今天的收入再算昨天的收入，最终的结果都是相同的。
加法交换律的证明可以通过几何方法或代数方法进行。
几何方法可以使用平面上的点、线段等来演示，而代数方法可以通过变量的代入逐步推导。
二、加法结合律加法结合律是指三个数的和不受加法的顺序影响，即先计算任意两个数的和，再与第三个数相加，结果仍相同。
形式化表示为：(a + b) + c = a + (b + c)同样，这里的 a、b 和 c 可以是任意实数、整数或分数。
加法结合律也是日常生活中经常使用的性质。
例如，在购物时遇到多个商品的价格需要相加，可以先计算两两商品的价格，然后再将结果与剩余商品价格相加，最终得到的总价格是相同的。
加法结合律的证明可以通过代数方法进行。
可以使用变量的代入和运算法则的推理，逐步证明两边式子的等价性。
三、加法交换律与结合律的应用1. 简化计算：加法交换律和结合律以及其他运算律可以在数学计算中简化表达式。
通过改变数的顺序和组合，可以使计算更加方便和高效。
2. 逻辑推理：加法交换律和结合律常用于逻辑推理中。
在数学证明和问题解决中，运用这些性质可以转化表达式、化简问题、拆分等，从而更好地解决问题。
3. 抽象数学：加法交换律和结合律在抽象代数学科中发挥着重要作用。
这两个性质的存在使得数的集合可以进行运算，并从而产生群、环、域等数学结构。
4. 教育应用：在数学教学中，加法交换律和结合律是基础概念，有助于学生理解和掌握数学运算的规律。
小学数学运算定律和简便计算
三估，就是估测计算结果。
• 即加强心算（估算）过程教学，培养计算能力， 增强计算的正确率。
• 如计算“18 ×101”，当学生进行简算 后，可以指导学生通过心算进行验证。 心算过程：100个18是1800，加上 1个 18是18，结果等于1818。所以当学生 得出18×101=18×100×1=1800时就 可以马上知道在简算过程中出现了问 题。
五、
56×28+44×28=
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、有乘法算式，又有加法，因此想能不能 运用乘法分配率， • 2、看到56是因数，，就先找有没有另一个 因数44，题目中有44，因此把56和44凑成 整百，得100，因此把它们两个结合，运用 乘法分配率， • 3、因为28是共同的因数，因此写因数的时 候只写一个28，因为要先算44+56这两个数 的和，所以要加括号。
十一、
1345-125-875
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是连减算式，因此想能不能运用减法的运算性 质（一个数连续减去两个数，可以用这个数减去 两个减数的和）。 • 2、有减数125和875；口算125+875=1000，都凑 成整百，因此把它们两个先相加，运用减法运算 性质， • 3、原题变为“1345-（125+875）”括号里面的 结果刚好是1000，因此1345-1000就得到345。
四、运算定律与简便计算的整理和复习
加法
名称
交换律 结合律
乘法
名称
交换律
字母表示
a+b=b+a
字母表示
a×b=b×a (a×b)×c=a×(b×c) （a+b)×c=a×c+b×c
加减法的巧算
加减法的巧算1、加法交换律：a＋b＝b＋a2、加法结合律：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）3、在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
如,a－b－c＝a－c－b, a－b＋c＝a＋c－b4、有小括号的，我们一起来研究：5＋（8－2）＝？ 5＋8－2＝？所以：a＋(b－c)＝a＋b－c10－(5＋2) ＝？ 10－5＋2 ＝？，为什么得数不一样？怎样算才相等？10－(5＋2) ＝，用字母表示这个规律。
10－（5－2）＝？ 10－5－2＝？，为什么得数不一样？怎样算才相等？10－（5－2）＝，用字母表示这个规律。
我们来总结：在加、减混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
a＋（b－c）＝a＋b－c a－（b＋c）＝a－b－c a－（b－c）＝a－b＋c 在加、减混合运算中，添括号道理一样：a＋b－c＝a＋（b－c） a－b＋c＝a－（b－c） a－b－c＝a－（b＋c）例 875－364－236 1847－1928＋628－136－641348－234－76＋2234－48－24例512－382＝（500＋12）－（400－18）＝500＋12－400＋186854－876－97＝ 6854－（1000－124）－（100－3）＝ 6854－1000＋124－100＋3练习：1、 42＋71＋24＋29＋582、 43＋（38＋45）＋（55＋62＋57）3、 698＋784＋1584、3993＋2996＋7994＋1355、 4356＋1287－3566、 526－73－27－267、 4253－（253－158） 8、 1457－（185＋457）9、 389－497＋234 10、 698－154＋269＋78711、 699999＋69999＋6999＋699＋69＋612、 200－（15－16）－（14－15）－（13－14）－（12－13）乘除法的巧算乘法交换律：a×b ＝b×a乘法结合律：a×b×c ＝(a×b)×c ＝a×(b×c)乘法分配律：（a ＋b）×c ＝a×c ＋b×c (a－b)×c ＝a×c－b×c商不变性质：a÷b ＝(a×n)÷(b÷n) (n≠0)＝(a÷m)÷(b÷m) (m≠0)类似于乘法分配律：（a ＋b）÷c ＝a÷c ＋b÷c (a－b)÷c ＝a÷c－b÷c 类似于乘法交换律：a÷b÷c ＝a÷c÷b乘除法混合运算与加减混合运算道理相通：（1）无括号：a×b÷c ＝a÷c×b ＝b÷c×a（2）去括号：a×(b×c) ＝a×b×c a×(b÷c) ＝a×b÷ca÷(b×c) ＝a÷b÷c a÷(b÷c) ＝a÷b×c （3）添括号：a×b×c ＝a×(b×c) a×b÷c ＝a×(b÷c)a÷b÷c ＝a÷(b×c) a÷b×c ＝a÷(b÷c)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。
有理数的加减混合运算法则
有理数的加减混合运算法则1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。
即：⑴当b>0时，a+b>a⑵当b<0时，a+b<a⑶当b=0时，a+b=a4.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
用字母表示为：a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。
如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相同的加数相结合）=-49+41（运用加法法则一进行运算）=-8（运用加法法则二进行运算）Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2（得出结论）Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）--+-+-原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++Ⅵ.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆项后结合（1+3+5+7...+99）-（2+4+6+8 (100)有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
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)+78=78+149 )+25 +
)=133+145
(3)78+25+22=78+( 二、连线。 38+175 147+72+28 a+47 25+（b+76） a+b+76
(4)376+175+25=376+(
)
147+（72+28） 47+a 25+b+76 a+（b+76） 175+38
三、下面哪些算式符合加法交换律，哪些算式符合加法结合律。 （1）a+（30+9）=a+30+9 （2）15+（7+b）=（15+7）+b （3）45+c=c+45 （4）84+b=b+84 （5）10+20+30+40=10+（20+30）+40 四、简便计算下面各题。 91+89+11 52+27+73 238+168+32 285+15+77+23
275+133+67
预习提示： 预习提示
1、什么是加法交换律，字母式怎样表示? 什么是加法交换律，字母式怎样表示? 2、什么是加法结合律，字母式怎样表示? 什么是加法结合律，字母式怎样表示? 3、举例说加法交换律结合律有什么用途？ 举例说加法交换律结合律有什么用途？
加法交换律与结合律 习题设计
一、填空。 (1)360+482=( (2)( )+360 128+275=125+( 133+( )
（ a + b ）+ c = a +（ b + c） （ ）
560+（140+70）＝（ （ ）＝（560+140）+□ ） □ ）＝（ a +（27 + b ）＝（ □ + □ ）+ b （ 2、计算 137+28+72 、
练习： 1、（ 45 + 36）+64＝45+（ □ + □ ） ） ＝ （
两个数相加，交换加数的位置 和不变，这叫做加习： 练习： 96+35＝35+（ ） 204+57＝（ ）+204 a+45＝45+( )
例2
三年级 89人， 人
二年级 96人 人 一年级 104人 人
三个年级共有多少人？
三个数相加，先把前两个数相加， 三个数相加，先把前两个数相加，再同 第三个数相加，或者先把后两个数相加， 第三个数相加，或者先把后两个数相加， 再同第一个数相加，它们的和不变。 再同第一个数相加，它们的和不变。这 就是加法结合律。 就是加法结合律。
加法交换律与结合律
义马市新区学校 茹总军
看谁算得又对又快？ 看谁算得又对又快？ 12+25= 37 500+300= 800 30+20= 50 1200+650= 1850 25+12= 37 300+500= 800 20+30= 50 650+1200=1850
12+25=25+12 500+300=300+500 30+20=20+30 1200+650=650+1200